Movimento Circular I

Movimento Circular I
Restrições ao movimento:
●
Rotação de corpo rígido;
●
Rotação em torno de um eixo fixo.
Estudo:
●
Posição, velocidade e aceleração angular;
●
Grandezas angulares e lineares;
●
Inércia de Rotação e Energia Cinética de
Rotação.
Posição Angular
Dado um corpo rígido executando um movimento circular
em torno de um eixo fixo:
Unidades:
●
Radianos
●
Graus
●
Grados
●
Revoluções
y
r
0
+ sentido anti-horário
– sentido horário
x
Posição Angular
Posição angular é uma grandeza adimensional.
Radianos:
y
“é definido como sendo o
comprimento do arco de
circunferência em um círculo
de raio unitário.”
1
x
−1
1
0
−1
2 π rad
“é o comprimento de meia
circunferência em um círculo
de raio unitário.”
Variação da
Posição Angular
Movimento circular de um corpo rígido ⇒ raio constante:
y
θf
θi
0
x
Velocidade Angular
Instantânea:
y
tf
ωi
ti
θf
θi
0
x
ω= lim Δ θ
Δ t →0 Δ t
ω=
dθ
dt
Aceleração Angular
ωf
Média:
tf
Δω
α
̄=
Δt
y
ωi
ti
θf
θi
x
Instantânea:
0
α= lim Δ ω
Δ t →0 Δ t
α=
dω
dt
Velocidade Angular
y
ω
̄
tf
ti
θf
θi
0
Média:
Unidades:
x
Outras unidades:
Aceleração Constante
Aceleração constate
Linear
Angular
v=v 0 +a t
ω=ω 0 +α t
(v +v 0 )
Δ x=
t
2
1 2
Δ x=v 0 t+ a t
2
ω+ω 0
Δ θ=
t
2
1 2
Δ x=v t− a t
2
1 2
Δ θ=ω t − α t
2
v 2=v 02 +2 a Δ x
ω 2=ω 02 +2 α Δ θ
1 2
Δ θ=ω 0 t + α t
2
Aceleração Constante
Grandezas
Linear
Angular
Condições de Aceleração Constate
Aceleração Constante
Linear
Aceleração Constate
Angular
Aceleração Constante
Um disco rígido gira a 7.200 rpm desacelerando para 4.800 rpm em apenas 0,45 s.
Determine (a) o número de rotações e (b) a aceleração sobre este disco, supondo
esta constante.
Como em uma questão de aceleração constante no capítulo 3 do Halliday, você deve
encontrar três grandezas no texto:
Em seguida escolhe a equação para calcular a grandeza desejada: (a) número de
rotações:
Aceleração Constante
(b) a aceleração sobre este disco, supondo esta constante.
Observe que a questão (a) poderia ter sido feita sem a transformação de rpm para
rad/s, das velocidades.
Grandezas Lineares e
Angulares
Relacionar as grandezas Lineares às grandezas
Angulares.
y
v
derivando esta expressão em
relação ao tempo:
1
r
1 uc
θ S=r θ
x
−1
1
0
com r constante
−1
Grandezas Lineares e
Angulares
Derivando a aceleração tangencial
v=r ω
y
ainda com r constante
v
dv
dω
=r
dt
dt
at
x
at =r α
0
Esta aceleração mede a taxa
com que o módulo da
velocidade tangencial varia
no tempo.
Grandezas Lineares e
Angulares
A velocidade tangencial é proporcional a distância do eixo
de rotação.
Aceleração Radial
Suponha um corpo esteja executando um movimento
circular a velocidade constante.
Calculando a aceleração
média no intervalo if:
Aceleração Radial
Como a velocidade é constante:
Aceleração
Num movimento circular pode haver dois tipos de
aceleração:
Aceleração tangencial:
y
v (t )
at
ar
θ
r
0
x
Que mede a taxa com que a
velocidade tangencial muda no
tempo.
Aceleração radial:
É sempre diferente de zero em
todo movimento circular
Aceleração
A aceleração tangencial pode
ser zero em um movimento
circular:
Δv
Δv
ar
v
v
Δv
ar v
ar
v
ar
v
ar
v
ar
r
0
v
ar
ar
v
v
ar
ar
ar
v
v
Já a aceleração radial é
necessária para o corpo fazer o
movimento circular, alterando a
direção do seu movimento a
cada instante.
Energia Cinética
de Rotação
Energia Cinética de Rotação
1 2
K R= I ω
2
Se comparado a
Energia Cinética de
Translação:
1
K T= M v2
2
Inércia de Rotação para corpos puntiformes:
I =∑ mi r i 2
Unidade:
[ I ]=[m][r 2 ]=kg⋅m2
Energia Cinética
de Rotação
Duas massas são fixadas nas extremidades de uma haste
rígida, de massa desprezível, giram em torno de um
ponto fixo.
A energia cinética do sistema:
v2
ω
m1
v1
m2
r2
r1
0
Energia Cinética
de Rotação
Esta grandeza é chamada de Inércia de Rotação
Com unidade
Exemplo
(a) se a massa for movida para a 1,30m de distância do
eixo de rotação, calcule novamente sua inércia de
rotação e energia cinética.
I=∑ mi r i 2=0,250⋅1,30 2 ⇒ I =0,423 kg m2
1 2 1
K R = I ω = ⋅0,423⋅62,8 2 ⇒ K R =833 J
2
2
(1,30−1,00)m
=30 %
1,00 m
(833−493) J
=69 %
493 J
Observe que um aumento de 30% na distância entre a massa
e o eixo de rotação gerou um aumento de 69% na energia
cinética de rotação do sistema, a mesma velocidade angular.
Exemplo
Uma esfera pequena, de 250g, é presa a uma haste de
massa desprezível, inicialmente a a 1,00m de uma
extremidade que está fixada a um eixo giratório.
(a) determine a inércia de rotação deste sistema e a sua
energia cinética, quando este girar a 10rps.