Emerson Marcos Furtado

Emerson Marcos Furtado
Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado
em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino
Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de
Curitiba desde 1996. Professor da Universidade
Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos
destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico
e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a
2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde
2005. Autor de material didático para sistemas de
ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC)
desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática
financeira. Consultor da Empresa Result – Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.
Consultor em Estatística Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições
desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de
Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde
2008. Autor de questões para concursos públicos
no estado do Paraná desde 2003.
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Geometria I
Nesta aula estudaremos tópicos de geometria plana.
A geometria plana é a parte da Matemática que estuda as figuras geométricas bidimensionais, ou seja, figuras que podem ser observadas em um
plano. Iniciaremos nossos estudos a partir dos triângulos.
Triângulos
O estudo de triângulos é um dos assuntos mais importantes na Geometria Plana, abrangendo interações com outras figuras geométricas, possibilitando relações importantes, além de serem elementos básicos constituintes
de figuras poligonais com mais do que três lados.
Observe a definição de triângulo:
Triângulo é qualquer polígono composto por exatamente três lados.
A
B
C
Elementos principais de um triângulo
Os principais elementos de um triângulo são os lados, os vértices e os
ângulos internos.
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317
Geometria I
A
Â
B
B
Ĉ
C
Considerando o triângulo ABC acima, temos:
Lados: são os segmentos AB , AC e BC .
Vértices: são os pontos: A, B e C.
 , B e C
.
Ângulos internos: são os ângulos A
Soma dos ângulos internos de um triângulo
É importante relembrar de uma propriedade que relaciona os ângulos
internos de um triângulo. Observe o triângulo a seguir:
Â
Ĉ
B
A
B
C
Se, pelo vértice A, traçarmos, uma reta paralela a BC , obteremos ângulos
 . Os três ângulos destacados no vértice A,
congruentes aos ângulos B e C
juntos, correspondem a um ângulo de 180°. Logo, podemos concluir que:
 = 180°
 + B + C
A
Portanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre
igual a 180°.
Esta relação é conhecida como teorema angular de Tales.
318
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Geometria I
Congruência e semelhança de figuras planas
As formas geométricas que observamos na natureza, nas obras de arte e até
em telhados de casas são, muitas vezes, representadas por figuras semelhantes.
Para ilustrar, observe o desenho, no qual os segmentos AM e BN são
respectivamente paralelos aos segmentos PN e PM :
C
M
A
N
P
B
Nessa ilustração, é possível observar cinco triângulos: ∆ABC, ∆APM,
∆PBN, ∆MNC e ∆PMN.
Todos eles são semelhantes entre si, pois os ângulos correspondentes têm
a mesma medida. Entretanto, apenas um dos triângulos não é congruente
com os outros.
O triângulo ABC, apesar de ser semelhante, não é congruente com os
demais, porque as medidas dos seus lados são diferentes das medidas dos
lados correspondentes dos outros triângulos.
A partir dessas ideias, podemos formalizar o conceito de semelhança.
Triângulos semelhantes
Dado o triângulo ABC a seguir, vamos traçar uma reta r, paralela ao lado
AB determinando o segmento DE e destacando o triângulo DEC.
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319
Geometria I
C
r
D
C
E
D
E
B
A
 são congruentes. Pela
 e CDE
Se AB é paralelo a DE , os ângulos CAB
 e DEC
 .
mesma razão, também serão os ângulos ABC
 é comum aos triângulos ABC e DEC, conclui-se que
Como o ângulo BCA
tais triângulos são semelhantes, pois apresentam os três ângulos respectivamente congruentes. Devido à semelhança, escrevemos ∆ABC ≈ ∆DEC, e
estabelecemos uma proporção entre as medidas dos lados homólogos:
AB AC BC
=
=
=k
DE DC EC
O valor de k é a constante de proporcionalidade.
