1. Um corpo de 5 quilogramas sobre uma superfície

1. Um corpo de 5 quilogramas sobre uma superfície horizontal sem atrito
oscila preso a uma das extremidades de uma mola de constante de força
igual a 2,0kN/m com uma energia mecânica total de 5,0J. (a) Qual é a
amplitude do movimento? (b) qual é a velocidade máxima?
2. Considere o sistema ilustrado na Figura 1. Um pêndulo simples de comprimento L = 1m e massa de 1kg colide elasticamente com uma massa
N
m = 1kg acoplada a uma mola de constante k = 150 m
(em uma colisão
elástica de dois sistemas de mesma massa, após a colisão eles trocam de
velocidade). Considere que não há dissipação de energia por atrito. Calcule o intervalo de tempo que irá decorrer dentre três ciclos do movimento
combinado do pêndulo com a massa.
1
Figura 1: Diagrama esquemático ilustrando o sistema da questão 2.
3. Determine o momento de inércia de rotação de um cilindro de massa
m =1kg, do qual é extraída uma cavidade cilíndrica de seu centro, de
massa 0.125kg, girando por um eixo longitudinal que passa a um centímetro de seu centro de massa, conforme ilustrado na Figura 2.
2
Figura 2: Diagrama esquemático ilustrando o sistema considerado na questão
3.
4. Um pêndulo físico é constituído de uma esfera de raio r =5cm, e massa
1kg, ligada por uma barra métrica de massa 1.5kg, conforme ilustrado na
Figura 3. Determine o período de oscilação desse pêndulo.
Figura 3: Diagrama esquemático do sistema referente a questão 4.
5. Um corpo de massa m = 0.5kg oscila com um MHS ao longo do eixo dos
x. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação:
π rad
π
x = (2.0m) cos
t+
.
4 s
6
3
(a) Determine a amplitude, frequência e período do movimento.
(b) Determine a energia potencial e a energia mecânica do sistema.
Soluções
1.
(a) A amplitude do movimento pode ser determinada a partir de sua
energia mecânica:
1
Em = kx2m
2
1 2
⇒ kxm = Em
2
Em
⇒x2m = 2
rk
Em
⇒xm = 2
k
s
5.0J
= 2
N
2.0 × 103 m
= 7.07 × 10−2 m.
(b) A velocidade máxima pode ser determinada a partir da expressão da
velocidade que é a derivada da posição em relação ao tempo. O fator
que multiplica a função seno fará o o papel da amplitude e portanto
poderá ser considerada a velocidade máxima e mínima dele.
dx
dt
d
= xm cos (ωt + φ)
dt
= −ωxm sin (ωt + φ) .
|{z}
v=
vm
Daí,
vm
= ωxm
r
k
=
xm
m
s
N
2.0 × 103 m
=
7.07 × 10−2 m
5kg
m
= 1.41 .
s
4
2. Considere que o pêndulo é liberado. Ele irá se deslocar em direção à massa
acoplado a mola, e colidir elasticamente com ela. Esse movimento equivale
a um quarto do ciclo do movimento do pêndulo quando oscila livremente.
Logo tal intervalo de tempo é o período que leva para um ciclo se completar
T
dividido por 4: ∆t1 = 4p . Bom, a seguir em uma colisão elástica entre
a massa do pêndulo a massa acoplada mola. Como as duas massas são
iguais elas vão trocar de velocidade. O pêndulo para, e a massa começa
a comprimir a mola até atingir uma posição chamada de amplitude então
retorna até sua posição original. Esse intervalo de tempo corresponde a
metade do período do movimento do sistema massa mola quando oscila
livremente: ∆t2 = T2m . Daí, ocorre uma nova colisão elástica da massa
com pêndulo, que retorna à sua posição original no intervalo de tempo de,
T
novamente, um quarto do período do ciclo do pêndulo: ∆t3 = 4p . De
forma que o intervalo de tempo para que um círculo de se ocorra é:
T = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3
Tm
Tp
Tp
+
+
⇒T =
4
2
4
Tp
Tm
=
+
.
