As Geometrias Não Euclidianas e Seus Conceitos Fundamentais

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ALGUMAS DIFERENÇAS ENTRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E AS
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS – HIPERBÓLICA E ELÍPTICA – A SEREM
ABORDADAS NAS SÉRIES DO ENSINO MÉDIO.
Donizete Gonçalves da Cruz1
Rede pública estadual da cidade de Curitiba
[email protected]
Carlos Henrique dos Santos2
Universidade Federal do Paraná
[email protected]
Resumo: O objetivo deste artigo é expor algumas diferenças entre a Geometria Euclidiana
e Geometrias Não Euclidianas Hiperbólica e Elíptica, com vistas a contribuir para que as
mesmas sejam conhecidas por professores de Matemática que atuam na educação básica e
alunos que estudam no ensino médio. Focalizamos a investigação em elencar e apresentar
conceitos de Geometrias Não Euclidianas – Hiperbólica e Elíptica – a serem abordados nos
anos do ensino médio. É parte de uma pesquisa que estamos realizando, na qual
defendemos um ensino e uma aprendizagem de Matemática que possibilitem aos alunos
compreender conceitos geométricos, em coexistência, da Geometria Euclidiana e de
Geometrias Não Euclidianas. Para tanto, procuramos respaldá-lo teoricamente nos autores
que investigam tais conceitos no cenário da educação matemática, bem como em autores
que possuem pontos de contatos com a educação matemática.
Palavras-chave: Geometria; Geometria Euclidiana; Geometrias Não Euclidianas.
1. INTRODUÇÃO
A Secretaria Estadual de Educação (SEED), no período de 2003 a 2006, com sua
política educacional, realizou várias ações em seu programa de formação inicial e
continuada. Uma dessas ações foi um amplo debate com os professores das disciplinas de
tradição curricular, que resultou na elaboração dos textos das Diretrizes Curriculares.
Fruto desse debate, e acompanhando o movimento das investigações nos programas
1
Formado em Matemática, Especialista em Ciências Exatas e Mestre em Educação Matemática, professor do
ensino fundamental e médio da rede pública estadual na cidade de Curitiba, Paraná.
2
Professor orientador. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná.
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de Pós-Graduação de destacadas universidades3 do país que discutem a importância de as
Geometrias Não Euclidianas serem abordadas desde as séries iniciais até as séries finais da
educação básica, os professores de Matemática elencaram, entre os conteúdos específicos,
o conteúdo Noções de Geometrias Não Euclidianas. Com isso, os professores da rede
pública estadual lançaram para si o desafio de delimitar quais Geometrias Não Euclidianas
serão abordadas nas diferentes séries da Educação Básica. Ao encontrar uma resposta ou
algumas respostas a esse problema, deveriam e deverão produzir material didático
pedagógico que sirva de apoio para a abordagem desse conteúdo matemático nos níveis de
5ª a 8ª séries e anos do Ensino Médio.
Dessa forma, a delimitação apontada por este trabalho focaliza a investigação em
elencar e apresentar conceitos de Geometrias Não Euclidianas – Hiperbólica e Elíptica –, a
serem abordados nos anos do Ensino Médio.
Para tanto, como diz o título deste artigo, é importante que os conceitos, objeto
deste estudo, sejam apresentados de forma tal que percebamos diferenças entre as
geometrias. Para isso, defendemos que, na prática docente, a abordagem seja realizada
concomitantemente com a geometria euclidiana.
Justifica-se a elaboração deste estudo pela necessidade, em um primeiro momento,
de situarmos as diferenças, e, na sequência, avançarmos nas abordagens dessas diferenças,
com o intuito de que elas venham a ser exploradas em sala de aula com os alunos.
Correlato a isso, buscamos contribuir para que, de alguma forma, este estudo venha a
agregar-se a outros de mesma natureza e, assim, colaborar para consolidar as Geometrias
Não-Euclidianas como um conteúdo matemático presente no saber escolar.
Historicamente, na educação básica da rede pública estadual, o ensino e a
aprendizagem de Geometria limitaram-se, e limitam-se, à Geometria Euclidiana abordada
nos livros didáticos, ou seja, esta prevalece nas produções didáticas, pois na elaboração do
conhecimento matemático cristalizou-se a idéia de que seus objetos e conceitos fossem
considerados absolutos e os únicos apropriados para descrever o mundo em que vivemos.
