Listas de exercicios - Ronaldo Alves Garcia

TOPOLOGIA DIFERENCIAL, VERÃO 2011, IME/UFG,
LISTAS DE EXERCÍCIOS
R. GARCIA
Abstract. Listas preparadas baseadas na bibliografia usada no curso
e experiência do professor no assunto. Sugestões e comentários favor
contactar pelo endereço: ragarcia at mat.ufg.br
1. Primeira Lista
1) Seja O(n) = {A ∈ M (n, n) : AAt = I} o grupo ortogonal.
i) Mostre que O(n) é uma subvariedade de M (n, n) e que sua dimensão é
igual a n(n − 1)/2.
ii) Obtenha parametrizações explı́citas de O(2).
2) Seja Gn,k o conjunto dos k−planos de Rn passando pela origem.
i) Mostre que Gn,k é uma variedade C ∞ e exiba suas cartas locais.
ii) Mostre que a aplicação ϕ : Gn,k → Gn,n−k , ϕ(E) = E ⊥ é um difeomorfismo de classe C ∞ .
iii) Calcule a dimensão de Gn,k .
iv) Seja A : Rn → Rn um isomorfismo linear conjugado a uma matriz
diagonal. Mostre que A induz uma aplicação Ā : Gn,k → Gn,k , Ā(E) = A(E)
e calcule os pontos fixos de Ā. Faça vários exemplos.
3) Seja f : R2 → R, f (x, y) = x3 + xy + y 3 + 1.
i) Calcule os valores regulares de f e esboce as suas curvas de nı́veis.
4) Esboce as curvas de nı́veis da função f : R2 → R, f (p) = |p − p1 | + |p −
p2 | + |p − p3 | onde pi = (ai , bi ) são pontos fixados. Analise uma diversidade
de casos. Obs: |p − pi | = [(x − ai )2 + (y − bi )2 ]1/2 .
5) Seja f : M → M de classe C r tal que existe f −1 de classe C 1 . Mostre
que f é um difeomorfismo C r .
6) Seja M n uma variedade diferenciável compacta de classe C ∞ .
i) Exiba uma cobertura aberta finita Θi , (i = 1, . . . , p) de M com cada
Θi ⊂ Ωi , Ωi homeomorfa a uma bola aberta de Rn e Θ̄i ⊂ Ωi .
ii) Mostre a existência de funções C ∞ , fi : M → R tais que 0 ≤ fi ≤ 1,
suppfi ⊂ Ωi e fi |Θi = 1.
iii) Mostre que existe um mergulho ϕ : M → Rp(n+1) .
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iv) Ilustre a situação acima para M = S2 .
2. Segunda Lista
1) Mostre que existe uma imersão do toro “ furado”, i.e., S1 × S1 \ {p} em
R2 .
2) Seja γ : S1 → R2 uma curva estritamente localmente convexa (curvatura
k > 0).
i) Mostre que a aplicação α(s, u) = γ(s) + uN (s) é uma imersão para |u|
pequeno. Obs: {T, N } referencial de Frenet com |T | = |N | = 1, T ′ = kN .
ii) Supondo γ possuindo cruzamentos normais, i.e., se γ(s1 ) = γ(s2 ) então
γ ′ (s1 ) 6= γ ′ (s2 ), mostre que a curva αu : S1 → R2 , αu (s) = α(s, u) também
possui cruzamentos normais para |u| pequeno.
iii) Mostre que se |u| é grande então αu é uma curva regular localmente
convexa. Quando αu é convexa?
3) Seja f : Rn → Rp , n ≥ p, real analı́tica (ou mesmo polinomial). Seja
Σ ⊂ Rn o conjunto dos pontos crı́ticos de f .
i) Mostre que se Σ 6= Rn então f −1 (f (Σ)) tem medida zero em Rn .
ii) Mostre que se f for somente C ∞ então a conclusão do item i) pode ser
falsa.
