Respostas associação de resistores

Solucionário
PVE17_4_FIS_C_13
Associação de resistores
c) A intensidade da corrente total é:
i = i1 + i2 + i3
1. Primeiro, identificamos os nós internos da associação. Podemos
verificar que há três resistores associados em série entre os nós
internos da associação:
18 Ω
2Ω
i=1+3+2=6A
3.
a) A resistência equivalente da associação em série dos dois
resistores é:
Req = R + 5 R → Req = 6 R
Pela 1.ª Lei de Ohm:
5Ω
2Ω
5Ω
U
18
→ 6R =
i
0, 5
18
R=
→R = 6Ω
6 ⋅ 0, 5
R eq =
3Ω
Resistores associados em série
A resistência equivalente desses resistores em série é:
Req = 2 Ω + 5 Ω + 3 Ω = 10 Ω
Com isso, entre os nós internos, temos uma associação em paralelo:
b) Na associação em série, a corrente elétrica que atravessa os dois
resistores é a mesma, mas a ddp é diferente. Pela Primeira Lei de
Ohm, a ddp no resistor de resistência R é:
U1
→ U1 = Ri
i
U1 = 6 ⋅ 0 , 5 → U1 = 3 V
18 Ω
R=
5Ω
2Ω
10 Ω
Resistores associados em paralelo
A resistência equivalente para dois resistores em paralelo é dada por:
R ⋅R
R eq = 1 2
R1 + R2
Req =
5⋅10 50
= ≅ 3,3 Ω
5 + 10 15
Sabemos que a ddp total do circuito é a soma da ddp em cada
resistor, então, podemos calcular a ddp no resistor de resistência 5 R.
U = U1 + U2 → U2 = U – U1
U2 = 18 – 3 → U2 = 15 V
c) A potência elétrica dissipada nos resistores pode ser determinada de duas maneiras. Lembrando que as expressões para a
potência são:
Por fim, temos a associação em série cuja resistência equivalente é:
18 Ω
2
=
Pot Ri=
Pot
U2
R
A potência dissipada em R1 = R = 6 Ω:
3,3 Ω Resistores associados
em série
Pot = Ri2 → Pot = 6 ⋅ ( 0 , 5 )
2
→ Pot = 1, 5 W
A potência dissipada em R2 = 5 R = 30 Ω: :
Pot = Ri2 → Pot = 30 ⋅ ( 0 , 5 ) → Pot = 7, 5 W
2
2Ω
d) A potência dissipada no circuito é:
Req = 18 Ω + 3,3 Ω + 2 Ω
Req = 23,3 Ω
Pot =
2.
a) Temos uma associação em paralelo, assim, a resistência equivalente é:
1
1
1
1 1+ 3 + 2
=
+
+
=
60
R eq 60 20 30
Re q =
60
→ R e q = 10 Ω
6
PVE17_4_FIS_C_SOL
Pot = 9 W
Observe que esse resultado é o mesmo obtido com a soma das
potências dissipadas em cada resistor:
Pot = 1,5 + 7,5 = 9 W
4. Os nós nas extremidades dos fios têm a mesma ddp. Assim, no-
Observe que a resistência equivalente é menor que a menor das
resistências da associação.
b) A intensidade da corrente em cada resistor é dada pela equação:
U
=i =
i2
R
60
=
=
i1 = 1A
i3
60
U2
U2
182
→ Pot =
→ Pot =
Re q
6R
36
60
= 3A
20
60
= 2A
30
meamos os nós internos utilizando a mesma letra em que a ddp
é a mesma.
A
20 Ω
B
20 Ω
10 Ω
B
A
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349
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Observe que cada resistor está entre os pontos A e B. Desse modo,
podemos identificar que os resistores estão associados em paralelo
e redesenhamos a associação como:
20 Ω
1. B
10 Ω
20 Ω
série – soma = 24 Ω
12 Ω
A resistência equivalente, nesse caso, é dada por:
1
1 1 1
= + +
Req 20 10 20
cia R = 30 Ω. A resistência equivalente dessa associação é dada por:
R
=
n
18 Ω
R eq1 = R1 + R2 = 12 + 12 = 24 Ω
i
18 Ω
A 15 Ω
D
B
6Ω
12 Ω
6Ω
Identificamos os resistores associados em paralelo entre os pontos
C e D. Os resistores em curto-circuito são retirados da associação.
