Mackenzie 2003 - 2º semestre [Grupos 2 e 3]

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alternativa D
TIPO DE PROVA: A
Questão 1
Se a circunferência de um círculo tiver o seu
comprimento aumentado de 100%, a área do
círculo ficará aumentada de:
a) 300%
b) 400%
c) 250%
d) 100%
e) 200%
Sejam r o número de rapazes e m o número de
moças. A soma das notas de todos os rapazes é
6,3r e a soma das notas de todas as moças é
4,3m.
Assim, como a média de todos os alunos é 5,8,
6,3r + 4,3m
= 5,8 ⇔ r = 3m.
r +m
r
3m
Logo a porcentagem de rapazes é
=
=
r +m
4m
= 75%.
alternativa A
Aumentando o comprimento de uma circunferência de 100%, o seu raio também aumenta de
100%, ou seja, dobra. Portanto a sua área é multiplicada por 2 2 = 4, ou seja, é aumentada de
300%.
Questão 4
Na figura, temos os esboços dos gráficos das
funções f e g, sendo f (x) = a x . O valor de
g (g (−1)) + f (g (3)) é:
Questão 2
Um quadrado de área (0,027 )
metros, um perímetro igual a:
20
3
40
d)
3
10
3
40
e)
9
b)
a)
−
2
3
c)
m2 tem, em
20
9
alternativa D
O lado do quadrado é (0,027)
−
1
3
−
2
3
−
1
3
a) 1
=
10
m,
= (27 ⋅ 10 )
= (3 ⋅ 10 )
=
3
10
assim o perímetro do quadrado é 4 ⋅
=
3
40
m.
=
3
−3
3
−3
Questão 3
A média das notas de todos os alunos de uma
turma é 5,8. Se a média dos rapazes é 6,3 e a
das moças é 4,3, a porcentagem de rapazes
na turma é:
a) 60% b) 65% c) 70% d) 75% e) 80%
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quarta-feira, 25 de junho de 2003 21:46:17
b) 2
c) 3
d)
3
2
e)
5
2
alternativa C
A função f é uma função exponencial, de modo
que seu gráfico não contém segmentos de reta.
Portanto o gráfico formado por semi-retas é da
função g(x).
Temos g(x) = 4 para x < 0 . Para x ≥ 0 , g(x) =
= mx + n, sendo m, n constantes reais. Do gráfico,
g(0) = 4
m ⋅0 +n = 4
n =4
⇔
⇔
g(1) = 3
m ⋅1 + n = 3
m = −1
 4 se x < 0
Assim, g(x) = 
e
 −x + 4 se x ≥ 0
g(g( −1)) + f(g(3)) = g(4) + f( −3 + 4) =
= g(4) + f(1) = ( −4 + 4) + 3 = 3.
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matemática 2
p + q + ( −q) = 2b
p ⋅ q + p ⋅ ( −q) + q ⋅ ( −q) = −1 ⇔
Questão 5
Se a figura mostra o esboço do gráfico de
f (x) = ax2 + 2bx + c, então os números a, b e
c sempre são:
p ⋅ q ⋅ ( −q) = −b 2
p = 2b
⇔ −q
2
p = 2b
⇔ q2 = 1
= −1
−p ⋅ q
2
= −b
2
p ⋅q
2
⇒
= b
2
⇒ 2b ⋅ 1 = b 2 ⇔ b 2 − 2b = 0 ⇔ b = 0 ou b = 2.
Logo 2 é um possível valor de b.
