Energia Potencial e Conservação de Energia – Prof. Leandro

Energia Potencial e Conservação de Energia – Prof. Leandro
Neckel
age sobre o mesmo é a força peso (desconsiderando a
resistência do ar). Logo, durante todo o percurso:
∑ =
− =
−
=
=−
ENERGIA POTENCIAL
De maneira geral, é a energia armazenada em um sistema.
Tecnicamente, é uma energia associada a configuração
(arranjo) de um sistema. Mas estas definições são muito
formais e pouco explicativas. Vejamos então um exemplo mais
prático:
Quando se diz que a energia potencial é uma energia
armazenada em um sistema, também se assume a
possibilidade que esta energia venha a ser utilizada
(convertida) para alguma outra modalidade de energia.
Em mecânica trabalharemos com dois tipos básicos de energias
potenciais ligados ao movimento (uma vez que estamos
trabalhando a mecânica de partículas). Uma delas é a energia
potencial gravitacional e a outra é a energia potencial elástica.
De maneira geral, antes de tudo, temos
- Símbolo: U
Para um sistema com a coordenada y crescente para cima.
Verificando o trabalho da força peso durante a subida:
= ⋅
=
cos
ou ainda, sabendo que o vetor P é oposto ao vetor
deslocamento
=−
=−
Δ =−
Δℎ
sendo h a altura atingida durante o percurso.
Repare que o resultado negativo é lógico uma vez que a força
peso age no sentido contrário do deslocamento, que neste caso
é para cima.
Verificando agora a variação de energia potencial:
Δ
Δ
Δ
- Definição:
(1)
Δ =−
Interpretando a equação, temos que a variação da energia
potencial do sistema é negativa (ou seja, a energia potencial de
um sistema diminui) quando o trabalho sobre o mesmo é
positivo e é positiva (ou seja, a energia potencial de um sistema
aumenta) quando o trabalho sobre o mesmo é negativo.
Em se tratando de algumas forças em específico, para algumas
é possível encontrar um sentido física para o aumento ou
diminuição de energia potencial. Por outro lado, a variação de
energia potencial dada pelo trabalho de algumas forças não
possui sentido físico nenhum. Trabalharemos com três tipos de
energia potencial que possuem sentido físico completo. São
elas: Energia potencial gravitacional, Energia potencial elástico
e Energia térmica.
A energia potencial gravitacional é associada ao trabalho da
força peso. A energia potencial elástica é associada ao trabalho
da força elástica e a energia térmica é relacionada ao trabalho
da força de atrito.
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
Vamos ao exemplo gravitacional, ou seja, da força gravitacional
sobre um objeto, ou da força peso sobre o mesmo:
Digamos que um objeto de massa m é lançado para cima.
Durante o percurso de subida e de descida a única força que
=−
=− −
Δℎ
=
Δℎ
Houve um aumento da energia potencial gravitacional (Δ )
com o lançamento do objeto para cima. Ou seja, houve um
armazenamento de energia por conta do aumento de altura,
ou um aumento na potencialidade gravitacional de trazer o
objeto ao chão. Repare que para um Δℎ maior, teremos uma
variação ainda maior e mais positiva de energia potencial
gravitacional. Durante a queda, uma vez que o deslocamento é
na mesma direção da força peso, temos que o trabalho da força
peso é positivo e a variação de energia potencial é negativa.
Observe:
Δ
Δ
= ⋅
= Δℎ cos
=
Δℎ
=−
=−
Δℎ
= 0º
Logo, durante a queda, há uma diminuição de energia potencial
gravitacional Δ .
É possível observar que, como trata a definição, a variação de
energia potencial gravitacional é positiva toda vez que trabalho
da força peso é negativo e vice-versa.
É importante ter em mente que o trabalho da força peso não
depende da trajetória, mas somente da diferença de altura
entre dois pontos. Observe.
