Ondas eletrostaticas geradas por interacao de feixe de eletrons

MINISTÉRIO DA CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS
INPE-7239-TDI/692
ONDAS ELETROSTÁTICAS GERADAS POR INTERAÇÃO DE
FEIXE DE ELÉTRONS-PLASMA EM ALGUMAS REGIÕES DE
PLASMA ESPACIAL: UM TRATAMENTO POR SIMULAÇÃO
VIA PARTÍCULAS
Márcio Augusto Ernesto de Moraes
Dissertação de Mestrado em Geofísica Espacial, orientada pela Dra. Maria Virgínia
Alves, aprovada em 11 de março de 1999.
INPE
São José dos Campos
1999
533.9 : 523.4-8
MORAES, M. A. E.
Ondas eletrostáticas geradas por interação feixe de
elétrons-plasma em algumas regiões de plasma espacial: um
tratamento por simulação via partículas / M. A. E. MoraesSão José dos Campos: INPE, 1999.
137p. – (INPE- 7239-TDI/692).
1.Instabilidade de plasma. 2.Plasma espacial.
3.Ondas de Langmuir. 4.Ondas eletrostáticas. 5. Interação
feixe-plasma. 6.Simulação por partículas. I.Título.
À minha família.
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao Dr. Antônio Montes Filho pela permissão do uso das instalações e
materiais do INPE/LAP necessários à execução deste trabalho.
À minha orientadora, Dra Maria Virgínia Alves, por sua orientação e incentivo
transmitidos durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao CNPq, pela concessão da bolsa durante o período do desenvolvimento deste
trabalho.
Agradeço , em especial, à Rosymara que me acompanhou durante todo o
mestrado, escutando minhas lamentações, me incentivando, me dando carinho e atenção
nas horas que mais necessitei.
Aos Membros da banca examinadora pelos comentários e sugestões
apresentadas.
RESUMO
Interações feixe de elétrons-plasma estão presentes em várias regiões de plasmas
espaciais, como por exemplo, no vento solar, na região da frente de choque terrestre e
na região auroral. Além disto, ondas de Langmuir excitadas por feixes estão
relacionadas a emissões de rádio solar tipo III. O objetivo deste trabalho é investigar a
evolução auto consistente da instabilidade feixe-plasma em algumas regiões do plasma
espacial. Para tanto utilizamos a técnica de simulação por partículas usando o código
computacional XPDP1, unidimensional, eletrostático, que permite condições de
contorno não periódicas e a inclusão de um campo magnetostático externo. Os
resultados são comparados com os obtidos via satélite, disponíveis na literatura.
ELECTROSTATIC WAVES DRIVEN BY ELECTRON BEAM-PLASMA
INTERACTION IN SOME REGIONS OF SPACE PLASMAS: A TREATMENT
BY PARTICLE SIMULATION
ABSTRACT
Electron beam-plasma interactions are present in many regions of space plasmas, for
example, in the solar wind, Earth’s foreshock and auroral region. Besides, Langmuir
waves driven by beams are related with the type III solar radio emission. The objective
of these works is to investigate the self consistent evolution of the beam-plasma
instability in some of these regions. For this, we use particle simulation technique by
using the computational code XPDP1, one-dimensional, electrostatic, that allows
nonperiodic boundary conditions and static external magnetic fields. The results are
compared with ones obtained via spacecraft, available in the literature.
SUMÁRIO
Pag.
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SÍMBOLOS
1
INTRODUÇÃO….………………………………………….…………
2
CONCEITOS
BÁSICOS
SOBRE
SIMULAÇÃO
19
POR
PARTÍCULAS…………………………………………………………
25
2.1
Introdução………………………………………………………………
25
2.2
O modelo de simulação por partículas………………………………….
26
2.3
Relação entre a grade espacial e grandezas físicas…………….……….
31
2.4
Integração da equação de campo……………………………………….
39
2.5
Integração da equação de movimento…...……………………………...
41
2.6
O código eletrostático unidimensional XPDP1..……………..…………
43
3
INSTABILIDADES EM PLASMAS………………………….
49
3.1
Introdução………………………………………………………………
49
3.2
Equações básicas…...…………………………………………………..
50
3.3
Relação de dispersão..…………………………………………………..
55
3.4
Relação de dispersão para as ondas de Langmuir..……………………..
61
3.5
Instabilidades eletrostáticas em plasma..……………………………….
66
4
EVOLUÇÃO DAS INSTABILIDADES……………………………..
77
4.1
Introdução………………………………………………………………
77
4.2
Descrição teórica da evolução das instabilidades..……………………..
4.3
Ondas de Langmuir associadas a feixes energéticos em plasmas
78
espaciais…………………………………………………………………
89
4.3.1 Evidências das ondas de Langmuir associadas à emissão solar tipo III..
89
4.3.2 Observação da função de distribuição instável na região da frente de
choque terrestre….……………………………………………………...
92
4.3.3 Observações de fenômenos de ondas em plasma na região auroral…….
95
5
DISCUSSÕES E RESULTADOS…………………………………….
99
6
CONCLUSÕES………………………………………………………..
127
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS……………………………………….
131
LISTA DE FIGURAS
Pag.
2.1
Esquema do ciclo básico do modelo de simulação via partículas. O
índice i denota as partículas e o índice j refere-se a grade espacial
macroscópica……………………………………………………………
28
2.1
Exemplos de modelos de simulação 1D, 2D e 3D……………………..
29
2.2
Sistemas de coordenadas para o modelo eletrostático unidimensional…
30
2.3
Força de Coulomb entre partículas em duas e três dimensões………….
33
2.4
Lei de força entre partículas de tamanho finito em duas dimensões para
partículas de vários tamanhos. Usou-se um perfil de densidade de carga
de forma Gaussiana……………………………………………………..
2.5
Grade espacial unidimensional (índice j), uniformemente espaçada,
para cálculo das densidades de carga e de correntes, e dos campos…….
2.6
33
34
Funções de forma ou de ponderação para determinação da densidade
de carga e força nos pontos da grade: (a) ordem zero (NGP); (b)
primeira ordem (CIC, PIC); (c) segunda ordem (parabólica ou
quadrática). Observe que x= xi-xj…….………………………………...
36
2.7
Ponderação linear de cargas num sistema unidimensional cartesiano.
Observa-se que neste caso a interpretação de “Nuvem em Célula”
(CIC) (a) ou interpretação de “Partícula em Célula” (PIC) (b) levam ao
mesmo resultado, o que não é válido para outros sistemas de
coordenadas. A distância representada pelo tom de cinza escuro é
usada para determinar a densidade de carga no ponto j da grade,
enquanto a distância representada pelo tom de cinza mais claro é usada
para determinar a densidade de carga no ponto j+1…………………….
38
2.8
Esboço da integração no tempo pelo método de “leap-frog”…………...
42
2.9
Configuração em coordenadas planares com o circuito RLC em série e
fonte de voltagem/corrente. Nestas coordenadas, considera-se o
movimento das partículas na direção x…………………………………
2.10
44
Esquema da função de ponderação linear para a grade espacial. O
índice i denota as partículas e j o índice da grade. Para partículas na
célula adjacente a um eletrodo, a ponderação deve ser contada para a
metade da célula………………………………………………………...
45
3.1
Relação de dispersão de Bohm-Gross normalizada…………………….
65
3.2
Relação de dispersão do acoplamento entre a oscilação de elétrons no
plasma com as ondas rápida e lenta do feixe……………………………
69
3.3
Caminho de integração na velocidade v da equação 3.56………………
73
3.4
Distribuição de velocidade dos elétrons do sistema do tipo
Maxwelliana na forma e − v ……………………………………………..
2
74
3.5
Distribuição de velocidade instável devido a presença do feixe de
elétrons…………………………………………………………………..
4.1
Relação de dispersão das ondas num sistema feixe de elétrons-plasma
para o caso do regime hidrodinâmico (feixe frio)………………………
4.2
80
Relação de dispersão das ondas à medida que o feixe se dispersa
devido ao processo de aprisionamento………………………………….
4.3
75
82
Órbitas dos elétrons no espaço de fase durante o processo de
aprisionamento descrito pela teoria quasi-linear em três diferentes
instantes de tempo………………………………………………………
4.4
83
Energia do campo elétrico da onda de Langmuir em função do tempo
durante o desenvolvimento da instabilidade feixe-plasma para o caso
de um feixe frio…………………………………………………………
4.5
84
Curva experimental da potência total da onda observada numa coluna
de plasma (ne ≈ 7×
× 108 cm-3; Te ≈ 20 eV) em função da distância do
ponto de injeção de um feixe de elétrons de corrente igual a 1,0 mA…..
4.6
Diagrama de espaço de fase dos elétrons num sistema feixe-plasma
obtido através de simulação por partículas……………………………..
4.7
85
86
Função de distribuição do sistema feixe-plasma f(v) e intensidade de
energia da onda I(vφ) durante a evolução da instabilidade: (a) condição
inicial em t = 0; (b) após certo crescimento da onda (t > 0) e (c)
saturação da onda de Langmuir e a formação do “plateau” (t → ∞ )……
87
4.8
Ilustração da emissão de rádio solar tipo III. O feixe de elétrons se
propaga a partir do Sol após um “flare” e excita as ondas de Langmuir..
4.9
90
Resultados medidos pelo experimento ISEE-3, no evento de 8 de
Fevereiro de 1979 para a evolução da função de distribuição de
velocidades para tempos distintos………………………………………
4.10
91
Resultados medidos pelo experimento ISEE-3, no evento de 8 de
Fevereiro de 1979 para o campo elétrico no intervalo de tempo de 701705 UT…………………………………………………………………..
4.11
Ilustração da formação da região da frente de choque terrestre. do
elétron…………………………………………………………………...
4.12
92
93
Mapa de contorno da superfície f(w||,w⊥ ) (Figura 4.11a) obtido de uma
medida feita em três dimensões da distribuição de velocidades dos
elétrons nos contornos da frente de choque eletrônica. Os pontos sobre
as linhas de contorno localizam as medidas no espaço de velocidades.
Função de distribuição reduzida, que mostra um segundo pico em w|| =
-7×108 (Figura 4.11b). Mapa de contorno de w⊥ f(w||,w⊥ ) normalizada
mostrando a contribuição das velocidades perpendiculares a função de
distribuição reduzida em cada velocidade paralela (Figura 4.11c)……..
4.13
94
Ilustração dos fenômenos de plasma que ocorrem na região auroral,
associado aos elétrons aurorais………………………………………….
96
4.14
(a) Um espectrograma da energia média do fluxo de elétrons alinhado
com o campo sobre período de 2 s. A parte mais escura indica um alto
fluxo. Existem 16 canais de energia discreta representada no eixo
vertical. (b) A amplitude das ondas de alta freqüência (200 kHz a 5
MHz) paralelas ao campo elétrico mediada sobre um período de 2 ms.
Os cinco períodos da onda Langmuir são notados. (c) A densidade dos
elétrons como medidas por uma sonda de Langmuir…………………...
5.1
Perfil espacial do potencial eletrostático em t=1ms ( ≈ 20ω −pe1 ) ;
excitação a partir do ruído ……………………………………………...
5.2
97
103
Variação espacial da amplitude da onda W, mediada no tempo, em
t ≈ 100ω −pe1 ……………………………………………………………….
104
5.3
Espaço de fase (x vesus vx) em t ≈ 100ω −pe1 ……………………………..
105
5.4
Espaço de fase (x versus vx) em t ≈ 180ω −pe1 …………………………….
105
5.5
Evolução temporal da função de distribuição do feixe acima de
t ≈ 100ω −pe1 ……………………………………………………………….
5.6
Espectro
de
potência
do
potencial
em
x=L/2
e
t = 100ω −pe1 ( sobre 64ω −pe1 ) ……………………………………………….
5.7
Espectro
de
potência
do
potencial
em
x=L/2
106
107
e
t = 1500ω −pe1 ( sobre 64ω −pe1 ) ……………………………………………...
107
5.8
Diagrama espaço-temporal da amplitude de alta freqüência, W, com
B=0……………………………………………………………………...
5.9
Diagrama espaço-temporal da amplitude de alta freqüência, W, com B
dado por ω ce / ω pe = 0.01 ……………………………………………….
5.10
114
Diagrama espaço-temporal para a amplitude das ondas de alta
frequência, W, com campo magnético nulo, para o caso Alaska’88...….
5.14
111
Variação espacial da amplitude do campo elétrico em um tempo
t = 10 µ s (≈ 14ω −pe1 ) ……………………………………………………...
5.13
110
Diagrama espaço-temporal para amplitudes de baixa frequência, com
um campo magnético dado por ω ce / ω pe = 0.01 ………………………..
5.12
110
Diagrama espaço-temporal para amplitudes de baixa frequência, na
ausência de campo magnético…………………………………………..
5.11
109
116
Diagrama espaço-temporal para a amplitude das ondas de alta
frequência, W, com campo magnético dado por ω ce ω pe = 0.82 , para o
caso Alaska’88…………………………………………………..……....
5.15
Gráfico da variação espacial da amplitude do campo elétrico, para um
tempo de t = 70µ s ( ≈ 66ω −pe1 ) …………………………………………...
5.16
116
117
Diagrama espaço temporal da amplitude das ondas excitadas W, na
ausência de campo magnético, para o caso BIDARCA……….………..
118
5.17
Diagrama espaço-temporal da variação da amplitude das ondas
excitadas, W, na presença de um campo magnético dado por
ω ce ω pe = 1.21 , para o caso BIDARCA….…………………………….
5.18
Variação espacial da amplitude do campo elétrico em t=2ms (cerca de
≈ 57ω −pe1 )………………………………………………………………...
5.19
119
122
Variação espacial da amplitude da onda normalizada, W, mediada no
tempo (cerca de ≈ 8ω −pe1 ), obtida no tempo em t=2ms (cerca de
≈ 57ω −pe1 )………………………………………………………………...
123
5.20
Espectro de potência do potencial em x=l/4 e t=3ms ( ≈ 85ω −pe1 )……….
124
5.21
Espectro de potência do potencial em x=l/4 e t=10ms ( ≈ 285ω −pe1 )…….
124
5.22
Diagrama espaço-temporal das amplitudes das ondas de alta
frequência, com campo magnético nulo, para a região da frente de
choque…………………………………………………………………...
5.23
125
Diagrama espaço-temporal das amplitudes das ondas de alta
frequência, com um campo magnético dado por ω ce ω pe = 0.008 , para
a região da frente de choque……………………………………..……...
126
LISTA DE TABELAS
Pag.
5.1
Parâmetros adquiridos pelo satélite ISEE 3, para o evento de 8 de
Fevereiro de 1979, no vento solar.…………………………………………
5.2
101
Valores dos parâmetros de entrada para a simulação do evento de 8 de
Fevereiro de 1979, na região de vento solar………...……………………...
102
5.3
Parâmetros obtidos pelos experimentos BIDARCA e Alaska’88………….
112
5.4
Parâmetros usados para caracterizar os eventos na região auroral para a
simulação…………………………………………………………………...
113
5.5
Parâmetros típicos para a região da frente de choque (Dum 1990)…...…...
120
5.6
Parâmetros usados para simulação da região da frente de choque…….…...
121
LISTA DE SÍMBOLOS
r
r
r
v
r
J
r
E
r
B
r
H
Vetor posição
Vetor velocidade
Vetor densidade de corrente
Vetor campo elétrico
Vetor campo magnético
Vetor indutância magnética
ω ps
Frequência de plasma para a espécie s
λD
Comprimento de Debye
λ0
Comprimento de onda
σ
Condutividade elétrica
ρ
Densidade de carga
ε0
Permissividade elétrica
µ0
Permeabilidade magnética
η
r
F
rr
P
rr
ε
r
k
Resistividade elétrica
Força que atua na partícula
Tensor pressão cinética
Tensor dielétrico
Vetor de onda
ω
v~
Frequência de oscilação
φ
Potencial elétrico
γ
Constante da equação adiabática
γbp
Taxa de crescimento da instabilidade feixe-plasma
Ω cs
Frequência ciclotrônica para partículas da espécie s
Vetor constante
ν sp
Frequência de colisão entre partículas da espécie s e p
e
Carga do elétron
f
Função de distribuição
fps
Frequência de plasma para partículas da espécie s em Hz
KB
Constante de Boltzman
l
Comprimento do sistema
lQL
Comprimento de relaxação do feixe
m
Massa da partícula
n0
Densidade de partículas
nc
Número de células na grade
p
Pressão cinética escalar
q
Carga da partícula
RT
Raio da Terra
Ts
Temperatura para partículas da espécie s
W
Energia da onda normalizada
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Os sistemas físicos que se tornaram acessíveis ao homem nas últimas décadas podem
ser tão complexos que as observações, os modelos conceituais e a teoria analítica não
são suficientes para averiguar todos os fenômenos que ocorrem na natureza. Um novo
método para investigar o comportamento de sistemas físicos complexos tem sido
desenvolvido graças ao grande avanço na tecnologia dos computadores modernos: o
método de simulação computacional. As simulações são utilizadas para resolver
equações básicas, com poucas aproximações, e em geral permitem que efeitos locais,
não lineares e dependentes do tempo possam ser analisados. Este método envolve o
desenvolvimento de um modelo numérico do sistema a ser investigado, o qual é
transformado num código computacional, que permite ao sistema evoluir no tempo a
partir de alguma condição inicial de interesse e de acordo com as leis físicas relevantes.
Os resultados obtidos por este método podem ser usados para uma análise
complementar sobre os modelos conceituais e analíticos e ainda indicar onde estudos
observacionais devem ser feitos.
Muitas simulações são realizadas para obter resultados de interesse prático imediato,
tais como: o desempenho de um dispositivo de fusão, de um acelerador de partículas, de
um dispositivo eletrônico para a geração de radiação, para prever o desempenho de um
“chip”, prever o clima, o impacto das atividades humanas sobre o clima no mundo, e
muitas outras aplicações. Na física de plasma, a simulação vem sendo muito utilizada
para estudos de fenômenos que ocorrem em, plasmas de laboratórios, como por
exemplo, o estudo de aquecimento de plasma via injeção de feixe de partículas em
experimentos voltados a fusão termonuclear controlada, passando por plasmas
espaciais, para averiguar, principalmente, processos ondulatórios; até plasmas
astrofísicos, para estudos de interações entre galáxias.
19
As simulações computacionais aplicadas para plasmas, abrangem duas grandes áreas
distintas desenvolvidas ao longo dos anos. Plasmas podem ser categorizados por uma
descrição dada pelas equações de fluidos ou uma descrição cinética, onde uma
representação mais complexa da função de distribuição das partículas é necessária. Em
particular neste trabalho, usa-se uma descrição cinética chamada método de simulação
via partículas. Este método teve seu início no final da década de 50, e começo da de 60
e tem demonstrado ser um método poderoso e eficiente na análise da evolução espacial
e temporal de muitos fenômenos em plasmas (Dawson, 1985; Hockney e Eastwood,
1983; Birdsall e Langdon, 1985).
Na simulação computacional via partículas é considerado o movimento individual de
um grande número de partículas na presença de campos eletromagnéticos internos autoconsistentes e/ou de campos externamente aplicados. Devido às limitações
computacionais é necessário a utilização de algumas técnicas sofisticadas (Dawson,
1985; Hockney e Eastwood, 1983; Birdsall e Langdon, 1985) tais como a introdução de
uma grade espacial macroscópica para o cálculo das interações partícula-campos e a
introdução do conceito de “super-partícula”, de forma que uma partícula na simulação
pode representar muitas partículas do plasma real, para contornar uma das maiores
