Análise Combinatória - Professor Luciano Nóbrega

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
Aula 3
Análise Combinatória
Professor Luciano Nóbrega
Análise Combinatória
Definição
A Análise Combinatória é o ramo da Matemática que estuda
coleções finitas de objetos que satisfaça certos critérios
específicos, e se preocupa em particular, com a CONTAGEM.
Princípios básicos da Análise Combinatória
Princípio Aditivo
Suponhamos um procedimento com “N” escolhas possíveis. A 1ª
escolha tem “n1” maneiras de ser executada, a 2ª escolha
possui “n2” maneiras de ser executada e a “k-ésima” escolha
tem “nk” modos de ser executada. As escolhas são excludentes
entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das escolhas
sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem
“n1
+ n2 + ... + nk”
maneiras de ser realizado.
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Análise Combinatória
Exemplo:
Deseja-se escolher um funcionário para realizar uma
determinada tarefa. Dispomos de 5 estagiários e 3 efetivos.
Quantas são as escolhas possíveis?
Solução:
Devemos escolher “um”, e somente um, funcionário para
realizar a tarefa. Então temos 8 possibilidades (5 + 3).
Observação:
Embora esse exemplo tenha sido demasiadamente fácil. Ele
apresenta uma importante lição que sempre precisaremos
lembrar.
Se temos que optar entre uma coisa “OU” outra, então
deveremos usar o princípio da adição.
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Análise Combinatória
Princípios básicos da Análise Combinatória
Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem - P.F.C.)
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Suponhamos um procedimento com “N” escolhas, concomitantes
entre si (ou seja, essas escolhas podem ser feitas ao mesmo tempo). A 1ª
escolha tem “n1” maneiras de ser executada, a 2ª escolha
possui “n2” maneiras de ser executada e a “k-ésima” escolha
tem “nk” modos de ser executada. A escolha 1 poderá ser
seguida da escolha 2 e até mesmo da escolha “k”, uma vez que
são concomitantes. Logo, há “n1.n2.
executar o procedimento.
... .nk”
maneiras de
Análise Combinatória
Exemplo:
Deseja-se escolher dois funcionários para realizar uma
determinada tarefa. Dispomos de 4 estagiários e 3 efetivos.
Quantas são as escolhas possíveis se queremos uma dupla
formada por um funcionário estagiário e um efetivo?
Solução:
Observação:
Observe o diagrama:
Estagiários
Efetivos
4 x 3 = 12
A
B
C
D
F
G
H
Se temos que optar por
uma coisa “E” outra em
dois conjuntos, sendo
uma em cada conjunto,
então deveremos usar o
princípio multiplicativo.
5
Análise Combinatória
Uma importante ferramenta da Análise Combinatória
Fatorial
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Seja “n” um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de
“n” (indicado pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n .(n -1) . (n -2) . ... .4.3.2.1
Exemplos:
Observação:
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Por definição, temos:
b) 4! = 4.3.2.1 = 24
0! = 1
Observe que 6! = 6.5.4!
e
c) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3 628 800
1! = 1
ou 10! = 10.9.8.7.6.5!
ou 10! = 10.9!
Análise Combinatória
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Técnicas de Contagem
Permutações Simples ( Pn = n! )
São os agrupamentos formados com todos os “n” elementos que
diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
Exemplo:
De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em uma
mesa (retangular) de reunião com 5 lugares?
Solução:
Pelo P.F.C., temos:
3 . ___
2 . ___
1 = 120
5 . ___
4 . ___
___
Lugares para sentar
Pela permutação:
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
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Análise Combinatória
Técnicas de Contagem
Permutações Circulares [ P*n = (n – 1)! ]
São os agrupamentos circulares formados com todos os “n”
elementos que diferem uns dos outros pela ordem de seus
elementos, dividido por “n”, pois o que varia são as posições
relativas dos elementos.
Exemplo:
De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em uma
mesa circular de reunião com 5 lugares?
Solução:
Pela permutação circular:
P*5 = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24
4
5
1
3
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Análise Combinatória
Técnicas de Contagem
Permutações com repetições
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Se entre os “n” elementos de um conjunto, existem “a” elementos
repetidos, “b” elementos repetidos, “c” elementos repetidos e assim
sucessivamente , o número total de permutações que podemos
formar é dado por:
Exemplo:
Pna, b, c = __n!__ Quantos são os anagramas (permutações
de palavras com ou sem sentido) possíveis com
a! b! c!
as letras da palavra “ARARA”?