2
2
Isso implica que o intervalo de tempo decorrido até que três ciclos se
completem é:
∆t = 3T
Tp
Tm
⇒∆t = 3
+
2
2
3
= (Tp + Tm )
2
s
r !
3
l
m
2π
+ 2π
=
2
g
k
!
s
s
1m
1kg
= 3π
+
N
9.8 sm2
10 m
= 5.99s.
3. Para isso, será necessário considerar que o cilindro cheio tem um momento
de inércia rotacional em relação ao seu centro de massa dado por
CM
CM
CM
Ic,c
= Ic,o
+ Ic,i
,
CM
sendo Ic,o
o momento de inércia rotacional do cilindro oco, ou seja do
CM
cilindro com a concavidade; e Ic,i
é Momento de inércia rotacional do
cilindro interior que será extraído do cilindro cheio, também em relação
5
ao centro de massa. Logo,
CM
CM
CM
Ic,c
= Ic,o
+ Ic,i
CM
CM
CM
⇒Ic,o
= Ic,c
− Ic,i
CM
CM
= Ic,c
− Ic,i
Tais momenta são dados por
I=
M R2
.
2
Isso implica que
CM
Ic,o
=
=
(1kg) 10 × 10−2 m
2
1.06 × 10−4 kgm2 .
2
−
(0.125kg) 5 × 10−2 m
2
2
Para determinar o momento de inércia de interesse, em relação ao eixo
que dista 1cm do eixo que passa pelo centro de massa, usa-se o teorema
dos eixos paralelos:
CM
Ic,o = Ic,o
− M h2
= 1.06 × 10−4 kgm2 − (1kg − 0.125kg) 1 × 10−2 m
2
= 1.88 × 10−5 kgm2 .
4. Para determinar o período, é preciso determinar primeiro o momento de
inércia rotacional desse movimento.
I = Icilindro + Iesfera .
O momento de inércia do cilindro é
Icilindro
=
M L2
.
3
O da esfera é determinada pelo Teorema dos eixos paralelos:
2
Iesfera = M R2 + M h2esfera ,
5
sendo hesfera a distância do eixo de rotação ao centro de massa, que é
exatamente o comprimento da barra mais o raio da esfera:
hesfera = L + R,
o que implica em
2
2
Iesfera = M R2 + M (L + R) .
5
6
O período de um pêndulo físico é
T
2π
2π
=q
ω
M gh
=
I
s
=
2π
I
.
M gh
A distância h é a distância do eixo de rotação ao centro de massa do
sistema. Mas, esse centro de massa é dado por
Mbarra L2 + Mesfera (L + R)
Mbarra + Mesfera
1m
(1kg) 2 + (1.5kg) 1m + 5 × 10−2 m
=
1kg + 1.5kg
−1
= 8.3 × 10 m.
h = rCM =
De forma que
T
=
2π
=
2π
s
M L2
3
s
L2
+ 52 M R2 + M (L + R)
M gh
v h
i
u
u M L2 + 2 R2 + (L + R)2
t
3
5
2
M gh
3
+ 52 R2 + (L + R)
gh
=
2π
=
v
u (1m)2
u
+
2π t 3
=
2.64s.
2
5
2
2
2
(5 × 10−2 m) + (1m + 5 × 10−2 m)
9.8 sm2 (8.3 × 10−1 m)
ω
(a) Da expressão, xm = 2.0m, f = 2π
=
1
1
e o período T = f = 1 s−1 = 8s.
π rad
4 s
2πrad
= 18 Hz = 1.25 × 10−1 Hz,
8
(b) A energia potencial é
EP =
1 2
kx .
2
Então, será preciso determinar k:
ω2 =
7
k
⇒ k = mω 2 .
m
Daí,
EP
=
=
=
1
mω 2 x2m cos2 (ωt + φ)
2
2
π rad
1
2
(0.5kg)
(2m) cos2 (ωt + φ)
2
4 s
π
π rad
−1
2
6.17 × 10 J cos
t+
.
4 s
6
A energia mecânica é simplesmente
EM
=
=
8
1 2
kx
2 m
6.17 × 10−1 J.