Experimento 9 – Circuitos RL em corrente alternada

Experimento 9 – Circuitos RL em corrente
alternada
1. OBJETIVO
O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RL em presença de uma fonte
de alimentação de corrente alternada.
2. MATERIAL UTILIZADO
•
osciloscópio;
•
multímetro;
•
gerador de sinais;
•
resistor: R = 100Ω;
•
indutor: 5mH < L < 50mH.
3. INTRODUÇAO
A maneira de apresentar o modelo elétrico que vamos nos basear para estudar indutores e
circuitos RL é essencialmente igual à que foi apresentada na Aula 8, para circuitos RC, visto que a
solução formal das equações do circuito RC e do circuito RL são as mesmas. A equação
característica do indutor ideal é dada por:
VL (t) = L
di(t)
.
dt
(1)
Se aplicarmos uma voltagem alternada, de modo análogo ao caso do capacitor, é de se esperar que a
corrente varie na forma:
!
i(t) = i0 sin("t + # ),
(2)
onde ϕ corresponde à diferença de fase entre a corrente e a voltagem. Considerando que a voltagem
!
aplicada pelo gerador seja da forma
Vg(t) = V0 sin(ωt), e usando a equação característica do indutor
obtemos:
V0 sin("t) = "Li0 cos("t + # ).
(3)
Expandindo a função cosseno e igualando os coeficientes de sin(ωt) e cos(ωt) encontramos:
!
81
("Li0 ) cos(# ) = 0,
(4)
V0 = "(#Li0 ) sin($ ).
(5)
e:
!
A Equação 4 nos diz que ϕ = ± π/2 e a Equação 5, que a única possibilidade é termos ϕ = - π/2,
porque V0, L, i0 e ω possuem valores
positivos. Portanto, a corrente em um indutor ideal é dada por:
!
%
%
$( V
$(
i(t) = i0 sin'"t # * = 0 sin'"t # *.
&
2 ) "L &
2)
(6)
Neste caso a corrente está atrasada de π/2 radianos em relação à voltagem.
!
A Equação 6 nos diz também que:
V0 = ("L)i0 = X L i0 ,
(7)
X L = "L.
(8)
onde
!
A Equação 7 é o equivalente da lei de Ohm para indutores em corrente alternada. O termo XL, que
! de reatância indutiva, e é proporcional à freqüência.
tem dimensão de ohm (Ω), é chamado
Como pode ser representada a reatância indutiva no formalismo de números complexos?
Consideremos novamente um circuito envolvendo apenas um gerador e um indutor. A voltagem na
fonte pode ser escrita como:
Vg(t) = V0 sin("t).
(9)
Usando números complexos, e a fórmula de Euler e j" = cos(" ) + j sin(" ) , podemos escrever
para a voltagem no gerador:
!
com:
Vg (t) = Im [V˜g (t)],
!
(10)
V˜g (t) = V0 e j"t .
(11)
!
Para um circuito contendo apenas o gerador e o indutor, vimos que nesse caso, a corrente é dada
!
por:
82
%
$(
i(t) = i0 sin'"t # *,
&
2)
(12)
com i0 = V0/(ω L) . Podemos representar também a corrente em termos de uma função complexa:
!
i(t) = Im [i˜(t)],
(13)
com:
!
i˜ (t) =i 0 e
%
$(
j '"t# *
&
2)
.
(14)
A equação análoga à lei de Ohm pode então ser escrita para correntes alternadas em termos de
!
números complexos:
i˜ (t) =
V˜g (t)
,
Z˜
(15)
onde, Z˜ é a impedância complexa do circuito e para este caso é dada por:
!
!
V˜ (t)
V0e j"t
"L "L
Z˜ = g =
=
= jX L .
%
(
$ =
$
i˜ (t)
V0 j '&"t# 2 *) e# j 2 # j
e
"L
(16)
Assim, usando o formalismo de números complexos, para um indutor, a impedância complexa é um
número complexo !
imaginário puro positivo.