Existem algumas situações em que é possível identificar triângulos semelhantes. A mais comum consiste em se avaliar se um dos triângulos possui
dois ângulos que têm a mesma medida que dois ângulos em um segundo
triângulo. Como a soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer
triângulo deve ser igual a 180°, os terceiros ângulos de cada triângulo terão
as mesmas medidas, o que garante a validade da semelhança.
Teorema de Tales
O geômetra grego conhecido como Tales de Mileto deixou importantes
resultados na geometria plana. Vamos estudar um de seus mais conhecidos
teoremas.
Considere um feixe de retas paralelas, r, s e t, cortadas por duas transversais, u e v, aleatoriamente traçadas.
320
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Geometria I
u
v
A
a
B
D
r
a’
E
b
s
b’
F
C
t
AB = a , BC = b , DE = a’ , EF = b’
Pelos pontos A e B são traçadas as retas v1 e v2, paralelas à reta v, destacando os pontos E’, F’ e F’’:
u
A
a
v
D
E’
B
b
r
a’
a’
E
b’
b’
F’’
F’
s
b’
F
C
v2
t
v1
Os triângulos ABE’, BCF’’ e ACF’ são semelhantes entre si, pois os ângulos
correspondentes são iguais. Logo, podemos escrever:
a b a +b
= =
a ’ b ’ a ’+ b ’
Esse resultado caracteriza o que se denomina Teorema de Tales:
Um feixe de retas paralelas intersectado por duas transversais determina sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo:
Na ilustração, as retas r, s, t, u, v são paralelas.
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321
Geometria I
Quais são as medidas x, y, z e w?
90
87
y
75
w
108
z
80
120
x
r
s
t
u
v
Como as retas r, s, t, u e v são paralelas, podemos utilizar o Teorema de
Tales:
120 x 108 z 80
=
=
= =
90 87
y
75 w
Então, particularizando as proporções, temos:
120 x
4 x
= ® = ® 3x = 348 ® x = 116m
90 87 3 87
120 108 4 108
=
® =
® 4 y = 324 ® y = 81m
90
y
3
y
120 z
4 z
= ® = ® 3z = 300 ® z = 100m
90 75 3 75
120 80 4 80
=
® =
® 4 w = 240 ® w = 60m
90 w
3 w
322
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Geometria I
Triângulo retângulo
Vamos estudar agora um tipo de triângulo que se destaca na resolução
de problemas geométricos: o triângulo retângulo.
Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo
reto, ou seja, um ângulo de 90°.
 . Nesse
Vamos iniciar considerando um triângulo ABC, retângulo em A
triângulo, traçamos a altura AD, relativa à hipotenusa BC, e destacamos
os triângulos ACD e ABD que, assim como ABC, também são triângulos
retângulos.
A
b
C
c
h
m
D
B
n
Elementos importantes:
BC: hipotenusa;
AC e AB: catetos;
AD: altura relativa à hipotenusa;
CD e BD: projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Os triângulos ABC, DCA e DBA são triângulos retângulos. Logo, como
a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180° e um dos ângulos é reto (90°), concluímos que cada um deles tem um par de ângulos
complementares. Consequentemente, os triângulos ABC, DCA e DBA são
semelhantes entre si:
A
C
α
β
b
h
c
α
m
β
D
n
B
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323
Geometria I
Triângulo ABC:
Triângulo DCA:
A
D
D
b
C
Triângulo BDA:
c
a
h
m
B C
b
h
A A
n
c
B
Da semelhança existente entre os três triângulos, podemos obter relações importantes entre as medidas de seus lados, observe:
∆ABC ≈ ∆DCA:
b a
= ® b2 = a.m
m b
A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida
da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
E ainda:
a c
= ® b.c = a.h
b h
O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa a essa hipotenusa.