Bicudo (2004, p. 67), em suas investigações, escreve que entre os estudiosos da
Matemática e o consequente conhecimento sistematizado por meio das investigações
desses matemáticos, prevaleceu a crença de “que a geometria euclidiana descrevia,
3
Destacam-se os Programas da UEM, UNICAMP, PUC-SP, UFF e UNESP-Rio Claro.
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abstratamente, o espaço físico circundante, e, então, qualquer sistema geométrico, não em
concordância absoluta com Euclides, representaria um óbvio contra-senso”.
Mas, as descobertas de outras Geometrias, definidas como Não Euclidianas,
introduziram outros objetos e conceitos que representam, descrevem e estabelecem
respostas consistentes para certos fenômenos do Universo, para os quais a Geometria
Euclidiana deixa lacunas.
Escreve Martos (2002) que, a partir das grandes descobertas e invenções, o ser
humano tem buscado nos meios científicos respostas para problemas concernentes às
medidas geométricas. A partir de então tem-se constatado que, para algumas medidas, os
conceitos da Geometria Euclidiana respondem satisfatoriamente, em geral para os
problemas que envolvem as pequenas medidas. Para as medidas de grande escala, são
necessários os conceitos de Geometrias Não Euclidianas.
Lenart (1996) defende a abordagem de Geometrias Não Euclidianas na educação
básica. Ele cita alguns pontos favoráveis, como os a seguir descritos. 1) Tais geometrias
inserem mais do que a geometria euclidiana, a noção de infinito. 2) Outra vantagem é que,
no caso da geometria esférica, muitos de seus conceitos sempre estiveram presentes no
currículo de outra disciplina escolar, a Geografia. O sistema de coordenadas geográficas,
por exemplo, introduz mais do que conceitos elementares de geometria esférica, em um
momento relativamente cedo da vida escolar dos estudantes. Dessa forma, o trabalho
docente pode ser valioso na medida em que a abordagem da geometria esférica ocorra em
um contexto interdisciplinar com a Geografia. Essa relação interdisciplinar pode ajudar os
estudantes a perceberem a importância e o significado da geometria esférica no espaço em
que eles vivem. 3) A geometria esférica desempenha um importante e vital papel em várias
disciplinas escolares e das ciências como um todo. Dentro da própria disciplina de
Matemática é amplamente usada em geometria espacial, trigonometria, topologia, cálculo
infinitesimal, geometria projetiva, geometria diferencial, teoria dos números complexos e
teoria das funções. Muitos conteúdos da Matemática do ensino superior dependem dos
conceitos de geometria esférica. 4) Além das fronteiras da Matemática, a geometria
esférica tem muitas aplicações na Física, na Química Orgânica e Inorgânica, na
Cristalografia, nas Ciências da Terra, na Astronomia, Desenhos artístico, técnico e
industrial e nas engenharias de forma geral.
Nesse mesmo contexto, Kasner e Newman, ao responder à pergunta sobre qual das
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geometrias é a mais apropriada para o espaço que nos cerca imediatamente e para a
superfície em que vivemos, argumentam que:
A Geometria de Euclides é a mais conveniente e, em conseqüência, a que
continuaremos a usar para construir nossas pontes, túneis, edifícios e
rodovias. As geometrias de Lobachevsky, ou de Riemann, se
devidamente utilizadas, serviriam da mesma forma. Nossos arranha-céus
se manteriam, assim como nossas pontes, túneis e rodovias; nossos
engenheiros não. A Geometria de Euclides é mais fácil de ensinar,
enquadra-se mais rapidamente no bom senso mal orientado, e, acima de
tudo, é mais fácil de usar.
(KASNER e NEWMAN, 1968, p.p. 149-150)
Escrevem os autores que a sistematização de outras geometrias diferentes da
euclidiana fizeram com que nossas perspectivas fossem ampliadas e nossa visão
esclarecida.