*Força Conservativa: Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho é independente da trajetória. Exemplos: Força gravitacional e Força
Elástica
Como a potencial é definida por uma variação, ainda temos
como interpretar:
Δ
Na demonstração acima, vamos calcular o trabalho da força
peso que faz com que o bloco desça o plano inclinado uma
distância sobre o plano. Descendo esta distância , o bloco
desce verticalmente a altura ℎ também marcada na figura.
Repare que cos = .
O trabalho da força peso, neste caso é calculada por:
=
=
ℎ
=
=
.
ℎ
Para o caso da montanha russa (caso clássico) temos:
/
ℎ' − ℎ(
Enquanto do ponto B para o ponto C é dado por
%→) =−
ℎ* − ℎ(
A variação da potencial gravitacional, oposta ao trabalho da
força peso, então:
Δ
Δ
#→% =−
%→) =+
ℎ' − ℎ(
ℎ* − ℎ(
ℎ
=
ℎ'
=
ℎ(
=
ℎ*
E, no ponto D,
0
= 0 ℎ1 = 0
ENERGIA POTENCIAL ELASTICA
Observemos agora o caso da energia potencial elástica Δ 2 :
Imagine que uma mola com constante elástica 3 seja
comprimida até uma posição 45 a partir da sua posição de
equilíbrio (46 = 0 ). Sabendo a força que a mola exerce
conforme o deslocamento é dada por = −3 4, chamada
força restauradora, calcula-se o trabalho desta força durante a
compressão da mola como:
7
com 46 = 0 , temos
O trabalho da força peso no carrinho entre os pontos A e B é
dada por:
,
No exemplo da montanha russa, fixando a potencial como zero
no ponto = 0, podemos calcular as potenciais no ponto A, B
e C respectivamente como
-
Em geral, esta apresentação basicamente demostra que o
trabalho da força gravitacional (ou força peso) depende
somente da diferença de altura entre dois pontos e, também,
se é um movimento de subida (
< 0) ou e descida (
> 0).
−
+
Entretanto é impossível determinar uma energia potencial
gravitacional em determinado ponto. Pela definição, só é
possível determinar a variação da potencial gravitacional. Para
trabalhar com esta definição em termos finais e inicias, é
necessário fixar uma potencial gravitacional como zero
(normalmente no ponto mais baixo de uma trajetória) e
calcular a outra como:
cos
Positivo pois o ângulo é menor que 90º. No caso do mesmo
objeto subindo temos a mesma representação porém com o
ângulo entre as forças maior que 90º.
#→% =+
=
=
3 468 3 458
−
2
2
3 458
2
o que é um resultado plausível uma vez que o deslocamento de
compressão é contra a direção da força restauradora, que força
a mola a sempre voltar para sua posição de equilíbrio:
7
= 45 :̂
=−
∴
= −3 45 :̂ =
7
Assim, a variação de energia potencial elástica neste caso será:
Δ
Δ
Δ
7
=−
7
7
= − >−
7
=
3 458
2
3 458
?
2
que é um resultado que permite a compreensão de que houve
aumento de energia potencial elástica. Em uma outra
intepretação, pode-se dizer que a potencialidade da mola
voltar ao lugar aumentou a medida que ela era comprimida.
Novamente é importante reparar que a energia potencial
elástica toma como base um referencial em x, onde a posição
de equilíbrio da mola é em 4 = 0 . Da mesma forma que para
a potencial gravitacional, para a energia potencial elástica,
segundo a equação
Δ
Δ
Δ
logo
(4)
7
7
7
7
=
=
=
7+
3
7+
−
458
2
−
−
7,
7,
3 468
2
@
= 3 48
8
para uma mola que tem o ponto de equilíbrio em 4 = 0 .