∆ABC ≈ ∆BDA:
c a
= ® c2 = a.n
n c
A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida da
hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa
∆DCA ≈ ∆BDA:
m h
= ® h2 = m.n
h n
A medida da altura relativa à hipotenusa, ao quadrado, é igual ao produto
das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
324
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Geometria I
Há ainda uma relação que pode ser obtida a partir de duas dessas equações, observe:
b2 = a . m
c2 = a . m
Adicionando membro a membro, temos:
b2 + c2 = a . m + a . n
b2 + c2 = a . (m + n)
b2 + c2 = a . a
b2 + c2 = a2
Esse resultado destaca a validade do teorema de Pitágoras em qualquer
triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos
dois catetos.
Circunferência e círculo
Preste atenção ao conceito de circunferência:
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um
ponto dado desse plano é fixa. O ponto dado é chamado de centro e a distância
fixa é o raio da circunferência.
P
R
O
O: centro da circunferência
OP: raio da circunferência (R)
circunferência
Pela definição, a circunferência é o lugar geométrico constituído apenas
pela linha formada pelos pontos que estão a mesma distância R do centro O.
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325
Geometria I
Comprimento da circunferência
Uma relação bastante útil na geometria é a que permite avaliar o comprimento de uma circunferência apenas a partir da medida do próprio raio.
A medida do comprimento de uma circunferência de raio de medida R,
representada por C, é dada por:
C = 2πR
em que π vale aproximadamente 3,14.
A
B P
P
A B
P A
B
A
B
P
C = 2πR
Além da circunferência, outro conceito importante é o de círculo:
Círculo é o conjunto dos pontos de um plano pertencentes a uma circunferência e interiores a ela.
Círculo de raio R
e centro em O
R
Área do círculo
É possível provar que a medida da área de um círculo de raio R, representada por S, é dada por:
S = πR2
Elementos da circunferência
Além do raio, existem outros elementos importantes em uma circunferência, tais como diâmetro, corda e arco. Observe alguns conceitos
importantes:
326
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Geometria I
Reta secante a uma circunferência é toda reta que corta a circunferência
em dois pontos distintos.
Reta tangente a uma circunferência é toda reta que toca a circunferência
num único ponto.
Arco de uma circunferência é uma parte da circunferência delimitada por
dois pontos pertencentes à circunferência.
Corda de uma circunferência é qualquer segmento de reta que tenha extremidades na circunferência.
Na figura a seguir, o segmento AB é o diâmetro da circunferência, sendo,
portanto, uma das cordas de maior medida possível nessa circunferência.
A
O
B
Observe na figura a seguir que a reta s é secante à circunferência nos
pontos C e D, e a reta t é tangente à circunferência no ponto P. Os dois


pontos distintos C e D determinam a corda CD e os arcos CAD e CPD .
C
A
D
s (secante)
t (tangente)
P
O ponto P é chamado de ponto de tangência ou ponto de contato da reta
t com a circunferência. Pelas ilustrações, podemos concluir que qualquer
reta secante a uma circunferência determina na circunferência uma corda e
dois arcos.
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327
Geometria I
Elementos do círculo
Existem dois elementos importantes a serem considerados em um círculo: o setor circular e o segmento circular. Para melhor compreender esses
conceitos, é importante relembrar o conceito de ângulo central.
Ângulo central é todo ângulo com vértice no centro de um círculo.
A
α ângulo central
AÔB tem medida α
α
O
B
Não é difícil perceber que todo ângulo central corresponde a um arco e,
reciprocamente, a todo arco, um ângulo central.
Setor circular
Setor circular é a região de um círculo delimitada por um ângulo central.
R
setor circular
de ângulo α
α
O
R
A área de um setor circular pode ser obtida por meio de uma proporção relacionando o ângulo de 360°, referente à totalidade do círculo, com
o ângulo do setor especificamente. Assim, sendo α o ângulo central de um
setor circular de área Sset, pertencente a um círculo de raio R, temos:
ângulo
360°
α
→
→
área
πR2
Sset
Um setor circular também pode ser identificado pelo comprimento do
arco correspondente.
