01 - UBI
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Introdução à Dinâmica Analítica Vibrações e Ruído (10375) 2016 Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais Tópicos • • • • • 2 Contextualização e perspetiva histórica. Revisões de conceitos físicos fundamentais. Tipos de solicitações dinâmicas. Discretização de sistemas e graus de liberdade. Elementos de um sistema vibratório. Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 1. Perspetiva Histórica • O movimento dos corpos e o equilíbrio de forças é assunto de discussão desde a Antiguidade explicação de fenómenos naturais e evidências da vida quotidiana. • Aristóteles (384-322 a.C.) acreditava que um corpo só podia manter um movimento uniforme desde que fosse sujeito à ação de uma força contínua; não havia conceitos básicos como atrito, massa e pressão atmosférica! Alguns princípios da Mecânica estática foram compreendidos, mas o mesmo não se passou relativamente à cinemática e dinâmica. 3 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 1. Perspetiva Histórica • Galileu (1564-1642) debruçou-se sobre as leis da dinâmica constatou a independência entre o peso e o período de oscilação de corpos suspensos (experiências de quedas de corpos na torre de Pisa); introduz o conceito de aceleração e de inércia de movimento. • Newton (1643-1727) introduz o conceito de referencial inercial em repouso ou em movimento uniforme em relação a um espaço fixo; identifica a força como sendo igual ao produto da massa pela aceleração; adota o conceito de quantidade de movimento definido por Descartes (1596-1650); formula teorias sobre a atração das montanhas sobre um pêndulo e sobre a velocidade do som no ar; introduz o conceito de massa. 4 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 1. Perspetiva Histórica • Huygens (1629-1695) formulou a teoria da força centrífuga e inventou o movimento pendular baseado naquela força; prefere recorrer ao trabalho como entidade principal do movimento dos corpos. • D’Alembert (1717-1783) publica o Tratado da Dinâmica onde refere que o somatório de todas as forças (de inércia, aplicadas ou de reação) dão origem a uma força efetiva que terá de ser igual a zero para que um corpo esteja em equilíbrio; trabalhou na teoria de vibrações de cordas. 5 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 1. Perspetiva Histórica • Euler (1707-1783) desenvolveu o cálculo variacional, propondo um método geral para a determinação de funções máxima e mínima. • Lagrange (1736-1813) abordou os problemas de dinâmica numa perspectiva puramente matemática, sendo o pai da Mecânica Analítica (ao invés de Newton que tinha preferido uma abordagem geométrica ou sintética). 6 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 1. Perspetiva Histórica • Hamilton (1805-1865) procurou deduzir as equações da dinâmica a partir de um princípio geral aplicando o cálculo variacional; deduziu equações que são formas canónicas das equações da dinâmica. 7 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 2. Implicação na Integridade Estrutural Um sistema dinâmico sujeito à ação de uma força variável no tempo (em termos de grandeza, direção ou posição) responderá com uma variação do seu estado de equilíbrio. Eventualmente esta resposta apresentará um caráter alternativo/oscilatório e repetitivo no tempo, traduzindo-se numa vibração. As vibrações dos sistemas mecânicos podem implicar fatores indesejáveis: • Fadiga (do material). • Desgaste/atrito/fretagem. • Ruído. • Fratura catastrófica do componente. 8 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Diminuição dos níveis da fiabilidade! Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 2. Implicação na Integridade Estrutural O objetivo da análise dinâmica é a determinação dos deslocamentos, velocidades e acelerações e, consequentemente, forças, tensões e deformações transmitidas ou adquiridas pelos sistemas ou estruturas quando sujeitos a solicitações dinâmicas. Tacoma Narrows Bridge (1940) 9 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Princípio da inércia (Galileu): uma partícula, num referencial de inércia, quando não está a ser atuada por quaisquer forças exteriores, tende a conservar o seu estado de repouso ou de movimento uniforme retilíneo: F 0 v const. • Princípio da quantidade de movimento (ou momentum): uma força aplicada a uma partícula iguala a taxa de variação no tempo do seu momentum: dp d mv para m constante dv F F m ma dt dt dt 10 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Princípio da ação e reação: se uma partícula i exercer uma força sobre outra partícula j, Fij, então a partícula j exercerá uma força de reação Fji igual e oposta sobre a partícula i: Fij F ji • Princípio da sobreposição: se existirem várias forças a atuar simultaneamente sobre uma partícula, esta mover-se-á como se sofresse a ação de uma força equivalente à soma vetorial de todas as forças: R Fi i 11 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Trabalho: se uma força F atuar sobre uma partícula cuja posição no espaço é definida pelo vetor r, e se essa partícula tiver um deslocamento elementar dr, diz-se que a força realizou um trabalho elementar dW dado por: dW F dr Note-se que, em geral, o trabalho é uma grandeza que, sendo função de propriedade de um sistema, não é uma função de estado, i.e., o seu valor depende do caminho percorrido entre o estado inicial e o final. Então, dW não é uma diferencial exata! No entanto, no caso particular do trabalho realizado por uma força conservativa (onde rotF=0), então o trabalho não dependerá da trajetória, podendo ser traduzido por uma diferencial exata. 