Ondas e Partículas na Matéria - udesc

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
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1.3. Ondas e Partículas na Matéria
1.3.1. Origens da Teoria Quântica
Ao final do Século XIX, e durante o primeiro quarto do Século XX, acumularam-se
evidências experimentais que indicaram que a interação da radiação eletromagnética com
a matéria não estava inteiramente de acordo com as teorias vigentes.
A esta época, duas grandes teorias detinham praticamente o consenso da
comunidade científica. A Mecânica Newtoniana explicava com grande sucesso todos os
processos físicos envolvendo a matéria, descrevendo com grande precisão o movimento
de corpos materiais; a Segunda Lei de Newton afirma que, conhecida a lei de força que
atua sobre uma partícula (ou conjunto de partículas), determina-se com precisão absoluta
tanto a sua posição (trajetória), quanto o seu momento linear em qualquer instante de
tempo. Por outro lado, o Eletromagnetismo de Maxwell explica as ondas eletromagnéticas
como sendo originárias do movimento de cargas elétricas.
Dos conceitos derivados da Mecânica Newtoniana (energia e trabalho), Boltzmann
obteve uma interpretação mecânica da Termodinâmica; assim, os conceitos de pressão e
temperatura passaram a estar relacionados com o movimento das partículas constituintes
dos gases. A pressão nada mais é do que resultado da colisão das partículas dos gases
com as paredes do recipiente que o contém; por outro lado, a temperatura está
relacionada com a energia cinética total do conjunto de partículas que compõem o gás.
Também a Mecânica Newtoniana explica com riqueza de detalhes o comportamento
dos fluídos; é possível obter a Equação de Bernouille (Hidrodinâmica) a partir de
considerações de conservação de energia das partículas que constituem um fluido. A Lei
de Stevin e o Teorema de Pascal (Hidrostática) também são obtidos aplicando-se as Leis
de Newton a fluidos.
Do lado do Eletromagnetismo, a Óptica Geométrica (reflexão e refração da luz) e a
Óptica Física (interferência e difração da luz) são totalmente explicadas a partir das
Equações de Maxwell.
Paralelamente, a teoria sobre a estrutura atômica da matéria estava desenvolvendose, principalmente devido à descoberta do elétron feita por J. J. Thomson em 1898.
Em acréscimo a isto, um grande número de experimentos forçou os físicos da época
a reverem conceitos sobre o movimento de partículas microscópicas, pois os resultados
experimentais aparentemente não estavam de acordo com a Mecânica Newtoniana.
Para explicar as novas observações, uma seqüência de novas idéias, introduzidas
inicialmente de modo não natural (isto é, de uma forma em desacordo com os princípios
científicos vigentes), foi incorporada por vários físicos.
Com o passar do tempo, e com a compreensão mais elaborada dos cientistas, estas
novas idéias evoluíram, até tomar o corpo daquilo que hoje é conhecida como Mecânica
Quântica. Esta nova Mecânica é a essência da Física Contemporânea, e a base de todo o
desenvolvimento tecnológico que vivenciamos no presente.
Nas páginas seguintes discutiremos alguns dos principais experimentos que
iniciaram o abandono da Teoria Clássica, e permitiram o advento da Mecânica Quântica.
Antes, porém, faremos um breve resumo das propriedades do campo eletromagnético de
radiação, a fim de situarmos corretamente o problema a ser abordado a seguir.
1.3.2. O Campo Eletromagnético de Radiação
Nesta Seção desenvolveremos os conceitos fundamentais do campo de radiação.
Com isto estaremos preparando o terreno para melhor compreender a teoria da radiação
do corpo negro e outros fenômenos associados à radiação.
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1.3.2.1. Propriedades Gerais do Campo de Radiação
Em meados do Século XIX, Jamea Clerck Maxwell concentrou todo o conhecimento
empírico da eletricidade e do magnetismo em um conjunto de equações que a partir de
então passou a ser conhecida como Equações de Maxwell. Do ponto de vista matemático
podemos expressar estas equações tanto em uma formulação integral quanto em uma
formulação diferencial, uma vez que tais formulações são totalmente equivalentes. Assim,
escritas na forma integral, as quatro Equações de Maxwell são dadas por:
r
D
∫∫ • n̂ ⋅ dS = ∫∫∫ ρ ⋅ dV = Q
S
V
r
B
∫∫ • n̂ ⋅ dS = 0
S
r
r
r
∂B
∫ E • d l = − ∫∫ ∂t • n̂ ⋅ dS
C
S
r
r
r
 r ∂D 
∫ H • d l = ∫∫  J + ∂t  • n̂ ⋅ dS = I

C
S 
1.3.1.
Já na forma diferencial, estas quatro equações são escritas na forma:
r r
∇ •D = ρ
r r
∇ •B = 0
r
r r
∂B
∇ ×E = −
∂t
r
r
r
r
∂D
∇ ×H = J +
∂t
1.3.2.
r
r
Tanto na Equação 1.3.1. quanto na
Equação
1.3.2.,
E
significa
o
campo
elétrico,
D
o
r
r
campo de deslocamento elétrico, B o campo de indução magnética, e H o campo de
intensidade magnética;
por sua vez, ρ significa a densidade de carga elétrica livre, Q a
r
carga livre total, J a densidade de corrente elétrica, e I a corrente elétrica total no meio.
r
r
r
r
Existe ainda relações constitutivas entre os campos E e D , e entre os campos B e H ,
dadas por:
r
r
D = ε ⋅E
r
r
B = µ ⋅H
1.3.3.
onde ε é a permissividade elétrica e µ é a permissividade magnética do meio onde atuam
os campos.