limitações que é o número de partículas individuais que podem ser seguidas na
simulação. Atualmente, nos computadores disponíveis neste instituto, o número de
partículas possível de simular é da ordem de 105. Este número é bastante razoável para
uma análise estatística do problema de estudo. Uma outra consideração, alternativa, é
que a simulação pode ser feita para uma pequena região do plasma, mas representativa
(Birdsall e Langdon, 1985; Dawson, 1983; Hockney e Eastwood, 1981). Quando
métodos apropriados são usados, sistemas relativamente pequenos de alguns milhares
de partículas podem realmente simular de maneira precisa o comportamento coletivo de
plasmas reais.
Muitos códigos computacionais utilizando partículas têm sido desenvolvidos nos
últimos anos; estes podem ser uni, bi e tri-dimensionais, eletrostáticos, magnetostáticos
20
e eletromagnéticos com objetivo de estudar os mais diversos problemas. Neste trabalho
de dissertação foi utilizado o código computacional (“Plasma Device Planar 1Dimensional”) XPDP1 que é unidimensional, eletrostático e permite simular um plasma
contido entre dois eletrodos, ambos podendo estar conectados através de um circuito
externo RLC; um campo magnetostático externo também pode ser aplicado.
As simulações via partículas vêm sendo utilizadas com sucesso para estudos de
instabilidades feixe-plasma em regiões de plasma espacial (Dum, 1990; Cairns e
Nishikawa., 1989; Muschietti et al., 1995). O estudo da interação de feixes de elétrons
com plasmas é um dos fenômenos mais antigos da física de plasma, mas ainda hoje atrai
atenção de vários grupos de pesquisas espalhados pelo mundo. Um dos processos
fundamentais estudado na interação feixe-plasma é a excitação das ondas eletrônicas de
plasma, ou ondas de Langmuir: elas são induzidas facilmente por feixes de elétrons
presentes em plasmas espaciais. Medidas locais feitas por satélites ou foguetes, levaram
a estudos detalhados das ondas de Langmuir induzidas por feixes no ventos solar (Lin et
al., 1981), na região da frente de choque terrestre (Fitzenreiter et al, 1984) e na região
auroral inferior (Ergun et al., 1991). Além disto, estas ondas estão relacionadas a
emissões de rádio solar tipo III (Lin et al., 1986).
Até recentemente, as simulações eram feitas considerando condições de contorno
periódicas, onde feixes muito mais intensos do que os observados eram usados, razões
entre as massas eram fictícias, para diminuir o efeito do ruído devido ao pequeno
número de partículas e para diminuir o tempo de computação (Dum, 1990). Atualmente,
pode-se simular um plasma num sistema aberto, com condições de contorno não
periódicas, permitindo a injeção de feixes nos contornos do sistema (Muschietti et al.,
1995). Isto evita a reciclagem das correlações onda-partícula que estão associadas ao
uso das condições de contorno periódicas.
Neste trabalho de mestrado o objetivo do estudo é verificar a excitação das ondas de
Langmuir via instabilidade feixe-plasma usando simulação via partículas com condições
21
de contorno não periódicas. As regiões para as quais a simulações foram aplicadas são:
coroa solar, região auroral inferior e região da frente de choque terrestre. Estas regiões
têm parâmetros bastantes distintos quanto às razões de densidade de partículas feixeplasma, nb/n0 , velocidade de deriva do feixe com relação à velocidade térmica dos
elétrons, e influência do campo magnético. Assim sendo, esse trabalho consistirá num
estudo criterioso para a determinação das condições iniciais, de contorno e dimensões
do sistema. Além dos parâmetros físicos, há que se considerar as limitações impostas
por instabilidades numéricas ao espaçamento da grade espacial e ao passo no tempo
para a integração. Uma vantagem característica da simulação computacional é que a
física do problema pode ser introduzida passo a passo, permitindo assim diferenciar
entre os efeitos que ocorrem simultaneamente e os que competem entre si. Embora o
número de informações obtidas “in situ” em plasmas espaciais tenha crescido muito nos
últimos anos, ainda nem sempre pode-se obter informações simultâneas sobre ondas e
partículas e os diagnósticos para medidas de partículas são ainda limitados.
Experimentos computacionais permitem um número ilimitado de diagnósticos. É
possível seguir a dinâmica da evolução da função de distribuição e o espectro da onda,
os quais são dependentes um do outro para o tema estudado.
O trabalho está organizado da seguinte forma:
No Capítulo 2 são apresentados os conceitos básicos utilizados na simulação via
partículas. Descreve-se ainda como é feita a relação entre as quantidades físicas e as
grandezas na grade espacial, a integração das equações de movimento e da equação de
Poisson. Apresenta-se ainda o código computacional utilizado neste trabalho.
No Capítulo 3 mostra-se analiticamente como as oscilações eletrostáticas de plasma, ou
ondas de Langmuir, podem ser excitadas num sistema feixe-plasma. Primeiramente
introduzem-se as equações básicas para o desenvolvimento das instabilidades, depois
obtém-se a relação de dispersão que descreve a evolução das instabilidades para um
caso bastante simplificado.
22
No Capítulo 4 são apresentadas as teorias formuladas que descrevem a evolução das
instabilidades geradas num sistema feixe-plasma. As teorias apresentadas neste Capítulo
formam a base para o cálculo de todos os parâmetros utilizados na simulação. Neste
Capítulo faz-se, também, uma descrição das regiões, para as quais as simulações foram
aplicadas, com evidências observacionais das ondas de Langmuir.
No Capítulo 5 apresentam-se os resultados obtidos via simulação para as regiões de
plasmas espaciais de interesse neste trabalho de dissertação, e discussões quanto a
caracterização da evolução da instabilidade feixe-plasma.
Finalmente, as conclusões relativas aos principais resultados obtidos são descritos no
Capítulo 6, juntamente com sugestões para trabalhos futuros.
23
24
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS SOBRE SIMULAÇÃO POR PARTÍCULAS
2.1 INTRODUÇÃO
Desde Galileu Galilei e Aristóteles que teoria e experimentos tornaram-se ferramentas
essenciais para o entendimento de fenômenos físicos. As técnicas experimentais
consistem em perturbar o sistema de maneira controlada e observar seu comportamento.
Numa abordagem teórica, modelos matemáticos do sistema físico são tratados
analiticamente para determinar seu comportamento. A evolução rápida dos
computadores permitiu a introdução de uma nova técnica de investigação de fenômenos
físicos: a simulação computacional.
A idéia básica de um experimento computacional é simular o comportamento físico de
um sistema, resolvendo um conjunto apropriado de Equações matemáticas. Este
conjunto é obtido com base num modelo físico-matemático do sistema, bem
fundamentado e aceito. Realiza-se então um experimento numérico num computador,
permitindo-se que o sistema evolua a partir de condições iniciais de interesse. Os
resultados obtidos podem ser comparados com resultados experimentais e com a teoria.
Podem ainda prever comportamentos em novos experimentos.
Embora similares às técnicas tradicionais usadas em laboratório, onde os parâmetros
físicos são variados de maneira controlada, os experimentos computacionais fornecem
algumas vantagens: informações detalhadas podem ser obtidas; os diagnósticos são não
invasivos, ou seja, não perturbam o sistema; os efeitos podem ser considerados ou não,
permitindo identificar o processo relevante para um dado fenômeno observado e
25
finalmente, os experimentos podem ser reproduzidos de forma semelhante. Além disto,
permitem investigar fenômenos lineares, não lineares e efeitos dependentes do tempo.
Dentre as técnicas de simulação computacional utilizadas para investigar plasmas, uma
das mais antigas é a simulação por partículas, que será utilizada neste trabalho e descrita
a seguir.
2.2 O MODELO DE SIMULAÇÃO POR PARTÍCULAS
De uma forma bastante simplificada, pode-se dizer que o método de simulação por
partículas consiste em acompanhar um grande número de partículas carregadas
movendo-se sob a ação de forças (ou campos) produzidas pelo próprio movimento das
partículas, resultantes da interação entre as mesmas, e/ou campos externamente
aplicados. A física é vista em duas partes, os campos produzidos pelas partículas e o
movimento das mesmas devido às forças (ou campos).
r
Conhecendo-se a posição ( r ) e a velocidade ( v ) de cada partícula pode-se calcular as
r
densidades de carga ( ρ ) e corrente elétrica ( J ) e com estas, através das Equações de
r
r
Maxwell, calculam-se os campos elétrico ( E ) e magnético ( B ), e consequentemente a
força que atua sobre as partículas.
Feita esta operação, movem-se as partículas e recalculam-se os campos a partir das
novas posições e velocidades. Este procedimento é repetido por vários passos no tempo.
A Equação que rege o movimento, é a de Newton-Lorentz:
r
r r r
dv
m
= q( E + v × B ) ,
dt
r
dr
=v.
dt
(2.1)
(2.2)
26
Os campos elétrico e magnético auto consistentes são obtidos a partir das densidades de
carga e corrente elétrica através das Equações de Maxwell no sistema MKSA
r r ρ
∇. E = ,
ε0
(2.3)
r r
∇. B = 0 ,
(2.4)
r
r r
∂B
∇×E = −
,
∂t
(2.5)
r
r r
r
∂E
).
∇ × B = µ0 (J + ε 0
∂t
(2.6)
Este processo é transformado num código computacional, conforme ilustrado na Figura
2.1. O ciclo começa em t=0 com alguma escolha apropriada para as velocidades e
posições das partículas. Em geral os campos são obtidos somente sobre pontos discretos
no espaço, Ej, Bj, numa grade espacial pré-definida, a partir das densidades de corrente
r
r
e carga obtidas nestes mesmos pontos, Jj e ρ j respectivamente, a partir de ri e v i . Fazse necessário designar a partir da posição e velocidade distribuídas ao longo de todo
r
espaço, um número finito de pontos para J e ρ , conservando-se fisicamente as mesmas.
Esta designação é feita através da utilização de uma ponderação ou suavização, como
será explicado a seguir. As grades espaciais são comumente usadas devido ao fato de
que o cálculo de forças interagindo sobre grades espaciais é muito mais eficiente do que
somar diretamente as forças sobre todas as partículas na simulação.
27
Fig. 2.1: Esquema do ciclo básico do modelo de simulação via partículas. O índice i
denota as partículas e o índice j refere-se a grade espacial macroscópica.
FONTE: Alves (1990, p. 9).
Resolver as Equações (2.1)-(2.6) leva a um modelo tridimensional (3D) e
eletromagnético. Dependendo do problema a ser estudado, nem todas as Equações de
Maxwell precisam ser resolvidas; além disso, pode-se construir modelos de uma (1D),
duas (2D) e três (3D) dimensões. A Figura (2.2) mostra exemplos de modelos
eletrostáticos.
O modelo unidimensional pode ser pensado como um grande número de células de
r
partículas carregadas movendo-se sob a ação de um campo elétrico E , direcionado ao
longo do eixo x, externamente aplicado e dos campos internos auto consistentes; não
existe variação em y ou z. O modelo bidimensional consiste de uma série de hastes
paralelas
ao
eixo-z.
O
tridimensional
consiste,
obviamente,
de
partículas
tridimensionais. Não será visto detalhamento dos modelos 2D e 3D, somente o 1D será
estudado com mais detalhes.
28
Fig. 2.2 – Exemplos de modelos de simulação 1D, 2D e 3D.
FONTE: Tajima (1989, p. 14).
No caso do modelo eletrostático unidimensional, as Equações citadas anteriormente são
simplificadas considerando que a posição da partícula está sempre na direção x, o
campo magnético, se este existe, é externamente aplicado, constante e orientado ao
longo do eixo-z e a velocidade da partícula apresenta componentes v x e v y
descrevendo rotação em torno do campo magnético, conforme mostra a Figura (2.3)
29
Fig. 2.3 – Sistema de coordenadas para o modelo eletrostático unidimensional.
FONTE: Alves (1988, p. 5).
Nota-se, na Figura (2.3), a existência de componentes da velocidade da partícula na
direção x e y, relacionadas ao movimento ciclotrônico em torno de B , implicando em
deslocamento de corrente também na direção y, mas as quantidades importantes tais
como densidade de carga, potencial elétrico, campo elétrico, campo magnético e outras
quantidades de interesse no estudo, não variam nesta direção, estas variam somente na
direção x. Dessa forma, diz-se que x é uma dimensão completa e y é meia dimensão
1
( 1 ), e a dinâmica na direção y é dita ser fragmentada. Pode-se generalizar o modelo
2
considerando a variações da velocidade na direção z, assim, ambas as direções y e z são
2
consideradas meia dimensão ( 1 ). Estes modelos são importantes para análise de
2
efeitos eletromagnéticos que envolvem correntes perpendiculares ao vetor de onda k .
As dimensões fragmentadas têm importância em plasmas magnetizados com
anisotropias e podem tornar-se significantes em alguns fenômenos isotrópicos (Tajima,
1989).
30
2.3 - RELAÇÃO ENTRE A GRADE ESPACIAL E GRANDEZAS FÍSICAS
Na seção anterior apresentou-se uma idéia bem geral do método de simulação por
partículas, mas ainda falta descrever como um sistema físico pode ser representado em
um experimento computacional. Uma questão respondida nesta seção é a relação entre
as grandezas físicas das partículas e a grade espacial.
Para o caso eletrostático e partículas pontuais deseja-se, basicamente, resolver as
Equações:
&rr& = qi
Mi
n
( 1− )
2
r r
( 2π )
∑j E j ( ri ) = M
i
r r
q j ( ri − rj )
∑ r rn ,
ri − rj
(2.7)
para um grande número de partículas, onde i refere-se as partículas, qi e Mi são sua
carga e massa e n está relacionada à dimensão do modelo, 1, 2 ou 3. Quer-se resolver
estas Equações para 104 a 106 partículas, mas uma estimativa direta mostra que isso não
é plausível nos computadores atuais. Suponha que se tenha N partículas, então para cada
partícula a soma sobre j contém N termos e deve-se resolver a Equação (2.7) para todas
N partículas, assim o número de operações é proporcional a N2. Cada termo na soma
envolve um certo número de operações . Para o propósito, supondo que 10N2 operações
estão envolvidas por um passo no tempo δt , tem-se N op ≈ 10N 2
por passo no tempo.
Se forem usadas 105 partículas em um computador que em média leva 10-7s por
operação aritmética, serão necessários 104s por passo no tempo para resolver as forças,
assim simulações envolvendo 103 a 104 passos no tempo levarão de um mês a um ano
para serem feitas. Claramente vê-se que dessa forma as simulações não são úteis.
31
As partículas em laboratório são, geralmente, consideradas pontuais, com uma força
entre elas proporcional à
1
r
n −1
, onde r é a distância entre as partículas e n a dimensão
do sistema. Esta força apresenta a propriedade de sua intensidade diminuir lentamente
com a distância, significando que muitas partículas podem interagir simultaneamente,
sendo esta parte da força responsável pelos efeitos coletivos. Os efeitos colisionais são
causados pelos impulsos associados a passagem de duas partículas próximas uma da
outra. Assim é necessário uma força do tipo Coulombiana para grandes distâncias, mas
que tende à zero para pequenas distâncias, para poder reproduzir o comportamento
coletivo e ao mesmo tempo reduzir a taxa de colisão. Com a introdução de partículas de
tamanho finito (macropartículas), isto torna-se possível. Com este conceito, a carga
destas partículas estarão distribuídas em uma pequena região do espaço e as variações
nas densidades internas à essa região não podem ser resolvidas. Em geral, as partículas
tem seu tamanho escolhido baseado na grade espacial. Devido as partículas possuirem
tamanhos determinados a densidade de carga e corrente e consequentemente a força são
afetadas. Assim, se introduz um fator de forma ou ponderação, S(r), que ajusta estas
quantidades.
Na Figura (2.4) é mostrado o comportamento da força entre as partículas em função da
distância para cargas pontuais em duas e três dimensões, e na Figura (2.5) o
comportamento da força com as cargas de tamanho finito.
32
Fig. 2.4. Força de Coulomb entre partículas em duas e três dimensões.
FONTE: Dawson (1983, p. 406).
Fig. 2.5. Lei de força entre partículas de tamanho finito em duas dimensões para
partículas de vários tamanhos. Usou-se um perfil de densidade de carga de
forma Gaussiana.
FONTE: Dawson (1983, p. 406).
33
Seja l o tamanho do sistema e NC o número de células ou intervalos na grade espacial,
como mostra a Figura 2.6. De acordo com esta Figura o espaçamento ∆x entre os
pontos consecutivos da grade é dado por:
∆x = l / NC .
(2.8)
Fig. 2.6. Grade espacial unidimensional (índice j), uniformemente espaçada, para
cálculo das densidades de carga e de corrente, e dos campos.
FONTE: Alves (1990, p. 11).
A densidade de carga nos pontos é obtida a partir da carga e posição das partículas
através da expressão:
ρ j ≡ ρ ( x j ) = ∑ qi S ( x j − x i ) ,
(2.9)
i
onde S(xi-xj) é a função de forma ou de ponderação que depende basicamente da
distância entre a partícula (índice i) e o ponto considerado na grade (índice j).
Calculadas as densidades de carga ρ j ' s obtém-se o campo elétrico Ej em cada ponto da
grade resolvendo-se a Equação de Poisson. Levando-se em conta a função de forma
anterior, calcula-se a força que atua sobre a partícula a partir dos Ej’s, através da força
de Lorentz,
Fi = qi ∆x ∑ E j S ( x j − x i ) .
j
34
(2.10)
A função de forma S deve ser tal que a carga sobre as grades seja a mesma que a carga
total das partículas, ou seja:
∑q
i
i
= ∆x ∑ ρ j .
(2.11)
j
As funções de forma podem ter diversas variações sendo a diferença fundamental entre
elas a maneira de se acumular carga nos pontos da grade, a partir das posições das
partículas. A variação mais simples é conhecida como (“Nearest Grid Point”) NGP ou
“Ponto da Grade mais Próximo” que pondera igualmente todas as partículas que se
encontram a uma distância ∆x / 2 do ponto da grade considerado. Assim todas as cargas
contidas num intervalo ∆x , em torno de x j = j∆ x , são acumuladas igualmente para se
determinar ρ j , independentemente da distância |xj - xi|. Este esquema de ponderação é
de ordem zero e a função de forma correspondente é retangular conforme mostra a
Figura (2.7a). Neste caso tem-se:
 1
 ∆x ; x < ∆x / 2