328
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Geometria I
A
R
o comprimento
l ldoéarco
ÂB
α
O
R
B
Nesse caso, a área também pode ser obtida por meio de uma proporção
relacionando as medidas das áreas e dos comprimentos. Sendo l a medida
do comprimento de um arco de um setor circular pertencente a um círculo
de raio R, temos:
área
πR2
Sset
→
→
comprimento
2πR
l
Segmento circular
Segmento circular é a parte de um setor circular compreendida entre a
corda e o arco relativos ao setor.
A
R
l
α
O
segmento circular
relativo à corda
AB
R
B
A área de um segmento circular, representada por Sseg, pode ser obtida
pela diferença entre as áreas do setor circular correspondente e do triângulo
isósceles AOB, que tem R como dois de seus lados e a corda AB como terceiro lado. Assim, temos:
Sseg = Sset – Striângulo
Ângulo inscrito em uma circunferência
Ângulo inscrito é a denominação dada a todo ângulo cujo vértice pertença a uma circunferência e cujos lados sejam secantes a ela.
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329
Geometria I
Exemplo:
A
AVB é um ângulo inscrito na
circunferência
V
B
Existem duas propriedades importantes relacionadas a um ângulo inscrito de uma circunferência.
Propriedade 1
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo
central correspondente.
Exemplo:

Na ilustração, a medida do ângulo inscrito APB é igual à metade da
 :
medida do ângulo central AOB
P
α
O
B
2α

 ) = m(AOB)
m(APB
2
A
Propriedade 2
Ângulos inscritos em uma mesma circunferência, que são relativos a um
mesmo arco, têm medidas iguais.
α
α
α
B
Os ângulos inscritos “enxergam” o
arco ÂB segundo o mesmo ângulo α
A
330
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Geometria I
Observe, na figura, que os três ângulos inscritos são relativos ao mesmo

arco AB . Logo, de acordo com a propriedade 1, todos são relativos ao mesmo
ângulo central de medida 2α, e, portanto, têm a mesma medida α.
Uma consequência importante da propriedade 1 anterior é a que quando
os extremos de um arco são os extremos de um diâmetro AB , cada um dos
arcos é uma semicircunferência e a medida de cada um dos arcos é igual a
180°.
Assim, se considerarmos um ponto qualquer P sobre uma das semicircunferências, podemos concluir que o ângulo APB mede 90°. Observe:
P
α
A
B
180º
180
® a = 90.
2
Dessa forma, qualquer triângulo inscrito numa circunferência, que tenha
um dos lados coincidindo com o diâmetro da circunferência, certamente
será retângulo.
Pela propriedade anterior, a =
P
A
α
O
B Se o lado AB é diâmetro, o triângulo
APB é retângulo em P
Propriedades complementares
1. Dada uma reta t tangente a uma circunferência num ponto P, o raio com
extremidade em P será sempre perpendicular à reta t.
R
P
PO
t
O
t
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331
Geometria I
2. De um ponto P externo a uma circunferência, é possível traçar duas retas
tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência forem A e B, os
segmentos PA e PB têm medidas iguais.
P
A
B
PA = PB
Polígonos regulares
Fique atento à seguinte definição:
Polígonos regulares são aqueles que apresentam todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes.
Dessa forma, por exemplo, o triângulo regular é o triângulo equilátero e o
quadrilátero regular é o quadrado.
Todos os polígonos regulares são inscritíveis, ou seja, admitem uma circunferência que passa pelos seus vértices. Essa circunferência é denominada
circunferência circunscrita.
Observe estas figuras:
332
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Geometria I
Todos os polígonos regulares são circunscritíveis, ou seja, admitem uma
circunferência que tangencia os lados do polígono nos respectivos pontos
médios. Essa circunferência é denominada circunferência inscrita.