- exemplo – Exercício 3, Capítulo 8 (Halliday)
Na Fig. 8-32 um floco de gelo de 2.00 g é liberado na borda ele
uma taça hemisférica com 22.0 cm de raio. Não há atrito no
contato do floco com a taça. (a) Qual é o trabalho realizado
sobre o floco pela força gravitacional durante a sua descida até
o fundo da taça? (b) Qual é a variação da energia potencial do
sistema floco–Terra durante a descida? (c) Se essa energia
potencial é tomada como sendo nula no fundo da taça, qual é
seu valor quando o floco é solto? (d) Se, em vez disso. a energia
potencial é tomada como sendo nula no ponto onde o floco é
solto, qual é o seu valor quando o floco atinge o fundo da taça?
(e) Se a massa do floco fosse duplicada. os valores das respostas
dos itens de (a) a (d) aumentariam diminuiriam ou
permaneceriam os mesmos?
também aponta nesta direção, definimos o trabalho
simplesmente como
= Δ =
A = 0.002 ∗ 9.8 ∗ 0.22
= 0.004312I J 4.3 ∗ 10KL I
(b) Para calcular a variação da energia potencial gravitacional
durante a descida é necessário tomar um referencial. Tomemos
o fundo da tigela como sendo o ponto onde a altura é zero.
Assim, podemos definir integralmente que
Δ =−
Δ = −4.3 ∗ 10KL I
que é um resultado plausível visto que a altura do floco de gelo
diminui, diminuindo sua potencialidade de descer.
(c) Tomando a energia potencial como nula (igual a zero) no
fundo da tigela, entende-se que consideramos o ponto em que
= 0 no fundo da tigela. Assim, a potencial gravitacional
final do movimento é nula, logo
Δ
=
5
−
6
−4,3 ∗ 10KL = 0 −
6
= 4,3 ∗ 10KL I
6
(d) Se tomarmos a energia potencial como nula no ponto onde
o floco foi solto, estaremos assumindo que a potencial
gravitacional no início do movimento é nula, logo
Δ
=
5
−4,3 ∗ 10KL =
5
−
6
5
−0
= −4,3 ∗ 10KL I
Tanto na letra (c) quanto na (d), é importante ter em mente que
a variação da potencial gravitacional é constante independente
de onde tomarmos a potencial como nula. A potencial em
determinado ponto é arbitrária, enquanto a variação da
potencial é fixa e depende inteiramente do trabalho da força
peso.
(e) Os valores positivos aumentariam e os valores negativos
diminuiriam.
(a) O trabalho realizado pela força peso é dado como:
=
⋅
Porém, o peso, apontado integralmente para baixo, contribui
somente pela mudança vertical de posição. A curvatura sofrida
pelo floco de gelo ao deslizar pela tigela é ação do contato
entre a tigela e o floco, logo, o deslocamento sofrido pelo floco
é do ponto mais alto da tigela até o ponto mais baixo, que
possuem uma distância vertical de A (raio da tigela) entre eles.
Como o deslocamento é de cima para baixo e a força peso
(*) Resolver exercício 7 – Pêndulo simples - A Fig. 8-34 mostra
uma haste fina, de comprimento N = 2.00
e massa
desprezível, que pode girar em torno de uma das extremidades
para descrever uma circunferência vertical. Uma bola de massa
= 5.00 3 está presa na outra extremidade. A haste é
puxada lateralmente até fazer um ângulo P = 30.0º com a
vertical e liberada com velocidade inicial QP = 0. Quando a bola
desce até o ponto mais baixo da circunferência, (a) qual é o
trabalho realizado sobre ela pela força gravitacional e (b) qual
é a variação da energia potencial do sistema bola-Terra? (c) Se
a energia potencial gravitacional é tomada como sendo zero no
ponto mais baixo da circunferência, qual é seu valor no
momento em que a bola é liberada?
É importante frisar que forças conservativas são forças que
dentro de um circuito fechado não realizam trabalho. A força
peso e a força elástica são forças deste tipo. Faça dois
experimentos mentais e verifique:
1 – Calcular o trabalho da força peso em um lançamento
vertical pleno de subida e descida, desde o momento em que o
objeto de massa m é lançado para cima até quando é recebido
novamente na mão.