Questão 7
No polinômio p (x) = x 3 + ax2 + bx + c, saa) nessa ordem, termos de uma progressão
aritmética.
b) nessa ordem, termos de uma progressão
geométrica.
c) números inteiros.
d) tais que a < b < c.
e) tais que a > b > c.
alternativa B
be-se que p(i) = 0 (i2 = −1) e que os coeficientes reais a, b e c são tais que
1 + a + b + c = 0. Então o resto da divisão de
p (x) por x é:
a) 2
b) −2
c) −1
d) 1
e) 0
alternativa C
Sendo P(i) = 0 ⇔ −i − a + bi + c = 0 ⇔
2
Para o gráfico de f(x) = ax + 2bx + c admitir o
esboço exibido, devemos ter:
a >0
a >0
a >0
∆ = 0
⇔ 4b 2 − 4ac = 0 ⇔ b < 0
b
−(2b)
b 2 = ac
< 0
> 0
a
2a
Portanto a, b e c sempre são termos de uma prob
c
.
gressão geométrica de razão q =
=
a
b
Questão 6
⇔ (c − a) + (b − 1)i = 0 ⇔
c −a =0
c =a
.
⇔
b −1 = 0
b =1
Portanto 1 + a + b + c = 0 ⇔ 1 + c + 1 + c = 0 ⇔
⇔ c = −1.
Logo o resto da divisão de P(x) por x é
P(0) = c = −1.
Questão 8
No setor circular da figura, α = 60o e M, N e
P são pontos de tangência. Se o raio do setor
é 12, a área do círculo de centro O é:
Se a equação x 3 − 2bx2 − x + b2 = 0 tem duas
raízes opostas, então um possível valor de b
é:
1
a) −2
b)
c) −1
d) −3
e) 2
2
alternativa E
Sejam p, q e −q as raízes da equação. Das relações entre raízes e coeficientes, temos que:
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a) 18π
b) 16π
c) 9π
d) 4π
e) 12π
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matemática 3
alternativa B
A área de cada um desses três triângulos é
igual à metade da área de ABC. Logo, sendo l a
área (ABC)
medida dos lados de ABC, 3 ⋅
=
2
2
3 l 3
3 3
= área (ABCD) ⇔
⋅
=
⇔ l =1e
2
4
8
o perímetro de ABC é 3l = 3.
Questão 10
Sejam A o centro do setor circular e r, o raio do círculo de centro O. Como AP é bissetriz do ângulo
MÂN e O ∈ AP, considerando o triângulo retângulo
MAO, temos:
MO
1
r
sen 30 o =
⇔r=4
⇔
=
OA
2
12 − r
Logo a área do círculo de centro O é πr 2 =
= π ⋅ 4 2 = 16π.
No sólido da figura, ABCD é um quadrado de
lado 2 e AE = BE = 10 . O volume desse sólido é:
Questão 9
Na figura, se a área do quadrilátero ABCD é
3 3
, o perímetro do triângulo eqüilátero
8
ABC é:
a)
5π
2
b)
4π
3
c) 4π
d) 5π
e) 3π
alternativa E
a) 3
b)
3
2
c)
3
8
d) 6
e)
3
4
alternativa A
Considerando o ponto médio M de BC, observamos que os triângulos ABM, ACM e ACD são congruentes.
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No sólido da figura a seguir, o triângulo ABE é
isósceles de base AB. Logo a altura OE corta a
base AB em seu ponto médio O, ou seja,
AO = OB = 1.
No triângulo retângulo AOE, AO 2 + OE 2 = AE 2 ⇔
⇔ OE 2 = ( 10 ) 2 −12 ⇔ OE = 3.
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matemática 4
O volume do sólido é a soma dos volumes do cilindro gerado por ABCD e do cone gerado por
1
ABE, ou seja, π ⋅12 ⋅ 2 + ⋅ π ⋅12 ⋅ 3 = 2π + π = 3π.
3
Questão 11
l 2
⇔
2
⇔ l = 6 e, portanto, a área total desse cubo é
6 ⋅ l2 = 6 ⋅ 6 2 = 216 .