4) Seja A = [0, 1] ou R e C = {0} ∪ {1/n, n ∈ N}.
i) Existe uma função f : A → R de classe C r , r ≥ 2, tal que os valores
crı́ticos de f seja exatamente o conjunto C? Justifique.
ii)Existe uma função f : A → R de classe C 1 tal que os valores crı́ticos de f
seja exatamente o conjunto C? Justifique.
5) Seja f : R → R de classe C 2 . Mostre que para quase todo c ∈ R a
função fc (x) = f (x) + cx possui somente pontos crı́ticos não degenerados
(tipo Morse).
3. Terceira Lista
1) Seja f : U ⊂ R2 → R de classe C r , f (0) = 0 e U aberto tal que se
(x, y) ∈ U então t(x, y) ∈ U para todo 0 ≤ t ≤ 1.
i) Mostre que existem funções h e g de classe C r−1 tais que f (x, y) =
xg(x, y) + yh(x, y) para todo (x, y) ∈ U .
ii) Generalize o item i) supondo f (0) = ∇f (0) = 0.
2) Seja M ⊂ R2 uma curva fechada simples, regular e de classe C r . Defina
as funções H, V : M × R2 → R, H(p, q) = |p − q|2 e V (p, q) = hp, qi.
i) Calcule DH(p, q) e DV (p, q).
ii) Analise as curvas de nı́veis H −1 (c) e V −1 (c).
iii) Faça exemplos caracterizando os pontos crı́ticos de H, V e H + V .
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3) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie de classe C r , r ≥ 4.
Defina o conjunto parabólico P = {p ∈ M : K(p) = 0} onde K é a
curvatura de Gauss de M .
i) Formule corretamente e demonstre que: “ genericamente” no espaço de
superfı́cies de classe C r com a topologia C r o conjunto P é formado de
curvas fechadas mergulhadas. Faça exemplos.
ii) Existe um gráfico G = {(x, y, h(x, y)), (x, y) ∈ R2 } de classe C r tal que o
conjunto parabólico P numa vizinhança de 0 seja a curva plana y 2 = x3 , z =
0? Justifique.
iii) Seja γ : S1 → R3 uma curva biregular (curvatura não nula). Mostre que
existe uma superfı́cie regular M , imersa quando γ não for um mergulho, tal
que γ(S1 ) ⊂ M e γ(S1 ) seja uma componente conexa do conjunto parabólico
de M .
4) Seja f : M → M , f (p) = p0 (cte) e g : M → M , g(p) = p. Mostre que
deg2 (f ) = 0 e deg2 (g) = 1.
5) Construa uma partição da unidade {ϕ1 , ϕ2 } de classe C ∞ associada a
cobertura aberta de R2 definida por: U1 (ǫ) = {(x, y) ∈ R2 : y > −ǫ} e
U2 (ǫ) = {(x, y) ∈ R2 : y < ǫ}.
Dados f, g : R2 → R2 , f (x, y) = (1, x), g(x, y) = (−1, x) defina Fǫ =
f ϕ1 + gϕ2 .
i) Mostre que Fǫ é de classe C ∞ .
ii) Calcule os zeros de Fǫ e com hipóteses adequadas mostre que Fǫ possui
um único ponto singular p(ǫ), F (p(ǫ)) = 0 com det(Jac(Fǫ (p(ǫ)))) < 0 e
limǫ→0 p(ǫ) = 0.
iii) Fǫ é um difeomorfismo em qual região?
iv) Esboce o retrato de fase de Fǫ .
6) Sejam u, v ∈ C = R2 tais que |u|2 + |v|2 = 1.
Defina h(u, v) = (2Re(uv̄), 2I(uv̄), |u|2 − |v|2 ).
i) Mostre que h : S3 ⊂ R4 → S2 ⊂ R3 é de classe C ∞ .
ii) Mostre que para todo x ∈ S2 existe um aberto U ∈ x e um difeomorfismo
ϕ : U × S1 → h−1 (U ) satisfazendo h(ϕ(y, z)) = y para todo y ∈ U e todo
z ∈ S1 .
iii) Calcule h−1 (x) para x ∈ S2 .
iv) Dado Γ = {(cost, sent, 0)} calcule h−1 (Γ).