,
S( x) = 
0 ; x > ∆ x / 2


onde x=xj-xI.
35
(2.12)
Fig. 2.7. Funções de forma ou de ponderação para determinação da densidade de carga e
da força nos pontos da grade: (a) ordem-zero (NGP); (b) primeira ordem (CIC,
PIC); (c) segunda ordem (parabólica ou quadrática). observe que x=xi - xj.
FONTE: Alves (1988, p. 9).
36
Uma outra variação da função de forma é a de primeira ordem que pode ser interpetrada
de duas maneiras. A primeira é denominada (“Cloud in Cell”) CIC ou “Nuvem em
Célula” e a segunda é denominada (“Particle in Cell”) PIC ou “Partícula em Célula”
(Birdsall e Fuss, 1969). Em ambos os casos considera-se que a partícula tem uma
dimensão finita, da mesma ordem que a dimensão da célula. A diferença entre esses
dois casos é que no primeiro a posição da partícula, xi, determina o seu centro e a
partícula vai de x i − ∆x / 2 a x i + ∆x / 2 enquanto que no outro caso a partícula é
limitada pelas posições dos pontos da grade mais próximos, independente da sua
localização na célula. No caso de “Nuvem em Célula” considera-se como peso para
cada célula a intersecção entre a partícula e a célula, e no “Partícula em Célula”
pondera-se a carga de cada partícula conforme a distância |xj-xi| ao ponto da grade.
Estas duas interpretações são ilustradas na Figura (2.8) em coordenadas retangulares,
que levam ao mesmo resultado com exceção dos pontos de grade 0 e NC. As flutuações
(ou ruídos numéricos) na densidade de carga são muito mais suaves do que no esquema
de ordem zero. A função de forma de primeira ordem é ilustrada na Figura (2.7b) e pode
ser expressa por:
| x|
 1
| x |< ∆x
 ∆x (1 − ∆x ) ;

.
S( x) = 
0
;
| x |≥ ∆x


37
(2.13)
Fig. 2.8 – Ponderação linear de cargas num sistema unidimensional cartesiano. Observe
que neste caso a interpretação de “Nuvem em Célula” (CIC) (a) ou
interpretação de “Partícula em célula” (PIC) (b) levam ao mesmo resultado, o
que não é válido para outros sistemas de coordenadas. A distância
representada pelo tom de cinza mais escuro é usada para determinar a
densidade de carga no ponto j da grade, enquanto a distância representada
pelo tom de cinza mais claro é usada para determinar a densidade de carga no
ponto j+1.
FONTE: Alves (1990, p. 14).
Esquemas de ponderação de ordem superior também podem ser utilizados, dependendo
de quão precisamente se queira resolver o problema. Na Figura (2.7c) é mostrado uma
função de ponderação consistindo de três seções parabólicas de comprimento ∆x cada e
unidas sem descontinuidades na curvatura; mais informações a respeito podem ser
obtidas em Birdsall e Langdon (1985). Note que em qualquer caso a função de forma é
normalizada tal que:
∫ S ( x )dx = 1 .
(2.14)
38
2.4 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DO CAMPO
Uma vez determinadas as densidades de carga e corrente elétrica em cada ponto da
grade, pode-se obter os campos elétrico e magnético a partir das Equações de Maxwell,
usando ρ e J como fontes. Aqui será considerado o caso do problema eletrostático, em
r r
r
r
r
uma dimensão, ou seja, ∇ × E = −∂B / ∂t = 0 e pode-se escrever, E = −∇φ .
As Equações a serem resolvidas são:
r
r
E = −∇ φ
r r ρ
∇. E =
ε0
Ex = −
ou
∂φ
,
∂x
∂E x
ρ
=
,
ε0
∂x
ou
(2.15)
(2.16)
as quais combinadas, fornecem a Equação de Poisson:
∇2φ = −
ρ
ou
ε0
∂ 2φ
∂x
2
=−
ρ
.
ε0
(2.17)
Utilizando-se o método de diferenças finitas (Potter, 1973), pode-se resolver as
Equações (2.15) e (2.17) usando a grade mostrada na Figura(2.4) como:
Ej =
φ j −1 − φ j +1
2∆x
,
(2.18)
39
φ j −1 − 2φ j + φ j +1
( ∆x )
2
=−
ρ
.
ε0
(2.19)
Esta última Equação pode ser escrita na forma matricial como:
Aφ =
− ( ∆x ) 2
ρ.
ε0
(2.20)
Nas Equações (2.18) e (2.19) o índice das variáveis φ , ρ e E varia de 0 a NC (número
de células na grade). Nos pontos j=0 e j=NC as Equações dependem das condições de
contorno a serem utilizadas. Conhecendo-se os ρ ,j s , o número de Equações será igual
ao número de icógnitas, e o problema tem solução única. No caso unidimensional
eletrostático obtém-se uma matriz tridiagonal que pode ser resolvida pelo método de
eliminação de Gauss (Potter, 1973), por exemplo.
Existem vários métodos que podem ser utilizados para resolver numericamente a
Equação de Poisson e as condições de contorno ocupam um papel importante na
determinação do método a ser usado (Lawson, 1989). Em sistemas periódicos, por
exemplo, a Equação de Poisson pode ser resolvida usando-se a transformada de Fourier
(Birdsall e Langdon, (1985). O método a ser utilizado neste trabalho será descrito
posteriormente.
40
1.5 INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO
Na simulação computacional deseja-se resolver um problema consistindo de muitas
partículas cujo movimento evolui no tempo. A evolução temporal do sistema ocorre de
maneira discreta e em passos de tempo finitos. Os intervalos de tempo, ∆t , devem ser
escolhidos de uma forma que sejam pequenos o suficiente para resolver períodos
característicos do sistema, tais como frequência de plasma e ciclotrônica para elétrons e
íons. As grades espacial e temporal devem ser definidas de modo que se obtenha
estabilidade numérica e resultados precisos aceitáveis. Imprecisões sempre existirão
mas deve-se torná-las tão pequenas quanto possível.
O método de integração escolhido leva em consideração precisão, rapidez de cálculo e
armazenamento mínimo na memória computacional. Geralmente, o método de
integração usado é o de "leap frog" (Potter, 1973), ilustrado na Figura (2.9). Esta Figura
mostra claramente que o método é centrado no tempo. Observa-se que posições e
velocidades não são conhecidas no mesmo instante de tempo, e sim defasadas por
∆t / 2 , mas ambas são avançadas de um mesmo ∆t em cada integração. Como as
posições e velocidades são defasadas por ∆t / 2 , e em geral estas são conhecidas no
instante t=0, deve-se tomar um cuidado especial com as condições iniciais, pois, a
princípio seria necessário o conhecimento das velocidades em − ∆t / 2 para aplicação
deste método. A idéia inicial para contornar este problema seria calcular a força que
atua nas partículas em t=0 e retroceder as partículas, usando esta força, para obter as
velocidades em − ∆t / 2 (Birdsall e Langdon, 1985). Uma outra forma, que foi
apresentada por Alves, 1990, é no primeiro passo no tempo, avançar as velocidades em
apenas ∆t / 2 e as posições em ∆t , daí em diante aplica-se normalmente o método
conforme o fluxo de tempo indicado na Figura (2.9)
41
Fig. 2.9: Esboço da integração no tempo pelo método de “leap-frog”.
FONTE: Alves (1990, p. 17).
As duas Equações diferenciais de primeira ordem a serem integradas separadamente
para cada partícula, são as Equações (2.1) e (2.2). Estas Equações são substituídas por
Equações em forma de diferenças finitas:
m
v t + ∆ t / 2 − v t − ∆t / 2
= F( t ),
∆t
x t + ∆t − x t
= v t + ∆t / 2 ,
∆t
(2.21)
(2.22)
e integradas a cada ∆t .
42
1.6 O CÓDIGO ELETROSTÁTICO UNIDIMENSIONAL XPDP1
Neste trabalho utiliza-se o código computacional (Plasma Device Planar 1Dimensional) XPDP1 que permite simular um plasma contido entre dois eletrodos que
podem estar ou não, conectados por um circuito externo. Estes circuito inclui elementos
R, L e C, onde R é a resistência, L a indutância e C a capacitância, e também possui
fontes de voltagem e correntes, como mostra a Figura 2.10. A simulação procede em
tempo real, com saídas gráficas de vários diagnósticos físicos, os quais são atualizados a
cada passo no tempo.
A versão PDP1 teve sua origem no (Plasma Device Workshop) PDW1 escrito por W. S.
Lawson (1983) para um seminário em dispositivos de plasma em sistemas limitados na
Universidade da Califórnia em Berkeley. O PDP1 possui diferenças significantes desta
versão prévia, contendo uma maior precisão e versatilidade nos seus resultados:
soluções simultâneas do circuito e da Equação para o potencial acopladas através das
condições de contorno, um modelo básico de ionização, unidades MKS para os
parâmetros de entrada e diferentes diagnósticos.
43
Fig. 2.10. Configuração em coordenadas planares com o circuito RLC em série e fonte
de voltagem/corrente. Nestas coordenadas, considera-se o movimento das
partículas na direção x.
FONTE: Verboncoeur (1990, p. 5).
O PDP1 usa uma função de ponderação linear para estabelecer a fração de contribuição
da carga de cada partícula à densidade de carga em cada ponto na grade, como mostra a
Figura 2.11.
44
Fig. 2.11. Esquema da função de ponderação linear para a grade espacial. O índice i
denota as partículas e j o índice da grade. Para partículas na célula adjacente a
um eletrodo, a ponderação deve ser contada para a metade da célula.
FONTE: Verboncoeur (1990, p. 2).
Com o auxílio da função de ponderação, obtém-se a densidade de carga na grade, a qual
é usada para resolver a Equação de Poisson, ∇ 2φ = ρ / ε 0 . Uma vez conhecido o
r
potencial, o campo elétrico na grade pode ser obtido a partir de E = −∇φ . A força
sobre a posição da partícula é obtida a partir do campo elétrico e usando a mesma
função de ponderação para obter o valor de E. O uso da mesma função de forma evita
uma auto-força (ou seja, que a própria partícula se acelere).
Através da carga superficial dos eletrodos, a corrente do circuito externo interage com o
plasma. Similarmente o potencial dentro do plasma é afetado pela
distribuição e
movimento de carga no espaço, pela carga superficial do eletrodo e pela corrente no
circuito externo. Assim, vê-se que soluções simultâneas para as Equações do potencial e
do circuito são necessárias.
Aplicando a lei de Gauss no sistema, obtém-se as condições de contorno para Equação
do potencial,
45
r
r
ρ
A σ + A−σ −
•
= ∫ dV + + +
=0,
E
d
S
∫S
ε
ε
V
(2.23)
onde a superfície S engloba o plasma e os eletrodos. A+ refere-se a área da superfície do
eletrodo esquerdo e A- a do eletrodo direito, e σ± é a carga superficial no respectivo
eletrodo.
Aplicando a lei de Gauss sobre cada célula da grade, e usando a definição do potencial,
obtém-se:
φ j +1 − 2φ j + φ j −1
( ∆x )
2
=
ρj
ε
.
(2.24)
Para um sistema unidimensional, as condições de contorno podem ser escritas como:
φ nc = 0
(2.25)
E0=σ
σ+/εε.
(2.26)
e
A condição φ nc = 0 fixa um potencial de referência para o sistema. Com as condições de
contorno (2.25)-(2.26), a Equação (2.24) pode ser escrita na forma geral:
46
 φ 0 
 b0 c 0 0...



 φ1 
 a1 b1 c1 0

 φ
 0a b c 0
 2 
 2 2 2

 .
 .....
=



 .
.

 .
.



 a nc − 2 bnc − 2 c nc − 2  φ nc − 2 

 φ
 a b
 nc −1 
 nc −1 nc −1
 d0 


 d1 

d
 2 

.
f
.

.

.


 d nc − 2 

d
 nc −1 
(2.27)
Os elementos da matriz são:
b0=-1,
aj=1,
j=1,2,...,nc-1
bj=-2,
j=1,2,...,nc-1
cj=1,
j=0,1,...,nc-2
d0=(σt+/∆x)+( ρt0/2), dj=ρtj
j=1,2,...,nc-1
(2.28)
e
f=-∆
∆ x2/εε.
A Equação (2.27) envolve uma matriz tridiagonal, a qual pode ser resolvida com
relativa facilidade (Press et al,1989). Para termos a Equação matricial que o PDP1
resolve temos que acrescentar as Equações para o circuito externo, que dependem do
potencial nos eletrodos (Verboncouer et al, 1993).
Para o caso tratado neste trabalho, será usada a condição de curto-circuito, para o
circuito externo, o que significa
R=L=0 e C→
→∞,
(2.29)
47
com
φ0-φ
φ nc = V(t).
(2.30)
Na prática, este caso é aplicado quando:
(C/εεAl) > 105 .
(2.31)
O modelo escolhido permite simular um sistema com condições de contorno não
periódicas e a injeção de um fluxo de elétrons em ambos os contornos do sistema.
48
CAPÍTULO 3
INSTABILIDADES EM PLASMAS
3.1 INTRODUÇÃO
Em plasmas espaciais, geralmente, as partículas possuem grande livre caminho médio,
ou seja, elas percorrem grandes distâncias entre uma colisão e outra. Observa-se ainda
que o tempo de equipartição de energia é bem maior do que o tempo de colisão entre as
partículas, assim o plasma no espaço interplanetário ou magnetosférico, não está em
equilíbrio termodinâmico. Isto é devido a resposta dinâmica de um plasma ser da ordem
de um período de plasma ou ciclotrônico.
O fato do plasma não estar em equilíbrio termodinâmico implica que uma certa
quantidade de energia é armazenada no plasma, e esta energia pode ser convertida num
movimento súbito de plasma ou em radiação de ondas eletromagnéticas. O processo
onde uma destas conversões ocorre, num modo coletivo, é chamado de instabilidade de
plasma. Isto conduz ao fato de que uma pequena perturbação no equilíbrio pode causar
um desvio ainda maior.
Uma das instabilidades mais estudadas por uma série de autores é a excitada quando
um feixe de elétrons atravessa um plasma morno, ou seja, a função de distribuição de
velocidades é diferente da distribuição de equilíbrio Maxwelliana. A função apresenta
um pico adicional na região correspondente à velocidade dos elétrons do feixe. Este
tipo de instabilidade é bem conhecida como “Instabilidade de dois feixes” ou
“Instabilidade feixe-plasma” (Bohm e Gross, 1949a, b).
49
A instabilidade feixe-plasma dá origem a um campo elétrico muito intenso, sendo este
um dos principais efeitos observados, que é resultante da amplificação das oscilações
eletrostáticas naturais do plasma. Estas oscilações são denominadas de ondas de
Langmuir (Langmuir, 1925). Este tipo de instabilidade é aplicada para explicar a
geração de ondas eletrostáticas em várias regiões de plasma espacial, tais como: coroa
solar, região da frente de choque terrestre eletrônica e da região ionosférica terrestre.
3.2 EQUAÇÕES BÁSICAS
Inicialmente será derivada a Equação básica que representará a dinâmica do plasma.
Considere o movimento de n elétrons e íons; estas partículas obedecem somente a uma
regra de movimento, a qual é dada pela força de Lorentz:
mj
r
dv j
dt
[
]
r r
r r
r
= q j E ( r j , t ) + v j × B( r j , t ) ,
(3.1)
onde o sub-índice j representa a j-ésima partícula com carga qj e massa mj localizada na
r
posição r j no tempo t.
Supondo-se, agora, que os campos elétrico e magnético são conhecidos e representados
por funções contínuas do espaço e do tempo, pode-se integrar a Equação (3.1) para se
r
obter a posição r j (t ) . Encontrar a velocidade inicial de um grande número de
partículas através da Equação (3.1) é praticamente inviável. Assim é conveniente
introduzir a função probabilidade de distribuição para as velocidades, tal que a
r
r
probabilidade de se encontrar a partícula j com velocidade inicial entre − ∞ < v ( 0 ) < v
r
r r
r r
no ponto r é definida por F j ( r , v ) onde 0 ≤ F j (r , v ) ≤ 1 , e a função densidade de
r r
probabilidade f (r , v ) é obtida por:
50
r r
f j (r , v ) =
∂ 3F j
∂v x ∂v y ∂v z
.
(3.2)
Devido a força de Lorentz, f muda no tempo, e como ela varia pode ser encontrado a
r r
partir da Equação de conservação de f j no espaço de fase r , v , t ,
∂f j
r ∂f j r ∂f j ∂f
+ r& . r + v& . r =
∂t
∂r
∂v
∂t
r r
onde r& = v
e
,
(3.3)
col
r ∂
∂
∂
∂ r r
r
r& . r = v x
+ vy
+ vz
= v .∇ e a aceleração v& é dada pela força
∂r
∂x
∂y
∂z
de Lorentz.
λ3D ) pequeno, o efeito das colisões
No caso que se tenha um parâmetro de plasma 1 (nλ
pode ser desconsiderado, assim a Equação (3.3) se reduz a
r r
r r
∂f
r r r
∂f ( r , v , t ) r ∂f ( r , v , t ) q r r
+ v.
+
E ( r , t ) + v × B( r , t ) . rj = 0
r
∂t
∂r
m
∂v
[
]
(3.4)
r
r
onde E e B são produzidos pelo movimento coletivo das partículas do plasma. A
Equação (3.4) é uma das equações básicas para o estudo do desenvolvimento de
instabilidades em plasma, conhecida como Equação de Vlasov, que descreve a
evolução espaço temporal de f .
51
r
A probabilidade total de encontrar uma partícula em r , e t é representada por
+∞
r r
r
∫ f ( r , v , t )dv . Se esta quantidade for multiplicada pela densidade numérica média no
−∞
espaço, n0, o resultado será a densidade de partículas do plasma, ou seja:
+∞
r
r r
r
n( r , t ) = n0 ∫ f (r , v , t )dv .
(3.5)
−∞
Similarmente a densidade de corrente para cada espécie pode ser obtida por:
+∞
r r
r r r
r
J ( r , t ) = qn0 ∫ v f ( r , v , t )dv .
(3.6)
−∞
Usando os sub-índices e e i para distinguir as funções de distribuição dos elétrons e
íons, as equações de Maxwell podem ser escritas como:
r
r r
∂B
∇× E = −
,
∂t
(3.7)
v
r r
 +∞ r r +∞ r r  1 ∂E
∇ × B = µ 0 en0  ∫ v f i dv − ∫ v f e dv  + 2
,
∂
t
c
−
∞
−
∞


