Matemática Básica

Matemática Básica
Noções Básicas de Operações com Conjuntos /
Conjuntos Numéricos
02
1. Noção intuitiva de conjunto
Intuitivamente, entendemos como um conjunto:
toda coleção bem definida de objetos (chamados elementos do conjunto), não importando de que natureza, considerados globalmente.
Os conjuntos são, normalmente, representados por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, por exemplo, a expressão:
A = {r , s , t }
indica que o conjunto A possui os elementos r, s e t.
(a) Formas de representação de conjuntos
Por extensão:
Consiste em enumerar todos os elementos do conjunto, entre chaves e separados por vírgulas (pode-se
usar ponto-e-vírgula quando se estiver representando um conjunto de números decimais).
Exemplos:
•
Conjunto dos meses do ano:
A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro,
novembro, dezembro}
•
Conjunto dos números pares menores que 100:
C = {2, 4, 6, 8, …, 98}
•
Conjunto dos números ímpares:
C = {1, 3, 5, 7, 9, …}
Por compreensão (sentença matemática)
O conjunto é representado por uma sentença matemática que descreve uma propriedade que caracteriza
os seus elementos.
Exemplos:
•
A = {x ∣ x ∈ ℕ , x < 8} - a sentença descreve o conjunto de números naturais ( ℕ ) menores que 8. Isto permite avaliar se um determinado elemento pertence ou não ao conjunto.
•
B = {x ∣ x é vogal }
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Revisão: 05
Por representação gráfica (diagrama de Venn)
Consiste em representar os elementos do conjunto, por pontos internos a uma figura.
Exemplo:
O diagrama a seguir representa o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Conjuntos importantes, termos e definições
(a) Pertinência
Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Para indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, usa-se o símbolo ∈ . Quando um elemento não pertence ao conjunto considerado, o símbolo usado é ∉ .
Os símbolos ∈ e ∉ são usados para relacionar elementos com o conjunto – e não relacionar dois
conjuntos.
Exemplos:
x ∈ A – o elemento x pertence ao conjunto A. Lê-se: x pertence a A.
x ∉ B – o elemento x não pertence ao conjunto B. Lê-se: x não pertence a B.
(b) Conjunto vazio
É o conjunto que não possui qualquer elemento.
Exemplos de representação:
A = {} ou A = .
(c) Conjunto unitário
É o conjunto que possui um único elemento.
Exemplos de representação:
A = {{5}} - conjunto unitário formado pelo unitário 5.
B = {{3, 7}} - conjunto unitário formado pelo par ordenado {3, 7}.
(d) Conjunto universo
É o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte do assunto tratado.
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Revisão: 05
(e) Conjuntos iguais
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e todo
elemento do conjunto B pertence ao conjunto A.
A = B  ( ∀ x ) ( x∈ A x ∈B )
Na sentença matemática acima, o símbolo ∀ significa “para todo”.
(f) Sub-conjunto
Um conjunto B é subconjunto do conjunto A se e somente se todo elemento
de B também pertence a A:
B  A ( ∀ x ) ( x ∈ B x∈ A )
B  A - lê-se: B é subconjunto de A ou B está contido em A.
B é um sub-conjunto de A:
B⊂A
A  B - lê-se: A contém B.
As notações seguintes também são usadas:
B  A - para denotar que B NÃO é um subconjunto de A
(A não está contido em B).
B NÃO É um sub-conjunto de A:
B⊄A
A⊅B - para denotar que o conjunto A não contém o conjunto B.
Observações:
•
( AB e B A ) 
A= B
•
( A  B e B C ) 
A C
Os símbolos  ,  ,  e ⊅ são usados para relacionar conjuntos entre si.
(g) Conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos quando não possuírem elementos comuns:
A ∩ B = {}
(h) Conjunto das partes
Dado um conjunto A, define-se como conjunto das partes de A ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A:
P ( A) = {X ∣X  A}
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3. Operações com conjuntos
(a) União - ∪
Dados dois conjuntos A e B, define-se como a união de A com B como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B={x ∣ x ∈A ∨ x ∈B}
Nota: o símbolo ∨ é a notação matemática para o termo lógico ou.
Notar que x ∈ {A ∪ B} se pelo menos uma das duas condições ocorrerem:
x ∈ A ou
x ∈ B
Exemplo:
1. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}:
A∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
(b) Interseção - ∩
Dados 2 conjuntos A e B, define-se como a interseção de A e B como o conjunto dos elementos que
pertencem ao conjunto A e ao conjunto B (os elementos que são comuns a A e a B):
A ∩ B={x ∣ x ∈ A ∧ x∈ B}
Nota: o símbolo ∧ é a notação matemática para o termo lógico e.
Exemplo:
1. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}:
A∩B={0, 1, 3}
Represente o diagrama de Venn referente a este exemplo.
2. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9}
A∩B={ }
Represente o diagrama de Venn referente a este exemplo.
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(c) Diferença
Dados dois conjuntos A e B, define-se como a diferença entra A e B como o conjunto dos elementos de
A que não pertencem a B:
A − B = {x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B }
B − A = {x ∣ x ∈ B ∧ x ∉ A}
Exemplos:
1. A diferença entre os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = {2, 4, 6, 8} será:
A – B = {1, 3, 5}
Represente o diagrama de Venn referente a este exemplo.
2. A diferença entre os conjuntos B = {2, 4, 6, 8} e A = { 1, 2, 3, 4, 5 }será:
B – A = {6, 8}
Represente o diagrama de Venn referente a este exemplo.