3.1 – Circuitos RL
Em circuitos RL como o que é mostrado na Figura 1 abaixo, a lei das malhas nos diz que:
Figura 1: Circuito RL.
83
Vg = VL + VR " V0 sin(#t) = L
di
+ Ri.
dt
(17)
Como se trata de um circuito com elementos lineares esperamos que a corrente tenha a forma geral
!
i(t) = i0 sin("t + # ),
(18)
onde ϕ representa a diferença de fase entre a voltagem e a corrente no circuito. Substituindo a
Equação 17 na Equação 18 encontramos:
!
V0 sin("t) = Li0" cos("t + # ) + Ri0 sin("t + # ).
(19)
A Equação 19 pode
! ser reescrita após abrirmos as funções cosseno e seno para obtermos:
sin("t)[( Ri0 ) cos# $ ("Li0 ) sin # $ V0 ] + cos("t)[("Li0 ) cos# + ( Ri0 ) sin # ] = 0.
(20)
Os!coeficientes de sin(ωt) e cos(ωt) devem ser individualmente nulos para que a igualdade descrita
na Equação 20 seja satisfeita. Assim devemos ter:
( Ri0) cos" # ($Li0 ) sin " = V0 ,
(21)
("Li0 ) cos# + ( Ri0 ) sin # = 0.
(22)
e
!
A Equação 22 mostra que o ângulo de fase ϕ entre a voltagem e a corrente é dado por:
!
tan " = #
$L
X
=# L,
R
R
(23)
ϕ pode assumir valores variando entre -π/2 e 0 (valor negativo para a tangente), mostrando que a
corrente está atrasada em relação à voltagem no circuito RL.
!
A Equação 21 pode ser simplificada escrevendo-se sinϕ e cosϕ em função de tgϕ na forma:
sin " =
tan "
2
1+ tan "
,
(24)
e:
!
84
cos" =
1
2
1+ tan "
.
(25)
Após substituirmos as relações descritas nas Equações 24 e 25 na Equação 21 e usarmos a
! relação:
Equação 23 obtemos a seguinte
V0
= R 2 + X L2 = Z,
i0
(26)
onde, da mesma forma que no caso de circuitos RC (Aula 8), Z é denominada a impedância do
!
circuito e tem a dimensão de ohm (Ω).
As Equações 23 e 26 mostram que a impedância pode ser obtida a partir de um plano onde
o eixo horizontal representa a resistência e o eixo vertical a reatância indutiva. Como no caso da
reatância capacitiva, a composição entre a resistência e a reatância segue as mesmas regras de
composição de um número complexo. A reatância indutiva corresponde à parte imaginária positiva
da impedância complexa, como mostrado na Figura 2 abaixo.
Figura 2: Reatância indutiva e impedância como números complexos.
As Equações 23 e 26, da mesma forma que para o circuito RC, levam às seguintes relações entre
amplitudes:
2
2
V02 = (V0L ) + (V0R ) ,
(27)
enquanto que teremos, alternativamente, para o ângulo de fase a expressão:
!
tan " = #
!
V0L
.
V0R
(28)
85
A Equação 8 mostra que quanto maior for a freqüência maior será a reatância indutiva e a Equação
23 que maior será a defasagem entre a voltagem e a corrente.
Da Equação 23 temos que a dependência da diferença de fase ϕ entre a corrente e a
voltagem do gerador para um circuito RL pode ser escrita como:
tan " = #
$L
.
R
(29)
Na Figura 3 mostramos um gráfico de ϕ em radianos, como função da freqüência angular ω para
R=10Ω e L=10mH. Observe que para uma melhor visualização da dependência de ϕ com ω o
gráfico foi apresentado em escala!semi-logarítmica. Para valores de ω tendendo a zero a diferença
de fase é nula e para ω tendendo a infinito ela tende a -π/2.
Figura 3: Dependência, em um circuito RL, da diferença de fase entre a corrente e a voltagem do gerador de
sinais. Neste caso R=10Ω e L=10mH.