7) Existe uma estrutura diferenciável C ∞ no conjunto M = {(t, |t|), t ∈ R}?
Justifique e faça desenhos.
8) Faça vários exemplos de superfı́cies compactas em R3 e calcule o grau
(mod 2) da aplicação normal de Gauss.
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4. Quarta Lista
1) Mostre que não existe função suave f : S1 × S1 → S1 tal que f (x, x) = x
e f (x, y) = f (y, x).
2) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie compacta orientada de gênero g.
i) Construa campos de vetores em M e calcule a caracterı́stica de EulerPoincaré de M .
ii) Calcule o número mı́nimo de curvas fechadas mergulhadas necessárias
para desconectar M de modo que cada componente conexa seja difeomorfa
a um disco.
iii) Mostre que se M 6= S2 então existem duas curvas fechadas mergulhadas
γ1 e γ2 tais que γ1 ∩
⊤γ2 (interseção transversal) e #(γ1 ∩ γ2 ) = 1.
iv) Dê exemplos de funções f : M → R possuindo exatamente 3 pontos
crı́ticos.
3) Seja H = {a + bi + cj + dk, a, b, c, d ∈ R} o conjunto dos quatérnios
(i2 = j 2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j).
i) Mostre que p(x) = x2 + 1 P
possui infinitos zeros.
ii) Mostre que p(x) = xn + αl xl , αl ∈ H, n ∈ N possui pelo menos uma
raiz, i.e., existe x0 ∈ H tal que p(x0 ) = 0.
4) Para todo n ≤ 1, n ∈ Z, construa uma função f : R2 → R tal que
Ind(∇f, 0) = n.
5) Seja G um grupo de Lie n−dimensional. Mostre que existem n campos
de vetores linearmente independentes em G.
6) Mostre que Pn = Sn / ∼ (espaço projetivo real) é orientável se, e somente
se, n é impar.
7) Demonstre o teorema de Hopf. Seja M n uma variedade diferenciável
compacta, conexa, orientada e sem bordo. Duas funções f, g : M n → Sn são
homotópicas se, e somente se, deg(f ) = deg(g).
8) Sejam f : M n → N n e g : N n → P n funções C ∞ . Mostre que com as
hipóteses adequadas se tem deg(g ◦ f ) = deg(g).deg(f ).
9) Seja f : M n → R de classe C 2 tal que f −1 ([a, b]) só contenha pontos
regulares de f .
i) Mostre que f −1 (a) é difeomorfa a f −1 (b).
ii) Mostre que f −1 ([a, b]) é difeomorfa a f −1 (a) × [a, b].
iii) Mostre que f −1 (−∞), a) é difeomorfa a f −1 (−∞), b).
10) Seja γ ⊂ R3 uma curva regular fechada e simples.
i) Mostre γ ⊂ R3 é bordo de uma superfı́cie compacta orientada.
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i) Supondo γ com curvatura não nula encontre uma superfı́cie M tal que
M seja uma vizinhança tubular de γ e a curvatura Gaussiana de M seja
positiva.
11) Sejam X e Y campos de vetores de classe C 1 na esfera S2 tais que os
fluxos sejam comutativos, i.e., Xt ◦ Ys = Ys ◦ Xt , ou equivalentemente, o
colchete de Lie [X, Y ] = 0.
i) Mostre que existe p ∈ S2 tal que X(p) = Y (p) = 0.
ii) Se no item i) os pontos singulares de X forem simples, i.e. se X(p) = 0
então DX(p) é um isomorfismo, então existem pelo menos dois pontos q 6= p
tais que X(p) = Y (p) = X(q) = Y (q) = 0.