Exemplos:
Quadrado
circunscrito
Pentágono regular
circunscrito
Hexágono regular
circunscrito
O raio da circunferência inscrita em um polígono é denominado apótema do polígono.
r é o apótema
Embora existam infinitos polígonos regulares, destacaremos o estudo do
triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono regular.
Triângulo equilátero
O triângulo equilátero é o único polígono regular composto por exatamente três lados congruentes possuindo, portanto, três ângulos internos de
mesma medida.
Observe um triângulo equilátero de lado medindo l, altura medindo h
cujas circunferências inscrita e circunscrita possuem raios medindo r e R,
respectivamente.
l
h
R
l
r
l
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333
Geometria I
Se a soma dos ângulos internos é igual a 180° e todos os ângulos são congruentes, então cada um dos ângulos internos mede 60°.
Além disso, a bissetriz de qualquer ângulo interno passa pelo centro coincidente das circunferências inscrita e circunscrita, dividindo o ângulo interno
em dois ângulos de 30°.
l
h
r
l
R
60º
30º
l
A medida da altura do triângulo retângulo pode ser obtida utilizando
razões trigonométricas:
sen 60 =
3 h
= ®
2 l
h
l
h=
l 3
2
A medida do raio da circunferência inscrita também pode ser obtida por
meio de razões trigonométricas:
tg 30 =
r
l
2
l 3
1 l 3
1
.
=r = .
® r = .h
2 3
3 2
3
Por outro lado, também é possível escrever:
sen 30 =
r
R
1 r
= ® R = 2r ®
2 R
334
2
r = .h
3
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Geometria I
A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas da
base e da altura correspondentes.
base . altura
2
S=
No caso do triângulo equilátero de lado l e altura h, temos:
S=
Se a medida da altura é igual a h =
l.h
2
l 3
, então:
2
l l 3
S= .
2 2
Portanto, a medida da área de um triângulo equilátero é dada por:
S=
l2 3
4
Quadrado
O quadrado é o quadrilátero composto por quatro lados congruentes
possuindo quatro ângulos retos.
Na próxima ilustração pode-se observar um quadrado de lado medindo l, diagonal d e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R,
respectivamente.
d
R
r
l
l
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335
Geometria I
A medida da área de um quadrado de lado l é igual ao produto das medidas de dois quaisquer de seus lados, ou seja:
S=l.l
S = l2
A medida da diagonal pode ser obtida por meio do teorema de
Pitágoras:
D
C
d
l
45º
A
l
d2 = l2 + l2
®
d = 2l 2
B
d2 = 2l2 ®
®
d=l 2
Observe que a medida do raio da circunferência inscrita é igual à metade
da medida de um lado, ou seja:
r=
l
2
A medida do raio da circunferência circunscrita é igual à metade da
medida de uma diagonal:
R=
d
l 2
ou R =
2
2
Hexágono regular
O hexágono regular é um polígono regular composto por seis lados congruentes e seis ângulos internos iguais.
336
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Geometria I
Na figura a seguir vemos um hexágono regular de lado l e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente.
l
l
l
r
α
R
Como todos os lados têm a mesma medida l, os seis arcos, determinados pelas cordas correspondentes aos lados, são congruentes. Portanto, a
360°
medida do ângulo central α é dada por
= 60°. Os lados adjacentes ao
6
ângulo α são congruentes e, portanto, os outros dois ângulos do triângulo
também o são.
Logo, os triângulos componentes do hexágono regular são triângulos
equiláteros de modo que a medida da área do hexágono regular é igual a
seis vezes a medida da área de um triângulo equilátero, ou seja:
S=6.
l2 3
4
Para encontrar a medida do apótema, observe a ilustração:
l
l
R
r R
l
A medida do raio da circunferência inscrita é igual à medida da altura de
um dos seis triângulos equiláteros componentes do hexágono regular:
r=
l 3
2
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337
Geometria I
A medida do raio da circunferência circunscrita pode ser encontrada de
forma imediata, pois se os triângulos são equiláteros, os lados congruentes,
ou seja:
R=l
Resolução de questões
1. (Funrio) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Se EF = 12cm e a altura
do triângulo EFG, relativa ao lado EF, mede 6cm, a medida da área do
quadrado ABCD, em cm2, é igual a:
G
D
E
A
C
B
F
a) 25.
b) 20.
c) 16.
d) 12.
e) 14.