Ao abordá-las, no contexto do ensino e da aprendizagem matemática, conceitos
matemáticos, tradicionalmente não vistos, são assimilados pelos alunos e agregados ao seu
conhecimento; correlato a isso, abordar Geometrias Não Euclidianas na Educação Básica
significa contribuir para que o aluno amplie seu horizonte de conhecimento, pois tais
Geometrias baseiam-se na negação do quinto postulado de Euclides que aborda o conceito
de paralelas. Entendemos que o quinto postulado pode ser aceito como verdadeiro se
considerarmos o nível plano, porém se ele estiver em uma superfície não plana pode perder
validade. Afinal, o meio em que estamos tem suas porções planas e outras não planas e,
para estas últimas, torna-se necessário explorar os conceitos matemáticos delas oriundos.
Para escrevermos sobre algumas diferenças entre a Geometria Euclidiana e as
Geometrias Não Euclidianas, Hiperbólica e Elíptica, é imprescindível tratarmos das
contribuições de Euclides e focalizarmos nas investigações realizadas por Lobachevsky e
Riemann.
2. IMPORTANTES CONTRIBUIÇÕES
2.1. AS CONTRIBUIÇÕES DE EUCLIDES
Os Elementos têm uma importância excepcional na história da Matemática e exerce
influência até os dias atuais. Mesmo existindo atualmente outras Geometrias, o ensino
dela, presente nos programas e nas propostas de ensino no âmbito educacional escolar
brasileiro, em todos os seus níveis, aborda, principalmente, a Geometria sistematizada nos
Elementos.
Em relação ao conhecimento geométrico, Elementos é obra que contempla a
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geometria plana, geometria de figuras semelhantes e esteriometria, que estuda as relações
métricas da pirâmide, do prisma, do cone e do cilindro, polígonos regulares, especialmente
do triângulo e do pentágono (CAJORI, 2007).
Tais Geometrias, em seu conjunto, são denominadas Geometria Euclidiana. Esta
possui coesão lógica e concisão de forma caracterizada por axiomas e postulados. Para
Davis e Hersh (1995, p. 207), não há uma distinção clara entre as palavras axiomas e
postulados, tanto que, atualmente, essas palavras são usadas quase de maneira indiferente.
Antigamente, “significava uma verdade evidente ou reconhecida universalmente, uma
verdade aceita sem prova. Na geometria dedutiva, o axioma funciona como o pilar em que
as outras conclusões assentam”.
A contribuição de Euclides para o conhecimento matemático inicia com duas
definições fundamentais, a de reta e a de ponto. Ponto é o que não tem partes e reta, um
comprimento sem medida.
A partir desses conceitos realiza-se uma sistematização geométrica por meio de
cinco axiomas ou postulados. Os enunciados, em linguagem atual, dos cinco postulados de
Euclides nos quais assenta sua geometria são:
1. Dois pontos distintos determinam uma reta.
2. A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível marcar um segmento de
comprimento arbitrário.
3. É possível obter uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Dados um ponto P e uma reta r, existe uma única reta que passa pelo ponto P e é
paralela a r.
Inseridos no conhecimento geométrico, os postulados 1, 2, 3 e 4 de Euclides são
simples e evidentes. Entretanto, o postulado cinco, conhecido como postulado das paralelas
é diferente, ou seja, é complicado e pouco evidente. Foram realizadas investigações para
provar sua validade, isto é, deduzi-lo a partir dos quatro anteriores, porém as tentativas
falharam. Hoje, dentro do conhecimento matemático, é consenso que sua validade depende
diretamente da opção da superfície geométrica para realizar sua prova.
O resultado dos estudos e das tentativas para provar esse postulado é visto como
uma grande contribuição para o conhecimento matemático. Esses estudos propiciaram
avanços em magnitude e importância ao conhecimento matemático.
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2.2. A CONTRIBUIÇÃO DE LOBATCHEVSKY
Lobatchevsky foi um matemático com uma ampla visão sobre o conhecimento
matemático. Realizou estudos em vários campos da Matemática. A Geometria é um dos
campos que foram seu objeto de estudo.
Na geometria suas pesquisas alcançaram grandes destaques. Realizou investigações
sobre o postulado das paralelas, pelas quais assumiu a contradição em relação ao quinto
postulado de Euclides e, com os conceitos elaborados, ampliou significativamente o campo
da geometria.