Solução A:
Sem a fórmula:
AAARR
AARRA
ARRAA
RRAAA
RARAA
ARARA
AARAR
RAARA RAAAR
ARAAR
Solução B:
Pela fórmula: n = 5, a = 3, r = 2
P53, 2 = __5!__ = 5.4 = 10
3! 2!
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Análise Combinatória
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Técnicas de Contagem
Arranjos
Seja “A” um conjunto com “n” elementos. Chamamos por “arranjo”
qualquer sequência formada com “p” elementos de “A” todos
distintos.
Observações:
Todos os problemas de arranjos são mais facilmente resolvidos
utilizando o P.F.C.
A ordenação da escolha dos elementos faz diferença no resultado.
Análise Combinatória
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Exemplo:
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9.
O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos
“distintos”. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas
tentativas deverá fazer(no máximo) para conseguir abri-lo?
Solução A:
Pelo P.F.C., temos:
10
9 . ___
8 = 720
___ . ___
Tipo de senha
Solução B:
Pela fórmula de arranjo: n = 10 e p = 3
A10,3 = __10!__ = _10.9.8.7! = 720
(10 – 3)!
7!
Análise Combinatória
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Técnicas de Contagem
Combinações
Seja “A” um conjunto com “n” elementos distintos. Chamamos de
combinações dos “n” elementos, tomados “p” a “p”, aos
subconjuntos de “A” constituídos por “p” elementos.
Nas combinações a ordem não importa.
Quando a ordem da escolha não for relevante, então
devemos usar a fórmula de Combinações.
Explicação: Na combinação, tratamos de conjuntos {a,
b} = {b, a}, o que já não é o caso dos arranjos onde a
sequência (a, b) é diferente de (b, a).
Análise Combinatória
Exemplo:
Quantos comissões de 3 pessoas podem ser montadas em um
escritório de contabilidade com 8 especialistas dessa área?
Solução:
Considere uma comissão formada pelas pessoas (X, Y, Z). Se
modificarmos a ordem dessa escolha, por exemplo (Z, Y, X),
verificaremos que trata-se da mesma comissão. Portanto
estamos diante de um problema de combinação.
Usando a fórmula: n = 8 e p = 3
C8,3 = ___8!___ = _8.7.6.5!_ = 56
(8 – 3)! 3!
5! 3.2.1
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14
Testando os conhecimentos
1 – Quantos números de 3 algarismos distintos podemos
formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
A) 60
B) 120
C) 240
D) 40
E) 80
2 – Há 8 funcionários em uma empresa, sendo 3
estatísticos, 3 contadores e 2 administradores.
De quantos modos podemos perfilar todas
essas pessoas de modo que os grupos de
mesma área fiquem juntos?
A) 18 B) 72 C) 144 D) 288 E) 432
Testando os conhecimentos
3 – ( PUC - SP ) A expressão é
igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
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Testando os conhecimentos
4 – ( PUC - PR ) O número de placas de veículos
que poderão ser fabricadas utilizando-se das
26 letras do alfabeto latino e dos 10 algarismos
arábicos, cada placa contendo três letras e
quatro algarismos, é:
A) 7!
B) 263.104
C) 263 + 104
D) 78 624 000
E) 67 600 000
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17
Testando os conhecimentos
5 – ( PUC - PR ) Oito políticos foram convidados a participar
de uma mesa em uma convenção. Os lugares eram
contíguos e dispostos em linha, de um mesmo lado da
mesa. Sabendo que o político A não suporta o político B,
não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a mesa
poderá ser composta ?
A) 56
B) 5 040
C) 30 240
D) 35 280
E) 40 320
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Testando os conhecimentos
6 – ( CEFET - PR ) De uma comissão técnica formada por
contadores e economistas, devemos ter 5 pessoas, dos
quais pelo menos 2 devem ser contadores. Se são
disponíveis 4 contadores e 5 economistas, o número
possível de comissões distintas é:
A) 18
B) 23
C) 35
D) 105
E) 240
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Testando os conhecimentos
7 – ( CEFET - PR ) Os números dos telefones da Região
Metropolitana de Curitiba tem 7 algarismos cujo primeiro
digito é 2. O número máximo de telefones que podem ser
instalados é:
A) 1 000 000
8 – ( MACK - SP ) Em uma sala há 8
B) 2 000 000
cadeiras e 4 pessoas. O número de
C) 3 000 000
modos distintos das pessoas
D) 6 000 000
ocuparem as cadeiras é:
E) 7 000 000
A) 1680
B) 8 !
