2 51 − =λ

ISSN 1984-8218
DETERMINAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ATRAVÉS DE
MÉTODOS MATRICIAIS
Alessandra F. Sostisso
Eliete Biasotto Hauser
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – Departamento de Matemática
Porto Alegre, RS.
E-mail: alesostisso@gmail,
E-mail: [email protected]
RESUMO
O principal objetivo desse trabalho é determinar o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci
utilizando dois algoritmos que exigem aplicar conceitos e teoremas da Álgebra Linear. Primeiramente, a
equação de diferenças que representa a seqüência a seqüência de Fibonacci é representada matricialmente. A
solução, conhecida como Fórmula de Binet, é obtida via determinação de autovalores, autovetores,
diagonalização e cálculo das iteradas de matrizes. No segundo método, definimos a Matriz de Fibonacci Fn, o
determinante de Fn det (Fn). Com auxílio do software Matlab simularemos det (Fn+1). = det (Fn-1) + det (Fn),
para elevados valores de n, como uma nova maneira de gerar a sequência de Fibonacci.
Introdução
Leonardo de Pisa, assim chamado por ser natural da cidade de Pisa, também conhecido como
Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), talvez tenha sido um dos mais importantes matemáticos do século XIII.
Fibonacci obteve sua educação fora de Pisa. Em 1202, quando retornou, publicou a obra Liber Abaci (Livro
do Ábaco), que trata da álgebra e da aritmética através de problemas elementares. Neste livro, um problema
sobre coelhos, ficou conhecido por gerar uma seqüência. A ela deu-se o nome de seqüência de Fibonacci.
A seqüência onde a soma dos termos adjacentes equivale ao termo seguinte é chamada de seqüência
de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 45,79, representada pela equação de diferenças:
f(n+1)= f(n)+f(n-1), onde f(0) = 1 e f(1)= 1
(1)
Nosso objetivo é explorar como podemos encontrar um certo número n de Fibonacci, sem começar
por f(0) = 1 e f(1)= 1, trabalhando para todo o processo a partir de f(n).
Método1 : Equação de Diferenças em Forma Matricial e Análise Espectral
Consideremos a representação matricial da equação de diferenças (1):
 1 1  f (n)   f (n + 1)
 1 0  f (n − 1) =  f (n) 

 
 

Obtemos λ 1 =
 f (1)   1
, onde 
 =  
 f (0)   1
(2)
1− 5
1+ 5
1 1
-1
e λ2=
,os autovalores da matriz A = 

 diagonalizável, A = P D P ,
2
1
0
2


1+
onde as colunas da matriz P = 

1
1

5
2
1
1 + 5
1
= 
2

0 
1

1−
2
1
1−
5



5

2 
1 
são os autovetores de A. Assim:
1 + 5

2


0




1− 5 
2 
0
 1

 5
 −1

 5
5

2 5 
1− 5 

2

−
1−
(3)
Como An = P Dn P–1, temos:
 f ( n + 1 )  1 1
 f ( n )  =  1 0

 

n
 f ( 1 )
 f ( 0 ) =


1+ 5

2



1
1−
5

2 

1 
1+ 5

2


0


1405



1− 5 

2 
0
n  1

 5

 −1
 5
5

2 5   f ( 1 )
.
 
1 − 5   f ( 0 )

2
−
1−
(4)
ISSN 1984-8218
Da equação (4). obtemos o n-ésimo termo da seqüência de Fibonacci.
f (n ) =
n
n

 1− 5  
1  1+ 5 

 −

≅





2 
2  
5 



1  1+ 5 


2 
5 
n
(5)
A fórmula (5) é notável por ser definida em termos do número irracional raiz de cinco, apesar de os
números de Fibonacci serem todos números inteiros. Ao substituirmos alguns valores de n podemos
constatar como os termos com raiz de cinco se cancelam e o resultado final f(n) é um número inteiro. Essa
fórmula apresentada é conhecida com Fórmula de Binet.
O segundo termo da fórmula de Binet tende para zero quando n tende ao infinito e portando o nésimo termo da sequência de Fibonacci é o número inteiro mais próximo do primeiro termo da Fórmula de
Binet, pois raiz de cinco é irracional.
Método 2: Números de Fibonacci Gerados por Determinantes da Matriz de Fibonacci
Consideremos a matriz de Fibonacci Fn, de ordem nxn, com elemento genérico definido por:
 1, se i = j
 1, se j = i + 1

Fn (i, j ) = 
 − 1, se i = j + 1
 0, se i ≠ j , i ≠ j + 1, j ≠ i + 1
Com o auxílio do software Matlab. geramos os números de Fibonacci, apartir da seqûencia de
determinantes, det(Fn), cujos resultados constam na tabela 1.
Tabela1: de Fibonacci Gerados por Determinantes da Matriz de Fibonacci
n
0
1
2
3
det(Fn)
1
1
2
3


20
21
10946
17711


598
599
6,8251 e+124
1,1043 e+125


998
999
2.6863 e+208
4.3466 e+208


1203
1204
1,8691 e+251
3,0243 e+251


Os resultados da tabela 1 condizem com os fundamentos teóricos e percebemos que, para n=1, 2, 3,
... det( Fn + 1 ) = det( Fn − 1 ) + det( Fn ) .
Como sequência do presente estudo, pretendemos aplicar propriedades da sequência de Fibonacci
em análise de tendência, explorando o comportamento de ações no mercado monetário. Por exemplo, a partir
det( Fk )
= 1,618 .
k → ∞ det( Fk − 1 )
dos resultados da tabela 1 , obtemos o número de ouro assim: lim
Referências
[1] M. D. Carl, “ Matrix Analysis and Applied Linear Álgebra”, SIAM, Philadelphia, 2000.
[2] P. David, “Álgebra Linear” , Editora Thomson, São Paulo, 2004.
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