2 – Calcular o trabalho de uma mola ideal em uma oscilação
completa, ou seja, 46 = 45 .
- exemplo: exercício 9, capítulo 8 (Halliday) - Na Fig. 8-36 um
caminhão perdeu os freios quando estava descendo uma
CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica em um sistema mecânica é dada pela soma
da energia potencial e cinética
- Definição
(5)
RSTU = V +
Em um sistema com ausência de forças dissipadoras (forças de
atrito, arrasto, etc.) ou externas a energia se conserva. Observe
uma constatação simples disto:
ladeira a 130
7S
e o motorista dirigiu o veículo para uma
rampa de emergência sem atrito com uma inclinação = 15º.
A massa do caminhão é 1.2 ∗ 10Y 3 . (a) Qual é o menor
comprimento L que a rampa deve ter para que o caminhão pare
(momentaneamente) antes de chegar ao final? (Suponha que o
caminhão pode ser tratado como uma partícula e justifique
essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui ou
permanece o mesmo (b) se a massa do caminhão for menor e
(c) se a velocidade for menor?
Sabe-se que
ΔV =
e que
logo temos que
Δ =−
(6)
ΔV = −Δ
que pode ser reescrito como
V5 − V6 = −W 5 − 6 X
V5 − V6 = − 5 + 6
(7)
V5 + 5 = V6 + 6
que demonstra que, para um sistema onde não há forças
dissipadoras ou externas, que a soma de V e de em qualquer
estado do sistema é igual. Segundo o próprio Halliday temos:
Em um sistema isolado, onde apenas foças
conservativas causam variações de energia, a energia
cinética e a energia potencial podem variar, mas sua
soma, a energia mecânica, RSTU do sistema, não pode
variar.
Isto é conhecido como conservação de energia, que pode ser
escrita, ainda as seguinte forma:
(8)
ΔRSTU = 0
ΔV + Δ = 0
(a) Para problemas envolvendo conservação de energia uma
das táticas mais úteis é definir estados inicial e final da situação
estudada. Aqui podemos definir como inicial a base da subida
e a final como sendo o ponto mais alto da rampa que o
caminhão alcança.
Definamos, então, para a energia potencial como ponto de
altura ℎ6 = 0 a base da subida. Logo, no ponto mais alto
teremos altura ℎ5 = ℎ. Porém, é necessário encontrar uma
relação de ℎ com N, e isso se dá observando o triangulo
formado na rampa, onde temos, para o ângulo , a altura ℎ
como o cateto oposto e N como hipotenusa, logo:
Z[\
=
ℎ
∴ ℎ = N Z[\
N
Para os estados inicial e final definimos as velocidades:
Q6 = 130
Q5 = 0
Z
3
= 36.1
ℎ
Z
S
Repare que Q5 = 0 , pois é o ponto mais alto da subida de
^
emergência, onde o caminhão para momentaneamente.
Aplicando a conservação de energia teremos:
(7)
V5 +
logo
(9-1)
N=
5
= V6 + 6
V5 = 0
6 =
_,`
ℎ6 = 0
A força de atrito, como já visto no capítulo anterior, é uma força
que é sempre contrária ao movimento e, por esta natureza,
exerce sempre um trabalho negativo, ou seja, contra o sistema.
Vamos definir a variação de energia térmica, associada ao
aquecimento das superfícies como o negativo do trabalho do
atrito:
(9)
V6 = 5
1
Q68 =
ℎ5
2
1 8
Q = ℎ
2 6
1 8
Q = N Z[\
2 6
= kU ⋅
cos
5U = kU
= 180º
5U = −lU =
5U
36.18
J 257
2 ∗ 9.8 ∗ sin 15º
logo
(b) verifique que a massa não influencia em nada segunda a
equação (9-1)
(c) se a velocidade for menor, segundo a equação (9-1), o
comprimento necessário será significativamente menor devido
ao quadrado da velocidade.