Para os nossos objetivos é mais conveniente trabalhar com as Equações de Maxwell
em sua forma diferencial. Além disso, nosso tratamento se restringirá à propagação dos
campos elétrico e magnético no vácuo, isto é, na situação em que não existam nem carga
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r
elétrica livre (logo, Q = 0), nem corrente elétrica fluindo (logo, J = 0). Nestas condições,
as relações constitutivas passam a ser dadas por:
r
r
D = ε0 ⋅ E
r
r
B = µ0 ⋅ H
1.3.4.
onde ε0 = 8,85×10-12 F/m é a permissividade elétrica do vácuo e µ0 = 4π×10-7 H/m é a
permissividade magnética do vácuo. Desta forma, as Equações de Maxwell em sua forma
diferencial ficam na forma:
r r
∇ •E = 0
r r
∇ •B = 0
r
r r
∂B
∇ ×E = −
∂t
r
r r
∂E
∇ × B = µ0 ⋅ ε0 ⋅
∂t
1.3.5.
Uma manipulação adequada das Equações de Maxwell, com a aplicação das
propriedades dos operadores vetoriais
r
r divergente e rotacional, conduz à seguinte
equação diferencial para os campos E e B :
r
r 2r
∂ 2E
∇ E − µ0 ⋅ ε0 ⋅ 2 = 0
∂t
r
r
r2
∂ 2B
∇ B − µ0 ⋅ ε0 ⋅ 2 = 0
∂t
1.3.6.
r
r
A Equação 1.3.6. mostra que os campos E er B obedecem
a equações de onda.
r
isto
Outra conclusão menos óbvia é que os campos E e B são transversais,
r
r é são
perpendiculares entre si; esta transversalidade advém do fato que E e B devem
satisfazer, simultaneamente, as Equações de Maxwell. É possível concluir também que
estes campos se propagam no vácuo com uma velocidade
v=
1
= 3,00 × 108
µ 0 ⋅ ε0
m/s
1.3.7.
A partir daqui,r usaremos
a denominação campo eletromagnético para descrever a ação
r
dos campos E e B , uma vez que eles não existem individualmente.
Foi baseado nestes desenvolvimentos, que James Clerck Maxwell previu em 1860 a
existência das ondas eletromagnéticas. Ele concluiu que tais ondas propagam-se no
vácuo com velocidade c = 3,00×108 m/s. O valor de c coincide com o valor experimental
da velocidade da luz no vácuo. Este fato, juntamente com a natureza transversal das
ondas eletromagnéticas, além das leis experimentais da Óptica, estabeleceu a natureza
eletromagnética da luz.
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A fim de podermos fazer um tratamento matemático mais simples para a luz,
escrevemos a Equação 1.3.6. de uma forma simplificada, adotando uma direção de
propagação do campo eletromagnético; escolhemos, por conveniência, a direção x como
sendo esta direção. Dessa forma, o campo eletromagnético, necessariamente se
comportará como uma onda oscilando no plano yz. Adotamos, também, o conceito de
onda plana, em que todos os pontos do plano normal à direção de propagação (aqueles
que têm o
valor de coordenada x) apresentam também os mesmos valores dos
r mesmo
r
campos E e B ; isto significa que estes
r campos dependem apenas da coordenada x. Por
fim, adotamos que o campo elétrico E oscile ao longo de uma direção definida
r por um
versor de polarização ε̂ ; conseqüentemente, o campo de indução magnética B oscila ao
longo da direção î × εˆ . Com estas hipóteses, a equação de onda (Equação 1.3.6.) é
escrita na forma:
r
∂ 2Ep
r
2
1 ∂ Ep
−
∂x 2 c 2 ∂t 2
r
r
∂ 2Bp 1 ∂ 2Bp
−
∂x 2 c 2 ∂t 2
1.3.8.
r
r
onde o índice p indica que os campos E e B são descritos na forma de uma onda plana.
A solução da Equação 1.3.8. é um campo eletromagnético da forma:
r
Ep (x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ)
r
Bp (x, t ) = î × εˆ ⋅ B0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ)
( )
1.3.9.
onde E0 e B0 são as amplitudes dos campos elétrico e de indução magnética,
respectivamente; também, o número de onda (ou vetor de onda) k e a freqüência angular
ω são definidas a partir do comprimento de onda λ e da freqüência ν a partir das relações
k=
2⋅π
λ
1.3.10.
e
ω = 2⋅π⋅ν =
2⋅π
T
1.3.11.
onde T é o período de oscilação da onda; por fim,
r ϕ ér a constante de fase da onda. Da
Equação 1.3.9. é fácil perceber que os campos Ep e Bp têm a mesma fase em qualquer
posição x e tempo t; a partir daí, dizemos que estes campos estão sempre em fase.
Por sua vez, as amplitudes E0 e B0 obedecem a seguinte relação:
B0 =
1
E0
c
1.3.12.
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o que mostra que a parte magnética da onda tem uma amplitude muito menor do que a
parte elétrica. A partir da Equação 1.3.12., e levando em conta a Equação 1.3.9.,
podemos escrever que:
r
r
1
Bp = î × Ep
c
1.3.13.
A Figura 1.3.1. mostra uma onda eletromagnética plana, monocromática (uma única
freqüência angular ω) e linearmente polarizada (uma única direção de polarização), que
se propaga ao longo do sentido definido pelo versor î . Neste caso, como exemplo,
adotamos o campo elétrico na direção y (Ex = Ez = 0) e o campo de indução magnética na
direção z (Bx = By = 0); isto significa dizer que, neste caso, ε̂ = ĵ .
Figura 1.3.1.: Onda eletromagnética plana se propagando na direção x.
É fácil verificar também que o campo elétrico e o campo de indução magnética,
como descritos pela Equação 1.3.9. satisfazem as Equações de Maxwell e ainda que a
velocidade de propagação da onda eletromagnética c é dada pela relação:
c=
ω
λ
= λ⋅ν =
k
T
1.3.14.
O versor ε̂ é um vetor unitário fixo na direção do campo elétrico, e é chamado de
versor de polarização da onda, uma vez que ele define o sentido do campo elétrico
polarizado. É fácil observar que o versor î × εˆ é perpendicular a ε̂ , e ambos estes
versores são normais à direção de propagação da
r onda;
r por esta razão, a onda
eletromagnética é chamada transversal. Os campos Ep e Bp têm direções fixadas com
projeções que variam harmonicamente no tempo, isto é, as extremidades dos vetores
descrevem um movimento harmônico simples. As partes elétrica e magnética da onda
caminham como duas ondas em cordas, vibrando em fase, numa mesma freqüência e em
planos ortogonais.