12) Calcule o ı́ndice do campo de vetores planar X definido por X(0) = 0
e X(z) = 2z 2 /kzk, z 6= 0. Qual é o ı́ndice de X n = X ◦| .{z
. . ◦} X?
5. Quinta Lista
1) Dizemos que um par de retas em Rn são reversas quando não se interceptam ou não são paralelas. Uma curva regular γ em Rn é reversa quando
todas as retas tangentes L : γ(t) + vγ ′ (t) são reversas, i.e., se t1 6= t2 então
as retas tangentes Li : γ(ti ) + vγ ′ (ti ) são disjuntas e não paralelas.
i) Mostre que a curva cúbica γ(t) = (t, t2 , t3 ) é reversa.
ii) Mostre que não existe curva regular fechada em R3 reversa.
iii) Mostre que genericamente toda curva regular em R4 é reversa
iv) Mostre que a curva γ : S1 : R4 definida por γ(z) = (z, z 2 ) é reversa.
v) Generealize o conceito de reversa para subvariedades de Rn como a seguir:
Uma subvariedade M é totalmente reversa quando as retas tangentes Li ⊂
Tp M = pi +Tpi M , com p1 6= p2 , tem-se que L1 é reversa a L2 . Faça exemplos
e intua (ou demonstre) que genericamente uma subvariedade de classe C r ,
M n ⊂ R4n+1 é reversa.
vi) Obtenha mergulhos (ou imersões) explı́citos de S 2 e T 2 em Rn totalmente
reversos.
2) Considere uma curva regular fechada γ : S1 → R3 e a sua tangente
unitária T : S1 → S2 , T (s) = γ ′ (s)/|γ ′ (s)|.
i) Mostre que se γ : S1 → S2 for de classe C r , r ≥ 3, i.e., γ é uma curva
esférica, então γ é regularmente homotópica a T , i.e., γ é homotópica a T
e a homotopia Ft : S1 → S2 é uma curva regular (imersa em geral). Faça
exemplos ilustrando o resultado.
ii) Mostre que quando T é uma curva mergulhada então S2 \ T (S1 ) tem duas
componentes conexas com mesma área.
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3) Considere duas curvas regulares γi : S1 → R3 com imagens disjuntas, i.e,,
γ1 (S1 ) ∩ γ2 (S1 ) = ∅. Defina a aplicação Γ : S1 × S1 → S2 por
Γ(s, t) =
γ1 (s) − γ2 (t)
.
|γ1 (s) − γ2 (t)|
i) Defina o entrelaçamento Lk(γ1 , γ2 ) como sendo o grau orientado de Γ. Calcule Lk(γ1 , γ2 ) onde γ1 (t) = (r1 cos t+a, r1 sin t, 0) e γ2 (t) = (r2 cos t, 0, r2 sin t).
ii) Dizemos que os pares de curvas regulares {γ1 , δ1 } e {γ2 , δ2 } são regularmente homotópicas se existem homotopias Ft entre γ1 e γ2 e Gt entre δ1 e
δ2 tais que Ft e Gt são curvas regulares.
Mostre que se {γ1 , δ1 } e {γ2 , δ2 } são homotópicas então Lk(γ1 , γ2 ) =
Lk(δ1 , δ2 ).
iii) Expresse Lk(γ1 , γ2 ) em termos de uma integral envolvendo γi e suas
derivadas. Mais precisamente, formule e interprete corretamente a seguinte
fórmula integral
Z Z
[γ1 (s) − γ2 (t), γ1′ (s), γ2′ (t))]
1
dsdt.
Lk(γ1 , γ2 ) =
4π γ1 γ2
|γ1 (s) − γ2 (t)|3
iv) Pesquise na literatura algoritmos para calcular o entrelaçamento de curvas (linking number) somente usando contagem com sinal dos cruzamentos
normais de projeções adequadas das curvas espaciais em planos.