C) 8 . 4 !
D) 8 ! / 4
E) 32
20
Testando os conhecimentos
9 – ( PUC - SP ) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De
quantos modos diferentes essas pessoas podem ser
colocadas, ficando 5 sentadas e 2 em pé ?
A) 5040
B) 21
C) 120
D) 2520
10 – ( FUVEST - SP ) O número de
E) 125
anagramas da palavra FUVEST que
começam e terminam por vogal é:
A) 24
B) 48
C) 96
D) 120
E) 144
21
Testando os conhecimentos
11 – ( PUC - PR ) Oito políticos foram convidados a
participar de uma mesa em uma convenção. Os lugares
eram contínuos e dispostos em linha, de um mesmo lado
da mesa. Sabendo que o político A não suporta o político
B, não podendo sentar juntos, de quantas maneiras a
mesa poderá ser composta ?
A) 56
12 – ( AMAN - RJ ) As diretorias de 4
B) 5040
membros que podemos formar com 10
C) 30240
sócios de uma empresa são:
D) 35280
A) 5040
E) 40320
B) 40
C) 2
D) 210
E) 5400
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Testando os conhecimentos
13 – ( COMPERVE ) Todos os convidados de uma festa
trocaram apertos de mãos. Um convidado observou que
foram 528 cumprimentos e que 2/3 dos convidados eram
mulheres. O número de homens convidados era:
A) 11
B) 22
14 – ( UF RJ ). Denomina-se espaço amostral ao
C) 10
conjunto formado por todos os resultados
D) 33
possíveis de um experimento aleatório. Se um
E) 56
experimento consistem em se escolherem duas
pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez
pessoas, então o número de elementos do espaço
amostral é:
A) 20
B) 19
C) 90
D) 45
E) 32
Probabilidade
A probabilidade vai nos servir como um ponto de apoio em
nossos primeiros passos no caminho da Estatística Inferencial.
Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o
acaso.
Fenômenos onde o resultado final depende do acaso são
chamados fenômenos aleatórios.
Fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos
várias vezes sob condições semelhantes, apresentam
resultados imprevisíveis.
Exemplo:
Lançamento de um dado
23
Probabilidade
Espaço amostral
A cada experimento aleatório teremos, em geral, vários
resultados possíveis.
Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados
possíveis:
ocorrer cara ou ocorrer coroa. S = {cara, coroa} e n(S) = 2
Já ao lançarmos um dado, há seis resultados possíveis:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6
1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de
espaço amostral (ou conjunto universo), representado por S.
24
Probabilidade
Eventos
25
Chamamos de evento qualquer subconjunto de espaço
amostral S de um experimento aleatório.
Assim, qualquer que seja o evento E contido no espaço
amostral S.
Se E = S, então E é chamado evento certo;
Exemplo: Seja E o evento: “ao jogar um dado o resultado é
menor do que 7”.
Se E é um conjunto vazio, então é chamado evento impossível.
Exemplo: Seja E o evento: “ao jogar um dado o resultado é
MAIOR do que 7”.
Se E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.
Probabilidade
Exemplos:
No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos:
Sendo A = {2,4,6}; então, A é um evento de S;
Seja B = {1,2,3,4,5,6}; logo, B é um evento certo de S;
C=
 ; logo, C é um evento impossível de S.
D = {4}; logo, D é um evento elementar de S;
26
Probabilidade
Definição
27
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral,
vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma
chance de acontecer (ou seja, S é um conjunto equiprovável).
Chamamos de probabilidade de um evento A (com A contido em S) o
número real P(A), tal que:
n A
P  A 
nS 
Onde n(A) é o número de elementos de do evento A;
n(S) é o número de elementos de espaço amostral S.
Probabilidade
28
Exemplos:
Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter
cara”, temos:
a) S =
d) n(A) =
b) n(S) =
c) A =
e) P(A) =
Considerando o lançamento de um dado e o evento B “obter um
número par”, temos:
a) S =
d) n(B) =
b) n(S) =
c) B =
e) P(B) =
Probabilidade
Exemplos:
Considerando um baralho com 52 cartas, sendo 13 cartas de
cada um dos quatro naipes e o evento C “obter um 3”, temos:
a) n(S) =
b) n(C) =
c) P(C) =
Com todos os números de três algarismos distintos. Qual a
probabilidade, escolhendo um desses números ao acaso, dele
ser ímpar?
a) n(S) =
b) n(ímpar) =
c) P(ímpar) =
29
Probabilidade
Exemplos:
Dos 75 alunos desta sala,
16 gostam de estatística, financeira e administração
simultaneamente;
24 gostam de estatística (E) e financeira (F);
30 gostam de (E) e administração (A);
22 gostam de (F) e (A);
6 gostam somente de (E);
9 gostam somente de (F)
e 5 gostam só de (A).