As ondas eletromagnéticas têm propriedades físicas diversas segundo o valor do
comprimento de onda (λ) ou freqüência (ν). Na Figura 1.3.2. mostramos o espectro
eletromagnético, com as diversas denominações que a radiação recebe em cada faixa de
λ ou ν.
Casora direção de propagação for qualquer,
isto é, não necessariamente a direção x,
r
r
tomamos k • r no lugar de k⋅x, onde agora k é chamado de vetor de onda. Observe que o
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r
vetor de rondar k define a direção de propagação da onda. Nesta nova descrição, os
campos Ep e Bp passam a ser escritos como sendo:
(
)
r
r r
Ep (x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos k • r − ω ⋅ t + ϕ
r
r r
1r
Bp (x, t ) = î × εˆ ⋅ B0 ⋅ cos k • r − ω ⋅ t + ϕ = î × Ep
c
( )
(
)
1.3.15.
Figura 1.3.2.: O espectro eletromagnético.
Em vez de uma onda linearmente polarizada, podemos ter uma onda circularmente
r
r
polarizada à direita ou à esquerda. Neste caso, as extremidades dos campos Ep e Bp
rodam com suas extremidades descrevendo uma circunferência; num dado instante, as
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extremidades dos vetores campo elétrico nos vários pontos ao longo do vetor de onda
formam uma hélice. O mesmo ocorre com as extremidades dosr vetores de indução
magnética; essa dupla hélice avança no tempo no sentido do vetor k .
Um
r
r caso mais geral é o de uma onda elipticamente polarizada, na qual os campos
Ep e Bp rodam com suas extremidades descrevendo uma elipse. Neste caso, a
construção da onda é feita pela superposição de duas ondas linearmente polarizadas
entre si, de amplitudes diferentes e defasadas de π/2. Quando olhadas de frente, essas
várias ondas apresentam os vetores de campo como mostrados na Figura 1.3.3.. Uma
onda circularmente polarizada é um caso particular de uma onda elipticamente polarizada,
e é obtida pela superposição de duas ondas linearmente polarizadas entre si, de mesma
amplitude e defasadas de π/2.
Figura 1.3.3.: Visão frontal de uma onda plana elipticamente polarizada à esquerda (φ = 0), elipticamente
polarizada à direita (φ = -π/2) e linearmente polarizada (φ = 0 e φ = π)
O campo eletromagnético de radiação é constituído pela superposição de todas as
ondas monocromáticas, com todas as direções possíveis de propagação. Para ondas
parciais linearmente polarizadas, escrevemos este campo como sendo:
(
r r
r
r r
E(r , t ) = ∑ Epi = ∑ εˆ i ⋅ E0i ⋅ cos k i • r − ω ⋅ t + φ
i
i
i
i
( )
(
)
r r
r
r r
B(r , t ) = ∑ Bpi = ∑ î × εˆ i ⋅ B0i ⋅ cos k i • r − ω ⋅ t + φ
)
1.3.16.
r
A soma nos vetores de onda k i é feita sobre todas as direções de propagação e em
todos os comprimentos de onda λ (ou freqüência angular ω).
1.3.2.2. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
O campo eletromagnético de radiação carrega dentro dele grandezas mecânicas,
tais como energia, intensidade, momento linear (quantidade de movimento) e pressão.
Nesta Seção estudaremos tais grandezas.
Do estudo do Eletromagnetismo, sabemos que a energia eletromagnética contida em
um determinado volume V do campo de radiação no vácuo é dada pela relação:
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U=
ε0
2
r2 r
E
∫∫∫ (r , t ) ⋅ dV +
V
1
2 ⋅ µ0
r2 r
B
∫∫∫ (r , t ) ⋅ dV =
∫∫∫ u ⋅ dV
V
1.3.17.
V
onde a quantidade
r
dU ε 0 r 2 r
1 r2 r
= E (r , t ) +
u(r , t ) =
B (r , t )
dV
2
2 ⋅ µ0
1.3.18.
é a densidade de energia instantânea do campo eletromagnético. No caso de uma onda
plana linearmente polarizada, obtemos:
(
r r
r
u(r , t ) = ε 0 ⋅ E 02 ⋅ cos 2 k • r − ω ⋅ t + φ
)
1.3.19.
Na Óptica, em geral, os tempos de observação são muitos maiores do que os
períodos da radiação envolvida no processo. Assim, ao invés de trabalhar com a
densidade de energia instantânea u, definimos valores médios temporais para ela. Dessa
forma, a densidade intensidade usual I é a média da intensidade num intervalo de tempo τ
muito maior do que os períodos envolvidos. Assim, temos:
τ
r
1
u = ∫ u( r , t ) ⋅ dt
τ0
1.3.20.
Obtemos, então:
u=
1
ε 0 ⋅ E 02
2
1.3.21.
Denomina-se intensidade instantânea ou fluxo energético instantâneo de um feixe de
radiação a quantidade de energia que atravessa uma determinada área A normalmente ao
feixe, por unidade de tempo. Assim, temos:
I=
1 dU
A dt
1.3.22.
Aqui, estamos subentendendo o limite quando o intervalo de tempo considerado
tende a zero. Observe que a intensidade da radiação é uma potência por unidade de
área.
Seja a Figura 1.3.4.. O tempo de passagem do feixe é igual ao tempo que demora a
base anterior do cilindro para passar pela área normal A. Logo, a aresta do cilindro é igual
ao produto c⋅dt, e o volume no qual está distribuído dU é dV = c⋅dt. Assim, obtemos:
s
r
I(r , t ) = u(r , t ) ⋅ c
1.3.24.
Analogamente ao caso da densidade de energia, definimos valores médios
temporais também para a intensidade da radiação. Assim, temos:
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τ
1 r
I = ∫ I( r , t ) ⋅ dt
τ0
1.3.25.
Obtemos, então:
I = u ⋅c
1.3.26.
onde u é a densidade de energia do campo eletromagnético.
Figura 1.3.4.: Raios luminosos incidindo sobre uma área A.