(*) Resolver exercício 22 – capítulo 8 (Halliday) - Um bloco de
massa
= 2.0 3 é deixado cair de uma altura ℎ = 40 g
sobre uma mola de constante elástica 3 = 1960
5U
Desta forma, quanto mais negativo o trabalho da força de atrito
(ou seja, quanto mais a força de atrito cinético se opõe ao
movimento), maior será a variação da energia térmica, ou
ainda, maior o aumento da temperatura. Assim temos:
8a ^Tb c
N=
ΔRiTj = −
h
S
(Fig. 8-38).
Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser
comprimida.
(10)
ΔRiTj = − −lU =
ΔRiTj = lU =
Em um sistema em que há atrito entre as superfícies, a energia
mecânica do sistema vai sendo dispersada em energia térmica
por meio da força de atrito. Assim, visto que há decrescimento
de uma e crescimento de outra, podemos definir a conservação
geral de energia, para nosso estudo, como
(11)
ΔRSTU = −ΔRiTj
- exemplo: capítulo 8, exercício 53 (Halliday) - Na Fig. 8-53 um
bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para outro
mais elevado, passando por um vale intermediário. A pista não
possui atrito até o bloco atingir o nível mais alto, onde uma
força de atrito pára o bloco em uma distância d. A velocidade
inicial QP do bloco é de 6.0 m/s, a diferença de altura h é 1.1m
e l7 é 0.60. Determine d.
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Em sistemas mais próximos da realidade, normalmente não há
conservação de energia mecânica. Em sistemas mecânicos, em
especial, normalmente existe dispersão da energia mecânica
em alguma outra forma de energia. Quando se trabalha com
objetos em contato e que deslizam sobre si com atrito, de uma
maneira simples associa-se a variação da energia mecânica
(ΔRSTU ) ao consumo da mesma pelo aumento de temperatura
do sistema, afinal de contas, o atrito gera algum aquecimento
das superfícies, mesmo que imperceptível. Trabalharemos aqui
com esta concepção.
Durante a primeira parte do movimento, antes da área com
atrito, há conservação plena da energia mecânica. Após o atrito
não há. Para a parte com conservação definamos o estado
inicial em que o bloco foi lançado e o estado final em que o
bloco entra na área com atrito. Segundo a equação (11)
ΔRSTU = −ΔRiTj
ΔV + Δ = −W− 5m X
V5 − V6 + 5 − 6 =
5m
Aqui se torna necessário definir um referencial para a energia
potencial que é exclusivamente gravitacional. É suficiente
considerar o ponto de partida como energia potencial zero, isso
torna 6 = 0, logo
1
2
Qk 8 −
1
2
Q68 +
ℎ = −kU
Sabendo que quando o bloco entrar na região com atrito
necessitará de uma distância para parar, temos que Q5 = 0,
logo
1
2
−
Q68 +
ℎ = −lU =
Repare que = = para o tempo em que o bloco desliza sobre
a região com atrito, logo
1
2
1
−
2
−
Q68 +
Q68 +
ℎ = −lU
ℎ = −lU
Assim temos:
1 8
Q + ℎ = −lU
2 6
1 8
Q6 − ℎ
∴ =2
lU
1 8
∗ 6 − 9.8 ∗ 1.1
=2
0.6 ∗ 9.8
= 1.22
−
(*) Resolver exercício 55, capítulo 8 - Na Fig.8-54,um bloco de
3.5 kg é acelerado a partir do repouso por uma mola
comprimida de constante elástica 640
h
S
. O bloco deixa a mola
no seu comprimento relaxado e se desloca em um piso
horizontal com um coeficiente de atrito cinético l7 = 0.25. A
força de atrito para o bloco em uma distância n = 7.8 .
Determine (a) o aumento de energia térmica do sistema blocopiso, (b) a energia cinética máxima do bloco e (c) o
comprimento da mola quando estava comprimida.