Qual a probabilidade de, ao apontarmos um ao acaso, esse
aluno gostar de (E)?
30
Probabilidade
Certeza e Impossibilidade
Pelo que vimos até agora podemos concluir que:
• A probabilidade do evento certo é P(S) = 1
• A probabilidade do evento impossível é P( ) = 0
• A probabilidade de um evento E qualquer é P(E), tal que
0 ≤ P(E) ≤ 1
Isso significa que a probabilidade só pode
assumir valores entre zero e 1.
31
Probabilidade
Exemplo:
Um casal planeja ter exatamente 3 filhos. Escrevendo todas as
possibilidades. Determine a probabilidade de que sejam:
a) duas meninas e um menino?
b) Todas meninas?
c) Pelo menos uma seja menino?
32
Probabilidade
33
Eventos complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo “p” a
probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e “q” a probabilidade
de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe
sempre a relação:
p  q  1  q  1 p
Exemplo:
Assim, se a probabilidade de se realizar o evento é p = 1/5, a
probabilidade de que ele não ocorra é q = 4/5.
34
Testando os conhecimentos
15 – Numa enquete foram entrevistados 80 pessoas sobre
os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho.
42 pessoas responderam ônibus, 28 responderam carro e
30 responderam moto. 12 utilizavam carro e ônibus, 14
iam de carro e moto, 18 de ônibus e moto e 10 pessoas
utilizam os três tipos de transporte. Qual a probabilidade
de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:
a) Só ônibus?
b) Só carro?
c) Nenhum dos três veículos?
35
Testando os conhecimentos
16 – Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3.
Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna,
obtém-se um par ordenado. A probabilidade da soma
desses números resultarem 4, fazendo-se extrações com
reposição, é:
A) 9
B) 1/9
C) 1/4
3 – Se um experimento consistem em se
D) 1/3
escolherem duas pessoas, ao acaso, de uma
E) 1/2
sala contendo dez pessoas, então o número de
elementos do espaço amostral é:
A) 20
B) 19
C) 90
D) 45
E) 32
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Testando os conhecimentos
17 – Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar
por n ( S ) o número de resultados possíveis e
representar por n( A ) o número de resultados que
apresentam apenas duas caras. Então:
A) n ( S ) = 6 e n ( A ) = 3
B) n ( S ) = 6 e n ( A ) = 4
C) n ( S ) = 8 e n ( A ) = 4
18 – Se um certo casal tem 3
D) n( S ) = 8 e n ( A ) = 6
filhos, então a probabilidade de
E) n ( S ) = 8 e n ( A ) = 3
os 3 filhos serem do mesmo
sexo, dado que o primeiro filho
é homem, vale:
A) 1/3
B) 1/2
C) 1/5
D) 1/4
E) 1/6
37
Testando os conhecimentos
19 – Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retiram-se
ao acaso duas bolas, uma após a outra, sem reposição da
primeira e anotam-se os seus números.
1º) Escreva todas as possibilidades dos possíveis eventos:
A = {A soma dos números é igual a 15}
B = {O produto dos números é ímpar e é maior que 60}
C = {A soma dos números é maior do que 25}
D = {* Agora, apenas determine quantas possibilidades existem
de se retirarem as duas bolas}
2º) Sabendo que P(X) = n(X) / n(s)
Calcule:
P(A) =
P(B) =
P(C) =
P(D) =
38
Testando os conhecimentos
20 – Em uma estante há seis livros de Português e cinco de
matemática. Dois livros são escolhidos ao acaso. Qual a
probabilidade de os dois livros serem de Português?
A) 3/11
B) 11/12
C) 2/11
21 – Uma turma tem 25 alunos, dos quais
D) 31/36:
40% são meninas. Escolhendo-se ao
acaso um dentre todos os grupos de dois
alunos que se pode formar com os alunos
dessa turma, a probabilidade de que este
esteja composto por uma menina e um
menino é de:
A) 1/6
B) 1/2
C) 1/3
D) 1/4
39
Probabilidade
Conseqüências da Probabilidade
Analisemos o fenômeno aleatório do lançamento de uma moeda.