Ao longo do desenvolvimento do Eletromagnetismo,
demonstra-se que a intensidade
r
instantânea é igual ao módulo do vetor de Poynting S , isto é:
r
r
I(r , t ) = S
1.3.27.
r
1 r r
S=
E ×B
µ0
1.3.28.
onde
A Equação 1.3.28. permite o cálculo da intensidade em termos das intensidades dos
campos elétrico e de indução magnética. Como exemplo, considere o caso de uma onda
eletromagnética plana e polarizada. Assim, obtemos
(
)
r r
r r
S p (r , t ) = ε 0 ⋅ c ⋅ E 02 ⋅ cos 2 k • r − ω ⋅ t + φ ⋅ î
1.3.29.
onde o índice p indica que se trata de uma onda polarizada. Assim, obtemos:
(
r r
r
I(r , t ) = ε 0 ⋅ c ⋅ E 02 ⋅ cos 2 k • r − ω ⋅ t + φ
)
1.3.30.
que é a intensidade instantânea da onda eletromagnética. Obtemos então a intensidade
média da onda eletromagnética como sendo:
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I=
1
ε 0 ⋅ c ⋅ E 02
2
1.3.31.
Além da energia e da intensidade, o campo eletromagnético também tem momento
linear, cuja expressão é:
r r
r
p = ε 0 ⋅ ∫∫∫E × B ⋅ dV
1.3.32.
V
ou
r
r
p = ∫∫∫ g ⋅ dV
1.3.33.
V
r
onde g é a densidade de momento linear, dada pela relação
r r
r
1 r
g = ε0 ⋅ E × B = 2 S
c
1.3.34.
Por ser proporcional ao vetor de Poynting, observamos que a densidade de
momento linear está associada ao transporte de energia pela onda. Para uma onda plana
polarizada, temos que:
(
)
r r
r
1
gp (r, t ) = ε 0 ⋅ E 02 ⋅ cos 2 k • r − ω ⋅ t + φ î
c
1.3.33.
de onde podemos concluir que:
r
u
gp = î
c
1.3.34.
Integrando a Equação 1.3.34. no volume V no qual o campo eletromagnético de
radiação está sendo considerado, obtemos
r
U
p p = î
c
1.3.35.
que em módulo conduz a
U = p⋅c
1.3.36.
que é uma relação importante entre a energia e o momento linear de uma onda
eletromagnética. Como vemos, a Equação 1.3.36. informa que, numa onda
eletromagnética de radiação, a sua energia e o seu momento linear são diretamente
proporcionais. Além disso, a Equação 1.3.35. mostra que o momento linear de uma onda
eletromagnética plana aponta na sua direção de propagação.
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Uma vez que a radiação eletromagnética apresenta momento linear, ela exerce
forças sobre os objetos sobre as quais ela incide. De fato, a experiência demonstra que a
radiação (em particular a luz) ao incidir sobre um corpo exerce sobre ele uma força, e
conseqüentemente uma pressão. Vamos agora calcular a expressão desta pressão.
Consideremos inicialmente o caso de um feixe de radiação incidindo sobre uma
superfície plana, fazendo um ângulo θ com a normal à superfície, como mostra a Figura
1.3.5.. Neste caso, não podemos mais usar a simplificação usada até aqui da propagação
da onda na direção x; vamos adotar a onda incidente como se propagando na direção
definida pelo versor
r n̂ , renquanto que a onda refletida se propaga na direção do versor n̂' .
Denominando de p e p' os momentos lineares eletromagnéticos da radiação contida no
elemento de volume ∆V do feixe, que incide e é refletida pela superfície S,
respectivamente, a força média exercida pelo feixe sobre esta superfície é dada pelas
Leis de Newton como sendo
r r r
r
∆p p − p'
F=−
=
∆t
∆t
1.3.37.
r
onde ∆t é o intervalo de tempo correspondente à variação ∆p ; este tempo é igual ao
tempo que a base anterior do cilindro inci
dente para chegar em S. Se d = c⋅∆t é o tamanho da altura do cilindro, temos então que o
elemento de volume é dado por:
∆V = ∆S ⋅ d ⋅ cos θ = ∆S ⋅ c ⋅ ∆t ⋅ cos θ
1.3.38.
Figura 1.3.5.: Incidência e reflexão de uma onda eletromagnética sobre uma superfície.
Por outro lado, denominando ∆U e ∆U’ as energias da radiação eletromagnética
contidas em ∆V antes e depois , e n̂ e n̂' os respectivos versores de propagação temos
r 1
p = ∆U ⋅ n̂
c
r 1
p' = ∆U'⋅n̂'
c
1.3.39.
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o que nos permite obter:
r ∆S ⋅ cos θ
(∆U ⋅ n̂ − ∆U'⋅n̂') = ∆S ⋅ cos θ ⋅ (u ⋅ n̂ − u'⋅n̂')
F=
∆V
1.3.40.
Quando não há absorção de radiação pela superfície, a intensidade I e, portanto a
densidade de energia do feixe não se altera, isto é, u = u’; neste caso, o processo é
chamado elástico, e considerando esta situação, obtemos:
(
r
F = u ⋅ ∆S ⋅ cos θ ⋅ n̂ − n̂ '
)
1.3.41.
A partir da geometria apresentada na Figura 1.3.5., é fácil observar que o vetor n̂ − n̂'
está apontado na direção î , o que significa que a força que a radiação exerce sobre a
superfície está dirigida na direção î ; ou seja, temos que Fy = 0 e:
Fx = 2 ⋅ u ⋅ ∆S ⋅ cos 2 θ
1.3.42.
Por definição, a pressão exercida pela radiação incidente sobre o pedaço de parede
de área ∆S é:
P=
Fx
I
= 2 ⋅ u n ⋅ cos 2 θ = n cos 2 θ
∆S
c
1.3.43.
onde o índice n está aí para nos lembrar a direção de incidência da radiação.
Consideremos agora o caso no qual a radiação está dentro de uma cavidade, como
mostra a Figura 1.3.6.. Sobre uma superfície elementar de área ∆S incidem feixes de
radiação em todas as direções. A pressão devida à radiação contida dentro de um ângulo
sólido dΩ definido pelo ângulo azimutal θ e ângulo polar φ é expressa pela relação:
 du 
dP = 2 ⋅ u n ⋅ cos 2 θ = 2 ⋅  n  ⋅ cos 2 θ ⋅ dΩ
 dΩ 
1.3.44.