Assim, temos:
18 Ω
15 Ω
A
D
C
B
6Ω
A resistência equivalente para os dois resistores associados em
paralelo é:
1
1 1
1 1+ 3
= +
→
=
Req 18 6
Req 18
Req =
18
→ Req = 4, 5 Ω
4
15 Ω
4,5 Ω
A resistência equivalente é, portanto:
Req = 15 Ω + 4,5 Ω → Req = 19,5 Ω
350
R/2
i’/2
R/2
U
Fig 2
Consideremos que na figura 1 a resistência elétrica do fio é R e a
corrente é i. Sendo U a ddp fornecida pela bateria, aplicando a 1.a
Lei de Ohm, temos:
U
i=
R
De acordo com a 2.a Lei de Ohm, a resistência elétrica é diretamente
proporcional ao comprimento. Então, ao se cortar o fio ao meio, a
resistência elétrica de cada pedaço é metade da resistência do fio
inteiro, ou seja:
R
R=
R=
1
2
2
Colocando-se os dois pedaços em paralelo como na figura 2, a
resistência do circuito será:
R
R
R′ = 2 =
2 4
A corrente i’ no circuito é:
U U 4U
U′ = = =
R′ R R
4
U′ = 4i
As correntes nos pedaços são:
i′ 4i
i1 = i2 = = = 2i
2 2
Por fim, temos que a associação de dois resistores em série entre
os terminais:
A
i’
U
Fig 1
6Ω
Observe que as tensões nos nós D e E são iguais, ou seja, esses pontos
estão em curto-circuito e a corrente elétrica não passa pelos resistores que estão entre esses pontos (é como se esses resistores fossem
retirados da associação). Redesenhamos a associação:
C
i’/2
R
12 Ω
E = D
C
D
6Ω
B
24/3 = 8
Dois resistores estão em série e formam um equivalente em paralelo
ao terceiro resistor.
Sendo assim:
6. Inicialmente, nomeamos os nós internos (C, D e E) da associação:
C
8Ω
Para a associação em paralelo:
R ⋅R
24 ⋅ 12 288
R eq2 = eq1 3 =
=
= 8Ω
R eq1 + R3 24 + 12 36
2. A
As figuras 1 e 2 ilustram a situação descrita:
Como R = 30 Ω e n = 15, temos que:
30
Req =
→ Req = 2 Ω
15
15 Ω
C
12 Ω
5. Temos uma associação em paralelo de resistores de mesma resistên-
A
12 Ω
12 Ω
24 Ω
1 1+ 2 + 1
1
4
=
→
=
→ Req = 5 Ω
20
Req
Req 20
R eq
B
B
B
B
3. C
Inicialmente calculamos a resistência das lâmpadas L1 e L2 (que por
serem idênticas, possuem resistências iguais):
P=
U2
1002
→ 100 =
→ R = 100 Ω
R
R
Como a lâmpada L1 deve brilhar dentro de suas características nominais (100 W), sua tensão deve ser de 100 V, logo a tensão no resistor R1
também será de 100 V, pois está em série com L1 e a tensão aplicada
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A
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aos dois é de 200 V. Portanto, o resistor R1 deve ter o mesmo valor
que L1 (100 Ω), já que estão em série (possuem a mesma corrente) e
também possuem a mesma d.d.p. (lembrando que U – R · i).