Sendo K = cara e C = coroa.
Neste caso temos:
S = {K, C}
Os subconjuntos de “S” são:
 , {K}, {C}, S
Assim:
P(  ) = 0; P({K}) = ½;
P({C}) = ½
e
P(S) = 1
Observe que se A = {K} e B = {C}, então A ∩ B = 
E ainda, P(A U B) = P(A) + P(B) = 1
Se os conjuntos “A” e “”B” são disjuntos, então n(A ∩ B) = 0
e P(A U B) = P(A) + P(B)
A
B
40
Probabilidade
Probabilidade da União de Eventos
Sendo “A” e “B” dois eventos quaisquer, da teoria dos conjuntos,
temos:
A U B = A + B – (A ∩ B)
A
B
A
O mesmo ocorre com a probabilidade:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)
B
+
A∩B
–
41
Probabilidade
Exemplo:
Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:
a) Os três sejam perfeitos?
Solução:
n(S) = 19 600, pois temos uma combinação de 50 elementos
tomados 3 à 3.
Considere o evento A = {Os 3 parafusos são perfeitos}
Então, n(A) = 14 190, pois temos outra combinação desta vez de
45 elementos tomados 3 à 3.
P(A) = _n(A)_ = _14 190_ = 0,72398
n(S)
19 600
42
Probabilidade
Exemplo:
Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:
b) O três sejam defeituosos?
Solução:
n(S) =19 600, o mesmo.
Considere o evento B = {Os três parafusos são defeituosos}
n(B) = 10, pois temos uma combinação de 5 elementos 3 à 3.
P(B) = _n(B)_ = _10_ = 0,0005
n(S)
19 600
43
Probabilidade
Exemplo:
Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:
c) Pelo menos dois sejam defeituosos?
Solução:
n(S) =19 600, o mesmo.
Considere o evento C = {Pelo menos 2 são defeituosos}, ou seja,
C = {2 são defeituosos} U {3 são defeituosos}.
Considere, D = {2 são defeituosos} e E = {3 são defeituosos},
então C = D U E.
P(C) = P(D U E) = P(D) + P(E) – P(D ∩ E)
Note que P(D ∩ E) = 0, pois os conjuntos são disjuntos. Nós já
sabemos que P(E) = 0,0005, resta calcular P(D).
D = {2 são defeituosos}
44
Probabilidade
Exemplo:
Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos.
Ao pegar ao acaso 3 parafusos, qual ,é a probabilidade de que:
c) Pelo menos dois sejam defeituosos?
Solução:
P(C) = P(D U E) = P(D) + 0,0005 – 0
n(D) = 45 . C5,2
P(D) = _450_ = 0,02296
19 600
P(C) = P(D U E) = 0,02296 + 0,0005 – 0 = 0,02346
Probabilidade
45
Exemplo:
Uma empresa fez uma pesquisa para saber a preferência dos
consumidores em relação a duas marcas de achocolatados. Dos
entrevistados, 72 consomem a marca “A”, 64 consomem a
marca “B” e 46 consomem as marcas “A” e “B”. Sabendo que
foram entrevistados 150 pessoas e que algumas não consumiam
nenhum dos dois achocolatados. Qual a probabilidade de, ao se
sortear uma dessas pessoas:
a)ela ser consumidora do
achocolatado “A”;
b)ser consumidora do achocolatado “B”;
c) consumidora de ambos? d) consumir um ou outro?
e) não consumir nenhum dos achocolatados?
Solução:
Inicialmente, vejamos o diagrama:
A
B
26
46
18
60
Probabilidade
46
Solução:
Inicialmente, vejamos o diagrama:
A
B
26
46
18
60
De acordo com os dados do problema e o diagrama, temos:
n(S) = 150; n(A) = 72; n(B) = 64; n(A ∩ B) = 46
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 72 + 64 – 46 = 90
Agora, podemos calcular as probabilidades:
a) P(A) = n(A)/n(S) = 72/150 = 0,48;
b) P(B) = n(B)/n(S) = 64/150 = 0,43;
c) P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/n(S) = 46/150 = 0,31;
d) P(A U B) = n(A U B)/n(S) = 90/150 = 0,6;
e) P(A U B) = n(A U B)/n(S) = 60/150 = 0,4;
47
Testando os conhecimentos
22 – Um experimento consiste em dois lançamentos
sucessivos de um dado. Calcule a probabilidade de a
soma dos números obtidos ser maior que 8 OU o produto
dos números obtidos ser ímpar. Para isso, siga o
procedimento:
1º) n(S) = ?