Figura 1.3.6.: Radiação eletromagnética se propagando dentro de uma cavidade.
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Para obter a pressão total, devemos levar em conta os feixes incidentes em todas as
direções. Para isto, devemos integrar a Equação 1.3.44., e assim:
 du 
P = ∫ dP = 2 ⋅ ∫  n  ⋅ cos 2 θ ⋅ dΩ
dΩ 
Ω
1.3.45.
A função B = dun/dΩ é denominada brilhância da superfície. Para efetuar a integral
contida na Equação 1.3.45. precisamos saber como essa quantidade varia com θ e φ. Um
caso de interesse particular é o caso isotrópico, isto é, aquele em que a brilhância é a
mesma em todas as direções e sentidos; neste caso, B independe dos ângulos θ e φ. Este
é o caso também em que a o sistema que contém a cavidade está em equilíbrio, e a
radiação está homogeneamente distribuída no espaço. Neste caso, a relação entre B e a
densidade de energia u é:
B=
du n
u
=
dΩ 4 ⋅ π
1.3.46.
onde u é a densidade de energia contendo a radiação em todas as direções e sentidos.
Nesta situação, temos que:
P=
1
u
3
1.3.47.
A Equação 1.3.43. permite concluir que a pressão de radiação dentro de uma
cavidade em equilíbrio termodinâmico com o ambiente é igual a um terço da densidade de
energia radiante dentro da mesma.
1.3.2.3. Radiância
Feitas todas as conexões entre o campo eletromagnético e grandezas mecânicas,
passamos a seguir a descrever outras propriedades associadas ao campo
eletromagnético.
Definimos poder emissivo ou radiãncia R(P) num ponto P de uma superfície, a
quantidade de energia irradiada pelo elemento de área (que contém P), na unidade de
tempo, e por unidade de área. Assim,
R(P) =
∆U
∆t ⋅ ∆S
1.3.48.
No caso de um feixe homogêneo de raios paralelos emitidos por uma superfície
plana ∆S, como mostrado na Figura 1.3.7., temos uma relação simples entre R, a
intensidade I e a densidade de energia u. Observe que a área de seção transversal do
feixe é ∆A = S⋅cosθ; a partir disso, obtemos
R(θ) = I ⋅ cos θ = u ⋅ c ⋅ cos θ
1.3.49.
Vamos agora estabelecer a relação entre a radiância R e a densidade de energia u
no caso importante da radiação eletromagnética presente dentro de uma cavidade.
Consideremos na Figura 1.3.6. a radiação que sai do ângulo sólido dΩ em torno da
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direção normal n̂ , com ângulos θ e ϕ. Chamando dun a densidade de energia da radiação
com vetor de onda dentro de dΩ, e chamando dRn a densidade de radiância nessa
direção, temos
dR n = du n ⋅ c ⋅ cos θ
1.3.50.
Figura 1.3.7.: Feixe de raios emitidos por uma superfície plana.
Integrando a Equação 1.3.50. em todas as possibilidades angulares possíveis,
obtemos a radiância total. Mudando para a variável de integração Ω (ângulo sólido),
temos:
 du 
R = c ⋅ ∫  n  ⋅ cos θ ⋅ dΩ
dΩ 
Ω
1.3.51.
A integração no ângulo sólido Ω é feita variando o ângulo polar φ de 0 a 2π e o
ângulo azimutal θ de 0 a π/2, pois estamos considerando apenas a radiação dentro da
cavidade. Novamente levando em conta que a cavidade está em equilíbrio termodinâmico
com o meio e que, portanto podemos admitir que a radiação seja espacialmente
isotrópica, obtemos:
R=
1
u⋅c
4
1.3.52.
A Equação 1.3.52. associa a quantidade de radiação emitida por uma cavidade com
a densidade de energia eletromagnética acumulada dentro dela.
1.3.2.4. Decomposição Espectral da Radiação
Como já foi assinalado anteriormente, o campo eletromagnético de radiação contém
ondas propagando-se em todas direções e sentidos e com todos os valores de freqüência
ν ou comprimento de onda λ. Com o intuito de estudar o comportamento da radiação para
cada freqüência ou comprimento de onda, definimos (e medimos no laboratório) a
densidade de energia por unidade de freqüência Uν como sendo:
Uν =
du
dν
1.3.53.
Esta função é chamada de distribuição espectral da densidade de energia, ou
simplesmente distribuição espectral. Aqui é importante frisar que Uν é uma densidade em
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freqüência da densidade espacial. No sistema MKS, Uν é medido em J⋅s/m3. A partir da
Equação 1.3.53., obtemos:
∞
u = ∫ U ν ⋅ dν
1.3.54.
0
A forma da função Uν(ν) é determinada experimentalmente. Como veremos na seção
seguinte, a Física Clássica foi incapaz de explicar teoricamente a forma experimental de
Uν, que já era conhecida desde o final do Século XIX. Como veremos, a busca dessa
explicação levou ao nascimento da Teoria dos Quanta, criada por Max Planck em 1900.
A partir da relação direta entre densidade de energia e intensidade da radiação,
temos:
Uν =
1 dI
c dν
1.3.55.
Como a intensidade da radiação é facilmente medida para qualquer freqüência, esta
é a relação através da qual medimos a grandeza Uν.
Paralelamente à Uν definimos também a radiância por unidade de freqüência, ou
radiância espectral Rν como sendo
Rν =
dR
dν
1.3.56.
A quantidade dR é a radiância do corpo (energia emitida dividida pelo tempo e da
área da superfície do corpo) contendo apenas freqüências no intervalo entre ν e ν + dν.
Dessa forma, a radiância total é dada por:
∞
R = ∫ R ν ⋅ dν
1.3.57.
0
No caso da emissão de radiação ser homogênea, existe uma relação simples entre
Uν e Rν, dada por:
Rν =
c
Uν
4
1.3.58.