2. (Esaf ) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse
modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área
do círculo B em:
a) 51%.
b) 49%.
c) 30%.
d) 70%.
e) 90%.
338
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Geometria I
3. (Esaf ) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas
a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um
hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11.
b) 12.
c) 10.
d) 15.
e) 18.
4. (Esaf ) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2cm e um
outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°,
então a área do triângulo, em cm2, é igual a:
a) 3-/3.
b) 2/2.
c) 2-/2.
3
d) 3 .
e) 1.
5. (Esaf ) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos
outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando
o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único
ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um
outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João
Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros
do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350
metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a
distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram
Bruno e João Guilherme é:
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339
Geometria I
a) 650.
b) 600.
c) 500.
d) 700.
e) 720.
6. (Esaf ) Um quadro retangular cobre exatamente 25% da área de uma parede, também retangular, que mede 3 metros de altura por 2 metros de
largura. Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razão que
as da parede, isto é, que sua altura está para sua largura assim como 3 está
para 2. Assim, se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a
superfície da parede, deveríamos multiplicar a sua altura e a sua largura
por:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
7. (Esaf ) Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2cm, 10cm e 18cm, respectivamente.
Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B,
compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90cm. Desse
modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B
são iguais a:
a) 6, 30 e 54.
b) 6, 34 e 50.
c) 10, 30 e 50.
d) 14, 26 e 50.
e) 14, 20 e 56.
340
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Geometria I
8. (Esaf ) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20cm, base menor
igual a 8cm e altura igual a 15cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo
limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do
trapézio é igual a:
a) 10.
b) 5.
c) 7.
d) 17.
e) 12.
9. (Esaf )As rodas de um automóvel têm 40cm de raio. Sabendo-se que cada
roda deu 20 000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em
quilômetros (km), foi de:
a) 16km.
b) 16πkm.
c) 16π2km.
d) 1,6 . 103πkm.
e) 1,6 . 103π2km.
10.(Esaf ) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um
de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o
lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 3 m, então a área, em
2
metros, do hexágono é igual a:
9 3
.
4
7
b)
.
3
a)
c) 2 3 .
d) 3 3 .
e)
3 .
3
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341
Geometria I
Dica de estudo
O bom desempenho em Geometria plana exige a resolução de muitos
exercícios para que o raciocínio visual se desenvolva. Assim, embora algumas
pessoas tenham mais facilidade que outras, a habilidade na resolução de problemas geométricos é obtida progressivamente. Estude bem os triângulos e
o círculo. Com eles, outras figuras poderão ser mais bem compreendidas.
Referências
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda.,
1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito
 e CDG

1. Os triângulos EFG e DCG são semelhantes, pois os ângulos FEG


são congruentes, bem como os ângulos EFG e DCG .
G
D
l
6- l
C
l
E
342
l
A
12
B
F
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Geometria I
Logo, podemos escrever:
12
6
=
l 6 -l
6l = 12 . (6 - l ) ®
6l = 72 -12l ®
6l + 12l = 72 ® 18l = 72 ®
l=4
Assim, a medida da área do quadrado é dada por:
S = l2
S = 42
S = 16cm2
Resposta: C
2. Sejam Ra e Rb as medidas dos raios dos círculos A e B, respectivamente. Se
a medida de Ra é 30% menor que a medida de Rb, então:
Ra = (1- 0,30) . Rb
Ra = 0,70 . Rb
A medida da área do círculo A é dada por:
Sa = π.(Ra)2
Sa =π. (0,70. Rb)2
Sa = (0,70)2. π. (Rb)2
Sa = 0,49 . Sb
O resultado indica que a área do círculo A é 49% da área do círculo B.