A Geometria de Lobachevsky apresenta teoremas que introduzem conceitos na
Matemática diferentes dos sistematizados na geometria euclidiana nos conteúdos que
tratam sobre:
a)a disposição das retas paralelas; b) a soma dos ângulos em
triângulos e polígonos; c) as áreas; d) os polígonos inscritos e
circunscritos na circunferência; e) a semelhança e congruência de
figuras; f) a trigonometria; g) o teorema de Pitágoras; h) as medições
do círculo e suas partes.
(RIBNIKOV, 1987, p. 434)
Em sua geometria consta, em dizeres de hoje, a afirmação: “por um ponto P fora de
uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r” (COUTINHO, p. 40, 2001). Esse
postulado e os teoremas consequentes levaram à configuração de uma Geometria Não
Euclidiana, posteriormente denominada Hiperbólica por Félix Klein. Pouco tempo antes,
porém sem publicar o resultado dos estudos, Bolyai chegara aos mesmos resultados a que
Lobachevsky chegaria em um futuro próximo. Dessa forma, a Geometria Hiperbólica pode
ser considerada criação de Lobachevsky e Bolyai.
2.3. AS CONTRIBUIÇÕES DE RIEMANN
Riemann também contribui de maneira significativa para a ampliação do
conhecimento geométrico, ao reunir em um corpo de doutrina outra Geometria Não
Euclidiana oriunda dos estudos na superfície esférica, também denominada elíptica.
Suas investigações foram diferentes das de Bolyai e Lobachevsky. Enquanto os
dois últimos criaram uma nova geometria com um postulado sobre paralelas, diferente do
postulado das paralelas de Euclides, “Riemann caracterizou as geometrias por aquilo que
hoje chamamos sua métrica, ou seja, a maneira como a distância entre dois pontos
infinitamente próximos é expressa em função das diferenças de coordenadas daqueles
pontos” (GARBI, 2006, p. 261). Com seus estudos, Riemann concluiu ser possível criar
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quantas geometrias quisermos. Para tanto, é necessário estabelecer as maneiras pelas quais
se expressa o elemento distância em função das coordenadas. Por meio de uma fórmula
geral para o elemento distância e mediante a variação de seus parâmetros, um número
infinito de novas geometrias pode ser criado.
Investigou e propôs que por um ponto do plano não se pode traçar nenhuma reta
paralela a uma reta dada. Essa hipótese tem sua validade na superfície esférica e o
enunciado do axioma que contraria o quinto postulado de Euclides é: “Quaisquer duas
retas em um plano têm um ponto de encontro” (COUTINHO, p. 73, 2001).
Para Davis e Hersh (1995, p. 206), o aparecimento dessas geometrias veio
acompanhado de certo choque e ceticismo. Entretanto, elas são apresentadas dentro de um
sistema axiomático, no qual se deduz, de forma sistemática, consequências a partir de
axiomas diferentes daqueles aceitos pela Geometria Euclidiana.
Com as Geometrias Não Euclidianas e outros conteúdos matemáticos – e não há
por que citá-los aqui –, a Matemática entra na etapa denominada matemática abstrata ou
moderna. Essas descobertas descaracterizaram a concepção que constituía a Matemática
como instrumento de compreensão da realidade física, dada anteriormente. A partir desse
período a Matemática também é tida como um conhecimento que possibilita a
sistematização de ideias pelas quais se faz a crítica. É essa uma razão para se abordar tais
ideias na educação básica e no nível de ensino médio.
O Postulado da Geometria Hiperbólica e o da Geometria Elíptica, que contrariam o
quinto postulado de Euclides, representam o fundamento que provocou mudanças em
conceitos geométricos. Embora esses postulados difiram apenas do postulado das paralelas
da Geometria Euclidiana, a partir deles é que outros tantos teoremas surgem. Dessa forma,
o conhecimento geométrico se amplia e, uma vez abordado na Educação Básica, propicia
ao aluno o conhecimento de outras geometrias com várias características interessantes e
únicas. Entretanto, não se trata de que a abordagem no Ensino Médio, para os alunos, seja
de caráter axiomático. Da mesma forma, na medida em que as produções ocorram, a
maturidade e a segurança dos professores se ampliam. Assim, em algum momento a
abordagem axiomática para alguns ou para todos os conteúdos referentes às Geometrias
Não Euclidianas poderá ser realizada. Mesmo que as abordagens das Geometrias
Hiperbólica e Elíptica não sejam de caráter axiomático, é fundamental que o professor
busque, para sua segurança, apropriar-se desse conhecimento.