R1 = 100 Ω
Resistor R2:
Como a potência na lâmpada L2 deve ser de 64 W, temos:
U2
U2
P=
→ 64 =
→ UL2 = 80 V
R
100
6. D
Analisando as figuras a seguir:
Figura 1
A
Como resistores em série possuem a mesma corrente, a corrente
em L2 é a mesma que em R2. Sendo I = U/R, temos:
UR2
R2
=
UL2
R
→
120 80
=
→ R2 = 150 Ω
R2 100
R1
i
B
+
12 V
Aquecedor
–
Raq
i2
R2
i1
4. D
Relação entre P2 e P3:
Como R2 = R3 = R e como eles estão em paralelo, estão submetidos
à mesma ddp (tensão) U e são percorridos pela mesma corrente
2
2
2
elétrica i2 = i3 = i → P2 = R2 ⋅ i2 = R ⋅ i2 → P3 = R3 ⋅ i3 = R ⋅ i
C
Figura 2
A
Portanto P2 = P3
Potência em R1:
Pelo enunciado R1 =
i
R2 R3 R
= = → i1 = i2 + i3 = i + i = 2i
2
2 2
2
R
P1 = R1 ⋅ i12 =   ⋅ ( 2i ) → P1 = 2 ⋅ R ⋅ i2
2
mas,
R · i2 = P2 = P3 → P1 = 2P2 = 2P3
+
Fazendo um curto-circuito entre os pontos M e N todos os resistores
em paralelo não mais recebem corrente e temos apenas dois resistores em série. A resistência equivalente RF será:
RF = 2R
U2
Como sabemos que a bateria é a mesma nos dois casos e que P = ,
r
temos:
3ε2
ε2
PI =
→ PI =
7R
7R
3
B
i
Req
VBC = 6 V
C
Logo: UAB = UAC
R1 ⋅ i = R eq ⋅ i → R AQ = R1
Na figura 1, as resistências R2 e RAQ estão em paralelo, logo:
R AQ < R2 → R1 < R2
Cálculo de i1 no aquecedor
P = U ⋅ i1 → 12 = 6 ⋅ i1 → i1 = 2A
Como: i = i1 + i2 → i = 2 + i2 → i > 2A
Em R1 (se i = 2A )
R1 =
UAB
6
→ R1 = = 3 Ω
i
3
Para i > 2A
U
↓ R1 = AB → R1 < 3 Ω
i↑
PVE17_4_FIS_C_SOL
Para a outra potência teremos:
ε2
PF =
2R
P
Calculando F , teremos:
PI
ε2
PF 2R
P ε2 7R
P 7
= 2 → F= ⋅ 2→ F=
PI 3ε
PI 2R 3ε
PI 6
7R
VAB = 6 V
–
12 V
5. D
Enquanto não há o curto-circuito entre os pontos M e N, tem-se
um resistor R em série com um paralelo de três resistores R em
série com um resistor R. A resistência equivalente, nesse caso, é R1.
Essa resistência vale:
R
7R
R1 = R + + R → R1 =
3
3
R2
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351
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R1 =
1. D
Maior corrente implica em maior potência e consequentemente
em menor resistência.
2. B
Como a tensão sobre todos os resistores é U = 18 V , temos:

U 18
= 6A
 i1 = =
3
R
1

U 
U 18
i = → i2 = =
= 3A
6
R
R
2


U 18
= 2A
i3 = =
R3 9

R2
3
20
Ω
3
E a resistência equivalente da associação em paralelo delas:
20
400
20.
400
R1.R2
3
R eq =
=
= 3 =
= 5Ω
80
80
R1 + R2 20 + 20
3
3
R1 =
Assim, podemos calcular o valor da corrente:
U = R eq ⋅ i
6 = 5 ⋅i
i = 1, 2 C
Por fim, calculemos R:
3. B
U = R ⋅i
Esquematicamente, temos:
B
2R
A
A
R
6 = R ⋅ 1, 2
R
R=
6
= 5Ω
1, 2
6. D
B
A
2R
A
A
R
CC
A
CC
A
A
2R
B
b c 1
= =
a b 2
A
R
A
Os dois resistores de valor R estão em curto-circuito porque seus terminais de entrada estão ligados aos seus terminais de saída por um
fio de resistência desprezível. Não circula corrente em um resistor em
curto. Estão fora do circuito. Apenas o resistor 2R está funcionando.
4. C
itotal = i1 + i2
4 , 5 = 3 + i2
Logo,
b 1
= → a = 2b
a 2
c 1
b
= →c=
b 2
2
b
Portanto, a P.G. é: (2a, b, ).
2
O circuito da questão está em paralelo:
1
1 1 1
= + +
R eq R1 R2 R3
b
, então:
Como R eq = 2 Ω e R1= a= 2b ; R2 = b e R3= c=
2
1 1 1 1
=
+ +
2 2b b b
2
i2 = 4 , 5 − 3 = 1, 5 A
1 1
2
4
=
+
+
2 2b 2b 2b
Tensão para 10 Ω:
U = R ⋅ i = 10 ⋅ 3 = 30 V
1 7
=
2 2b
Como a tensão é igual para todo o circuito, temos:
U = R ⋅i
30 = R ⋅ 1, 5
30
R=
= 20 Ω
1, 5
5. C
As resistência 2 e 1 serão:
U = R2 .i
6 = R2 .0 , 30
R2 = 20 Ω
352
b = 7Ω
Logo,
a = 2b = 2 ⋅ 7 = 14 Ω
c=
b 7
= = 3, 5 Ω
2 2
Então:
a + b + c = 14 + 7 + 3, 5 = 24 , 5 Ω
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A
1
Temos que a, b e c estão em P.G. cuja razão é .