12 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Energia potencial gravítica: a relação entre o trabalho realizado pelo peso de um corpo (força constante e conservativa) e a energia potencial gravítica associada pode ser determinada como: WA1 A2 VA1 VA2 VA2 VA1 onde VA1 e VA2 representam a energia potencial nas posições A1 e A2, respetivamente. 13 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Energia potencial elástica: considere-se um corpo ligado a uma estrutura fixa através de uma mola com rigidez k (ver figura). Em (a) a mola não está distendida. Quando se desloca o corpo para a posição representada em (b), a mola distende-se do valor x1, exercendo uma força no corpo que é oposta ao deslocamento, i.e., F1=-kx1. Em (c) teremos F2=-kx2 e numa posição genérica intermédia F=-kx. 14 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais O trabalho elementar realizado pela força exercida pela mola quando o corpo se desloca uma distância dx é dW Fdx Como F=-kx, então x2 dW kxdx W12 kxdx x1 1 2 1 2 kx1 kx2 2 2 A energia potencial elástica acumulada pela mola é dada por V 1 2 kx 2 Daqui se conclui que o trabalho é dado pela variação da energia potencial elástica da mola. 15 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Relação entre trabalho e energia cinética: a relação entre estas duas grandezas pode ser definida como: r2 Wr1 r2 dT T2 T1 r1 O trabalho realizado por uma força ao deslocar uma partícula de uma posição r 1 para outra r2 é igual à correspondente variação de energia cinética (T). Note-se que esta expressão permite relacionar uma diferencial não-exata com uma diferencial exata, pelo que facilmente poderemos determinar o trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula de uma posição r1 para uma posição r2 através de uma função que só depende da velocidade em cada uma destas posições, i.e., a energia cinética. 16 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais • Princípio da conservação da energia: a taxa de variação do trabalho das forças não-conservativas, ou seja, a potência dissipada (ou fornecida) é igual à taxa de variação da energia total do sistema. Considerando uma força conservativa, podemos escrever: dW F dr dV Da relação entre o trabalho e a energia cinética: dT dV d (T V ) 0 d (T V ) 0 T V E const dt Nesta expressão, E traduz a energia total do sistema. 17 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 3. Conceitos Fundamentais Se considerarmos a ação conjunta de forças conservativas e nãoconservativas, i.e., considerando F=Fc+Fnc,, e fazendo o produto interno com dr: F dr Fc dr Fnc dr dT dV Fnc dr d (T V ) dE Fnc dr Finalmente, dividindo ambos os membros por dt: d T V Fnc r dt 18 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 4. Tipos de Solicitações Dinâmicas Existem dois tipos de cargas dinâmicas: periódicas e não periódicas. • Cargas periódicas: ocorrem em componentes que operem em condições estáveis e a velocidade constante. Podem ser do tipo harmónico ou não-harmónico. 19 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 4. Tipos de Solicitações Dinâmicas • Cargas não periódicas: ocorrem apenas em períodos curtos de arranque, paragem e mudança de velocidade dos equipamentos, tendo um caráter transitório. 20 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 4. Tipos de Solicitações Dinâmicas Pode ainda considerar-se a existência de 2 processos distintos para avaliar a resposta dos sistemas face a solicitações dinâmicas: • Determinísticos – quando a variação da carga ao longo do tempo for perfeitamente conhecida. • Estocásticos – quando a variação da carga ao longo do tempo não for perfeitamente conhecida, sendo necessário recorrer à sua representação por métodos estocásticos (ex. cargas aleatórias). 21 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios Basicamente, para que ocorra a vibração de um sistema mecânico é necessário o contributo de dois fatores fundamentais: a inércia e as forças elásticas (de restituição). No entanto, o comportamento real de um sistema vibratório exige a consideração de um 3º elemento responsável pela dissipação de energia: o amortecimento. O mecanismo de vibração pressupõe o fornecimento de energia através de uma força de excitação aplicada ao sistema. 22 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios A vibração envolve a transferência de energia entre as seguintes formas: • Cinética – movimento de massa. • Potencial – deformação da mola (com rigidez k e massa nula). • Térmica – dissipação de energia sob a forma de calor no amortecedor (com massa nula e constante de amortecimento c). 23 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios A figura abaixo ilustra os elementos do sistema vibratório linear. 24 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.1. Inércia No caso de um corpo em translação, a inércia é quantificada pela sua massa. Num corpo em rotação, a inércia corresponde ao momento de inércia em relação ao eixo de rotação. As forças de inércia estão relacionadas com as acelerações de translação ou de rotação. Por exemplo, num sistema linear F mx onde m é a massa em [kg]. Por exemplo, num sistema angular M I onde I é o momento de inércia em [kg.m]. 