2º) A = ?
3º) B = ?
4º) A∩B = ?
5º) n(A∩B) = ?
6º) P(A∩B) = ?
48
Testando os conhecimentos
23 – Entre 20 alunos que realizaram a prova de reposição de
Estatística, 12 acertaram a questão “A”, 9 acertaram a
questão “B” e 16 acertaram pelo menos duas questões.
Qual a probabilidade de, ao se sortear ao acaso um aluno,
este ter acertado ambas as questões? Para isso, siga o
procedimento:
1º) P(A) = ?
2º) P(B) = ?
3º) P(A U B) = ?
4º) P(A∩ B) = ?
Probabilidade
49
Probabilidade Condicional
Analisemos a seguinte situação:
Uma moeda é lançada três vezes. Sendo K = cara e C = coroa
O espaço amostral é:
S = {KKK, KKC, KCK, CKK, KCC, CCK, CKC, CCC}
Consideremos o evento A: sair cara exatamente duas vezes.
Então, A = {KKC, KCK, CKK} e P(A) = 3/8
Sabendo que “o resultado do primeiro lançamento foi cara”,
então qual é a probabilidade de sair cara exatamente duas
vezes?
Agora, o espaço amostral passa a ser B = {KKK, KKC, KCK, KCC} e
o evento A’ = {KKC, KCK}, em que A’ = A ∩ B e a probabilidade
pedida é P(A’) = n(A’)/n(B) = 2/4 = 1/2
Probabilidade
50
Observe que a probabilidade do evento A (“sair cara exatamente
duas vezes”) foi modificada pela presença do evento
condicionante ( “o resultado do primeiro lançamento
foi cara” ) , então definindo-se:
Evento A: Exatamente dois dos três lançamentos dão cara.
A = {KKC, KCK, CKK]
Evento B: O primeiro lançamento dá cara.
B = {KKK, KKC, KCK, KCC}
E denotamos por A/B “ o evento A condicionado ao fato de
que o evento B já ocorreu” e por P(A/B) a probabilidade
condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.
P(A/B) = n(A ∩ B)/n(B) P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
Probabilidade
51
Exemplo:
Uma família planejou ter três crianças. Qual a probabilidade de
que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que
nasceu é homem?
Solução:
2 . ___
2 . ___
2 = 8
n(s) = ___
Considere os eventos:
A = {A família tem 3 filhos homens} = {HHH} e n(A) = 1
B = {A primeira criança é homem) = {HHH, HHm, HmH, Hmm}
n(B) = 4
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 1/8/1/2 = 1/4
A ∩ B = {HHH} e P(A ∩ B) = 1/8
P(B) = 4/8 = 1/2
Probabilidade
52
Exemplo:
Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres e 60
pessoas exercem a profissão de contabilidade, sendo 20 do sexo
feminino. Tomando ao acaso uma dessas pessoas, qual a
probabilidade de que, sendo uma mulher, ela seja uma
Solução:
contadora?
n(s) = 500
Evento A = {A pessoa é contadora}
Evento B = {A pessoa é do sexo feminino}
Procuramos por P(A/B)
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B) = 20/500/280/500 = 1/14 = 0,07
De outro modo:
P(A/B) = eventos favoráveis/Novo espaço amostral
P(A/B) = 20/280 = 0,07
P(A/B) =
P(A ∩ B)/
P(B)
Probabilidade
P(A ∩ B) = P(A/B). P(B)
P(A ∩ B) = P(A). P(B)
53
Eventos independentes
Consideremos o experimento aleatório “lançar dois dados de
cores diferentes”. Seja “A” o evento “sair 6 no 1º dado” e B,
“sair 3 no 2º dado”.
Observe que:
n(S) = 6 . 6 = 36
A = {(6,1); (6,2); (6, 3); (6,4); (6,5); (6,6)} e n(A) = 6
B = {(1,3); (2,3); (3,3); (4,3); (5,3); (6,3)} e n(B) = 6
P(A) = n(A)/n(S) = 6/36 = 1/6
Assim, P(B) = P(A/B),
P(B) = 1/6
pois a probabilidade de
A ∩ B = {(6,3)} e P(A ∩ B) = 1/36
ocorrer “B” não
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(A) = 1/36/1/6 = 1/6 dependia da ocorrência
de “A”
54
Probabilidade
Eventos independentes
Dizemos que dois eventos são independentes quando a
realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de
realização do outro.