4) Seja M a faixa de Moebius parametrizada por F : [0, 4π] × [0, 3/4] → R3
F (θ, r) = (cos θ + r cos θ cos(θ/2), sin θ + r sin θ cos(θ/2), r sin(θ/2)).
i) Calcule Lk(F (θ, 1/4), F (θ, 3/4)).
ii) Calcule Lk(F (θ, 0), F (θ, 1/4))
5) Mostre que toda superfı́cie compacta orientada de gênero p ≥ 0 é a
fronteira regular de uma variedade tridimensional orientada.
6) Mostre que duas curvas conexas regulares γi , γ1 ∩ γ2 = ∅ em R3 são
cobordantes, i.e., existe uma superfı́cie orientada W ⊂ R3 tal que ∂W =
γ1 ∪ γ2 .
Estenda o resultado acima para curvas com várias componentes conexas
(links).
7) Um campo de linhas (1-planos) diz-se orientável quando existe um campo
de vetores cujas órbitas são as as variedades integrais do campo de linhas.
i) Dê exemplos de campos de linhas não orientáveis em R2 \ {0}.
ii) Mostre que todo campo de linhas em R3 \ {0} é orientável.
iii) Dê exemplos de campos de linhas (sem singularidades) no toro S1 × S1
não orientáveis.
8) Considere o campo de 2-planos D em R3 gerado por X = (1, 0, yz) e
Y = (0, 1, 0).
i) Encontre uma variedade integral de D passando pela origem.
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ii) Existe variedade integral de D passando pelo ponto (0, 0, 1)?
iii) O campo de 2-planos D é involutivo?
9) Considere os campos de vetores X = (y, −x) e Y = (x, −y). Calcule
explicitamente os fluxos de X e Y e mostre que os mesmos não são comutativos.
10) Um campo de vetores X em Rn é chamado completo quando o fluxo
Xt : Rn → Rn é definido para todo t ∈ R.
i) Mostre que o fluxo de X(x, y) = (ex , y) não é campleto.
ii) Dê exemplos de campos de vetores X e Y ambos completos mas que
X + Y não seja completo.
iii) Mostre que um campo limitado X, i.e., |X(p)| ≤ c, é completo.
11) Sejam X e Y campos de vetores em Rn e denote por γp a órbita de X
passando pelo ponto p. Denote por Xt e Yt os fluxos de X e Y .
i) Mostre que [X, Y ] = hX para alguma função h se, e somente se, Yt (γp ) =
γYt (p) . Interprete o resultado geometricamente.
ii) Se p é um ponto singular isolado de X e [X, Y ] = hX mostre que Y (p) = 0.
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6. Sexta Lista
1) Seja (a, b, c, d) ∈ S3 e considere a matriz
 2

a − b2 − c2 + d2
2ab − 2cd
2ac + 2bd

2ab + 2cd
−a2 + b2 − c2 + d2
−2ad + 2bc
R=
2
2
2
2
2ac − 2bd
2ad + 2bc
−a − b + c + d
i) Mostre que R é uma matriz de rotação com det(R) = 1 e que R : S3 →
SO(3) é um recobrimento duplo.
ii) Mostre que P3 R (espaço projetivo) é difeomorfo a SO(3).
iii) Mostre que T1 S2 (fibrado tangente unitário de S2 ) é difeomorfo a SO(3).
iv) Seja V3,2 = {(u, v), u, v ∈ S2 e hu, vi = 0}. Mostre que V3,2 é uma
variedade difeomorfa a P3 R.
2) Calcule os valores e pontos crı́ticos da aplicação f : R2 → R2 onde
fǫ (x, y) = (x2 − y 2 + ǫx, 2xy + ǫy). Faça figuras dos conjuntos e represente
f graficamente.
3) Dado uma curva regular plana fechada (localmente convexa com curvatura positiva) de classe C 5 tal que a sua curvatura seja uma função de
Morse.
i) Mostre que a sua evoluta é uma curva que possui pelo menos dois pontos
de cúspides localmente equivalentes a (t2 , t3 ).
ii) Dê exemplo de uma curva regular fechada tal que sua evoluta possua
exatamente dois pontos de cúspides.
iii) Dê exemplo de curva singular fechada no plano que possua um número
ı́mpar de cúspides.