2
Então, temos:
FÍSICA C
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7. 35 (01 + 02 + 32).
 R ⋅ R eq 
=R
2r + 
 R + R  eq
eq 

(1) Correta. Pelo enunciado, a resistência interna do LED é desprezível (r = 0), a ddp da bateria com 3 pilhas ligadas em série
vale U = 3 ⋅ 1, 5 = 4 , 5 V , que é a mesma para cada LED, pois todos estão em paralelo. Pela Lei de Ohm:
R=
2R2 + 2RR eq + R ⋅ R eq = R ⋅ R eq + R2eq
R2eq − 2R ⋅ R eq − 2R2 = 0
U 4, 5
=
⋅ 10 −2 → R = 225 Ω
i
2
R eq
(2) Correta. A lanterna funciona da seguinte forma: ao acioná-la
pela primeira vez, a chave 1 é ligada; ao acioná-la pela segunda vez, a chave 2 é ligada, portanto, a corrente que percorre
a chave 2 (3 leds = 60 mA) é igual a corrente que percorre a
chave 1 (3 leds = 60 mA) quando somente ela é acionada.
R eq =
(5) Falsa. Cada LED tem resistência interna nula e resistência adicional de R = 225 Ω. Com a chave 1 ligada você terá 3 LEDs de
R1 + R2 = R (I)
Paralelo:
R
B
R
⇒
R
D
R1 ⋅ R2 3R
=
R1 + R2 16
R1 ⋅ R2 3R
=
R
16
R1 ⋅ R2 =
R
Req
3R2
(II)
16
Resolvendo o sistema composto por (I) e (II):
R1 =
R
4
R2 =
3R
4
e
A
R
)
A outra solução levaria a R eq < 0 .
Como o circuito é constituído por um número infinito de resistores
idênticos, concluímos que a resistência equivalente do circuito entre
os extremos A e B é igual à resistência equivalente, considerando os
extremos C e D. Assim, temos:
C
2R ± 12R2 2R ± 2R 3
=
2
2
9. Série:
8. E
R
)
2
(
resistência R = 225 Ω associados em paralelo e a resistência
225
= 75 Ω . Com a chave 2 também liequivalente vale R eq =
3
gada você terá 6 LEDs de resistência R = 225 Ω associados em
225
paralelo e a resistência equivalente vale R eq =
= 37, 5 Ω .
6
(6) Correta. R = U/i, veja que, como U = 4,5 V e é constante, R é
inversamente proporcional a i.
A
( 4R2 − 4 ⋅ 1⋅ ( −2R2 )
R eq = R ± R 3 = R 1+ 3
(3) Falsa. A corrente que percorre a chave 1 é o dobro da corrente
que percorre a chave 2.
(4) Falsa. Estão em paralelo.
(2R ±
=
10.
a)
R eq =
B
4R ⋅ 6R
= 2, 4R
4R + 6R
Sendo R = 20 Ω
R eq = 2, 4 ⋅ 20 = 48 Ω
A
C
R
R
B
R
A
Req
⇒
D
Req
B
b)
1) Cálculo da intensidade i1 da corrente no trecho ADEFB:
U = R1 ⋅ i1 → 120 = 80 ⋅ i1 → i1 = 1, 5 A
2) Cálculo da intensidade i2 da corrente no trecho ACGB:
U = R2 ⋅ i2 → 120 = 120 ⋅ i2 → i2 = 1, 0 A
3) Potências dissipadas
Cor azul (DEF):
A
A
R
R . Req
R + Req
B
R
⇒
Req
B
PA = RDF ⋅ i12 → PA = ( 2 ⋅ 20 ) ⋅ (1, 5 ) = 90 W
2
Cor vermelha (FBG):
PV = RFB ⋅ i12 + RBG ⋅ i22 → PV = 20 ⋅ 1, 52 + 20 ⋅ 1, 02 = 65 W
Cor laranja (CAD):
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PL = R AD ⋅ i12 + R AC ⋅ i22 → PL = 20 ⋅ 1, 52 + 20 ⋅ 1, 02 = 65 W
4) Potência total dissipada pelos três conjuntos:
Ptotal = PA + PV + PL = 90 + 65 + 65 = 220 W
FÍSICA C
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