Exemplo:
Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles
independe do resultado obtido no outro.
Definição:
Se dois eventos são independentes, a
probabilidade de que eles se realizem
simultaneamente é igual ao produto das
probabilidades de realização dos dois eventos.
p  p1  p2
Probabilidade
55
Exemplo:
Uma fábrica produz três produtos, A, B e C. Qual é a
probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto defeituoso
A, se é sabido que 30% dos produtos produzidos pela fábrica
são do tipo A e 5% dos produtos A são defeituosos?
Solução:
Sejam os eventos “A, selecionar um produto A” e “B, selecionar
produto A defeituoso”
P(A) = 30/100 = 0,3
P(B) = 5/100 = 0,05
Como os eventos “A” e “B” são independentes, temos:
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 0,3 . 0,05 = 0,015 = 1,5%
56
Probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos
quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).
Exemplo:
No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento
“tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar
um deles, o outro não se realiza.
Definição:
Se dois eventos são mutuamente exclusivos,
a probabilidade de que um ou outro se
realize é igual à soma das probabilidades de
que cada um deles se realize:
p  p1  p2
Probabilidade
57
Exemplo:
Dos 75 alunos desta sala, 35 são mulheres. Um aluno será
escolhido para representar a turma em uma reunião com a
diretoria. Qual a probabilidade de que, escolhendo esse aluno ao
acaso, ele seja um homem?
Solução:
Sejam os eventos, “M, escolher um mulher” e “H, escolher um
homem”, então:
P(M) = 35/75 e P(H) = 40/75
Observe que
P(S) = P(M) + P(H) = 35/75 + 40/75 = 1
Pois esses eventos são mutuamente excludentes.
58
Testando os conhecimentos
24 – Uma roleta esta dividida em 8 partes iguais numeradas
de 1 a 8. Ela é girada 3 vezes. Qual é a probabilidade de,
nos três giros, ela parar em números iguais?
A) 1/512
B) 1/8
C) 1/3
D) 1/64
E) 1/72
59
Testando os conhecimentos
25 – Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três
das quais serão distribuídos prêmios iguais. A
probabilidade de que você seja um dos premiados é:
A) 1/10
B) 1/5
C) 3/10
D) 1/3
E) 2/5
60
Testando os conhecimentos
26 – Se “A” e “B” são eventos com P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,2
e P(A ∩ B) = 0,1 , calcule:
a) P(A/B)
b) P(B/A)
Distribuição Binomial
61
Vamos considerar experimentos que satisfaçam as
seguintes condições:
1º) O experimento deve ser repetido, nas mesmas
condições, um número finito de vezes (n);
2º) As provas repetidas devem ser independentes, isto
é, o resultado de uma não deve afetar os resultados
das sucessivas;
3º) Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis
resultados;
4º) No decorrer do experimento, a probabilidade de
sucesso e de insucesso devem manter-se
constantes.
Resolveremos problemas do tipo: determinar a
probabilidade de se obter k sucessos em n
tentativas.
62
Distribuição Binomial
Exemplos de problemas que poderemos resolver:
•
Qualidades de peças; Boa ou ruim
•
Cara ou coroa;
•
Respostas a testes com duas alternativas; Certo ou errado
•
Sexo de bebês; Masculino ou feminino
•
Escolaridade; Alfabetizado ou analfabeto
•
Chamadas telefônicas; Local ou interrurbana
•
Tipo sanguíneo; Rh+ ou Rh-
•
Pagamentos; Em dia ou em atraso
63
Distribuição Binomial
Vamos começar com um fácil.
O espaço amostral relativo ao “lançamento simultâneo de
duas moedas” é:
S={(Ca,Ca),(Ca,Co), (Co,Ca),(Co,Co)} e se o evento X
representa “o número de caras” que aparecem a cada ponto,
amostral podemos associar um número para X, de acordo
com a tabela que segue:
Ponto amostral
(Ca,Ca)
(Ca,Co)
(Co,Ca)
(Co,Co)
x
2
1
1
0
P(x)
¼
¼
¼
¼
Observe que a probabilidade de sair uma cara e
uma coroa independente da ordem é:
P(Ca,Co) = ¼ + ¼ = ½
Número de
caras
P(x)
2
¼
1
½
¼
0
64
Distribuição Binomial
Vejamos outro exemplo:
Consideremos a distribuição de frequências relativa ao
número de acidentes diários em um estacionamento:
Número de
Acidentes
fi
0
22
5
2
1
1
2
3
P(xi)
22/
30
5/
30
2/
30
1/
30
Essa tabela é denominada “tabela
de distribuição de
probabilidades”.