4) Considere uma superfı́cie regular orientada em R3 de classe C ∞ parametrizada localmente por α. Denote por k1 e k2 as suas curvaturas principais
e r1 = 1/k1 e r2 = 1/k2 os raios de curvatura associados.
Defina a superfı́cie média β(u, v) = α(u, v) + r1+r2
2 N (u, v), sendo N o
vetor normal unitário.
i) Supondo (0, 0) um ponto umbı́lico isolado transversal de α mostre que β
possui uma singularidade em (0, 0).
ii) Mostre que genericamente os pontos singulares de β são localmente equivalentes ao guarda-chuva de Whitney w(u, v) = (u, uv, v 2 ).
iii) Esboce a superfı́cie média do toro de revolução e do elipsoide x2 /a +
y 2 /b + z 2 /c = 1, a ≥ b ≥ c > 0.
5) Seja M 2 uma variedade bidimensional com bordo tal que M admite uma
função de Morse f com exatamente três pontos crı́ticos não degenerados
(dois máximos e uma sela, ou um máximo, um mı́nimo e uma sela) e tal que
∂M = f −1 (c), sendo c valor regular.
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i) Mostre que o disco D 2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1} admite uma função
de Morse com as propriedades acima. Faça desenhos.
ii) Mostre que nas condições descritas acima M 2 é difeomorfa a D 2 .
6) Sejam X e Y campos de vetores comutantes, i.e, [X, Y ] = 0 em D 2 ×
S1 tais que em ∂(D 2 × S1 ) = S1 × S1 eles sejam ortogonais e linearmente
independentes e tendo esta fronteira (toro) como conjunto invariante para
os fluxos de X e de Y .
i) Mostre que existe p0 ∈ D 2 × S1 tal que X(p0 ) e Y (p0 ) são linearmente
dependentes.
ii) Nas condições anteriores X ou Y possui ponto singular em int(D 2 × S1 )?
7) Seja M compacta e conexa e f : M → N uma submersão. Seja q ∈ N
fixado.
i) Mostre que {M, N, f, f −1 (q)} é um espaço fibrado tendo N como base e
f −1 (q) como fibra.
ii) Mostre por um exemplo que i) não é verdadeiro quando M não for compacta (independente da topologia de N ).
8) Seja f : S2 → S2 um difeomorfismo e X um campo de vetores em S2 .
Suponha que f ∗ X = X, isto é (f ∗ X)(p) = Df (p)−1 (X(f (p))) = X(p).
i) Denotando o fluxo de X por Xt mostre que Xt ◦ f = f ◦ Xt .
ii) Mostre que existe p ∈ S2 tal que p é simultaneamente ponto periódico de
f e ponto singular de X.
9) Esboce as superfı́cies de nı́veis das seguintes funções e analise os tipos
topológicos (conexidade, etc.) dos nı́veis.
i) f (x, y, z) = x2 ± y 2 + z 3
ii) g(x, y, z) = x2 + y(z 2 ± y 2 )
iii) h(x, y, z) = x2 ± yz 2
iv) r(x, y, z) = x2 + y 2 ± z 2 + xyz
v) p(a, b, c) = −4a3 b2 − 27b4 + 16a4 c− 128a2 c2 + 144acb2 + 256c3 (resultante
do polinômio x4 + ax2 + bx + c).
10) Seja M uma superfı́cie compacta e orientada. Mostre que f admite uma
função de Morse possuindo exatamente um ponto de máximo, um ponto de
mı́nimo e tal que as separatrizes de selas do campo gradiente de f sejam
disjuntas. Faça figuras.
11) Seja γ uma curva regular fechada (subvarieade imersa) no plano possuindo somente cruzamentos transversais e inflexões simples (localmente do
tipo (x, ax3 ), a 6= 0).