Sendo l a aresta do cubo, temos 3 2 =
Questão 12
Se, no cubo da figura, a distância entre as retas t e u é 3 2 , a área total desse cubo é:
Se sen4 x = 1 + cos2 x, então x pode pertencer
ao intervalo:
π 3π 
π
5π 
a)  ;
b) 0; 
c) π ;
 4 4 
 6 

4 
π π
5π
e) 
d)  ; 
; 2π 
 3
 6 3 

alternativa A
4
sen x = 1 + cos 2 x ⇔ sen4 x = 1 + 1 − sen 2 x ⇔
⇔ sen4 x + sen 2 x − 2 = 0 ⇔
(y = 1 ou y = −2)
y2 + y − 2 = 0
⇔
⇔
⇔
2
y = sen 2 x
y = sen x
a) 150
b) 300
c) 216
d) 180
e) 280
alternativa C
A reta u é paralela ao plano que contém A, B e C,
plano que também contém a reta t. Conseqüentemente, a distância entre t e u é igual à distância
entre u e esse plano que, por sua vez, é igual à
distância entre o ponto D e a reta AB, ou seja,
metade do comprimento da diagonal da face.
⇔ sen 2 x = 1 ⇔ sen x = 1 ou sen x = −1 ⇔
π
⇔x=
+ kπ, k ∈ Z.
2
A única alternativa que apresenta um intervalo
π
que contém um número da forma
+ kπ é a al2
ternativa A.
Questão 13
No triângulo ABC temos AB =
3
= AC e sen x = .
4
Então cos y é igual a:
9
3
7
a)
b)
c)
16
4
9
1
3
d)
e)
8
16
alternativa D
O triângulo ABC é isósceles com AB = AC, logo
$ = m (ABC)
$ = x. Assim, y + x + x =180 o ⇔
m (ACB)
o
⇔ y =180 − 2x.
Portanto cos y = cos(180 o − 2x) = −cos 2x =
2
3 
= −(1 − 2 sen 2 x) = 2 sen 2 x − 1 = 2 ⋅   − 1 =
4
1
= .
8
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quarta-feira, 25 de junho de 2003 21:46:20
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matemática 5
alternativa E
Questão 14
Um veículo percorre uma pista circular de
raio 300 m, com velocidade constante de
10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em
graus, do arco percorrido é:
a) 90
b) 115
c) 145
d) 75
e) 170
log 3 (3x) − log 9 x − log 3 x = 2 ⇔
⇔ log 3 3 + log 3 x − log 9 x − log 3 x = 2 ⇔
⇔ 1 − log 9 x = 2 ⇔ log 2 x = −1 ⇔
3
1
log 3 x = −1 ⇔ log 3 x = −2
2
Assim, podemos escrever:
log 1 (3x) = log −1 (3x) = −log 3 (3x) =
⇔
3
3
= −(log 3 3 + log 3 x) = −(1 − 2) = 1
alternativa B
Como um minuto é igual a 60 segundos, o arco
percorrido tem comprimento 10 ⋅ 60 = 600 m.
Sendo α a medida angular, em graus, do arco
360 o
α
.
percorrido,
π
⋅
⋅
=
⇔
α
=
2
300
600
π
360 o
Considerando que π ≅ 3,14
360 o
α ≅
≅ 114,6 o , de modo que o valor mais
3,14
próximo de α é o da alternativa B.
A quantidade de números naturais ímpares
compreendidos entre 10 e 100, não divisíveis
por 3 e nem por 11, é:
a) 25
b) 28
c) 26
d) 24
e) 27
alternativa E
Como11 = 2 ⋅ 6 − 1 e 99 = 2 ⋅ 50 − 1, entre 10 e
100 existem 50 − 6 + 1 = 45 números ímpares.
Dentre esses, os números 15, 21, ..., 99 são divisíveis por 3. Tais números formam uma PA de razão 6 e primeiro termo igual a 15.
Logo, como 99 = 15 + 14 ⋅ 6 , existem 15 números ímpares divisíveis por 3 entre 10 e 100 e, portanto, 45 − 15 = 30 números ímpares não divisíveis por 3.
Finalmente, os números 11, 55 e 77 são ímpares
não divisíveis por 3, mas divisíveis por 11 e, conseqüentemente, a quantidade pedida é 30 − 3 = 27 .
