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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE
Departamento de Matemática
OLIMPÍADA
LIM
IMPÍADA VIÇ
VIÇOSENSE
SE DE MAT
MA
MATEMÁTICA
TE
3a Olimpı́ada Viçosense de Matemática
Banco de Questões - Nı́vel 3 - 1a Fase
1. Sabendo que o resto da divisão de 20132010 por 2011 é 1, qual é o resto da divisão de 20132012
por 2011?
2. (Banco OBMEP) O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada
um deles representado por uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este número por 4
obtém-se um número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de
a + b + c + d + e?
3. (OBMEP 2011) Na divisão indicada na figura, os asteriscos representam algarismos, iguais
ou não. Qual é a soma dos digitos apontados pelas flechas?
4. (Banco OBMEP) Para percorrer um caminho reto de 10 m de comprimento, uma pulga usa
a seguinte estratégia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia anterior.
Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (o
tamanho da pulga é desprezı́vel). Quantos metros ela terá percorrido ao final do sétimo dia?
E do décimo?
5. (Banco OBMEP) O número 248 − 1 é divisı́vel por dois números compreendidos entre 60 e
70. Quais são esses números?
6. (Banco OBMEP) Quantos números inteiros positivos n existem tais que
inteiro?
2n2 + 4n + 18
é um
3n + 3
7. (Banco OBMEP) Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com
as seguintes regras:
• o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
• em caso de empate, cada um dos times ganha 1 ponto;
1
• cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros times.
O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem.
Além disso:
• o time A não empatou nenhuma partida;
• o time B não perdeu nenhuma partida;
• todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.
(a) O Time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê?
(a) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por que?
8. Encontre as raı́zes do polinômio complexo
p(z) = z 3 − (1 − 2i)z 2 + 9z − 9(1 − 2i).
9. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão
com 12 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando os lados para cima.
Qual o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com volume
128 cm3 ?.
10. Três homens Lucas, Thiago e Mateus, trabalhando juntos, realizam uma tarefa em x horas.
Se trabalhassem sozinhos, Lucas executaria a tarefa em x + 1 horas, Thiago em x + 6 horas e
Mateus em 2x horas. Calcule x.
M ×A×T ×E×M
, letras diferentes representam dı́gitos difeA×T ×I ×C ×A
rentes e letras iguais representam dı́gitos iguais. Qual é o maior valor possı́vel desta expressão?
11. (OBM-2011) Na expressão
12. Um triângulo ABC tem área igual a 94 cm2 . Os pontos D, E, F, G e H dividem o lado AC
em 6 partes congruentes, ou seja, AD = DE = EF = F G = GH = HC. Calcule a área do
triângulo DBG.
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13. (Banco OBMEP) Um matemágico faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança. “Sem
que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número do cartão, some 3 e multiplique por
5. Depois
some 1, se o cartão for verde;
some 2, se o cartão for amarelo;
some 3, se o cartão for azul;
some 4, se o cartão for vermelho.
Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu.”
(a) Joãozinho escolheu o cartão vermelho com o número 3. Qual é o número que ele deve dizer
ao matemágico?
(b) Fernandinha disse “setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão
que ela escolheu?
(c) Após escolher um cartão, Lucas disse “sessenta e um” e o matemágico respondeu “Você
errou alguma conta”. Como o matemágico pode saber isso?.
14. Numa certa tribo amazônica vivem 800 mulheres, 3% das quais usam apenas um brinco. Das
demais, a metade usa dois brincos e a outra metade, nenhum. Qual é o número total de brincos
usados por todas as mulheres desta tribo?
15. (Banco OBMEP) Os vértices de um cubo são numerados de 1 a 8, de tal forma que uma
das faces tem os vértices {1, 2, 6, 7} e as outras cinco têm os vértices {1, 4, 6, 8}, {1, 2, 5, 8},
{2, 3, 5, 7}, {3, 4, 6, 7} e {3, 4, 5, 8}. Qual é o número do vértice que está mais distante do
vértice de número 6?
16. (Banco OBMEP) Para fabricar nove discos de papelão circulares para o carnaval usam-se
folhas quadradas de 10 cm de lado, como indicado na figura. Usando o fato que π = 3, 14, qual
é a área (em cm2 ) do papelão não aproveitado?
17. (OBM 2011) Por conta de uma erupção de um vulcão, 10% dos voos de um aeroporto foram
cancelados. Dos voos restantes, 20% foram cancelados pela chuva. Que porcentagem do total
de voos deste aeroporto foram cancelados?
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b − m(B AC)
b = 50◦ , a bissetriz do ângulo
18. (OBM 2011) Em um triângulo ABC com m(ABC)
b intersecta o lado AB em D. Seja E o ponto do lado AC tal que m(C DE)
b
ACB
= 90◦ (ver
b
figura abaixo). Qual a medida do ângulo ADE?
19. (OBM 2009) Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três
algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por
exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três
algarismos detonam 314?
20. (OBM 2006) Na figura temos dois semicı́rculos de diâmetros P S, de medida 4, e QR, paralelo
a P S. Além disso, o semicı́rculo menor é tangente a P S em O. Qual é a área destacada?
21. (OBM 2004) Seja AB um segmento de comprimento 26, e sejam C e D pontos sobre o
segmento AB tais que AC = 1 e AD = 8. Sejam E e F pontos sobre uma semicircunferência
de diâmetro AB, sendo EC e F D perpendiculares a AB. Quanto mede o segmento EF ?
22. Quatro amigos vão ao cinema e um deles resolveu entrar de graça. Apareceu um guarda que
quer saber qual deles entrou sem pagar.
• Eu não fui, diz Simone
4
• Foi o Anderson, diz Fernanda
• Foi o Thiago, diz Anderson
• A Fernanda não tem razão, diz o Thiago.
Se um deles mentiu, quem não pagou o bilhete? Justifique sua resposta!
23. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um é um
tamanduá ou uma preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças sempre mentem.
• Adriano diz: “Bruno é uma preguiça”.
• Bruno diz: “Carlos é um tamanduá”.
• Carlos diz: “Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais”.
• Daniel diz: “Adriano é uma preguiça”.
Quantos dos quatro amigos são tamanduás?
24. Tenho 3 camisas: A, B e C. Uma é verde, outra é branca e a outra, azul, não necessariamente
nesta ordem. Somente uma das afirmações abaixo é verdadeira:
I - A é verde
II - B não é verde
III - C não é azul
Quais as cores das camisas A, B e C, nessa ordem?
25. Numa classe na escola, todos os alunos têm a mesma idade, exceto sete que têm 1 ano a menos
e dois que têm 2 anos a mais. A soma das idades de todos os alunos dessa classe é 330. Quantos
alunos tem essa classe?
26. (Cı́culos Matemáticos) O alfabeto hermitiano consiste em apenas três letras: A, B e C. Uma
palavra nesta linguagem é uma sequência arbitrária tendo, no máximo, quatro letras. Quantas
palavras existem na linguagem hermitiana?
27. Seu Matheus, um sujeito organizado e atento a promoções, decidiu pesquisar os preços de
passagens aéreas. Ele descobriu que certa empresa aérea estava operando o trajeto Juiz de
Fora - São Paulo com um desconto de 40% durante o mês de julho, e que esta empresa oferecia
ainda um desconto adicional de 10%, às segundas-feiras. Ele então decidiu viajar em uma
segunda-feira de julho para economizar R$ 92,00, aproveitando esta promoção. Qual o valor
desta passagem, em reais, antes da promoção?
28. (Banco OBMEP) Determine a soma das raı́zes distintas da equação
x2 + 3x + 2 = |x + 1|
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