(3.8)
r r
∇. B = 0 ,
(3.9)
r v en  +∞ r +∞
r
∇. E = o  ∫ f i dv − ∫ fe dv  ,
ε 0  −∞
−∞

(3.10)
onde µ 0 é a permeabilidade do espaço no vácuo, e c é a velocidade da luz.
52
As Equações de Maxwell combinadas com a Equação de Vlasov fornecem um sistema
de equações para descrever a dinâmica do plasma, mas é muito difícil resolvê-lo para
sistemas com configurações complexas. Entretanto tais configurações tornam-se
importantes somente em relação a instabilidades macroscópicas geradas por não
homogeneidade no espaço. O comportamento da maioria dos plasmas observados no
espaço pode ser descrito através de um modelo de fluidos. As equações usadas neste
modelo são obtidas tomando-se os momentos da Equação de Vlasov. Este tratamento é
somente possível quando a escala de tempo do problema é maior do que o tempo livre
médio,
ν −1 .
Com
isto
considera-se
que
os
elétrons
e
íons
se
movem
macroscopicamente juntos para formar uma carga neutra. Uma derivação das equações
de fluidos é encontrada, por exemplo, em Bittencourt (1995). Aqui tais equações serão
apresentadas de forma intuitiva baseadas na tese de doutorado de do Prado (1997).
A Equação que expressa a conservação de massa, chamada Equação da continuidade é
a primeira delas. Esta mostra que a única forma de se variar a densidade de uma espécie
r
s em um ponto r é através de um fluxo de partículas da espécie s para fora ou para
r
dentro de um pequeno volume espacial centrado em r . Isto é representado
matematicamente por:
r
∂ns ( r , t ) r r r
+ ∇.( ns v s ) = 0 ,
∂y
(3.11)
r
onde ns é o número de partículas da espécie s por unidade de volume e v s é a
r
velocidade de um elemento do fluído no ponto r e no tempo t.
A próxima Equação é a de movimento do fluído, a qual descreve a segunda lei de
Newton, que para a espécie s é dada por:
53
r r
dv s ( r , t ) r r
ns m s
= Fs ( r , t ) .
dt
(3.12)
r
Na Equação (3.12) Fs é a força por unidade de volume que atua sobre um elemento de
fluído, que pode ser escrita como:
r
r rr
r r r
r r
r
Fs = −∇. Ps + ns qs E + v s × B − ν sp (v s − vt ) − g ,
(
)
(3.13)
r rr
r r r
onde − ∇. Ps é a força devido o gradiente de pressão, ns q s E + v s × B é a força de
r
r r
Lorentz, ns m s g é a força gravitacional e − ns m s ν sp (v s − v p ) é a força devido as
(
)
colisões, sendo ν sp a frequência de colisão entre as partículas da espécies s e p.
Consequentemente a Equação (3.12) torna-se:
r
r r r
r r
r
∂v s
1 r rr qs r r r
+ v s .∇ v s = −
∇. Ps +
E + v s × B − ν sp (v s − vt ) − g .
∂t
ns ms
ms
(
)
(
)
(3.14)
Em muitos casos, o efeito da viscosidade pode ser desprezado. Em particular, para uma
rr
função de distribuição isotrópica, os termos da diagonal de Ps são iguais e
r rr
r
correspondem a pressão cinética escalar ps, e a quantidade − ∇. Ps torna-se − ∇p s .
A terceira Equação utilizada é chamada lei de Ohm, que tem a seguinte forma, em
condições de estado estacionário, e quando Te ≠ Ti e ω ce << ν ei , ou seja, a frequência
de colisões, ν ei , é muito maior do que a frequência eletrociclotrônica ( ω ce ) (Hasegawa,
1975).
54
r r r
r
E + v × B = ηJ .
(3.15)
Na Equação (3.15) η é a resistividade elétrica dada por:
η=
m eν ei
ν
= ei 2 .
2
e n0
ε 0ω pe
(3.16)
A Equação que complementa o modelo de fluidos é a que controla a dinâmica da
pressão no plasma, a Equação de Estado. Se muitas colisões ocorrem durante um ciclo
de plasma, a função de distribuição de velocidades mantém essencialmente sua forma.
Devido a isto, considera-se a função de distribuição simétrica, não necessariamente
uma distribuição Maxwelliana. Com esta hipótese a pressão varia adiabaticamente;
p ≈ n γ , onde γ = 1 +
2
e N é o número de graus de liberdade. Assim a Equação de
N
Estado é escrita como:
r
r
∇ p s = γK B Ts ∇n s .
(3.17)
As Equações (3.11), (3.14), (3.15) e (3.17), complementadas pelas Equações de
Maxwell (3.7) e (3.8) são aplicáveis a uma grande parte de plasmas espaciais, desde
que colisões com partículas neutras não desempenhem um papel importante no sistema.
3.3 RELAÇÃO DE DISPERSÃO
Um método bem geral para se obter a relação de dispersão em fenômenos de plasma
será apresentado através de um exemplo simples, apenas para se entender mais
facilmente os conceitos gerais. Será seguida a derivação apresentada em Hasegawa
55
(1975). Considera-se como exemplo um sistema constituído de um feixe de elétrons
r
frio com velocidade v 0 e um plasma frio estacionário. Faz-se ainda a restrição de
freqüências muito maiores do que a freqüência de plasma iônica, ou seja, pode-se
ignorar a dinâmica dos íons. A Equação de movimento que descreve a dinâmica do
feixe de elétrons fica expressa por:
r
r r r
 dv 
m e n  = − en E + v × B .
 dt 
(
)
(3.18)
Devido não se conhecer o tipo de campo eletromagnético produzido pelo feixe de
elétrons, inclui-se campos arbitrários na Equação do movimento.
Como o feixe de elétrons está se movendo em relação ao plasma estacionário, é
conveniente escrever a derivada total da Equação (3.18) em derivadas parciais no
tempo e espaço, ou seja:
r
r
dv ∂v
v r
=
+ ( v .∇ )v .
dt ∂t
(3.19)
O próximo passo é fazer uma linearização das variáveis; as quantidades que variam
lentamente são representadas com um sub-índice 0 e as que variam rapidamente com o
sub-índice 1, estas sendo consideradas uma perturbação no estado representado pelo
r
r
r
sub-índice 0, ou seja, v 0 >> v 1 . Por exemplo, para a velocidade do feixe v :
r r r
v = v 0 + v1 .
(3.20)
56
Com isso, a Equação (3.18) para as quantidades de ordem zero é dada por:
r
r
r
r
r
e r
∂v 0
E 0 + v 0 × B0 .
+ (v0 .∇ ) v0 = −
me
∂t
(
)
(3.21)
Se o feixe for estacionário e espacialmente uniforme, o que significa um feixe
infinitamente longo de elétrons, conclui-se que no caso não colisional, só há
r
propagação na direção paralela a B0 , ou seja:
r
v 0 = v 0 e|| ,
(3.22)
r
com e|| sendo o vetor unitário paralelo a B0 . Esta é a solução para a Equação (3.21),
que é chamada de estado de equilíbrio, a qual é muito importante conhecer quando se
considera instabilidades.
r
Para solução em primeira ordem, considerando um sistema cartesiano com B0 na
direção z, a linearização da Equação do movimento (3.18) fornece
r
r
∂v 1
∂v 1
e r r r r r
+ v0
=−
E1 + v 0 × B1 + v1 × B0 .
∂t
∂z
me
(
)
(3.23)
Após isso, faz-se a transformada de Fourier-Laplace das variáveis dependentes. Por
r r
exemplo, para v1 ( r , t ) , a transformada de Fourier é:
r r
r ∞ ∞ rr r
r'
v1 (ω , k ) = ∫ dt ∫ dr v1 ( r , t )e i (ωt − k • r ) ,
0
−∞
57
(3.24)
r r
onde v1 ( r , t ) é dado por
r r
v1 ( r , t ) =
1
( 2π )4
∞ + iσ
∞
− ∞ + iσ
−∞
r r'
r i ( kr• rr −ωt )
(
,
)e
d
ω
d
k
v
ω
k
.
1
∫ ∫
(2.25)
Considera-se que, em geral, um movimento periódico em fluídos é representado na
forma de ondas planas tomando uma amplitude complexa. Por exemplo:
r r
r r
r
v 1 ( r , t ) = v 1 e i ( k • r −ω t ) .
(2.26)
É importante lembrar que a transformada no tempo só é válida para o plano complexo
Im ω > 0 , e a integração sobre o tempo deve convergir em t → +∞ . Dessa forma a
transformada da Equação (3.23) fornece:
(
)
r
e r r v r r
i (k z v 0 − ω)v 1 = −
E1 + v 0 × B1 + v 1 × B0 .
me
(3.27)
Considera-se agora a direção de propagação da onda, que é determinada pelo vetor de
r
r
r r
onda k , o qual é escolhido estar na direção z. Assim v 0 , B0 e k são paralelos entre si.
Fazendo-se isto, perde-se uma instabilidade eletrostática da onda ciclotrônica (Briggs,
1964) e uma eletromagnética (Weibel, 1959), mas ganha-se uma considerável
simplificação para a análise do exemplo que está sendo tratado. A Equação da
r
continuidade mostra que v1 está na direção z, considerando que a Equação de Poisson
r
r r
dá E 1 na direção z. Isto significa que não existe campo magnético perturbado e v1 × B0
r
r
também se anula devido v1 ser paralelo a B0 . Assim a Equação (3.27) torna-se:
58
v1 =
− E1e / m e
.
i ( kv 0 − ω )
(3.28)
Agora tem-se que determinar E1; para isto é necessário usar a relação entre a densidade
de corrente com a velocidade da partícula e densidade de partículas, a qual é dada por
J = −env , em sua forma linearizada:
J 1 = − e( n0 v1 + n1v 0 ) .
(3.29)
Também é necessário a Equação da continuidade:
−e
∂n1 ∂J
+
= 0,
∂t
∂z
(3.30)
ou
eωn1 + kJ 1 = 0 .
(3.31)
Usando as Equações. (3.28), (3.29) e (3.31), encontra-se uma expressão de J1 em
termos de E1 dada por:
 − ω 2pe 
J 1 = − iωε 0 
E ,
2 1
 ( ω − kv 0 ) 
com ω pe sendo a freqüência eletrônica de plasma.
59
(3.32)
Agora introduz-se o conceito de uma constante dielétrica equivalente. Através da
Equação de Maxwell:
r
r r
∂E
∇ × H = J + ε0
,
∂t
(3.33)
r
r
e conhecendo-se a relação entre J e E , como mostra a Equação (3.32), a Equação
(3.33) acima pode ser escrita como:
rr rr r
r
∇ × H = − iωε 0 (1 + ε ) • E ,
(3.34)
rr
com ε sendo o tensor dielétrico. Para o caso do feixe de elétrons unidimensional, ele é
dado por:
ω b2
ε =−
(ω − kv 0 ) 2
(≡ ε b ) ,
(3.35)
com ωb representando a freqüência de plasma para o feixe, e para o plasma
estacionário:
ε =−
ω 2p
ω2
(≡ ε ) ,
(3.36)
p
com ω p sendo a freqüência de plasma do plasma estacionário.
60
Como não existe campo magnético perturbado, a Equação (3.34) se reduz a:
J 1 − iωε 0 E1 = 0 .
(3.37)
Substituindo a soma das correntes perturbadas no feixe e no plasma para J1 na Equação
(3.37), tem-se:
− iωε 0 (1 + ε b + ε p ) E 1 = 0 .
(3.38)
A solução desta Equação é dada por:
D(ω , k ) ≡ ω (1 + ε b + ε p ) = 0 ,
(3.39)
ω 2p
ω b2
−
) = 0,
D(ω , k ) ≡ ω (1 −
(ω − kv 0 ) 2 ω 2
(3.40)
ou
a qual é chamada de relação de dispersão.
Resumidamente, a relação de dispersão pode ser obtida da seguinte forma: considera-se
um campo eletromagnético arbitrário, obtém-se a resposta no movimento das partículas
produzida pela força de Lorentz; linearizam-se as equações supondo que a perturbação
é muito pequena. Obtém-se então o campo eletromagnético produzido pela distribuição
de carga e corrente, que aparece como conseqüência da perturbação. Dessa forma a
relação de dispersão representa uma relação entre ω e k para o qual os campos
61
eletromagnéticos considerados são consistentes com o campo induzido por uma
r r
pequena perturbação da forma e i ( k • r −ωt ) . Assim, se a relação de dispersão fornece uma
raiz de ω com ℑm (ω ) > 0 , o campo auto consistente cresce exponencialmente com o
tempo, ou seja, tem-se uma instabilidade.
3.4 RELAÇÃO DE DISPERSÃO DE BOHM-GROSS
Anteriormente foi derivada a relação de dispersão para o caso de um feixe frio de
elétrons interagindo com um plasma frio estacionário. Agora será feita a derivação da
relação de dispersão para as ondas de Langmuir, onde é usada a teoria de plasma
morno, ou seja, o plasma é considerado um gás de elétrons com energia térmica
diferente de zero. Nesta abordagem o movimento dos íons será ignorado e campos
r
r
elétricos e magnéticos externos serão considerados ausentes, ou seja, E0 = B0 = 0 .
Considera-se ainda a neutralidade do plasma, ou seja, n0e = n0i = n0 . Serão mostradas,
apenas, as principais equações, já linearizadas, e as relações de dispersão para os casos
não colisional e com colisões.
O mecanismo natural de geração das ondas de Langmuir é descrita da seguinte forma:
inicialmente o plasma é uniforme e está em repouso. Em um determinado instante de
tempo, t > 0, uma força externa age sobre o plasma dando origem a uma separação de
cargas. Logo em seguida esta força é removida, surgindo um força interna, devido a
separação das cargas, que quer restaurar o sistema, para o estado existente antes da
força externa atuar, para reconstruir a neutralidade do plasma. Como os íons possuem
uma enorme massa comparada com a dos elétrons, a resposta deles à força é muito
lenta, podendo-se ignorar seu deslocamento. Os elétrons oscilam em torno da posição
de equilíbrio com alta frequência, devido ao efeito de inércia. Este movimento oscilante
gera um campo elétrico, que também oscila no espaço, e proporciona uma contínua
troca entre as energias potencial e cinética dos elétrons. Este fenômeno é conhecido
como onda de Langmuir, ou onda eletrônica de plasma.
62
Com as suposições feitas anteriormente, a Equação da continuidade fornece:
r
∂n1 r
+ ∇ • ( n0 v1 ) = 0 ⇒
∂t
⇒
{
}
{
}
r r
r r
r
∂
n1e i ( k • r −ωt ) + n0 ∇ • v~1 e i ( k •r −ωt ) ) = 0 ⇒
∂t
(3.41)
r
⇒ − iωn1 − in0 k • v~1 = 0 ⇒
r
 k • v~1 
 n0 .
⇒ n1 = 
 ω 
Considerando, primeiramente, o caso não-colisional sem a presença da ação da força
gravitacional e de acordo com a Equação adiabática de energia para as espécies (3.17),
a Equação do movimento dos elétrons linearizada é escrita como:
r
r
∂v1
∇ pe
e r
=−
−
E1
∂t
n0 me me
⇒
⇒
r
r
γKTe ∇ne
∂v1
e r
=−
−
E1
∂t
n0 me
me
⇒
r
r
~
⇒ − ( iω )n0 me v1 = −γKTe ( ik ) n1 − en0 E1 .
63
(3.42)
Usando a Equação de Maxwell:
r r ρ
r ~
e
∇. E =
⇒ ( ik ). E1 = ( noi − noe − n1 ) ⇒
ε0
ε0
(3.43)
r ~
e
⇒ ( ik ). E1 = − n1 ,
ε0
e substituindo as Eqs.(3.41) e (3.43) na Equação (3.42) e usando as definições:
ω 2p =
n0 e 2
me ε 0
e v te2 =
KTe
,
me
(3.44)
onde vte é a velocidade térmica dos elétrons, obtém-se:
ω 2 = ω 2p + γk 2 v te2 .
(3.45)
A Equação (3.45) representa a relação de dispersão para as ondas de Langmuir na
ausência de colisões. Esta é conhecida como relação de dispersão de Bohm-Gross, que
é graficamente ilustrada na Figura(3.1)
64
Fig. 3.1. Relação de dispersão de Bohm-Gross normalizada.
FONTE: do Prado (1997, p. 47).
Através da Figura (3.1) pode-se observar que para a onda de Langmuir propagar é
necessário que ω > ω p e que aumentando o valor de kλ
λ D ocorre também um aumento
da freqüência ω / ω p . Uma outra característica que se observa é que à medida que a
densidade do plasma aumenta, o número de onda k deve diminuir para que a onda se
propague com a mesma freqüência.
Para o caso em que se considera o efeito das colisões o termo colisional deve ser
acrescentado na Equação do movimento (3.42). Mas neste caso é necessário, também, a
utilização da Equação de movimento para os íons, para que seja eliminada a
dependência entre a velocidade dos elétrons e íons. Assim a solução das equações para
os elétrons e íons leva a relação de dispersão para um plasma na sua forma mais geral
dado pela expressão (Bittencourt, 1995):
65
2
2
[ω 2 − ω pe
− γk 2vte2 ][ω 2 − ω pi2 − γk 2vti2 ] − ω pe
ω pi2 +
(
)
(3.46)
+ iωνie 2ω − γk v − γk v = 0.
2
2 2
te
2 2
ti
Verifica-se facilmente que desta relação pode-se obter a relação de Bohm-Gross apenas
ignorando o movimento dos íons e as colisões.
3.5 INSTABILIDADES ELETROSTÁTICAS EM PLASMA
Nas seções anteriores apresentaram-se métodos de obter a relação de dispersão. Agora
será vista a análise das relações de dispersão com o intuito de se observar instabilidades
em plasmas. Em especial será desenvolvida a teoria de instabilidade em plasma
responsável pela amplificação de ondas longitudinais que existem em plasmas mornos
no espaço. Tais instabilidades são ditas ser eletrostáticas.
Esta instabilidade que surge ao se considerar um feixe de elétrons movendo-se em
relação ao plasma estacionário é denominada “instabilidade de dois feixes” ou
“instabilidade feixe-plasma”. Devido ao feixe de elétrons, a função de distribuição tem
um segundo pico acrescentado, assim ela é não Maxwelliana.
A interação feixe-plasma é descrita, fisicamente, como uma interação onda-partícula,
na qual as partículas do feixe são aprisionadas pelo potencial elétrico da onda, e
consequentemente, ocorre a troca entre a energia cinética das partículas do feixe e a
energia potencial da onda, proporcionando o crescimento do campo elétrico da onda.
66
Antes de analisar as relações de dispersão, é conveniente discutir o que é instabilidade
de plasma. Matematicamente, a instabilidade ocorre quando a relação de dispersão de
ondas que se propagam no plasma dada na forma:
r
D(ω , k ) = 0 ,
(3.47)
fornece solução com parte imaginária da freqüência (ω
ω) positiva ( ℑm ω > 0 ) para
r
determinados valores reais do vetor de onda k .
Para o caso do feixe frio de elétrons se movendo em relação ao plasma frio
estacionário, a relação de dispersão é dada pela Equação (3.39) ou pela Equação (3.40).
Desta expressão é visto que duas raízes podem ser complexas e que se v0 = 0 estas
raízes desaparecem, ou seja, a instabilidade surge devido a existência de uma
velocidade relativa entre os dois grupos.
De acordo com Landau e Lifshitz (1960), a densidade de energia do campo elétrico, W,
de uma onda propagando-se num meio dielétrico fracamente dissipativo, pode, em
geral, ser expressa por:
W=
∂[ωε 0 (1 + ε )] < E 2 >
∂ε < E 2 >
= ωε 0
.
∂ω
2
∂ω
2
Usando esta relação para o feixe, ωb, e para o plasma, ωp, obtêm-se:
67
(3.48)
∂ω (1 + ε b )
∂ε b
2ωω b2
Wb ∝
=ω
=
∂ω
∂ω (ω − kv0 )3
Wp ∝
∂ω (1 + ε p )
∂ω
(3.49)
=ω
∂ε p
∂ω
=
2ωω
ω
2
p
.
Destas expressões vê-se que a densidade de energia para o plasma é sempre positiva,
Wp>0, enquanto a do feixe pode ser negativa se ω < kv 0 .
Analisando a relação de dispersão somente para o feixe, pode-se ver que este possui
dois tipos de solução, uma é a positiva, com a correspondente onda de energia positiva
(ou onda rápida), e a outra é a negativa com sua onda de energia negativa (ou onda
lenta) (Hasegawa, 1975) correspondente. Note que isto é conseqüência do fato que a
energia não é um invariante Galileano. Assim conclui-se que a instabilidade de dois
feixes é interpretada como sendo causada pelo acoplamento entre a onda de energia
negativa do feixe com a onda de energia positiva do plasma.
Para que este ponto fique mais claro, faz-se um gráfico da relação de dispersão para o
feixe separadamente do plasma. Através da Figura (3.2), observa-se que as linhas de
dispersão das ondas do feixe cruzam a do plasma nos pontos A e B. Assim, espera-se
que ocorra um acoplamento dessas ondas, já que nesses pontos as ondas possuem igual
velocidade de fase ( ω / k ) e freqüência. Como conseqüência desse acoplamento, a
relação de dispersão de cada uma dessas ondas é modificada. Esta modificação pode ser
vista pelas linhas tracejadas na Figura (3.2) que representam a relação de dispersão
dada pela Equação (3.40).
68
Fig. 3.2. Relação de dispersão do acoplamento entre a oscilação de elétrons no plasma
com as ondas rápida e lenta do feixe.
FONTE: Hasegawa (1975, p. 19).
Em geral, pode ser mostrado que a condição necessária para ocorrer instabilidades num
sistema sem perdas, é que uma parte da constante dielétrica deve satisfazer a condição
de onda de energia negativa, ou seja:
∂ωε 0 (1 + ε )
<0.
∂ω
(3.50)
69
Considerando a situação na qual as perdas no sistema, devido a interação onda-partícula
ou colisões, não sejam desprezíveis, a condição necessária para ocorrência de
instabilidades, isto é, para que a relação de dispersão dada por:
1−
ω 2p
ω2
−
ω b2
=0
(ω − kv 0 ) 2
(3.51)
tenha raízes ℑm (ω ) > 0 , é que uma parte da constante dielétrica satisfaça (Hasegawa,
1968):
ℜe(σ ) ≡ ℜe (− iωε 0ε ) ∝ ℑm (ε ) < 0 ,
(3.51)
para ω real, onde σ ( = iωε 0 ε ) representa a condutividade equivalente de um plasma.
Agora será feito o desenvolvimento teórico, baseado no trabalhos de Hasegawa (1975)
e do Prado (1997), de uma das instabilidades mais comum, resultante do fato da função
de distribuição possuir dois picos. O pico adicional é criado pelo feixe de elétrons em
vb=v0 na função de distribuição do plasma. Este tipo de instabilidade tem sido aplicado
para explicar observações na coroa solar, no vento solar, na magnetosfera e regiões
próximas e na ionosfera. Uma das conseqüências mais importantes desta instabilidade é
a geração de um campo elétrico muito intenso na direção paralela ao campo magnético.
r r
Supondo uma perturbação eletrostática ( ∇ × E = 0 ), pode-se então usar o potencial
eletrostático, ϕ , para representar o campo. A Equação de Vlasov linearizada para a
função de distribuição de elétrons torna-se então:
70
∂f 1
∂f
e ∂ϕ 1 ∂f 0
+v 1 +
= 0,
∂t
∂z m e ∂z ∂v
(3.52)
onde z é a direção de propagação e também a direção do campo magnético; f1 é a
função de distribuição perturbada; f0 é a não perturbada, que depende somente de v, e
ϕ 1 é o potencial eletrostático da onda.
Considerando perturbações do tipo ondas planas, tem-se:
f1 = −
(e / m e )(∂f 0 / ∂v )
ϕ1 .
(v − ω / k )
(3.53)
A densidade de carga perturbada, pode então ser obtida como:
en1 =
e 2 n0
me
+∞
(∂f 0 / ∂v )
∫ (v − ω / k ) dv .
(3.54)
−∞
Nesta Equação não foi considerada a contribuição dos íons, de acordo com as
condições iniciais deste problema.
Com estas preparações, pode-se definir a condutividade equivalente do plasma com
uma perturbação eletrostática, através da Equação (Hasegawa, 1975):
σ (ω , k ) =
iωqn1
k 2ϕ 1
(3.55)
ou
71
σ (ω , k ) =
iωεω 2p
k
2
+∞
( ∂f 0 / ∂v )
∫ (v − ω / k ) dv .
(3.56)
−∞
Substituindo esta última expressão na relação de dispersão geral do modelo
eletrostático, que é escrita por (Hasegawa, 1968):
− iωε 0 − iωε 0ε ≡ iωε 0 + σ (ω , k ) = 0 ,
(3.57)
obtêm-se:
1−
ω 2p
k
2
+∞
( ∂f 0 / ∂v )
∫ (v − ω / k ) dv = 0 .
(3.58)
−∞
De acordo com os critérios apresentados, a condição para que ocorra instabilidade é
dada por ℜeσ < 0 , e se a taxa de crescimento da instabilidade é pequena, ou seja,
ℑmω é pequeno, a condutividade, σ, pode ser expressa em termos da integral
principal, usando-se o Teorema de Cauchy para integrais complexas, na forma
iωε 0ω 2p  +∞ (∂f 0 / ∂v )
k ∂f 0
σ=
dv + iπ
P ∫
2
| k | ∂v
k
 −∞ (v − ω / k )