25 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição As forças de restituição são forças que dependem da posição e são conservativas. Podem ser elásticas (molas, barras rígidas à flexão, etc.) ou gravíticas (ex. movimento pendular). Podem ter comportamento linear ou não. Como exemplo de uma força que depende do deslocamento temos a mola da figura 26 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição A mola sofre uma deformação que, na maioria das situações, tem um comportamento elástico obedecendo à Lei de Hooke F k x2 x1 (1) onde k é a constante da mola ou a constante da rigidez, tendo como unidades [N/m]. Por vezes usam-se combinações de molas sendo de particular interesse as associações em série e em paralelo como as indicadas na figura 27 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição No caso da associação de 2 molas em paralelo tem-se Fp1 k1 x2 x1 Fp 2 k2 x2 x1 Para haver equilíbrio Fp Fp1 Fp 2 Fp keq x2 x1 com keq k1 k2 (2) Logo, para n molas associadas em paralelo n keq ki i 1 28 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição No caso da associação de 2 molas em série tem-se Fs1 k1 x0 x1 Fs 2 k2 x2 x0 Neste caso tem-se Fs Fs1 Fs 2 Fs keq x2 x1 com 1 1 keq k1 k 2 1 (3) Logo, para n molas associadas em série n 1 keq i 1 ki 29 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa 1 Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.2. Forças de Restituição Exemplo 1.01: Modele o sistema representado na figura por um bloco ligado a uma única mola com uma constante de rigidez equivalente. 30 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.3. Amortecimento O amortecimento de um sistema vibratório é introduzido através de componentes específicos, amortecedores, ou então resulta do atrito entre os vários componentes do sistema. No caso dos amortecedores viscosos, verifica-se uma variação linear entre a força e a diferença das velocidades produzida nas suas extremidades, obtendo-se a relação F cx2 x1 (4) Neste caso, a constante c representa o coeficiente de amortecimento tendo como unidades [Ns/m]. 31 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.3. Amortecimento De forma análoga às molas também os amortecedores poderão ser associados em série ou paralelo, resultando num ceq igual a, respetivamente, e 32 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais 1 1 ceq c1 c2 1 (5) ceq c1 c2 Pedro V. Gamboa (6) Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.3. Amortecimento Quando um sistema é excitado externamente num instante t=0, por uma força ou deslocamento, o seu movimento dinâmico toma o nome de vibração forçada. Se após este instante inicial as perturbações externas deixam de existir, o movimento oscilatório do sistema passa a ter o nome de vibração livre. Estas vibrações livres descrevem um comportamento natural traduzido pelos modos naturais de vibração do sistema. Com o efeito do amortecimento é expectável que as vibrações livres tendem a parar até ao sistema ficar na sua posição de equilíbrio estático. 33 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios No caso de termos um sistema rotativo, as componentes do sistema são: I - momento de inércia kt - rigidez da mola à torção ct - coeficiente de amortecimento - deslocamento angular T(t) - momento excitador 34 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios A tabela seguinte representa um resumo das diversas forças que atuam tanto em sistemas retilíneos (lineares) como momentos que atuam em sistemas rotativos: Sistema Retilíneo 35 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Sistema Rotativo Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade O número de graus de liberdade de um sistema é o número de movimentos independentes que aquele pode assumir, sendo esses movimentos representados através de coordenadas que permitem definir a posição desse sistema em qualquer instante. É comum usar a nomenclatura abaixo neste contexto: • DOF – degrees of freedom • SDOF – single degree of freedom • MDOF – multiple degree of freedom 36 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Um sistema com número finito de DOF é chamado sistema discreto, ao passo que um sistema com um número infinito de DOF é chamado sistema contínuo. Muitos sistemas contínuos podem no entanto ser analisados com uma precisão aceitável como sistemas discretos em função da escolha do número de graus de liberdade. 37 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Exemplo: Viga rígida sujeita à flexão. • Um corpo rígido no espaço 3D terá 6 DOF – 3 rotações e 3 translações • No plano 2D terá 3 DOF – 1 rotação e 2 translações 38 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Exemplo: Duas barras. • As barras separadas da Figura 5(a) têm 6 DOF • As barras ligadas através de uma articulação, Figura 5(b), passam a ter 4 DOF 39 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Exemplo: 1 DOF. • pistão movendo-se dentro de um cilindro de motor alternativo • movimento de um disco de turbina • suspensão de um veículo automóvel (caso simplificado!) 40 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Exemplo: 2 DOF. 41 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior 5. Sistemas Vibratórios 5.4. Modelos de Sistemas e Graus de Liberdade Exemplo: 4 DOF. 42 Vibrações e Ruído – 2014-2016 Departamento de Ciências Aeroespaciais Pedro V. Gamboa Faculdade de Engenharia Universidade da Beira Interior