4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
4.1 - Procedimento I
Vamos novamente verificar a Lei de Ohm, desta vez para indutores. Queremos verificar
como se comporta a reatância indutiva com a freqüência. Para isso vamos montar o circuito da
Figura 4 abaixo, usando um indutor na faixa 5mH < L < 50mH e R = 100Ω. Como fizemos nas
Aula 7 e 8, vamos medir a voltagem no resistor de 100Ω e determinar a corrente através deste
resultado, fazendo i0 = V0R R .
1) Monte o circuito da Figura 4, ligue os equipamentos e ajuste o gerador (CH1) para um sinal
senoidal, com freqüência f1 = 1kHz . Com o osciloscópio, meça o período T1 com sua respectiva
incerteza!e determine a freqüência f1, também com sua respectiva incerteza.
!
86
Figura 4: Circuito a ser utilizado para a verificação da lei de Ohm em indutores sujeitos a correntes
alternadas.
2) Ajuste a amplitude no gerador para que o valor pico ( V0B ) da diferença de potencial entre o
ponto “B” e a TERRA no circuito (CH2) seja de 0.3V. Lembre-se de utilizar uma escala apropriada
no osciloscópio. Anote esse valor na Tabela 1. Usando um multímetro meça o valor de R e
determine a corrente que passa pelo circuito, i0 = V0R R .
!
Observação: Para obter melhor resolução e facilitar a tomada de dados, é conveniente que a
referência de ambos os canais (GND) seja colocada na linha mais inferior da tela do osciloscópio.
Com isso, os valores das amplitudes!V0B e V0A podem ser medidos simultaneamente.
3) Meça o valor de pico ( V0A ) da diferença de potencial entre o ponto “A” e a TERRA (CH1) com
sua respectiva incerteza, e anote também o valor na Tabela 1. A partir desses resultados, determine
!
!
2
2
a voltagem de pico no indutor, V0L , pela relação V0L = (V0A ) " (V0B ) .
!
4) Observe que existe uma diferença de fase ϕ entre os sinais dos dois canais. Diferentemente do
circuito RC, no circuito RL a corrente está atrasada em relação à voltagem no gerador. Meça essa
!
diferença de fase medindo
a diferença!temporal entre os dois sinais (diferença de tempo entre duas
passagens pelo zero nas mesmas condições, por exemplo) e determine o ângulo de fase e sua
respectiva incerteza, sabendo que o módulo da diferença de fase ϕ é dado por ϕ = ω Δt = 2πfΔt =
2πΔt/T. Na Figura 5 mostramos um esquema de como a medida da diferença de fase é feita para o
circuito RL.
87
Figura 5: Formas da voltagem no circuito RL da nossa montagem experimental. A linha contínua representa
a voltagem da fonte (Vg), e a linha tracejada a voltagem no resistor (VR). Como já foi visto, em um resistor a
corrente e a voltagem estão em fase. A diferença de fase que está ocorrendo se deve à presença do indutor.
Para este caso ϕ < 0 e tem módulo igual a 0,45π. R= 10Ω, L=10mH, V0=5V, T=1ms.
5) Repita os itens anteriores ajustando amplitude do gerador para que a voltagem no ponto “B” vá
aumentando em intervalos de 0.1V até completar a Tabela 1.
V0B ± " V B (V)
0
i0 ± " i0 (A)
V0A ± " V A (V)
" V L (V )
V0L (V )
0
0
0,3
!
0,4
!
!
!
!
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
L
Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 1 = 1kHz. V0 =
A 2
0
B 2
0
(V ) " (V )
.
6) Repita todos os itens anteriores para a freqüência de f2=8kHz, e complete a Tabela 2.
!
88
V0B ± " V B (V)
0
i0 ± " i0 (A)
V0A ± " V A (V)
" V L (V )
V0L (V )
0
0
0,3
!
0,4
!
!
!
!
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
L
Tabela 1: Resultados experimentais obtidos com a freqüência f 2 = 8kHz. V0 =
A 2
0
B 2
0
(V ) " (V )
.
!
89