,
v =ω / k 
(3.59)
onde P representa a integral principal e a segunda parcela dentro dos colchetes
representa a contribuição em torno da singularidade v = ω / k (Figura 3.3).
72
Fig. 3.3. Caminho de integração na velocidade v da Equação 3.56.
FONTE: do Prado (1997, p. 53).
Portanto a condição para ocorrer instabilidades com uma pequena taxa de crescimento é
expressa por:
ω ∂f 0
k ∂v
> 0.
(3.60)
v =ω / k
Esta Equação mostra que na condição de ressonância entre a onda e a partícula,
v = ω / k = v ph , a função de distribuição tem um gradiente positivo. A função de
distribuição de Maxwell (Figura 3.4) na forma e − v tem um gradiente negativo, e é
2
portanto sempre estável.
73
Fig. 3.4. Distribuição de velocidade dos elétrons do sistema do tipo Maxwelliana na
forma e − v .
2
FONTE: do Prado (1997, p. 54).
No caso de uma distribuição Maxwelliana ocorre que o número de partículas com
velocidade maior do que a velocidade de fase da onda (vph) é menor que o número de
partículas com velocidades menor, correspondendo a uma perda coletiva de energia da
onda para as partículas do plasma, fenômeno este conhecido como amortecimento de
Landau (Bittencourt, 1995). Já a Equação (3.60) expressa a perda de energia cinética
das partículas para a onda (ver Figura 3.5). Assim se a distribuição de velocidades tiver
um pico adicional em v > ω / k , a condição de instabilidade é satisfeita.
74
Fig. 3.5. Distribuição de velocidade instável devido a presença do feixe de elétrons.
FONTE: do Prado (1997, p. 54).
A taxa de crescimento da instabilidade feixe-plasma (γγbp) é dada por (do Prado, 1997):
π ω p  ∂ω ω  ∂f 0
ℑm ε
=
− 

∂ℜeε / ∂ω 2 | k |  ∂k k  ∂v
2
γ bp = −
.
(3.61)
v =ω / k
Esta Equação não fornece uma descrição completa. Para isto, deve-se resolver a relação
de dispersão (3.58) para expressar ω em função de k. Mas esta Equação tem uma
75
propriedade interessante, que para ocorrer uma instabilidade (γγbp > 0) a condição
∂f 0
∂v
> 0 não é suficiente, sendo necessária uma condição adicional de que a
v =ω / k
velocidade de fase da onda seja maior do que a velocidade de grupo (Dawson, 1961).
Esta descrição teórica mostra que ondas de Langmuir podem ser excitadas como
resultado da interação de um feixe de elétrons se propagando ao longo de um campo
magnético através de um plasma morno.
76
CAPÍTULO 4
EVOLUÇÃO DA INSTABILIDADE
4.1 INTRODUÇÃO
Desde 1925, quando Irving Langmuir demonstrou que a interação de um feixe de
elétrons com um plasma é o processo responsável pela geração de oscilações de alta
freqüência em descargas termoiônicas (Langmuir, 1925), o estudo deste fenômeno vem
sendo arduamente investigado por vários pesquisadores na área de física de plasma.
Com esta descoberta de Langmuir, inúmeros trabalhos teóricos e experimentais foram
impulsionados com a possibilidade de usar o feixe de elétrons para aquecer o plasma e
consequentemente chegar à fusão. Mas logo em seguida, foi descoberto que isto não era
possível. Entretanto, o processo por si só, apresentou vários fenômenos que ainda não
eram conhecidos e isso chamou a atenção de muitos cientistas que continuaram a
estudá-los.
Recentemente, o estudo da interação feixe-plasma tem progredido de uma forma
impressionante, devido ao grande avanço da simulação computacional. Através de
experimentos numéricos, muitos fenômenos não lineares, que não podem ser analisados
analiticamente, estão começando a ser compreendidos.
A excitação de ondas de Langmuir por uma função de distribuição com uma pequena
corcova na cauda, um exemplo clássico de instabilidade cinética, tem sido utilizada para
explicar ondas de Langmuir observadas em algumas regiões do espaço. Ela forma, por
exemplo, a base da explicação para emissão de rádio solar tipo III (Gurnet et al., 1993).
Ondas de Langmuir associadas a feixes energéticos também foram observados na região
77
da frente de choque (do elétron) da Terra (Klimas e Fitzenreiter, 1988) e região da
ionosfera auroral (Ergun et al., 1991).
Uma questão importante que ainda permanece é explicar como o feixe de elétrons
liberados por uma explosão solar pode percorrer distâncias tão grandes sem ser
perturbado pelas ondas de Langmuir em ressonância com os elétrons. Acredita-se que
um mecanismo não linear, desencadeado acima de um certo limiar para a amplitude da
onda, limita o crescimento da onda, permitindo que o feixe se propague. Entender estes
fenômenos a partir de resultados experimentais requer medidas dos campos das ondas e
da função de distribuição de elétrons, o que nem sempre é possível. Simulação por
partículas oferece este diagnóstico.
Neste capítulo descreve-se uma abordagem teórica para o desenvolvimento da
instabilidade feixe de elétrons-plasma. Na parte final deste capítulo apresentam-se
evidências da presença de ondas de Langmuir em regiões de plasma espacial do vento
solar (Lin et al., 1986), da frente de choque terrestre (Fitzenreiter, 1984) e da região
auroral terrestre (Ergun et al., 1991).
4.2 DESCRIÇÃO TEÓRICA DA EVOLUÇÃO DA INSTABILIDADE
É bem conhecido que a interação de um feixe de elétrons, com velocidade vb e
densidade nb, com um plasma ambiente de maior densidade n0, afeta consideravelmente
os parâmetros dos mesmos, pois, como o feixe é uma fonte de energia livre, este pode
excitar uma série de instabilidades. Uma das instabilidades mais conhecidas, é a
excitação de ondas eletrostáticas instáveis com freqüências próximas à de plasma, ωpe, e
com número de onda k0=ω
ωpe /vb.
Para um feixe frio e no limite nb/n0<<1, ou seja, um plasma de baixa densidade (não
colisional), a instabilidade é devida a um mecanismo de realimentação que envolve o
78
agrupamento de elétrons levando ao aumento da densidade de carga espacial (regime
hidrodinâmico). Neste regime o alargamento térmico, que existe nas velocidades das
partículas do feixe, (∆
∆ vb), o qual tende a suprimir a instabilidade hidrodinâmica, é
negligenciado. A condição para não considerar este alargamento é dada por (Melrose,
1986):
1
3
 nb 
∆v
  >> b
vb
 n0 
(4.1)
Esta aproximação descrita acima é denominada teoria linear, e como conseqüência as
ondas excitadas crescem exponencialmente. O efeito da dispersão nas velocidades não é
considerado, e a taxa de crescimento da instabilidade não depende da amplitude das
ondas. Bohm e Gross (1949a, 1949b) investigaram intensivamente este tipo de
instabilidade e mostraram que a relação de dispersão para um sistema feixe-plasma
unidimensional sem a presença de campo magnético é:
ω p2
ω b2
+
=0
2
3 2 2
(
ω
−
kv
)
2
b
(ω − k v te )
2
(4.2)
onde ωb é a freqüência de plasma dos elétrons do feixe. Graficamente esta relação de
dispersão está ilustrada na Figura 4.1
79
Fig. 4.1 – Relação de dispersão das ondas num sistema feixe de elétrons-plasma para o
caso do regime hidrodinâmico (feixe frio).
FONTE: O’Neil e Malmberg (1968, p. 1755).
A teoria linear prevê que, para um feixe frio e fraco (nb/n0<<1), as taxas de crescimento
temporal e espacial são (O’Neil, Malmberg, 1968):
1
γ bp
 3  nb  3