A distribuição espectral em freqüência é mais utilizada pelos físicos teóricos para
construírem os modelos que tentam descrever o comportamento de um corpo radiante.
Por outro lado, os físicos experimentais preferem utilizar a distribuição espectral em
comprimentos de onda. A razão para isto é que é mais fácil, experimentalmente, trabalhar
com medidas de comprimento de onda do que de freqüência. Uma vez que para ondas
eletromagnéticas vale a Equação 1.3.14. relacionando freqüência com comprimento de
onda, ambas as descrições são proporcionais, embora diferentes.
Definimos a radiância por unidade de comprimento de onda ou radiância espectral
Rλ de maneira equivalente à Equação 1.3.56. como sendo:
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Rλ =
dR
dλ
1.3.59.
de forma que similarmente à Equação 1.3.57. obtemos
∞
R = ∫ R λ ⋅ dλ
1.3.60.
0
Uma vez que a radiância total é a mesma, independente se a radiância espectral é
medida em comprimentos de onda ou freqüência, temos então que:
R λ ⋅ dλ = R ν ⋅ dν
1.3.61.
o que conduz á relação:
Rλ =
dν
⋅ Rν
dλ
1.3.62.
onde na Equação 1.3.62. é tomado o módulo, pois tanto Rλ como Rν são grandezas
positivas e a freqüência é inversamente proporcional ao comprimento de onda. Usando a
Equação 1.3.14., temos que:
dν
c
=− 2
dλ
λ
1.3.63.
e, portanto, temos:
Rλ =
c
λ2
Rν
1.3.64.
Como a radiância espectral está relacionada com a distribuição espectral da
densidade de energia, temos também que:
Uλ =
c
λ2
Uν
1.3.65.
De posse destas definições sobre as propriedades da radiação emitida por um corpo,
passaremos agora a descrever a chamada radiação do corpo negro. Inicialmente,
descreveremos os principais resultados experimentais envolvidos, e a seguir discutiremos
os modelos teóricos construídos para explica-los. Veremos, então que a Física Clássica
não fornece uma explicação satisfatória para os fenômenos observados; assim, houve a
necessidade de se buscar uma nova explicação, fora da Física Clássica; as idéias
propostas por Max Planck, em 1900, para explicar a radiação do corpo negro foram o
embrião da hoje conhecida Mecânica Quântica. É o que veremos a seguir.
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1.3.3. A Radiação do Corpo Negro: Resultados Experimentais e
Empíricos
Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em um largo espectro contínuo
de freqüências. Esta emissão de radiação ocorre principalmente na região do espectro
chamada de infravermelho, o que nos dá a sensação de calor; a intensidade da radiação
emitida é variável, atingindo um máximo em um determinado comprimento de onda. É
bem conhecido, por exemplo, que um metal a 600 °C (por exemplo, em um forno elétrico)
apresenta uma fraca coloração avermelhada, enquanto que o mesmo material (por
exemplo, em uma siderúrgica) apresenta uma cor azulada a temperaturas bem mais altas.
O Sol, cuja temperatura na superfície é de cerca de 6000 °C, é o exemplo mais familiar de
emissão de radiação térmica, cujo espectro abrange toda a região visível, incluindo a de
comprimento de onda maior (infravermelho) e menor (ultravioleta).
De uma maneira geral, a matéria e a radiação interagem e atingem o equilíbrio
termodinâmico através de trocas de energia. Sejam e a intensidade emissiva, isto é, a
quantidade de energia radiante emitida por um corpo, por unidade de tempo e por
unidade de área, e a a absortividade ou absorbância, isto é, a fração de energia incidente
sobre a superfície que é absorvida. W. Ritchie em 1853 verificou o princípio de
proporcionalidade entre emissão e absorção total, em uma famosa experiência para a
época, onde mediu a radiação emitida por dois corpos radiantes A e B, usando um
termômetro diferencial. No equilíbrio térmico entre A e B, o princípio obtido por Ritchie
estabelece que:
e A eB
=
a A aB
1.3.66.
Suponha que um dos corpos apresente a especificidade de que aN = 1, ou seja, o
corpo N absorve toda a radiação que incide sobre ele. Denominamos corpo negro o
objeto que apresenta esta característica. É evidente da Equação 1.3.66. que
eN =
eA
aA
1.3.67.
tal que eN > eA. Assim, o corpo negro possui uma potência emissiva maior do que a de
qualquer outro corpo. Evidentemente, um objeto com estas características é um corpo
ideal que não pode ser encontrado na prática, mas pode ser construído artificialmente. A
obtenção de um objeto com as características de um corpo negro será descrita a seguir.
Consideremos uma caixa oca (um forno, por exemplo) com paredes internas
metálicas e uma pequena abertura que permita a passagem de radiação, como ilustrado
na Figura 1.3.8.. A caixa deve ser revestida de um excelente isolante térmico e espelhada
externamente, refletindo toda a radiação eventualmente incidente sobre ela, exceto na
abertura. A radiação que entra na cavidade tem uma probabilidade muito pequena de
escapar, permanecendo assim em seu interior e sendo espalhada pelas paredes da
cavidade, até atingir o equilíbrio térmico. Desta forma, toda a radiação incidente na
cavidade é absorvida pelo corpo.
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Figura 1.3.8. Representação esquemática de um corpo negro.
É importante frisar aqui que o corpo n
egro é o orifício; a cavidade está ligada ao meio externo através dele; a radiação
incidente sobre ele é completamente absorvida após sucessivas reflexões sobre a
superfície interna da cavidade; assim, o orifício absorve como um corpo negro. Por outro
lado, no processo inverso, no qual a radiação que deixa o orifício é constituída a partir de
emissões da superfície interna, o orifício emite como se fosse um corpo negro.
A radiação contida na cavidade pode ser decomposta em suas componentes
espectrais através da já estudada função distribuição espectral da densidade de energia
Uν(ν,T). Vimos que Uν(ν,T)⋅dν é a densidade de energia (energia por unidade de volume)
da radiação, no intervalo compreendido entre ν e ν + dν, quando a cavidade está a uma
temperatura absoluta T. Vimos também que o espectro emitido pela cavidade é
especificado pelo fluxo de energia Rν(ν,T), que, como vimos, é proporcional a Uν(ν,T),
como mostra a Equação 1.3.58..