(d) Complementar de B em A
Dados dois conjuntos A e B de forma que B  A , a diferença A – B denomina-se complementar de B
em A, e é indicada por C BA .
O complementar de B em relação ao universo é representado por BC ou
B .
Exemplo:
Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e B = {2, 4, 6}, o complementar de B em relação
a A será:
C BA = {1, 3, 5, 7}
Represente o diagrama de Venn referente a este exemplo.
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Revisão: 05
3. Conjuntos numéricos
(a) Números naturais -
ℕ
São os números referentes a uma sequência de contagem: {0, 1, 2, 3, …}. O conjunto dos números inteiros naturais é representado por ℕ .
Não há números naturais negativos.
ℕ * é o conjunto dos naturais positivos (exclui o zero): {1, 2, 3, …}.
(b) Números inteiros -
ℤ
São representados por ℤ . É o conjunto de todos os inteiros positivos, negativos e o zero:
{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
ℤ*+ = {1, 2, 3, …}
ℤ * = {…, -3, -2, -1, 1, 2, 3, …}
(c) Números racionais -
ℚ
É o conjunto de números que podem ser expressos sob a forma
p
, com
q
( )
p ,q ∈ ℤ , q ≠ 0 .
O conjunto dos números racionais é representado por ℚ (Q de quociente).
Exemplos:
Representa um conjunto de números racionais:
{
9
17
5
4
1
1 1 1 7 4
C = − , − , − , − , − , 0, , , , ,
3
6
2
3
2
3 2 1 4 2
Números decimais na forma exata:
}
D = {1,2 ; 1,1; 1,0 ; 0,8 ; 0,6}
Números decimais na forma periódica:
1
= 0, 3=0,33333… ; 10,232323...=10,23
3
(d) Números irracionais
São todas as frações decimais não exatas e não periódicas. Representados por números que não
são expressos na forma
p
q
( )
Exemplos:
Representa um conjunto de números irracionais: C = { π , e ,
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√ 5 , √ 2}
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(e) Números reais -
ℝ
É o conjunto de todos os decimais, incluindo racionais e irracionais (como π, que não podem
ser expressos como quociente entre dois inteiros).
O conjunto dos números reais é representado por ℝ .
ℝ = ℚ ∪ { irracionais }
(f) Números complexos - ℂ
Conjunto dos números complexos. Todo número complexo pode ser escrito na forma algébrica :
z = a+ bi
Sendo:
i= √−1
Resumindo:
Representação dos conjuntos numéricos (o conjunto dos números complexos não está mostrado)
4. Exercícios
1. Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C = { x | x é um número par positivo menor que 10 } e
D = {x | x é um número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determinar:
(a) A∪B
(d) B∪C
(b) A∪C
(e) B∪ D
(c) A∪D
(f) C∪ D
2. Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2}, C = { x | x é par positivo menor que 10} e D = { x | x é
ímpar compreendido entre 0 e 6}, determinar:
(a) A∩B
(d) B∩C
(b) A∩C
(e) (A∩B)∩C
(c) A∩D
(f) (A∩C )∩D
3. Sendo A o conjunto dos divisores naturais de 18 e B o conjunto dos divisores naturais de 30,
escreva:
(a) O conjunto A
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(b) O conjunto B.
(c) O conjunto dos divisores comuns de 18 e 30.
(d) o máximo divisor comum de 18 e 30.
4. Sendo dadas as informações a seguir, determinar o conjunto C:
A∪B∪C={n ∈ℕ∣1  n  10}
A∩B={2, 3,8}
A∩C ={2,7}
B∩C ={2,5, 6}
A∪B={∈ℕ∣1 n  8}
5. Usando o diagrama dado a seguir, determinar:
(a) A∪B
(b) A∩C
(c) A∪C
(d) B∩C
(e) B∪C
(f) A∩B∩C
(g) A∪B∪C
(h) (A∪B)∪C
(i) A∩B
(j) (A∩B)∪C
6. Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4, 5}, determinar:
(a) A – B
(d) (A∩B) – C
(g) C BA
(b) A – C
(e) (A – C )∩( B – C )
(c) B – C
(f) A – {}
( B∩C )
(h) C A
(i) ({} – B)∪C {}
C
7. Dado o diagrama a seguir, determinar os conjuntos
solicitados, escrever os seus elementos:
A
(a) C E
B
(b) C E
A∩ B
(c) C E
A∪ B
(d) C E
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8. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7, 9}. Sendo n (A) = número de
elementos de A; n (B) = número de elementos de B; n(A ∩ B) = número de elementos
de A ∩ B e n(A ∪ B) = número de elementos de A ∪ B, mostre que: n(A ∪ B) = n(A) +
n(B) - n(A ∩ B).
9. Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90
deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Perguntas:
(a) Quantos alunos estudam apenas Matemática? (Estudam Matemática mas não
estudam Física.)
(b) Quantos alunos estudam apenas Física? (Estudam Física mas não estudam Matemática.)
(c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?
(d) Quantos alunos não estudam nenhuma das duas matérias?
10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem
o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos.
11. Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um
dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram
o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
12. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez
e 3 mulheres jogam xadrez. Calcule o número de homens que não jogam xadrez.
13. Uma cidade com 10 000 habitantes tem dois clubes de futebol: A e B. Numa pesquisa
feita com seus habitantes, constatou-se que 1200 pessoas não apreciam nenhum dos
dois clubes, 1 300 apreciam os dois clubes e 4 500 apreciam o clube A.
(a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?
(b) Quantas apreciam o clube B?
(c) Quantas apreciam apenas o clube B?
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