Aula 12

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
A equação do movimento
–
Equação do movimento para um sistema de partículas
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–
Centro de massa
Equações do movimento
●
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●
coordenadas retangulares
coordenadas normais e tangenciais
coordenadas cilíndricas
–
Movimento sob a ação de força central
–
Referenciais não inerciais e forças de inércia
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–
Força centrífuga
Força de Coriolis
Efeitos inerciais da rotação da Terra
Força de atrito
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●
Atrito seco
Atrito em parafusos
Atrito em correias e mancais
Resistência ao rolamento
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Segunda lei de Newton
Equação vetorial = 3 equações escalares
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
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Coordenadas cilíndricas com
forças atuando na direção
normal e tangencial
Podem aparecer casos em que
a trajetória é conhecida
r = f(θ)
e sabe-se a direção de atuação
de algumas forças
●
–
Atrito: direção tangencial
–
Normal: direção normal
Nestes casos, é preciso
relacionar as coordenadas
cilíndricas com a direção normal
e tangencial
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Ilustrando o problema
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Geometricamente
No limite em que
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
OBS.: Quando o ângulo ψ é negativo
ψ = -75°
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: O anel duplo liso de
0,500 kg mostrado na Figura pode
deslizar livremente no braço AB e
na barra-guia circular. Se o braço
gira com uma velocidade angular
constante de 3,00 rad/s, determine
a força que o braço exerce sobre o
anel no instante em que θ = 45,0°.
O movimento é no plano horizontal
r = (0,800 cos θ) m
0,400 m
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Para θ = 45°
Com isso:
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: O cilindro C de 2,00 kg
mostrado na figura tem um pino
P do seu centro que passa pela
fenda do braço OA. Se o braço é
forçado a girar no plano vertical
a uma taxa constante de 0,500
rad/s, determine a força que o
braço exerce sobre o pino no
instante em que θ = 60,0°.
0,400 m
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Como:
Para θ = 60°
Com isso:
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo: Uma lata C, tendo massa de 0,500 kg, desloca-se ao longo
de uma ranhura entalhada na horizontal, como mostrado na figura. A
ranhura está na forma de uma espiral que é definida pela equação r =
(0,100 θ) m, onde θ é dado em radianos. Se o braço OA gira com uma
taxa constante de 4,00 rad/s no plano horizontal, determine a força que
ele exerce quando θ = π rad. Despreze o atrito e a dimensão da lata.
3.6 – A Equação do Movimento:
Coordenadas Cilíndricas
●
Exemplo:
Para θ = 180°
Para θ = 180°
Com isso:
Onde estamos?
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Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
A equação do movimento
–
Equação do movimento para um sistema de partículas
●
–
Centro de massa
Equações do movimento
●
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●
coordenadas retangulares
coordenadas normais e tangenciais
coordenadas cilíndricas
–
Movimento sob a ação de força central
–
Referenciais não inerciais e forças de inércia
●
●
●
–
Força centrífuga
Força de Coriolis
Efeitos inerciais da rotação da Terra
Força de atrito
●
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Atrito seco
Atrito em parafusos
Atrito em correias e mancais
Resistência ao rolamento
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Exemplo de motivação: O ônibus espacial de 80,0 t está numa órbita
circular com 320 km de altitude, sobre a linha do Equador. Quando o
ônibus espacial passa sobre o campus da Un. Federal do Amapá
(UNIFAP) em Macapá (longitude: -51,085°), no sentido oeste-leste,
seus dois motores do sistema de manobra orbital (cada um com
empuxo de 27,0 kN) são acionados, ocasionando uma frenagem
(força para trás no ônibus) por 150 s. Determine o local em que o
ônibus estaciona na Terra. Dados: R = 6371 km (raio da Terra) e g0 =
9,825 m/s2 (gravidade na superfície)
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Quando uma partícula está se
movendo sob a influência de uma
força tendo uma linha de ação que
é sempre direcionada para um
ponto fixo, o movimento é
chamado de movimento de força
central
–
Exemplos típicos: força gravitacional
e força eletrostática
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Tomando a equação
h = constante de integração
A velocidade areolar(=dA/dt) é
constante
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
●
Desejamos agora obter a equação da
trajetória r = f(θ)
Para tanto, a variável t precisa ser eliminada
Lembre que:
Definindo:
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Voltando a
Particularizando para o caso da força gravitacional
Resolvendo a EDO:
Equação da trajetória de voo livre do satélite
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Uma interpretação geométrica da solução
exige o conhecimento da equação de uma
seção cônica
Uma seção cônica é definida como o LG de um
ponto P que se move de tal maneira que é
constante a razão da sua distância até um foco
(ou ponto fixo) F com sua distância até uma
linha fixa DD (chamada de diretriz). Esta razão é
chamada de excentricidade
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Alguns resultados
Podemos adotar θ = 0° no ponto de máxima aproximação. Isto implica φ = 0°
Para θ = 0°, a velocidade não tem componente radial:
Com isso, segue que:
3.7 – Movimento sob a ação de
força central
●
Conclusão