1.3.3.1. Leis Universais do Espectro de Radiação
Em 1859, Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) apresentou perante a Academia de
Ciências de Berlim o trabalho “Sobre a relação entre a emissão e a absorção de calor e
luz”, no qual provou que “para raios de mesmo comprimento de onda e à mesma
temperatura, a razão entre a potência emissiva e a absortividade são as mesmas para
todos os corpos”. Este teorema foi demonstrado com “base em considerações teóricas
bastante simples”, e estabelece que, para quaisquer corpos em equilíbrio térmico
trocando radiação com comprimento de onda λ, a Equação 1.3.66. é satisfeita; é curioso
observar que Kirchhoff se interessou pelo estudo dos processos de emissão e absorção a
partir de investigações das raias do espectro da luz do Sol. Somente em um segundo
artigo científico, Kirchhoff introduziu a noção de um “corpo perfeitamente negro”, que
depende só da temperatura e da freqüência da radiação, tal que
eN = f (ν, T )
1.3.68.
onde f(ν,T) é uma função universal independente da forma, tamanho e composição
química do corpo. É curioso assinalar que o termo corpo negro já havia sido usado, não
com este significado, por Isaac Newton (1642-1727) no livro Optics, escrito em 1704.
Com base na Termodinâmica e na Teoria Eletromagnética da radiação, é possível
obter duas leis relativas à dependência da radiação do corpo negro com a temperatura, as
quais serão descritas a seguir.
Em 1864, J. Tyndall obteve que a emissão de radiação total de um fio de platina a
1200 °C é 11,7 vezes maior que a correspondente emissão a 525 °C. Baseado neste
resultado, Josef Stefan (1835-1893) concluiu, em 1879 que a energia total irradiada pelo
corpo aquecido é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta, isto é:
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U ∝ T4
1.3.69.
Este resultado fortuito, uma vez que a radiação medida por Tyndall estava longe de ser a
de um corpo negro, foi demonstrado rigorosamente por Boltzmann em 1884; ele assim o
fez com base na existência da pressão de radiação definida pela Equação 1.3.47., que
como vimos, foi deduzida a partir da teoria eletromagnética de James Clerck Maxwell
(1831-1879). Como veremos adiante, para deduzir este resultado Boltzmann considerou a
radiação como sendo uma máquina térmica, sujeita às leis da Termodinâmica. A Equação
1.3.69. é conhecida como Lei de Stefan-Boltzmann, e é expressa rigorosamente na forma:
R = σ ⋅ T4
1.3.70.
onde σ = 5,67×10-8 W/m2 K4.
A outra lei, chamada Lei de Deslocamento de Wien, data de 1893, e foi demonstrada
por Wilhein Wien (1864-1928). Esta lei estabelece que a distribuição espectral da
densidade de energia é dada pela equação:
Uν (ν, T ) = ν 3 ⋅ f (ν / T )
1.3.71.
em que f(ν/T) é uma função apenas da razão entre a freqüência e a temperatura. Esta
relação pode ser deduzida através do Efeito Dopler, que surge quando a radiação incide
sobre um espelho hipotético móvel. É possível mostrar que a Lei de Stefan-Boltzmann
está contida na Lei de Deslocamento de Wien. A Lei de Deslocamento de Wien também
pode ser escrita de outra forma, em termos do comprimento de onda da radiação, ao
invés da freqüência, utilizando a Equação 1.3.65.; assim, em termos do comprimento de
onda, a Lei de Deslocamento de Wien é dada na forma
Uλ (λ, T ) =
1
λ5
g(λ ⋅ T )
1.3.72.
em que g(λ⋅T) é uma função apenas do produto entre o comprimento de onda e a
temperatura.
A origem do nome “lei de deslocamento” deve-se ao fato de que o comprimento de
onda na qual a distribuição espectral da densidade de energia é máxima, varia com a
temperatura de acordo com a relação:
ν MAX
=a
T
λ MAX ⋅ T = b
1.3.73.
A Equação 1.3.73. é facilmente deduzida da Equação 1.3.71. e da Equação 1.3.72,
simplesmente calculando o comprimento de onda para o qual ou Uν, ou Uλ é máximo,
respectivamente; obviamente, o valor de a e b depende da forma da função f(ν/T) ou
f(c/λT), não explicitada por Wien. A Lei de Deslocamento de Wien foi verificada
experimentalmente inúmeras vezes, sendo que a confirmação mais cuidadosa foi feita por
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Friedrich Paschen (1865-1947); este fato constituiu um considerável avanço, pois ela
permitia determinar a distribuição de densidade espectral para qualquer temperatura,
conhecida esta distribuição em uma dada temperatura. Otto Lummer (1860-1925) e Ernst
Pringshein (1859-1917) confirmaram a validade da Equação 1.3.73., obtendo
experimentalmente b = 2,94×10-3 m⋅K. A título de exemplo histórico, a Figura 1.3.9. mostra
os resultados experimentais de Lummer e Pringshein ao final de 1899.
Figura 1.3.9.:Intensidade espectral como função do comprimento de onda obtida por Lummer e Pringsheim
em Novembro de 1899. Este resultado foi extraído da página 176 do livro Early History of Planck’s Radiation
Law de H. Kangro, editado por Taylor & Francis em Londres no ano de 1976.
1.3.4. A Radiação do Corpo Negro: Modelos Teóricos
Veremos ao final desta seção que a Teoria dos Quanta de Planck para explicar a
radiação do corpo negro é de origem estatística. Ela foi imaginada por Planck em 1901
quando ele procurava deduzir a lei de distribuição de equilíbrio da radiação
eletromagnética dentro de uma cavidade a uma certa temperatura; como também
veremos, o comportamento experimental dado pela Figura 1.3.9. não encontrava
explicação no domínio da Física Clássica.