Denote por N + o número de retas tangentes Lx,y a γ em dois pontos
distintos x, y ∈ γ e tal que nas vizinhanças de x e y, γ está contida num
mesmo semiplano determinado por Lx,y . Denote por N − o número de retas
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R. GARCIA
tangentes Lx,y a γ em dois pontos distintos x, y ∈ γ e tal que nas vizinhanças
de x e y, γ está contida em semiplanos distintos determinado por Lx,y .
Denote por D o número de cruzamentos transversais e I o número de pontos
de inflexões de γ.
i) Mostre que a propriedade N + , N − , D e I finito é genérica no espaço de
curvas fechadas C 3 com a topologia C 3 .
ii) Suponha uma curva γ possuindo N + , N − , D e I finito e além disso que
não tangências triplas e nem tangências duplas passando pelos pontos de
cruzamento transversal e ou de inflexão.
Mostre que N + = N − + D + I/2 (fórmula de Fabricius-Bjerre-Halpern).
iii) Generalize e formule corretamente a fórmula acima para curvas esféricas.
12) Reflita sobre a afirmação de um artigo de V. Arnold: “ The number
of topologically different Morse functions on S2 with 10 such critical points
equals 17746.”
i) Considere a esfera S2 = R2 ∪ {∞} e um polinômio p ∈ R[x, y] de grau 2k
tal que a parte homogênea de p de grau 2k seja positiva definida. Supondo
p de Morse e tendo que o ∞ é ponto de máximo mostre que o número de
selas de p é igual a 2k2 − 2k. Faça exemplos com k = 2, i.e, dê exemplo de
polinômios de grau 4 de Morse no plano com 4 selas.
ii) Seja f (x, y, z) = xyz definida na esfera S2 , (x2 + y 2 + z 2 = 1). Faça uma
pequena deformação em f para obter um função de Morse com 14 pontos
crı́ticos.
13) Imersão de Tn \ {p} → Rn .
i) Sejam Tn = S1 ×. . .×S1 parametrizado por θ = (θ1 , . . . , θn ) e ϕ : Tn ×I →
Rn+1 , I = (−1, 1), um mergulho definido por ϕ(θ, t) = (f1 (θ, t), . . . , fn+1 (θ, t)))
tal que fn+1 (θ, t) > 0. Então mostre que ψ : Tn+1 × I → Rn+2 definido por
ψ(θ, θn+1 , t) = (f1 (θ, t), . . . , fn (θ, t), fn+1 (θ, t) cos θn+1 , fn+1 (θ, t) sin θn+1 ) é
um mergulho.
ii) Seja S = {θ, θi = 0, para algum i = 1, . . . , n} e seja h : Tn → R definida
por
sin θn
sin θ1 . . . sin θn sin θ2 . . . sin θn
+
+ ··· +
.
n
n−1
2
2
1
Considere o mergulho ϕ : Tn × I → Rn+1 . Mostre que para ǫ > 0 pequeno
a aplicação
Ψ : Tn → Rn definida por Ψ(θ) = (f1 (θ, ǫh(θ)), . . . , fn (θ, ǫh(θ))) é uma
imersão de uma vizinhança tubular de S em Rn , i.e, uma imersão de Tn \D n
em Rn , onde D n é um disco mergulhado.
iii) Mostre que a função ϕ definida indutivamente por f1 (θ1 , t) = (1 +
t) cos θ1 , f2 (θ1 , t) = (1 + t) sin θ1 + 2, f3 (θ1 , θ2 , t) = ((1 + t) sin θ1 + 2) cos θ2 ,
f4 (θ1 , θ2 , t) = ((1 + t) sin θ1 + 2) sin θ2 + 4 é um mergulho.
iv) Analise a imersão de T2 \ D 2 em R2 usando o mergulho definido em iii).
Quais são as singularidades desta aplicação Ψ(θ, ǫ).
h(θ) =