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Este trabalho propõe uma abordagem das Geometrias Não Euclidianas Hiperbólica
e Elíptica que caracterize um material de apoio aos professores e alunos do Ensino Médio
da Rede Pública Estadual. No próximo item apresentam-se algumas diferenças que,
entende-se, contribuirão para a compreensão dos conhecimentos geométricos nas
geometrias em questão.
3. COMPARAÇÕES ENTRE ALGUNS CONTEÚDOS GEOMÉTRICOS NAS
DIFERENTES GEOMETRIAS
Há livros que trazem estudos pormenorizados sobre comparações entre Geometria
Euclidiana e Geometrias Não Euclidianas. Aqui, nesse estudo, o objetivo é apresentar
algumas diferenças. Reportamo-nos a uma tabela comparativa entre as Geometrias
Euclidiana, Hiperbólica e Elíptica apresentadas por Davis e Hersh (1995, p. 211). A fonte
de pesquisa de Davis e Hersh está no livro Basic Concepts of Geometry de Prenowitz e
Jordan.
3.1 COMPARAÇÕES ENTRE AS GEOMETRIAS EUCLIDIANA, HIPERBÓLICA E
ELÍPTICA
CONTEÚDO
GEOMETRIA
MATEMÁTICO
EUCLIDIANA
Duas retas distintas
interseptam em
Dada uma reta L e
um ponto P exterior
a L, existe(m)
GEOMETRIAS NÃO EUCLIDIANAS
LOBACHEVSKIANA
RIEMANNIANA
Em dois pontos
antípodas.
Uma reta e só uma Pelo menos duas retas Não há reta que
que passa por P e é que passam por P e é passa por P e é
paralela a L.
paralela a L.
paralela a L.
É dividida em duas É dividida em duas Não é dividida em
Uma reta
por um ponto
por um ponto
duas por um ponto
Nunca
são
As retas paralelas
São equidistantes
Não existem
equidistantes
Se
uma
reta
Como
não
há
Pode ou não intercede
intercede uma de Intercede a outra
paralelas, isto não
a outra
duas paralelas
ocorre.
A
hipótese
de
Saccheri válida é a Ângulo reto
Ângulo agudo
Ângulo obtuso
do
Duas retas distintas
perpendiculares a São paralelas
São paralelas
Interceptam-se
uma terceira
A
soma
das
medidas
dos Igual a 180º
Menor do que 180º
Maior do que 180º
ângulos internos de
Um ponto
Um ponto
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um triângulo é
A área de
triângulo é
um
Independente
da Proporcional
ao Proporcional
ao
soma dos seus defeito da soma de excesso da soma de
ângulos
seus ângulos
seus ângulos.
Dois
triângulos
com
ângulos
Semelhantes
correspondentes
iguais são
Soma dos ângulos
internos
de Igual a 360º
quadrilátero
Congruentes
Congruentes
Menor do que 360º
Maior do que 360º
Outras diferenças, segundo Martos (2002), estão a seguir elencadas.
CONTEÚDO
GEOMETRIA
MATEMÁTICO
EUCLIDIANA
Bissetrizes de um triângulo
Alturas de um triângulo
Medianas de um triângulo
GEOMETRIAS
NÃO
EUCLIDIANAS:
ELÍPTICA
Possui três. São semirretas Possui três. São círculos
que dividem o ângulo ao
máximos.
meio
Possui três. São círculos
Possui três. São segmentos
de retas
máximos.
Possui três. São círculos
Possui três. São segmentos
de retas
máximos.
São ângulos com vértices no
Lados de um triângulo
São segmentos de retas
centro
da
esfera.
São
medidos em graus.
Retângulo: 1 ângulo reto
Acutângulo:
ângulos
Classificação de triângulos
internos agudos
quanto aos ângulos
Obtusângulo:
um
dos
ângulos é obtuso
Isósceles: dois lados com a
mesma medida e dois
ângulos congruentes.
Equilátero: três lados com
Classificação de triângulos
medidas iguais e três
quanto aos lados
ângulos congruentes.