Logo, o circulo A possui área 51% menor que a do círculo B.
Resposta: A
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343
Geometria I
3. Se um polígono convexo possui n lados, então também possui n vértices.
De cada vértice podem ser traçadas diagonais para todos os demais vértices, com exceção do próprio vértice e dos dois vértices vizinhos. Assim,
de cada vértice podem ser traçadas exatamente (n – 3) diagonais.
Raciocinando dessa forma, é possível obter a quantidade de diagonais de
um polígono convexo de n vértices. Se de cada um dos n vértices podem
ser traçadas (n – 3) diagonais, então a quantidade de diagonais seria dada
pelo produto do número de vértices pela quantidade de diagonais que
poderiam ser traçadas de cada um deles:
n . (n – 3)
Entretanto, a diagonal traçada do vértice A para o vértice C, por exemplo,
é a mesma que a diagonal traçada do vértice C para o vértice A. Por esse
motivo, para encontrar a quantidade de diagonais, é necessário dividir
por dois o produto do número de vértices pelo número de diagonais que
podem ser traçadas de cada vértice, pois não se deve contar duas vezes a
mesma diagonal.
Portanto, a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n lados,
representada por D, é dada por:
D=
Logo, se um hexágono possui n = 6 vértices, o número de diagonais é
dada por:
D=
n . (n - 3)
2
6 . (6 - 3)
=9
2
Se o polígono que se deseja encontrar possui nove diagonais partindo
de cada um dos próprios vértices, então o polígono deve possuir uma
quantidade de lados n tal que:
n–3=9
n = 12
Resposta: B
344
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Geometria I
4. Observe a figura:
2
h
45º
2
Utilizando a razão seno no ângulo de 45° do triângulo destacado, temos:
sen 45 =
h = 2 . sen 45 ®
h
2
h= 2 .
2
®
2
h = 1cm
A área do triângulo, representada por S, pode ser calculada pelo semiproduto das medidas da base pela altura, ou seja:
S=
2.h
2
S=h
Substituindo-se h = 1cm, temos:
S = 1cm2
Resposta: E
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345
Geometria I
5. Observe a figura na qual estão destacadas pelos pontos F, J e B as posições de Fernando, João Guilherme e Bruno, respectivamente.
100
J
100
400
B
250
400
250
F
Observe que os círculos com centros nos pontos F, J e B correspondem às
regiões em que é possível ouvir os gritos de Fernando, João Guilherme e
Bruno, respectivamente. Esses três círculos são tangentes externamente
dois a dois, pois existe um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente duas dessas pessoas.