Questão 16
Se log3 (3x) − log9 x − log3 x = 2, então
log 1 (3x) vale:
3
b) −
1
3
O preço de um imóvel é dado, em função do
tempo t, em anos, por P(t) = A ⋅ (1,28 )t , sendo
A o preço atual. Adotando-se log 2 = 0,3, esse
imóvel terá o seu preço duplicado em:
a) 1 ano.
b) 2 anos.
c) 3 anos.
d) 3,5 anos.
e) 2,5 anos.
alternativa C
Questão 15
a) −1
Questão 17
c)
1
9
d)
1
3
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quarta-feira, 25 de junho de 2003 21:46:21
e) 1
Sendo t o tempo decorrido, em anos, até que o
imóvel tenha o seu preço duplicado,
P(t) = 2A ⇔ A ⋅ (1,28) t = 2A ⇔
⇔ (1,28) t = 2 ⇔ log (1,28) t = log 2 ⇔
128
⇔ t ⋅ log
= log 2 ⇔
100
⇔ t(log 2 7 − log 100) = log 2 ⇔
log 2
.
⇔t=
7 log 2 − 2
Adotando a aproximação dada, temos
0,3
t≅
= 3 anos.
7 ⋅ 0,3 − 2
Questão 18
Seja A uma matriz quadrada de ordem 2
com determinante maior que zero e A −1 a
sua inversa. Se 16 ⋅ det A −1 = det (2A), então
o determinante de A vale:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16
alternativa D
Sendo A uma matriz quadrada de ordem 2, com
det A > 0:
1
16 ⋅ det A −1 = det (2A) ⇔ 16 ⋅
= 2 2 ⋅ det A ⇔
det A
⇔ (det A) 2 = 4 ⇔ det A = 2.
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matemática 6
Questão 19
Nove fichas, numeradas de 1 a 9, são embaralhadas de modo aleatório, permanecendo
uma sobre a outra. Se uma pessoa apostou
que, na disposição final, as fichas estariam
com as de número par alternadas com as de
número ímpar, ou vice-versa, a probabilidade de ela ganhar a aposta é:
1
2
1
3
1
b)
c)
d)
e)
a)
126
135
140
136
154
alternativa A
9 
9 ⋅ 8 ⋅7 ⋅ 6
Há   =
= 126 maneiras de esco4 
4!
lhermos as posições das quatro fichas com números pares. Em somente uma delas a pessoa vence: quando essas fichas estão alternadas com as
de número ímpar.
Conseqüentemente, a probabilidade de a pessoa
1
.
ganhar é
126
d) admite mais de uma solução para, exatamente, 2 valores de a.
e) admite mais de uma solução para, exatamente, 3 valores de a.
alternativa B
O sistema
a 2
se, 2 a
1 1
e a ≠ 2.
admite solução única se, e somente
1
−1 ≠ 0 ⇔ a3 − 4a ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 e a ≠ −2
a
Para a = 0, o sistema é equivalente a
2y + z = 0
2y + z = 0
2y + z = 0
1
2x − z = 1 ⇔ 2x + 2y = 1 ⇔ x + y =
2
x + y =1
x + y =1
x + y =1
que é impossível.
Para a = −2, o sistema é equivalente a
− 2x + 2y + z = 0
2x − 2y − z = 0
2x − 2y − z = 3 ⇔ 2x − 2y − z = 3
x + y − 2z = 1
x + y − 2z = 1
também é impossível.
Questão 20
E para a = 2, temos
 ax + 2y + z = 0

O sistema  2x + ay − z = 1 − a
 x + y + az = 1

2x + 2y + z = 0
2x + 2y + z = 0
2x + 2y − z = −1 ⇔ 2z = 1
x + y + 2z = 1
3z = 2
também é impossível.
a) não admite solução para, exatamente, 2
valores de a.
b) não admite solução para, exatamente, 3
valores de a.
c) admite solução única para todos os valores
positivos de a.
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quarta-feira, 25 de junho de 2003 21:46:22
que
que
Em resumo:
O sistema é possível e determinado ⇔ a ≠ 0 e
a ≠ 2 e a ≠ −2.
O sistema é impossível ⇔ a = 0 ou a = 2 ou
a = −2.