Exemplos de aplicação das leis de Newton e Conservação da Energia

Exemplos de aplicação das leis de Newton e
Conservação da Energia
O Plano inclinado
Vimos que a força resultante sobre o bloco é dada por
.
𝐅𝑟 = mg sin 𝛼 𝐢
N
Portanto, a aceleração experimentada pelo bloco é dada
por (em módulo):
m
F𝑟 = mg sin 𝛼 = 𝑚𝑎
P
𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛α
α
Podemos calcular a velocidade, usando a equação do Movimento Retilíneo Uniformemente
Variado:
v 2  v02  2ad
v  2 g sen  d
O plano inclinado
Contudo, podemos expressar o seno do ângulo α em função do comprimento do
plano inclinado e de sua altura:
sen  
Logo:
h
d
h
v  2 g sen  d  2 g d
d
v  2 gh
Energia potencial gravitacional
Considere uma partícula que é elevada do solo até uma altura h
perto da superfície da Terra:
F
h
Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre
ele. A essa ação do agente externo chamamos de
Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade
constante:
F  P  mg j
O trabalho, W, neste caso, é simplesmente o produto
do módulo da força pela distância percorrida sob a
ação desta força:
W  mgh
P Terra
Este trabalho fica armazenado na forma de energia
potencial do sistema partícula – Terra:
W  E pg  mgh
Energia Total
A Energia Total do sistema é a soma das formas cinéticas
mais potenciais. No caso de uma partícula sobre a qual atua
apenas a força gravitacional:
Parte cinética
E
Parte potencial
1 2
mv  mgh
2
Teorema da Conservação da
Energia
A energia total de um sistema fechado é
conservada.
O plano inclinado – usando a
conservação da energia
Vamos agora usar a conservação da energia para calcular a velocidade do objeto
quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso.
Etapa 1 – Energia no topo do plano inclinado
Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial:
Ei  Ec  E p  E p  mgh
Etapa 2 – Energia na base do plano inclinado
Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cinética, já que a
energia potencial é nula neste ponto (h=0):
1 2
E f  Ec  E p  E p  mv
2
O plano inclinado
Como não temos atrito, a energia é conservada: a energia no topo do plano inclinado deve
ser igual à energia na base do plano inclinado:
1 2
E f  Ei  mv  mgh  v  2 gh
2
Máquina de Atwood
Qual o valor da aceleração do sistema e das tensões?
28,0 kg
R. Sobre a massa de 15 kg temos duas forças agindo: a força
peso, para baixo e a tensão na corda, para cima:
T1
Fr1  T1  P1  T1  m1 g  m1a (I)
15,0 kg
P1
Sobre a massa de 28,0 kg também temos duas forças agindo:
T2
Fr 2  P2  T2  m2 g  T2  m2 a (II)
P2
Observe que as duas tensões formam um par de ação e reação: |T1|= |T2|
Máquina de Atwood
Logo, podemos escrever:
T  m1 g  m1a 

  m2 g  m1 g  m1a  m2 a
m2 g  T  m2 a 
ag
m2  m1
28, 0kg  15, 0kg
 a  9,81m/s 2
m2  m1
28, 0kg  15, 0kg
a  2,97m/s 2
A tensão na corda será dada por:
T  m1 g  m1a
T  m1 g  m1 g
m2  m1
m2  m1
 m  m1 
 m2  m1  m2  m1 
T  m1 g 1  2
  m1 g 

m2  m1
 m2  m1 


T  2g
m1m2
15kg  28kg
 T  2  9,81m/s 2
m2  m1
15kg  28kg
T  191, 64N
Diagrama de energia potencial
Ep
E3
Pontos de equilíbrio instável
E2
E1
x1
x2
x3
x4
Pontos de equilíbrio estável
x5
x
Diagrama de Energia
E2
E1
x1
E2
E1
x2
x3
x4
00
x5
x
Altura máxima de um projétil
Queremos determinar a altura máxima que
um projétil pode alcançar em função do
ângulo de lançamento.
v
v0
Vamos usar a conservação da energia,
supondo que não exista atrito com o ar. Dois
pontos devem ser observados;
1) No ponto mais alto da trajetória a
velocidade na direção vertical é nula;
2) A velocidade na direção horizontal é
constante.
α
h
Altura máxima de um projétil
Este é um problema que envolve as duas dimensões, x e y.
Inicialmente o objeto possui somente energia cinética (definimos o zero de potencial
nesta posição). Logo, a energia total será dada por:
E0 
1 2 1
mv0  m  vx20  v y20 
2
2
No ponto mais alto da trajetória, temos que a energia total será dada por:
E
1 2 1
mv  m  vx2  v y2   mgh
2
2
Como não temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais:
E  E0 
1
1
m  vx20  v y20   m  vx2  v y2   mgh
2
2
Altura máxima de um projétil
Usaremos agora as duas condições anunciadas antes:
vx 0  vx
vy  0
Logo:
vx20  v y20  vx2  v y2  2 gh  vx2  v y20  vx2  2 gh
v02 sen 2 
v  2 gh  h 
 h
2g
2g
2
y0
v y20
Energia potencial elástica
F  kx
X=0
F
X
F
Constante elástica da
mola
A energia potencial elástica é dada por:
Posição de máxima
compressão
Posição de máxima
elongação
Posição de equilíbrio
1 2
E p  kx
2
A distância em relação à posição de equilíbrio de chamada de
elongação.
Um exemplo de energia potencial
elástica
a)
Uma força de 800 N estica certa mola até
uma distância de 0,2 m. Qual é a energia
potencial da mola quando ela está esticada
0,2 m? Qual a energia potencial da mola
quando ela está comprimida de 5,0 cm?
0,2 m
X=0
F
Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual é a
constante k da mola. Para isso, vamos usar que a força aplicada é igual à força
restauradora no equilíbrio:
F  kx  k 
Logo:
F 800N

 4000N/m
x 0, 2m
1 2 1
N
kx   4000  (0, 2) 2 m 2
2
2
m
E p  80 J
Ep 
Um exemplo de energia potencial
elástica
Podemos calcular diretamente
a energia potencial:
b)
0,05 m
1
1
N
E p  kx 2   4000  (0, 05) 2
2
2
m
Ep  5 J
X=0
F