Logo, a distância entre Bruno e João Guilherme é dada por:
BJ = 400 + 100
BJ = 500m
Resposta: C
6. Sejam a e b as medidas da altura e da largura do quadro, em metros, respectivamente. Então:
a 3
=
b 2
a
= 1, 5
b
a = 1,5 . b
346
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Geometria I
A área da parede retangular, representada por Sp, é igual ao produto das
medidas da altura pela largura:
Sp = 3 . 2
Sp = 6m2
Se o quadro cobre exatamente 25% da área da parede, então a área do
quadro, representada por Sq, é dada por:
Sq = 0,25 . 6
Sq = 1,5m2
Por outro lado, a área do quadro é igual ao produto das medidas da altura
pela largura:
Sq = a . b
1,5 = a . b
Substituindo a = 1,5 . b, temos:
1,5 = 1,5 . b . b
1 = b2
Como a medida b não pode ser negativa, conclui-se que:
b = 1m
Então, a altura do quadro é dada por:
a = 1,5 . b
a = 1,5 . 1
a = 1,5m
Logo, se multiplicássemos por x, x > 0, as medidas da altura e da largura
do quadro, as dimensões seriam iguais a 1,5x (altura) e 1x (largura). Para
que a área do quadro, após multiplicarmos a altura e a largura por um
determinado número x seja igual à área da parede deveríamos ter:
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347
Geometria I
1,5x .1x = 6
1,5x 2 = 6
x2 =
6
1, 5
x2 = 4
x=2
Resposta: A
Outra forma de solucionar essa questão seria considerar a semelhança
existente entre as figuras retangulares constituídas pela parede e pelo
quadro:
2
Sp
2
Sp
æ3 ö æ2 ö
=ç ÷ =ç ÷ ®
Sq èa ø èb ø
2
2
æ3 ö æ2 ö
4 =ç ÷ =ç ÷ ®
èa ø èb ø
2
2
æ3 ö æ2 ö
=ç ÷ =ç ÷ ®
0 , 25 . Sp èa ø èb ø
3 2
2= = ®
a b
a = 1,5 e b = 1
Assim, se multiplicarmos por dois cada uma das dimensões do quadro,
teremos as dimensões da parede:
1,5 . 2 = 3m (altura) e 1 . 2 = 2m (largura)
A resposta é a da alternativa (A).
348
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Geometria I
7. Observe a ilustração em que estão destacadas as medidas das transversais na reta A e as medidas a serem determinadas x, y e z, na reta B:
A
B
2
x
y
10
90
z
18
Utilizando o teorema de Tales, temos:
x y
z
= =
2 10 18
Utilizando propriedades das proporções e, ainda, observando que
x + y + z = 90, temos:
x y
z
x+y +z
90
= = =
=
=3
2 10 18 2 + 10 + 18 30
Particularizando as proporções, temos:
x
= 3 ® x = 2 . 3 = 6m
2
y
= 3 ® y = 10 . 3 = 30m
10
z
= 3 ® z = 18 . 3 = 54m
18
Resposta: A
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349
Geometria I
8. Observe a figura na qual estão destacados o trapézio ABCD, a correspondente medida da altura, GF, o triângulo CDE, e a respectiva altura EG,
todas as medidas em cm:
E
h
D
C
G
8
15
A
F
B
20
^
^
Os triângulos ABE e DCE são semelhantes, pois os ângulos EAB e ED C são
^
^
congruentes, bem como os ângulos ABE e DC E, uma vez que as bases de
qualquer trapézio situam-se em retas paralelas. Logo, pode-se escrever:
AB EF
=
DC EG
20 15 + h
=
8
h
®
5h = 2 . (15 + h) ®
5h - 2h = 30 ®
h=
30
3
®
®
5 15 + h
=
2
h
®
5h = 30 + 2h ®
3h = 30 ®
h = 10cm
Resposta: A
9. A medida do comprimento de uma circunferência de raio R é dada por:
C = 2πR
350
Considerando-se que as rodas do automóvel são perfeitamente circulares, em 20 000 voltas a distância percorrida pelo automóvel é dada por:
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Geometria I
D = 20 000 . C
D = 20 000 . 2πR
Substituindo-se a medida do raio, temos:
D = 40 000 . π . 40
D = 1 600 000π cm
Observando-se que 1km = 100 000cm, temos:
D=
1600 000 p
km
100 000
D = 16pkm
Resposta: B
10.Observe a ilustração na qual um hexágono regular é composto por seis
triângulos equiláteros, cada um deles com medida do lado l, em metros:
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
A área de um dos triângulos equiláteros que compõem o hexágono regular é dada por:
ST =
l2 3
4
Logo, a área do hexágono é dada por:
SH = 6 .
l2 3
4
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351
Geometria I
Substituindo a medida do lado por
3
, temos:
2
2
6 æ 3ö
SH = . ç ÷ . 3
4 è 2ø
3 3
SH = . . 3
2 2
SH =
9 3
cm2
4
Resposta: A
352
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