≅ 
 2n 
2

 0 
(4.3)
e
1
 3  nb  3  v b

 
k i ≅ 
 3n   v
2

 0   te
80
2
3
 k 0

(4.4)
Inicialmente, para se ter uma idéia de como o sistema vai evoluir, a teoria linear é um
bom ponto de partida. No entanto, o desenvolvimento da instabilidade leva à
amplificação da amplitude das ondas de Langmuir. À medida que a onda ganha energia
sua intensidade é aumentada, sendo capaz de aprisionar os elétrons do feixe injetado
continuamente. Ao serem aprisionados, os elétrons do feixe trocam energia com a onda,
causando diminuição das velocidades destes e, consequentemente, dispersão das
velocidades do feixe de elétrons. Dessa forma, deve-se usar um modelo teórico que leve
em consideração o efeito da dispersão das velocidades. O modelo usado para este
propósito é o denominado teoria quasi-linear.
Usando este modelo teórico para acrescentar o efeito da dispersão das velocidades dos
elétrons do feixe, no caso anteriormente descrito, verifica-se mudanças na relação de
dispersão, Equação (4.2), à medida que o feixe dispersa (O’Neil e Malmberg, 1968). No
estágio inicial, onde a condição (nb/n0)1/3>∆
∆vb/vb é satisfeita, as taxas de crescimento
permanecem as mesmas previstas pela teoria linear (Equações. 4.4 e 4.5). Na Figura 4.2
pode-se observar as mudanças que ocorrem com o acréscimo do efeito da dispersão nas
velocidades dos elétrons.
81
Fig. 4.2 – Relação de dispersão das ondas à medida que o feixe se dispersa devido ao
processo de aprisionamento.
FONTE: O’Neil e Malmberg (1968, p. 1755).
A teoria quasi-linear é descrita qualitativamente quando se considera que um feixe
pouco denso interagindo com o plasma excitando as ondas de Langmuir que crescem
até atingir uma amplitude capaz de aprisionar os elétrons do feixe. Com o
aprisionamento destes elétrons, ocorre a troca de energia fazendo com que os elétrons
oscilem, passando a descrever trajetórias circulares no “poço” de potencial da onda
eletrostática. Dessa forma a teoria prevê um máximo na amplitude de saturação.
Através da Figura 4.3 este processo pode ser visualizado com uma seqüência de
diagramas de espaço de fase no referencial da onda (v′′ b = vb - ω/k). As linhas tracejadas
representam as trajetórias possíveis dos elétrons sob a ação de um potencial que não
depende do tempo e as contínuas representam as coordenadas reais.. A Figura 4.3a
mostra a trajetória dos elétrons ainda não perturbados; a Figura 4.3b mostra os elétrons
aprisionados e a Figura 4.3c mostra a distribuição dos elétrons após um tempo grande o
suficiente para que várias órbitas tenham sido efetuadas.
82
Fig. 4.3 – Órbitas dos elétrons no espaço de fase durante o processo de aprisionamento
descrito pela teoria quasi-linear em três diferentes instantes de tempo.
FONTE: Drumond et. al. (1970, p. 2423).
Durante o desenvolvimento e saturação da instabilidade feixe-plasma, a teoria quasilinear prevê que a densidade de energia da onda eletrostática (E2(t)/8π
π ) tenha o
comportamento de acordo como mostrado na Figura 4.4. Observa-se que após a
saturação da energia ocorre uma oscilação que é resultante da interação das partículas
83
do feixe com uma onda puramente senoidal. Pode-se ver, ainda, que a difusão dos
elétrons no espaço de fase causa o amortecimento da oscilação. Assim vê-se que a
densidade de energia tende a um valor estacionário quando t=tf, (Drummond et. al.,
1970), a qual corresponde à metade da energia cinética inicial do feixe,
aproximadamente.
Fig. 4.4 – Energia do campo elétrico da onda de Langmuir em função do tempo durante
o desenvolvimento da instabilidade feixe-plasma para o caso de um feixe frio.
FONTE: do Prado (1997, p. 63).
Em relação a potência da onda eletrostática, a teoria prevê que, para um feixe frio, a
amplitude da onda atinge um máximo a partir do qual oscila devido a troca de energia
entre os elétrons e a onda coerente durante o processo de aprisionamento. Este resultado
foi comprovado experimentalmente por Gentle e Roberson (1971). Eles mostraram que
o comprimento de onda característico da oscilação dos elétrons no potencial da onda é
inversamente proporcional à corrente de feixe de acordo com a expressão λ osc ∝ I b−1 / 3 .
Também observaram freqüências harmônicas da oscilação fundamental de baixa
84
amplitude. A curva experimental da potência da onda eletrostática em função da
distância do ponto de injeção do feixe é mostrada na Figura 4.5.
Fig. 4.5 – Curva experimental da potência total da onda observada numa coluna de
plasma (ne ≈ 7×
× 108 cm-3; Te ≈ 20 eV) em função da distância do ponto de
injeção de um feixe de elétrons de corrente igual a 1,0 mA.
FONTE: Gentle e Roberson (1971, p 2781).
Através de simulação por partículas, ilustrada na Figura 4.6, pode-se observar, por meio
do espaço de fase do sistema feixe-plasma, o aprisionamento dos elétrons do feixe e
uma pequena perturbação no plasma durante o processo.
85
Fig. 4.6- Diagrama de espaço de fase dos elétrons num sistema feixe-plasma obtido
através de simulação por partículas.
FONTE: Thompson (1971, p. 1540).
Diz-se que o feixe atinge o regime cinético (feixe morno), devido a evolução da
instabilidade, quando a expressão:
1
3
 nb 
∆v
  < b
vb
 n0 
(4.5)
é satisfeita e o feixe passa a interagir com um espectro turbulento de ondas eletrostáticas
tornando a difusão das partículas muito intensa levando a formação de um “plateau” na
função de distribuição de velocidades do feixe.
A Figura 4.7 mostra a evolução da instabilidade através da análise temporal da função
de distribuição do sistema feixe-plasma e do perfil da energia da onda de Langmuir. Em
t = 0 os dois picos correspondem a velocidade do plasma e do feixe. Na Figura 4.7b
pode-se observar que com o crescimento da onda, dá-se o inicio da dispersão na função
de distribuição de velocidades do feixe (linha tracejada), e na Figura 4.7c observa-se
86
que na saturação da energia da onda em (t → ∞) ocorre a formação do “plateau”(linha
tracejada).
Fig. 4.7 – Função de distribuição do sistema feixe-plasma f(v) e intensidade de energia
da onda I(vφ ) durante a evolução da instabilidade: (a) condição inicial em t =
0; (b) após certo crescimento da onda (t > 0) e (c) saturação da onda de
Langmuir e a formação do “plateau” (t → ∞).
FONTE: do Prado (1994, p. 26).
87
De acordo com a teoria quasi-linear, a relaxação coletiva do feixe de elétrons, isto é, a
formação do “plateau”, ocorre dentro de uma distância característica a partir do ponto
de injeção do feixe, dada por (Galeev et. al., 1977):
lQL =
vg
γ bp
v Te  nb

Λ≈ b
ω p m e v b2  n0
−1

 Λ

(4.6)
onde vg é a velocidade de grupo da onda, γ bp é a taxa de crescimento da instabilidade
para um feixe morno que é proporcional à inclinação da distribuição de velocidade dos
 ∂f 
elétrons   dada por (Melrose, 1986):
 ∂v 
γ bp
n  v 
π
≈
ω p b  b 
2e
n0  ∆ v b 
2
(4.7)
Nesta Equação em particular, e representa o número neperiano, e
W
constante Λ = ln QL
 n0Te
π 2e ≅ 1 . A

 , onde WQL é a energia da onda. Quando o efeito de

empilhamento é levado em conta, devido a contínua injeção do feixe, tem-se
(Tsytovich, 1970):
2
WQL
ε E
 1  n  v
= 0 0 ≈   b  b
2
 18  n0  vte
88