Ao definir a distribuição de
probabilidades, estabelecemos
uma correspondência unívoca
entre os valores da variável
aleatória X e os valores da
variável P.
Esta correspondência define uma função; os valores xi (com
i sendo um valor entre 1,2,3,...,n) formam o domínio da função e
os valores P(xi), o seu conjunto imagem.
65
Distribuição Binomial
Essa função, assim definida, é denominada função
probabilidade e representada por:
f(x) = P(X = xi)
A função P(X=x) determina a distribuição de probabilidade da
variável aleatória X.
Exemplo:
Se lançarmos um dado, a variável X, definida por “pontos de um
dado” pode tomar os valores 1,2,3,...,6. E a variável P(X = xi)
terá um valor correspondente para cada xi.
Sabemos que, quando realizamos um experimento qualquer em
uma única tentativa, a probabilidade de sucesso é p, a
probabilidade de não-realização desse mesmo evento é 1 – p = q.
66
Distribuição Binomial
Definição:
Seja um processo composto de uma seqüência de n
observações independentes com probabilidade de sucesso
constante igual a p, a distribuição do número de sucessos
seguirá o modelo Binomial:
P( x) 
onde
 
n
x
  p (1  p)
n
x
x
n x
representa o número de combinações de n objetos
tomados x de cada vez, calculado como:

n
x
n!

x!( n  x)!
Distribuição Binomial
Exemplo: Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e
independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas
três caras:
Solução:
Aqui, temos: n = 5 , k = 3 , p = ½ e q = 1 – p = ½
Pela fórmula de distribuição binomial, temos:
P(X = 3) = 5 .p3.q5-3 = 10 .(½)3.(½)2 = 5/16
3
Exemplo: Dois times, FLA e SPO, vão jogar entre si seis vezes
durante o ano. Qual a probabilidade de o time SPO ganhar
seis vezes?
Solução:
q = 2/3
Aqui, temos: n = 6 , k = 4 , p = 1/3 (VIT em VIT, EMP, DER)
Pela fórmula de distribuição binomial, temos:
P(X = 4) = 6 .(1/3)4.(2/3)2 = 20/243 = 0,08
4
67
68
Distribuição Binomial
Exemplo:
Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de
uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes
lançados ao ar. Admitindo que este percentual de alérgicos é
real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4
moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
Solução:
Aqui, temos: n = 13 , k = 4 , p = 0,2 e q = 0,8
Pela fórmula de distribuição binomial, temos:
P(X  4) = 1 - P(X < 4) =
1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)]=
(130).0,20.0,813 + (131).0,21.0,812 + (132).0,22.0,811 + (133).0,23.0,810
1 - 1x1x0,0549 + 13x0,2x0,0687 + 78x0,04x0,0858+ 286x0,008x0,1073
1 - 0,0549 + 0,1786 + 0,2676+ 0,2455 = 1 – 0,7466 = 0,2534
69
Distribuição Binomial
Exemplo:
Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram
cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são
selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo
menos 12 tenham feito cursinho?
Solução:
Aqui, temos: n = 16 , k = 12 , p = 0,75 e q = 0,25
Pela fórmula de distribuição binomial, temos:
P(X  12) =[P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16)]=
0,2252+0,2079+0,1336+ +0,0535+0,0100= 0,6302
70
Testando seus conhecimentos
1 – Três em cada quatro alunos de uma universidade
fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos
são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que
no máximo 13 tenham feito cursinho?
71
Testando seus conhecimentos
2 – Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos
das populações A e B sejam alfabetizados. Se 12 pessoas da
população A e 10 da população B forem selecionadas ao
acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma não
seja alfabetizada?
Dica: Considere,
D: as 12 pessoas selecionadas da população A são alfabetizadas.
E: as 10 pessoas selecionadas da população B são alfabetizadas.
F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é
alfabetizada.
P(F) = 1 – P(Fc) = 1 – P(D  E) = 1 – P(D)*P(E)
Espero ter contribuído com seu aprendizado e
feito você gostar um pouco mais de matemática. E,
tomara que possamos continuar sendo bons amigos...
Saúde, sucesso e paz!
Vá correndo acessar...
Você só paga R$ 5,00
(Brincadeirinha... É de graça!)