Escaleno:
dois
lados
quaisquer
não
são
congruentes
Retângulo: um ângulo reto
Birretângulo: dois ângulos
retos
Trirretângulo: três ângulos
retos
Retilátero: um lado mede
90º
Birretilátero: dois lados
medem 90º
Trirretilátero: cada um dos
lados mede 90º
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Soma dos ângulos externos
É a soma dos internos não Varia entre 0o e 360º
adjacentes
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
É evidente que as abordagens do conhecimento geométrico no cenário das
Geometrias Não Euclidianas na educação pública estadual estão iniciando. Temos,
portanto, desafios pela frente, ou seja, buscar pela investigação matemática e no contexto
da educação matemática a sistematização de materiais de cunho didático-pedagógico para
que professores e alunos tenham, a seu alcance, meios para se apropriarem desse
conhecimento geométrico.
É interessante refletirmos sobre nossa prática pedagógica e, por meio dessa
reflexão, propiciar que os alunos também reflitam sobre conceitos matemáticos. Assim, é
possível que nosso poder de análise, de conjectura e de sistematização de ideias seja
ampliado. Uma forma para buscarmos isso é colocar nas mãos de nossos alunos
conhecimentos diferentes sobre um mesmo conteúdo, em que as comparações conceituais
possam ser feitas. Ao mesmo tempo, é coerente discutir tais conhecimentos articulados
com a nossa vivência e nossa experiência, cuja base é a materialidade na qual estamos
inseridos.
Martos (2002, p. 132) realizou uma investigação com base em uma proposta que
possibilitou aos alunos, em grupos, explorar e realizar comparações, em coexistência, entre
os conceitos de Geometria Euclidiana e conceitos de Geometria Não-Euclidiana. Segundo
a autora, em vários momentos da pesquisa houve constatações pelos alunos, as quais
possibilitaram perceber as diferenças entre os conceitos geométricos da Geometria Não
Euclidiana abordada, a esférica, e a Geometria Euclidiana do plano. Isso fez com que os
alunos verbalizassem as relações existentes entre os conceitos das geometrias abordadas. A
pesquisadora destaca que na realização dos trabalhos “apareceram muitos termos em
evidência, entre eles interação dos grupos, dialogicidade, significado na aprendizagem e
inovação”.
As constatações de Martos dão consistência ao nosso trabalho, pois defendemos a
abordagem das Geometrias Não Euclidianas, em coexistência, com a Geometria
Euclidiana. Defendemos propostas de ensino e de aprendizagem de Matemática que
possibilitem aos alunos compreender conceitos geométricos básicos, de forma que
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conheçam as dimensões geométricas da Geometria Euclidiana e de Geometrias NãoEuclidianas. É interessante que o conhecimento dos conceitos geométricos estejam
articulados à capacidade de manipulação das fórmulas matemáticas e à visualização e
experimentação por meios de materiais manipuláveis.
Entendemos que conhecer Geometria é ter possibilidades de intervir na mudança
do espaço onde o estudante circula e vive. É um meio pelo qual uma formação coerente é
possível, de maneira que os alunos atuem com instrumentos teóricos e práticos,
vislumbrando mudanças de caráter social.
REFERÊNCIAS
BICUDO, I. Peri apoidexeos/de demonstratione. In: BICUDO, M.A.V. ; BORBA, M. C.
(Orgs.). Educação matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. p. 58
– 76.
CAJORI, F. Uma história da matemática. Rio de Janeiro: Editora ciência moderna, 2007.
COUTINHO, L. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Editora
Interciência, 2001.
DAVIS, P. J. ; HERSH, R. A experiência Matemática. Lisboa: Gradiva, 1995.
GARBI, G. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da
matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.
KASNER, E. ; NEWMAN, J. Matemática e imaginação: o mundo fabuloso da
matemática ao alcance de todos. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1968.
LÉNÁRT, I. Non-Euclidean Adventures on the Lénárt Sphere – investigations in
planar and spherical geometry. Berkeley: Key Curriculum Press, 1996
MARTOS, Z. G. Geometrias Não Euclidianas: uma proposta metodológica para o
ensino de Geometria No Ensino Fundamental. Rio Claro, 2002. 179 f. Dissertação.
(Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas,
Universidade Estadual Paulista.
RIBNIKOV, K. História de las matemáticas. Moscou: Mir, 1987.
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