4
(4.8)
4.3 ONDAS DE LANGMUIR ASSOCIADAS A FEIXES ENERGÉTICOS EM
PLASMAS ESPACIAIS
As ondas eletrônicas de plasma, ou ondas Langmuir, são observadas com freqüências
em regiões de plasma espacial, associadas a feixes de elétrons energéticos. Estas ondas
são facilmente identificadas, sendo necessário apenas medidas da densidade de
partículas, que determina a freqüência de plasma. Medidas feitas por satélites “in situ”
tem fornecido dados para um estudo detalhado das ondas Langmuir no vento solar (Lin
et al., 1986; e Gurnett et al., 1993), na frente de choque de elétrons da Terra (Filbert e
Kellogg, 1979; Anderson et al., 1981; Etcheto e Faucheux, 1984 ) e na ionosfera auroral
(Kellogg e Monson, 1978; McFadden et al., 1986).
Nesta seção serão apresentados alguns exemplos de evidências da excitação das ondas
de Langmuir em plasmas espaciais. As regiões serão descritas de forma a se conhecer
suas características, e em seguida serão mostradas evidências , de que os fenômenos
envolvendo interação de um feixe de partículas com o plasma local ocorrem.
4.3.1 EVIDÊNCIAS DAS ONDAS DE LANGMUIR ASSOCIADAS À EMISSÃO
SOLAR TIPO III
Existem grandes evidências de que ondas de Langmuir, excitadas pela instabilidade
feixe-plasma estão associadas a emissão de rádio solar tipo III. Esta emissão foi uma
das primeiras formas de emissão de rádio do Sol detectadas (Wilk e McCready, 1950).
Várias medidas feitas, através de detetores instalados na superfície da Terra, a bordo de
foguetes e em satélites, nas últimas décadas, forneceram informações muito importantes
sobre este tipo de emissão que a associam ao feixe de elétrons e ondas em plasmas.
O cenário associado à emissão tipo III pode ser visto através da Figura 4.8. Quando
ocorre uma explosão solar (ou “solar flare”) um feixe de elétrons pode ser ejetado, e
este se propaga ao longo das linhas de campo magnético, sendo observado a distâncias
> 1AU. Neste processo o feixe interage com o plasma, ocorrendo as instabilidades do
89
tipo descrito no capítulo 3, e consequentemente a excitação das ondas eletrostáticas
(ondas Langmuir). As ondas de plasma são convertidas por um processo não linear em
radiação, com freqüências perto da freqüência de plasma e do seu segundo harmônico
(Chian e Alves, 1988; Goldman, 1984; Lin et al., 1986). A frequência da onda gerada
depende da região de interação, já que a densidade de plasma diminui com o aumento
da distância ao Sol, conforme é ilustrado.
Fig. 4.8 – Ilustração da emissão de rádio solar tipo III. O feixe de elétrons se propaga a
partir do Sol após um “flare” e excita as ondas de Langmuir
FONTE: Goldman (1984, p. 724).
O experimento da sonda espacial ISEE-3, a qual no tempo de observação estava
localizada no vento solar em aproximadamente ≈1.6x106 km (258 RT) acima da Terra
(Lin et al., 1986), forneceu resultados que evidenciaram a excitação das ondas de
Langmuir por elétrons energéticos. As Figuras 4.9 e 4.10 mostram os resultados obtidos
para os dados do evento ocorrido em 8 de Fevereiro de 1979, dados estes que foram
90
usados para a simulação apresentada neste trabalho de dissertação. Na Figura 4.9 são
mostradas algumas funções de distribuição de velocidades, f(v||) unidimensional, para
tempos distintos no evento. Quando o feixe de elétrons passa pela sonda espacial, uma
corcova na função de distribuição é desenvolvida, devido os elétrons mais energético
chegarem antes dos menos energéticos. Nesta Figura vê-se claramente a evolução do
feixe. A Figura 4.10 mostra medidas do campo elétrico para o intervalo de tempo 701705 UT. Esta Figura mostra picos das ondas de Langmuir, na parte superior, e ondas
íon-acústicas, na parte inferior.
Fig. 4.9 – Resultados medidos pelo experimento ISEE-3, no evento de 8 de Fevereiro de
1979 para a evolução da função de distribuição de velocidades para tempos
distintos.
FONTE: Lin et al. (1986, p. 725).
91
Fig. 4.10 – Resultados medidos pelo experimento ISEE-3, no evento de 8 de Fevereiro
de 1979 para o campo elétrico no intervalo de tempo de 701-705 UT.
FONTE: Lin et al. (1986, p. 725).
4.3.2 OBSERVAÇÃO DA FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO INSTÁVEL NA
REGIÃO DE FRENTE DE CHOQUE TERRESTRE
A frente de choque da Terra é a região fora do arco de choque que contém o plasma do
vento solar perturbado pela presença da Terra, pela sua magnetosfera e pelo próprio
choque. Esta região está ilustrada na Figura 4.10. A perturbação parece ser devida à
propagação de partículas carregadas energéticas, saindo do arco de choque em direção
ao vento solar. Os íons têm velocidade relativamente mais baixa, eles são movidos para
baixo do fluxo do vento solar e os elétrons vão para cima formando a região de préchoque eletrônica, a qual é livre dos íons energéticos e produzida pelos elétrons
energéticos.
A região da frente de choque terrestre tem sido objeto de muitas investigações. Os
resultados contidos nos artigos de Scarf et al., (1971), Fredricks et al., (1971) e Ogilvie
et al., (1971) fornecem a base para o entendimento da frente de choque terrestre. Scarf
92
et al. (1971) usando dados obtidos por um satélite foi capaz de mostrar a correlação
entre a detecção de elétrons energéticos e intensas explosões do campo elétrico de ruído
próximo a frequência eletrônica de plasma quando o satélite estava situado a vários
raios terrestres acima do arco de choque da Terra (Klimas, 1985). Com base em
observações, Sacarf et al. (1971) e Fredricks et al. (1971) argumentaram que a origem
das ondas de plasma são resultantes da interação feixe de elétrons com o plasma
ambiente.
Fig. 4.11 – Ilustração da formação da região da frente de choque terrestre do elétron .
FONTE: Kasaba et al. (1997).
Apresenta-se, agora, um resultado experimental que foi obtido do experimento ISEE-1
(Ogilvie et al., 1978) o qual mediu a função de distribuição de velocidades na região da
frente de choque terrestre.
A Figura 4.12a mostra a função de distribuição reduzida dos elétrons, medida dentro da
região cobrindo os extremos da frente de choque. Na Figura 4.12b está ilustrada a
função de distribuição reduzida, F ( W|| ) , e as linhas tracejadas na vertical destacam
∂F ∂W|| > 0 . Na Figura 4.12c é mostrado o mapa de contorno normalizado da
93
superfície que cobre a região de um extremo ao outro. A componente da velocidade
paralela é representada por w|| e a componente perpendicular por w⊥ .
Fig. 4.12 – (a) Mapa de contorno da superfície f(w||,w⊥ ) obtido de uma medida feita em
três dimensões da distribuição de velocidades dos elétrons nos contornos da
frente de choque eletrônica. Os pontos sobre as linhas de contorno localizam
as medidas no espaço de velocidades. (b) Função de distribuição reduzida
F(w||), que mostra um segundo pico em w = −7 × 10 8 . (c) Mapa de contorno
de w⊥ f(w||,w⊥ ) normalizada mostrando a contribuição relativa da velocidade
perpendicular à função F(w||) em cada velocidade paralela.
FONTE: Fitzenreiter (1984, p. 497).
94
4.3.3 OBSERVAÇÕES DE FENÔMENOS DE ONDAS EM PLASMA NA
REGIÃO AURORAL
A aurora é a manifestação mais visível da interação de plasma energético na
magnetosfera terrestre com a atmosfera planetária. Tem sido bem reconhecido que a
causa direta deste fenômeno é a precipitação de íons e elétrons energéticos levando a
excitação de vários fenômenos ondulatórios.
Um dos fenômenos bem reportados é a observação das ondas de Langmuir, ou ondas
eletrônicas de plasma, nas regiões aurorais, que associam a excitação destas ondas a
intensos feixes de elétrons, os quais, possivelmente, são gerados na região onde ocorre a
aceleração de partículas na região das auroras, chamada de região de aceleração auroral.
A Figura 4.13 ilustra o esquema básico de fenômenos de ondas em plasma associados
aos elétrons aurorais. Os elétrons aurorais são gerados na região de aceleração,
localizada a aproximadamente 6000 km, na região acima das correntes alinhada com o
campo. Uma larga banda de ruídos eletrostáticos dos modos íon-acústico e ondas
eletrostáticas ciclotrônicas são confinadas para dentro da região das correntes alinhadas
com o campo. A região de interesse deste trabalho encontra-se acima da ionosfera, ~700
km, onde encontra-se fluxos de elétrons com energias entre dezenas de eV até poucos
keV.
95
Fig. 4.13 – Ilustração dos fenômenos de plasma que ocorrem na região auroral,
associado aos elétrons aurorais.
FONTE: Fukunishi (1985, p.191).
Uma forte evidência observacional da geração das ondas de Langmuir na região auroral
foi obtida com o experimento de um foguete (NASA 35.023) (Ergun et al., 1991) que
foi lançado do Alaska na direção norte passando através de vários arcos aurorais
discretos durante a fase de expansão de uma subtempestade.
A Figura 4.14 sintetiza os resultados medidos por vários diagnósticos durante a
passagem do foguete. Na Figura 4.14a está representado o espectrograma do fluxo de
energia dos elétrons alinhados com o campo magnético local. A intensidade é indicada
96
pela escala de cores que está indicada ao lado esquerdo da Figura. Foram marcados
cinco períodos durante o vôo do foguete, nos quais identificam-se intensas ondas de
Langmuir. Em cada um desses cinco eventos, existiu uma intensificação do fluxo de
elétrons alinhado com o campo que mostrou uma dispersão marcante dos elétrons de
alta energia chegando antes dos elétrons de baixa energia. A Figura 4.14b mostra a
amplitude do campo elétrico paralelo de ondas de alta frequência (200 kHz a 5 MHz) e
a Figura 4.14c apresenta o perfil da densidade de elétrons do plasma ionosférico medido
por sonda de Langmuir.
Fig. 4.14 – (a) Um espectrograma da energia média do fluxo de elétrons alinhado com o
campo sobre período de 2 s. A parte mais escura indica um alto fluxo.
Existem 16 canais de energia discreta representadas no eixo vertical. (b) A
amplitude das ondas de alta freqüência (200 kHz a 5 MHz) paralelas ao
campo elétrico mediada sobre um período de 2 ms. Os cinco períodos da
onda Langmuir são notados. (c) A densidade dos elétrons medida por uma
sonda de Langmuir.
FONTE: Ergun et al. (1991, p. 228).
97
Estas três regiões de plasma espacial, embora distintas, apresentam em comum a
presença de ondas eletrônicas de plasma associadas a um feixe de elétrons energéticos.
Esta regiões são objeto de estudo neste trabalho de dissertação através de simulação por
partículas.
Simulação por partículas oferece a possibilidade de revelar com detalhes os fenômenos
físicos não lineares associados com a injeção de feixe de partículas dentro de um
plasma. Enquanto o extenso espaço da região de interação que pode ser simulado ainda
é limitado, a simulação pode avaliar, essencialmente, diagnósticos com perfeição, os
quais possuem uma variedade de processos físicos competindo. Em particular, a
simulação pode determinar a resposta detalhada de plasmas na vizinhança do ponto de
injeção.
98
CAPITULO 5
DISCUSSÕES E RESULTADOS
Neste Capítulo apresentam-se os resultados obtidos por simulações , usando o código
XPDP1 que foi descrito com detalhes no Capítulo 2. Os sistemas considerados têm
condições de contorno não periódicas, permitindo a injeção de um feixe de partículas
nos contornos. Estes sistemas são assim, abertos, com fluxos de partículas interagindo
auto consistentemente com os campos eletrostáticos. Ao alcançar os contornos, as
partículas são absorvidas, contribuindo para a carga superficial dos eletrodos
(Verboncoeur et al., 1993). Ambos os contornos são mantidos no mesmo potencial. Os
campos são calculados sobre uma grade espacial usando o método de diferenças finitas.
A Equação de Poisson é resolvida a cada passo no tempo com as condições de contorno
determinadas. O passo no tempo, ∆t, é determinado usando a condição de CourantFreidrichs-Levy (CFL), γ c = v max ∆t / ∆x < 1 , em geral mais restritiva que ∆tω
ω ps < 0.2 ,
uma condição usada para assegurar a precisão na solução da Equação de Poisson. A
condição de CFL garante que uma partícula não percorra mais que um ∆ x num ∆ t,
evitando instabilidades numéricas (Birdsall e Langdon, 1985).
Para o estudo neste trabalho de dissertação o código de simulação foi considerado com
três espécies de partículas carregadas: os elétrons e íons de fundo, ou seja, o plasma
ambiente considerado, descritos por uma função de distribuição Maxwelliana com
densidade n0, temperatura Te e Ti, para os elétrons e íons respectivamente; e um feixe de
elétrons com um função de distribuição Maxwelliana com deriva, com densidade nb,
velocidade de deriva vb e temperatura Tb. O tamanho do sistema escolhido foi
l = 1024∆x , onde o espaçamento da grade ∆x é da ordem do comprimento de Debye,
λ D . Uma vez que as regiões, para as quais a simulação foi aplicada, apresentam razões
de densidade nb / n0 ≥ 10 −6 , a função de distribuição requer um número de
99
macropartículas proibitivo para um código padrão de simulação por partículas. Para
resolver este problema, ainda fornecendo um ambiente realístico, faz-se o uso de
mesopartículas, ou seja, os valores da carga e da massa são alterados, para que se
obtenha um número de macropartículas possível para o código. Este artifício mantém a
relação carga-massa inalterada, a qual é relevante para o problema; a freqüência de
plasma também não é modificada e permite observar a evolução da função de
distribuição (Dawson, 1983).
Ondas preexistentes não são consideradas, e todas as ondas crescem auto
consistentemente. O modelo da simulação inclui a competição entre a relaxação do
feixe e a fonte de energia livre produzida pela contínua injeção do feixe.
Primeiramente, apresentam-se os resultados observacionais usados para a obtenção dos
parâmetros para a simulação feita para a região do vento solar. Estes foram obtidos a
partir de dados adquiridos pela sonda espacial ISEE 3. A Tabela 1 mostra os principais
parâmetros obtidos pela sonda espacial. Os parâmetros de entrada necessários à
simulação foram obtidos a partir destes dados. A condição de ressonância nos fornece o
número de onda da onda excitada, k 0 ≅ ω pe v b , e consequentemente seu comprimento
de onda, λ 0. Infelizmente, até os dias de hoje, ainda não se tem condições de simular
toda a região sobre a qual o feixe se propaga até o ponto de observação. Assim, o
tamanho do sistema é determinado com base nas estimativas do comprimento de
relaxação do feixe, lQL (Equação 4.6). Usando o valor de nb/n0 observado, teríamos um
tamanho de sistema que não seria possível simular em nossos computadores com a
precisão desejada. Assim, utilizamos nb/n0=3x10-4, duas ordens de grandeza maior do
que o observado. Com isto pode-se ter um sistema que contenha alguns comprimentos
de onda da onda excitada ( ≈ 30λ 0 ) , maior que lQL e que permita um número de células
tal que ∆x ≅ 2λ D . Usando-se “mesopartículas” para o feixe de elétrons, é possível obter
uma boa estatística para a construção da função de distribuição do feixe. Os parâmetros
usados na simulação estão mostrados na Tabela 5.2. Com estas condições é possível
100
observar a excitação das ondas de Langmuir, seu crescimento e também o aparecimento
de outras ondas.
TABELA 5.1 – PARÂMETROS ADQUIRIDOS PELO SATÉLITE ISEE 3, PARA
O EVENTO DE 8 DE FEVEREIRO DE 1979, NO VENTO SOLAR
Parâmetros
Valores
Plasma do vento solar:
Densidade n0
7x106 m-3
Velocidade Vsw
350 km s-1
Temperatura eletrônica Te
1.7x105 °K
Temperatura iônica Ti
6x104 °K
Comprimento de Debye λ D
≈11 m
Freqüência eletrônica de plasma fpe
24 kHz
Freqüência iônica de plasma fpi
5.6x102 Hz
Feixe de elétrons:
Densidade nb
≈20 m-3
Velocidade vb
≈3.5x107 ms-1
Largura do feixe ∆ vb/vb
≈0.1-0.2
Onda de Langmuir excitada:
Número de onda k0
4.3x10-3 m-1
Amplitude máxima E0max
≈0.15 mV m-1
Densidade de energia máxima normalizada Wmax=E20/8π
π nkTe
6x10-9
Onda íon-acústica:
Número de onda ki
4x10-3 m-1
Velocidade cs
5.5x104 ms-1
Freqüência fi
35 Hz
Campo elétrico máximo Eimax
≈40 µVm-1
FONTE: Lin et al. (1986, p. 957).
101
TABELA 5.2 – VALORES DOS PARÂMETROS DE ENTRADA PARA A
SIMULAÇÃO DO EVENTO DE 8 DE FEVEREIRO DE 1979, NA REGIÃO DE
VENTO SOLAR
Parâmetros para a simulação:
Valores
Razão de densidade nb/n0
3x10-4
Passo no tempo ∆t
6.562x10-7 s
Comprimento de Debye λ D
11.53 m
Espaçamento da grade ∆x
2λ
λD
Comprimento do sistema l
4.7227x104 m
Velocidade térmica do elétron vte
1.73x106 ms-1
Velocidade térmica do íons vti
1.82x104 ms-1
Velocidade térmica do feixe vtb
1.75x106 ms-1
∆vb/vb
≈ 0.1
Corrente do feixe Jb
1.17762x10-8 Am-2
Distância característica lQL
16180.4 m
Taxa de crescimento γbp
4.5x103 s-1 ( ≈ 33ω −pe1 )
Após a caracterização do sistema, deu-se início à simulação computacional, observando
os diagnósticos mais relevantes para verificar a excitação das ondas de Langmuir. O
código computacional fornece uma variedade de diagnósticos, mas aqui serão
apresentados somente os mais importantes.
A excitação da onda de Langmuir pode ser vista através da variação espacial do
potencial elétrico, por exemplo. A Figura 5.1 apresenta o gráfico da variação espacial do
potencial elétrico ( E = −∇Φ ) em um tempo t =1ms ( ≈ 20ω −pe1 ) , que mostra a excitação
de uma onda a partir do ruído, com λ ≈ 1.5km , de acordo com a condição ressonante
102
ω ≈ kv b ≈ ω pe . O crescimento, em amplitude, desta onda é apresentado na Figura (5.2).
Esta Figura mostra o gráfico da variação espacial, sobre uma média no tempo em
períodos de plasma (cerca de ≈ 8ω −pe1 ), da energia da onda normalizada pela energia
térmica do plasma, W = (1 / 2)ε 0 E
2
( n0Te ) , obtida em t ≈ 100ω −pe1 . Este tempo
−1
corresponde a 9γ bp
, onde γbp é a taxa de crescimento da instabilidade feixe-plasma,
dada pela Equação (4.7). A amplitude da onda é maior quando comparada com os
valores observados, mas está de acordo com os valores previsto pela teoria, quando se
leva em consideração o efeito de empilhamento, devido a contínua injeção de feixe
(Tsytovich, 1970). Esta diferença pode ser explicada aida pelo fato de o valor da razão
entre as densidades, nb/n0, usado ser muito maior do que o observado.
Fig. 5.1 - Perfil espacial do potencial eletrostático em t=1ms ( ≈ 20ω −pe1 ) ; excitação a
partir do ruído.
103
Fig. 5.2 – Variação espacial da amplitude da onda W, mediada no tempo, em
t ≈ 100ω −pe1 .
Com a evolução da instabilidade feixe-plasma, espera-se observar o aprisionamento de
elétrons no espaço de fase (x versus vx) e a formação de “plateau” na função de
distribuição do feixe, de acordo com a teoria quasi-linear. A verificação destes
resultados é ilustrada pelas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5. As Figura 5.3 e 5.4 mostram o espaço
de fase nos tempos t ≈ 100ω −pe1 e t ≈ 180ω −pe1 respectivamente. Os círculos representam o
feixe de elétrons, que é continuamente injetado a partir do ponto x λ D = 0 , e os pontos
representam o plasma ambiente. Observa-se o aprisionamento dos elétrons, no feixe, na
posição onde a amplitude da onda é máxima, e uma oscilação no plasma. À medida que
o sistema evolui, ele fica cada vez mais perturbado, e processos não lineares começam a
dominar a evolução. A Figura 5.5 mostra a evolução no tempo da função de distribuição
do feixe, até t ≈ 1600ω −pe1 . Através desta Figura, observa-se que o “plateau” é formado,
mas posteriormente o feixe ainda é observado, o que concorda com os resultados
obtidos tanto em plasma de laboratório (do Prado, 1997) como em plasmas espaciais.
104
Fig. 5.3 – Espaço de fase (x vesus vx) em t ≈ 100ω −pe1 .
Fig. 5.4 – Espaço de fase (x versus vx) em t ≈ 180ω −pe1 .
105
Fig. 5.5 – Evolução temporal da função de distribuição do feixe acima de t ≈ 100ω −pe1 .
O espectro de potência para ondas de alta freqüência em diferentes posições no sistema
mostraram que ω ≈ ω pe ,como previsto pela teoria. O espectro de potência não é o
mesmo todo o tempo. Foi obtido um espectro de potência para o potencial elétrico (com
menos ruído do que E ou W) em quatro posições diferentes do sistema: x=l/4, 3l/8, l/2
e 5l/8. A cada 64 períodos de plasma (ω −pe1 ) , o código faz a transformada de Fourier
sobre o potencial elétrico nas diferentes posições. Na Figura 5.6 está mostrado um
espectro de potência típico em t=4.3ms ( ≈ 100ω −pe1 ) , na posição x=l/2. O mesmo
gráfico, só que no tempo t=75ms ( ≈ 1600ω −pe1 ) , é mostrado na Figura 5.7. Fica claro a
existência de dois picos próximos a ω pe . A diferença entres esses dois picos, que é da
ordem de ≈ ω pi , é uma indicação que processos não lineares, tais como interação ondaonda, estão ocorrendo. Este resultado é semelhante ao obtido por Hospodarsky e Gurnet
(1995) para observações no vento solar. Seus resultados mostram ainda a presença de
106
ondas íon-acústica, compatíveis com o processo de decaimento envolvendo ondas de
Langmuir e íon-acústicas do tipo L → L′ + S (Chian e Alves, 1988).
−1
−1
Fig. 5.6 – Espectro de potência do potencial em x=l/2 e t = 100ω pe
(cerca de 64 ω pe
).
−1
−1
Fig. 5.7 – Espectro de potência do potencial em x=l/2 e t = 1500ω pe
(cerca de 64 ω pe
).
107
A evolução espaço-temporal das ondas de alta e baixa freqüências pode ser vista nas
Figuras 5.8 - 5.11. A Figura 5.8 mostra o diagrama espaço-temporal da amplitude da
onda de alta frequencia, W, para os dados descritos anteriormente e com B=0. Observase a excitação de ondas próxima ao ponto de injeção para tempos pequenos; Seguindose a evolução temporal observa-se que há uma supressão das ondas durante um certo
intervalo, voltando a ser excitadas posteriormente. Comparando a evolução das ondas
com a função de distribuição, verifica-se que durante o tempo em que não se observa
muitas ondas, a função de distribuição apresenta um platô (isto pode ser visto de
maneira mais clara, no detalhe da Figura 5.5 que mostra a função de distribuição em
diferentes tempos, para t < 50ω −pe1 ). Quando as ondas voltam a ser excitadas, a função
de distribuição apresenta novamente regiões de máximo, mostrando que o feixe
continua se propagando, conforme observado. Ondas de Langmuir são detectadas no
vento solar desde as primeiras observações feitas pelo satélite Helios e são descritas
como não homogêneas e intermitentes (Muschietti et al., 1994). Estas características
podem ser usadas também para descrever o que se observa na Figura 5.8.
Devido a sua baixa intensidade, espera-se que o campo magnético presente no vento
solar não exerça influência sobre a instabilidade em estudo. Para efeito de comparação,
foi feita uma simulação com os mesmos parâmetros anteriores, mas considerando
ω ce ω pe = 0.01 , valor típico no vento solar. O resultado está apresentado na Figura 5.9,
que mostra a variação espaço-temporal da amplitude da onda de alta frequência.
Observa-se que o início da simulação não difere muito da anterior, mas a evolução das
ondas sim. O que se observa é que inicialmente as ondas têm uma maior velocidade de
propagação, apresentando-se depois, para tempos maiores, quase que localizadas, o que
já tem sido alvo de investigação em plasmas espaciais (Akimoto et al., 1996). A
influência do campo magnético em instabilidades paramétricas envolvendo ondas de
Langmuir foi investigada por vários autores. Akimoto (1989) apresenta uma pequena
revisão neste assunto e cita referências relevantes a explosões de rádio solares do tipo
III.
108
As Figuras 5.10 e 5.11 mostram a evolução espaço-temporal da variação da densidade
dos íons, ni n0 , estando portanto associadas a fenômenos de baixa frequência. O que se
deve notar aqui está relacionado aos efeitos introduzidos pelos contornos. Longas
simulações alteram o sistema que se considera inicialmente; gradientes de densidades
aparecem em ambos os contornos. Observa-se ainda que a introdução de um campo
magnético, ainda que fraco, suaviza os efeitos de borda.
Fig. 5.8 – Diagrama espaço-temporal da amplitude de alta freqüência, W, com B=0.
109
Fig. 5.9 – Diagrama espaço-temporal da amplitude de alta freqüência, W, com B dado
por ω ce / ω pe = 0.01 .
Fig. 5.10 – Diagrama espaço-temporal para amplitudes de baixa frequência, na ausência
de campo magnético.
110
Fig. 5.11- Diagrama espaço tempo para amplitudes de baixa frequência, com um campo
magnético dado por ω ce / ω pe = 0.01 .
Ondas de Langmuir têm sido observadas em regiões aurorais por foguetes lançados a
altitudes menores que 1000 km. As emissões aparecem de maneira intermitente e como
aglomerados (“clumpy"). As ondas são observadas em associação com fluxos de
precipitação de elétrons com energias entre 20 eV a 4 keV gerados, em geral, a altitudes
de ~6000 km. Geralmente, em altitudes onde a ionosfera é moderadamente magnetizada
(Ω
Ω ce≈ ωpe), as ondas de Langmuir são observadas. Tanto a magnetização moderada
quanto o espalhamento dos elétrons têm grandes influências sobre a dispersão linear e o
decaimento das ondas de Langmuir. Em particular, a dispersão linear é topologicamente
diferente dependendo se o campo magnético é subcrítico (Ω
Ω ce < ωpe) ou supercrítico
(Ω
Ω ce<ω
ωpe).
111
Simulações para a região auroral, com campo magnético subcrítico e supercrítico, foram
realizadas neste trabalho de dissertação. Os dados iniciais para a simulação foram
obtidos a partir dos experimento (“Berkeley Ionospheric Dual-Altitude Rocket
Campaign”) BIDARCA (Boehm, 1987) e do foguete Alaska’88 (Ergun et al., 1991),
citados em Newman (1994). Os parâmetros obtidos por estes experimentos são
mostrados na Tabela 5.3. Os dados de BIDARCA fornecem um ambiente de plasma
com campo magnético supercrítico e o Alaska’88 subcrítico.
TABELA 5.3 – PARÂMETROS OBTIDOS PELOS EXPERIMENTOS BIDARCA
E ALASKA’88
Parâmetros
BIDARCA
Alaska’88
fpe = ωpe/2π
π
0.95 MHz
1.40 MHz
fce = Ω ce/2π
π
1.15 MHz
1.15 MHz
Ω ce /ω
ωpe
1.21
0.82
Te [Te / Ti ≈ 4]
0.2±0.05 eV
0.2±0.1 eV
n0
9.9x109 m-3
2.4x1010 m-3
nb [≈4% n0]
4x108 m-3
≈9.6x108 m-3
vb
≈5x106 ms-1
≈107 ms-1
ve
1.9x105 ms-1
1.9x105 ms-1
W=εε0|E0|2/2n0KbTe
≈3-5x10-3
≤ 10-3
Altitude
≈690 km
≈650 km
FONTE: Newman et al. (1994, p. 6369).
A partir destes dados, foram calculados os parâmetros de entrada necessários à
simulação, de forma semelhante a descrita para o caso do vento solar. Para esta região
não foi necessário aumentar a razão das densidades, sendo possível usar os dados reais
na simulação. Com isto o tamanho do sistema, l , escolhido, contém algumas unidades
de comprimento de onda da onda excitada (≈
≈ 6 λ 0), sendo maior do que l QL e permite
112
um número de células tal que ∆x≈
≈ 2λ
λ D . Na Tabela 5.4 são mostrados os parâmetros
usados para a simulação na região ionosférica auroral.
TABELA 5.4 – PARÂMETROS USADOS PARA CARACTERIZAR OS
EVENTOS NA REGIÃO AURORAL PARA A SIMULAÇÃO
Parâmetros para a simulação:
BIDARCA
Alaska’88
Razão de densidade nb/n0
0.04
0.04
Passo no tempo ∆t
1.5625x10-8 s
1.116x10-8 s
Comprimento de Debye λ D
0.0318 m
0.0216 m
Espaçamento da grade ∆x
0.0636 m
0.0432 m
Comprimento do sistema l
64.2 m
44.2368 m
Velocidade térmica do elétron vte
1.9x105 ms-1
1.9x105 ms-1
Velocidade térmica do íons vti
5.47x102 ms-1
5.47x102 ms-1
Velocidade térmica do feixe vtb
2.5x105 ms-1
5x105 ms-1
Energia térmica do plasma n0 k BTe
1.91x10-9 J
4.64x10-9 J
∆vb/vb
0.1
0.1
Corrente do feixe Jb
3.17x10-4 Am-2
1.536x10-3 Am-2
Distância característica l QL
2.9 m
1m
Taxa de crescimento γbp
2.39x106 s-1
3.52x107 s-1
Os principais resutados obtidos via simulação serão mostrados a seguir. Primeiramente
apresentam-se os resultados para o caso do plasma com campo magnético subcrítico, ou
seja, Alaska’88.
113
Uma boa maneira de visualizar a excitação das ondas de Langmuir, por exemplo, é
através da variação espacial da amplitude do campo elétrico. A Figura 5.12 mostra a
variação espacial da amplitude do campo elétrico (|E0|2(x)) em um tempo
t = 10 µ s (≈ 14ω −pe1 ) . Observa-se o rápido crescimento da amplitude da onda, com
λ ≅ 5.26m , de acordo com a condição ressonante ω ≈ kv b ≈ ω pe . Normalizando os
valores da amplitude do campo elétrico pela energia térmica do plasma
( n0 k BTe = 4.64 × 10 −9 ) , pode-se observar que o valor máximo da energia, W, é da
ordem de ~10-3, o que está de acordo com o observado (Tabela 5.3).
Fig. 5.12 – Variação espacial da amplitude do campo elétrico em um tempo
t = 10 µ s (≈ 14ω −pe1 ) .
114
Através da evolução espaço-temporal das ondas é possível verificar uma variedade de
fenômenos que ocorrem na interação feixe-plasma. Por exemplo, como a onda excitada
se propaga e os efeitos não lineares que afetam esta onda. Semelhante ao procedimento
feito para o caso do vento solar, fez-se uma simulação, para efeito de comparação,
considerando o campo magnético nulo. Este resultado é mostrado na Figura 5.13, o qual
mostra o diagrama espaço-temporal da amplitude das ondas de alta frequência, W, com
os parâmetros do caso Alaska’88 exceto que ω ce ω pe = 0 . Esta Figura mostra que
próximo ao ponto de injeção do feixe, existem ondas que são rapidamente excitadas e se
propagam até um certo tempo. Com a evolução temporal verifica-se, que as ondas
deixam de se propagar no espaço, apresentando regiões de excitação bem localizados,
de acordo com o que é observado. Diferentemente do vento solar, as ondas não são
suprimidas. A Figura 5.14 mostra a evolução espaço-temporal das ondas de alta
frequência para os dados de Alaska’88, com ω ce ω pe = 0 .82 . Através desta Figura
nota-se que ocorre o mesmo efeito inicial de uma rápida excitação de ondas para tempos
pequenos próximo ao ponto de injeção do feixe, e propagação. Neste caso, o qual é mais
realístico, verifica-se que após um certo tempo as ondas são suprimidas por um pequeno
intervalo de tempo, depois apresentando picos bem localizados durante a evolução
temporal. Novamente observa-se que o campo magnético influencia na evolução das
instabilidades (Akimoto, 1989). Em ambos os casos citados acima, nota-se que os
efeitos dos contornos afetam as simulações feitas para tempos muito longos, e que a
introdução de um campo magnético suaviza os efeitos de borda.
115
Fig. 5.13 – Diagrama espaço-temporal para a amplitude das ondas de alta frequência,
W, com campo magnético nulo, para o caso Alaska’88.
Fig. 5.14 – Diagrama espaço-temporal para a amplitude das ondas de alta frequência,
W, com campo magnético dado por ω ce ω pe = 0.82 , para o caso Alaska’88.
116
Apresentam-se, agora, os resultados de simulação obtidos para o caso BIDARCA.
Fazendo-se uma análise semelhante à anterior, mostra-se na Figura 5.14 o gráfico da
variação espacial da amplitude do campo elétrico (|E0|2(x)) para um tempo
t = 70µ s ( ≈ 66ω −pe1 ) . Observa-se a excitação de uma onda com λ ≅ 5.26m de acordo
com a condição ressonante. Os valores mostrados para a amplitude nesta Figura não
estão normalizados. Observando a variação nas escalas, verifica-se que o pico na
amplitude está em aproximadamente ~10-11; normalizando este valor pela energia
térmica do plasma ( n0 k BTe = 1.91 × 10 −9 ) , obtém-se um valor máximo para a densidade
de energia, W, da ordem de ~5x10-3, de acordo com o que é observado (Tabela 5.3).
Fig. 5.15 – Gráfico da variação espacial da amplitude do campo elétrico, para um tempo
de t = 70µ s ( ≈ 66ω −pe1 ) .
117
Da mesma forma que se analisou os resultados para os dados de Alaska’88, fez-se
também os diagramas da variação espaço-temporal para o caso BIDARCA. Os
resultados são semelhantes, podendo-se verificar a excitação de ondas próximo ao ponto
de injeção do feixe para tempos pequenso e sua propagação. Para tempos maiores, as
ondas excitadas são localizadas. Fez-se simulações tanto considerando o campo
magnético, quanto na sua ausência a fim de verificar sua influência na evolução das
ondas excitadas. Estes resultados são mostrados nas Figura 5.16 e 5.17, onde a escala de
cores está representada por unidades arbritárias. A Figura 5.16 mostra o diagrama da
variação espaço-temporal da amplitude, W, considerando o campo magnético nulo. A
Figura 5.17 apresenta o diagrama semelhante, mas com um campo magnético dado por
ω ce ω pe = 1.21 .
Fig. 5.16 – Diagrama espaço temporal da amplitude das ondas excitadas W, na ausência
de campo magnético, para o caso BIDARCA.
118
Fig. 5.17 – Diagrama espaço-temporal da variação da amplitude das ondas excitadas,
W, na presença de um campo magnético dado por ω ce ω pe = 1.21 , para o
caso BIDARCA.
Observações recentes na frente de choque eletrônica da Terra tem mostrado que a
interação de um feixe de elétrons-plasma é capaz de excitar uma variedade de ondas de
plasma (Anderson et al., 1981; Etcheto e Faucheux, 1984; Fusilier et al., 1985;
Lacombe et al., 1985). Dependendo da localização dentro da frente de choque, encontrase uma ou outra estreita banda de ondas na frequência de plasma local ou ondas com
frequências substancialmente acima ou abaixo da de plasma. Estas observações não
estão de acordo com o cenário tradicional da interação feixe plasma.
Mostram-se a seguir, os resultados obtidos através da simulação realizada com
parâmetros característicos da região da frente de choque eletrônica da Terra. A
simulação foi baseada no trabalho de Dum (1990), que analisou a geração das ondas de
Langmuir devido a uma distribuição de elétrons com uma corcova na cauda. Os
119
parâmetros iniciais, obtidos a partir do trabalho de Dum (1990), são mostrados na
Tabela 5.5.
TABELA 5.5 – PARÂMETROS TÍPICOS PARA A REGIÃO DA FRENTE DE
CHOQUE (DUM 1990)
Parâmetros
Valor
fpe = ωpe/2π
π
2.7x104 Hz
fce = Ω ce/2π
π
238 Hz
Ω ce /ω
ωpe
0.008
Te [Te / Ti ≈ 4]
3.3 eV
n0
1.0x107 m-3
nb
5.0x104 m-3
vb
3.0x107 ms-1
ve
1.9x105 ms-1
W=εε0|E0|2/2n0KbTe
≤1
A partir dos parâmetros, mostrados na Tabela 5.5, calcularam-se os valores de entrada
necessários à simulação. Similarmente aos casos anteriores, usou-se a condição de
ressonância ω ≈ kv b ≈ ω pe , que fornece o número de onda k0, e consequentemente o
comprimento de onda λ 0. Foi usado o mesmo artíficio de mesopartículas, para que se
tenha um boa representação estatística da função de distribuição do feixe. A razão de
densidade, para este caso, foi a observada. Os parâmetros usados na simulação estão
mostrados na Tabela 5.6. Com estes parâmetros, foi possível observar a excitação das
ondas de Langmuir, seu crescimento e evolução.
120
TABELA 5.6 – PARÂMETROS USADOS PARA SIMULAÇÃO DA REGIÃO DA
FRENTE DE CHOQUE
Valor
Parâmetros para a simulação:
nb/n0
5x10-3
∆t
1.2x10-7 s
λD
7.38 m
∆x
7.38 m
l
7.557x103 m
vte
1.32x106 ms-1
vti
1.7x104 ms-1
vtb
4.5x106 ms-1
n0 k BTe
1.6x10-11 J
∆vb/vb
0.3
Jb
2.4x10-7 Am-2
lQL
650 m
γbp
1.0x104 s-1
Caracterizado o sistema, fez-se a simulação, observando os principais diagnósticos que
são mostrados a seguir.
Através da variação espacial da amplitude do campo elétrico, |E0|2(x), é possível
verificar a excitação das ondas de Langmuir. A Figura 5.18 mostra a variação espacial
da amplitude do campo elétrico, em um tempo t = 2m s( ≈ 57ω −pe1 ) que apresenta a
excitação de uma onda, a partir do ruído, com pico em ≈ 10-11 J e λ 0=1km, de acordo
com a condição ressonante. Pode-se observar, ainda, que a onda é amplificada dentro de
uma região pequena a partir do ponto de injeção, atinge um máximo, e depois decai,
apresentando flutuações em torno de ≈ 10-17 J. O crescimento da amplitude, mediada
121
sobre um certo intervalo de tempo, em períodos de plasma (cerca de ≈ 8ω −pe1 ), é
mostrado na Figura 5.19. Esta Figura representa a variação espacial da energia da onda
normalizada, W, pela energia térmica do plasma n0KBTe≅ 1.6x10-11 J/K, obtida em
t=2ms. Este tempo corresponde a ≈ 20γγbp. A amplitude obtida via simulação está de
acordo com o apresentado por Dum (1990).
Fig. 5.18 – Variação espacial da amplitude do campo elétrico em t=2ms (cerca de
≈ 57ω −pe1 ).
122
Fig. 5.19 – Variação espacial da amplitude da onda normalizada, W, mediada no tempo
(cerca de ≈ 8ω −pe1 ), obtida no tempo em t=2ms (cerca de ≈ 57ω −pe1 ).
Os espectros de potência obtidos nas quatro posições escolhidas do sistema, para ondas
de alta frequência mostraram frequência em ~ω
ωpe, seus harmônicos, e também evidência
de processos não lineares. O processo para se obter os espectros é o mesmo descrito no
caso do vento solar. A Figura 5.20 mostra o espectro de potência obtido em t=3ms
( ≈ 85ω −pe1 ), na posição x=ll/4. Através desta Figura pode-se observar claramente a
existência de três picos de frequência, o primeiro coincide com a frequência de plasma
eletrônica, o segundo, que é próximo de ωpe, é uma indicação de que processos não
lineares estão ocorrendo, pois a diferenção entre esses dois picos coincide com a
frequência de plasma iônica, ωpi, e o terceiro pico é simplesmente o segundo harmônico
de ωpe. O mesmo espectro está mostrado na Figura 5.21, mas para um tempo t=10ms
( ≈ 285ω −pe1 ), a qual ainda mostra dois picos próximos a ωpe.
123
Fig. 5.20 – Espectro de potência do potencial em x=l/4 e t=3ms ( ≈ 85ω −pe1 ).
Fig. 5.21 – Espectro de potência do potencial em x=ll/4 e t=10ms ( ≈ 285ω −pe1 ).
124
Da mesma forma, com nos casos anteriores, fez-se uma análise da evolução espaçotemporal das ondas excitadas. Na Figura 5.22 é mostrada a evolução espaço-temporal
das amplitudes das ondas de alta frequência com os parâmetros calculados para a
simulação, e com campo magnético nulo. Observa-se que próximo ao ponto de injeção
do feixe, ocorre a excitação de ondas para tempos pequenos. Estas ondas se propagam
até um certo ponto, no qual são suprimidas rapidamente, e logo depois voltando a serem
excitadas. Mas agora, são bem localizadas apresentando picos esporádicos, de acordo
com o observado. Isto significa que o feixe não é destruído, como prevê a teoria quasilinear, podendo se propagar até longas distância, o que é observado. Para efeito de
comparação, fez-se a mesma simulação, mas considerando um campo magnético dado
por Ωce/ω
ω pe=0.008, valor típico para esta região. Este resultado está apresentado na
Figura 5.23, que representa o diagrama espaço-temporal da amplitude das ondas de alta
frequência. No início, este resultado é semelhante ao anterior, a diferença está na
evolução das ondas, onde nem todas são suprimidas por certo intervalo de tempo, mas
apresenta a mesma característica de ondas localizadas com picos esporádicos.
Fig. 5.22 – Diagrama espaço-temporal das amplitudes das ondas de alta frequência, com
campo magnético nulo, para a região da frente de choque.
125
Fig. 5.23 – Diagrama espaço-temporal das amplitudes das ondas de alta frequência, com
um campo magnético dado por Ωce/ω
ω pe=0.008, para a região da frente de
choque.
Os resultados apresentados mostram que a intensidade do campo magnético afeta a
evolução espaço-temporal das ondas excitadas pela interação feixe-plasma bem como
minimizam os efeitos de borda. Diagnósticos melhores sobre as oscilações de baixa
frequência fazem-se necessárias para um melhor entendimento dos fenômenos. A
simulação por códigos eletromagnéticos de sistemas onde o feixe não se propaga
exatamente paralelamente ao campo magnético permitiria a observação de outras ondas.
126
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
Neste trabalho foi utilizado o método de simulação via partículas para investigar um dos
fenômenos mais fundamentais em plasmas espaciais; a excitação das ondas de
Langmuir via instabilidade feixe-plasma. Para o desenvolvimento do trabalho foi
necessária a familiarização com o método de simulação por partículas. Primeiramente
estudou-se o funcionamento do código utilizado, XPDP1, no âmbito de como é possível
representar um sistema físico em um computador, e a análise dos diagnósticos
fornecidos pela simulação necessários ao estudo do problema especificado.
Modificações no código foram precisas a fim de se obter novos diagnóstico, tanto
quanto melhorar os já existentes.
Este código foi utilizado para o estudo das instabilidades geradas devido a presença de
um feixe de elétrons no plasma local, excitando as ondas eletrônicas de plasma (ou
ondas de Langmuir), presentes em várias regiões de plasmas espaciais. Três regiões
específicas foram escolhidas: região da coroa solar (vento solar), frente de choque
terrestre e a região auroral inferior. Embora existam muitos trabalhos que evidenciam a
presença das ondas de Langmuir nestas regiões, questões ainda não respondidas
persistem, tais como o feixe excitar ondas e ainda se propagar a distâncias muito longas,
sem grandes perdas de energia.
Especificado o problema, estudou-se a teoria que descreve os fenômenos de
instabilidades na interação feixe-plasma. Através da teoria linear, foi possível averiguar
os conceitos básicos de instabilidades, necessários ao entendimento da evolução da
interação do feixe com o plasma ambiente. No estudo desta constatou-se a necessidade
de uma outra teoria que considerasse o efeito da dispersão nas velocidades do feixe. A
teoria quasi-linear, que considera este efeito, foi utilizada para o cálculo dos parâmetros
127
necessários a simulação. Dessa forma, um estudo criterioso para a determinação das
condições inicias foram realizadas usando este modelo teórico.
Após estes prévios estudos, aplicou-se a simulação para as regiões escolhidas. Todos os
resultados obtidos mostraram que a presença de um feixe de elétrons num plasma
ambiente causa instabilidades, excitando as ondas de Langmuir. Através destes
resultados, também foi possível observar a evolução temporal das instabilidades,
constando-se que a presença de um campo magnético altera a evolução das ondas
excitadas, mesmo esse campo sendo de baixa intensidade. Isto leva a crer que
fenômenos não lineares regem o sistema feixe-plasma. Um outro fato observado, é que
considerando a presença de campo magnético os efeitos de borda para as longas
simulações são suavizados.
Os resultados aqui obtidos são de considerável valor, pois foi adquirida experiência
sobre o método de simulação por partículas, sua aplicação a problemas de física de
plasmas, em particular plasma espacial; e a metodologia de pesquisa absorvida durante
todo o desenvolvimento do trabalho foi de fundamental importância na formação de um
futuro pesquisador que pretende contribuir para a ciência, em especial para a geofísica
espacial. Simulações computacionais são hoje uma ferramenta valiosa no estudo de
plasmas espaciais (Winski e Omidi, 1996).
Quanto a trabalhos futuros, este trabalho mostrou que utilizando um código eletrostático
somente fenômenos oscilatórios eletrostáticos são observados, perdendo assim, a
excitação de outros tipos de ondas, como as eletromagnéticas, e os possíveis
acoplamentos e/ou decaimentos das ondas de Langmuir com outras ondas. Portanto,
conclui-se que é necessário a utilização de um código eletromagnético para que seja
possível observar fenômenos não mostrados aqui. Além disto, sabe-se que os
fenômenos não lineares envolvendo ondas de Langmuir, envolvem também ondas
associadas ao movimento dos íons, de baixa frequência. A utilização de um código
híbrido, onde os elétrons sejam tratados como fluidos e os íons como partículas
128
(Matsumoto e Sato, 1985), pode esclarecer quais fenômenos não lineares estão
ocorrendo.
129
130
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