Como mostra a Figura 1.3.8., a radiação de cavidade é também chamada de
radiação de corpo negro, pois como demonstrou Kirchoff, ela é idêntica à emitida por um
corpo negro, que como definido acima, é aquele que absorve toda a radiação incidente
sobre ele (coeficiente de absorção igual a unidade e de reflexão igual a zero).
Antes de formularmos a proposta de Planck, vamos dar uma pincelada na situação
existente antes do seu trabalho.
1.3.4.1. Aspectos Teóricos Gerais da Radiação do Corpo Negro
Sabe-se da experiência que quanto mais quente está um corpo, mais ele irradia; este
fato está expresso na Lei de Stefan-Boltzmann, dada pela Equação 1.3.70.. Como
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afirmamos acima, esta lei foi enunciada por Stefan em 1879 e deduzida por
considerações termodinâmicas por Boltzmann em 1884; na realidade, Stefan enunciou a
lei para um corpo qualquer, o que não concordava com os dados experimentais.
Boltzmann demonstrou que a lei só vale para um corpo negro, como foi demonstrado
pelos dados experimentais.
Para demonstrar este resultado, imaginemos um cilindro com um pistão pressionado
por radiação a uma certa temperatura T; lembremos aqui que a radiação exerce uma
pressão sobre os corpos, como mostra a Equação 1.3.47.. Admitimos que o pistão é
mantido em equilíbrio por uma força externa que contrabalança a pressão devido à
radiação. O volume V do cilindro pode ser variado movimentando o pistão bem devagar,
num processo chamado quase-estático. Variando o volume de dV, o trabalho sobre o
pistão é dW= P⋅dV. A radiação contida nessa cavidade constitui um sistema
termodinâmico com variáveis V e T. Vamos aplicar a este sistema a equação fundamental
da termodinâmica:
T ⋅ dS = P ⋅ dV + dU
1.3.74.
onde a Equação 1.3.74. contém a Primeira Lei da Termodinâmica (dQ = dW +dU) e a
Segunda Lei da Termodinâmica (dQ = T⋅dS). Na Equação 1.3.74., S é a entropia do
sistema, P a pressão de radiação e U a energia interna (no caso, da radiação). Admitindo
que a radiação esteja homogeneamente distribuída no volume V, podemos escrever que
U = u(T)⋅V, onde u(T) é a densidade de energia, que só depende da temperatura T; está
última afirmação se baseia na hipótese que a radiação é compostas de “partículas” que
não interagem entre si, à semelhança de um gás ideal. Diferenciando esta equação,
permitindo que a densidade interna varie com a temperatura, obtemos:
dU = u ⋅ dV + V ⋅ du = u ⋅ dV + V ⋅
du
⋅ dT
dT
1.3.75.
Daí, lembrando a validade da Equação 1.3.47., obtemos:
dS =
4u
V du
dV +
dT
3T
T dT
1.3.76.
Sabemos, da Termodinâmica que S(V,T) é uma função de estado, logo sua diferencial é
exata. Assim, podemos escrever:
dS =
∂S
∂S
dV +
dT
∂V
∂T
1.3.77.
que, comparando com a Equação 1.3.76. conduz às igualdades:
∂S 4 u
=
∂V 3 T
∂S V du
=
∂T T dT
1.3.78.
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Derivando a primeira expressão em relação a T e a segunda em relação a V, e lembrando
que ∂ 2 S / ∂V ⋅ ∂T = ∂ 2 S / ∂T ⋅ ∂V , além de u = u(T), temos que:
4 d  u  1 du
 =
3 dT  T  T dT
1.3.79.
o que leva a:
du
dT
=4
u
T
1.3.80.
Integrando a Equação 1.3.80., encontramos
u(T ) = a ⋅ T 4
1.3.81.
onde a é uma constante. Levando em conta a proporcionalidade entre a densidade de
energia u(T) e a radiância R(T), expressa pela Equação 1.3.52., chegamos a:
R(T ) =
c ⋅a 4
T
4
1.3.82.
que é a Lei de Stefan-Boltzmann, com σ = c⋅a/4. Uma conseqüência adicional deste
cálculo é a obtenção da entropia da radiação contida na cavidade; substituindo a Equação
1.3.80. na Equação 1.3.76., obtemos:
dS =
(
4⋅a 3
4⋅a
T ⋅ dV + 4 ⋅ a ⋅ V ⋅ T 2 ⋅ dT =
d T3 ⋅ V
3
3
)
1.3.83.
Integrando a Equação 1.3.83., e levando em conta que pela Terceira Lei da
Termodinâmica a entropia é nula a T = 0, temos que:
S(V, T ) =
4⋅a 3
T ⋅V
3
1.3.84.
Notemos que na discussão acima, Boltzmann tratou a radiação globalmente, isto é,
ele não envolveu considerações sobre a distribuição espectral de freqüências.
Experimentalmente já observamos que a radiância (potência por unidade de área) da
radiação emitida por um corpo incandescente que se mantém a uma dada temperatura T
tem o comportamento ilustrado na Figura 1.3.10.. Na verdade, a Figura 1.3.10. é apenas
uma versão mais clara da Figura 1.3.9., já descrita anteriormente.
Façamos ainda uma vez uma análise deste resultado experimental. Observamos que
para grandes e pequenos comprimentos de onda a radiação emitida se anula e apresenta
um valor máximo diferente para cada temperatura. Como já vimos, este máximo, o qual
chamamos de λMAX, é inversamente proporcional a T, e é dado pela Equação 1.3.73.; esta
é a conhecida Lei de Deslocamento de Wien, e mostra que λMAX se desloca para a
esquerda quando T aumenta; medidas atuais mais precisas fornecem o valor de
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a = 1,0 × 1011
s ⋅° K
b = 2,89 × 10 −3
m ⋅° K
1.3.85.
para as constantes a e b da Equação 1.3.73.. Outro detalhe dos resultados experimentais
é que o máximo da distribuição da radiância é proporcional à quinta potência da
temperatura, isto é
R λMAX ∝ T 5
1.3.86.
Figura 1.3.10.: Radiância espectral da radiação de corpo negro para três temperaturas diferentes em função
do comprimento de onda.
Por sua vez, em termos da freqüência, os resultados experimentais assumem a forma da
Figura 1.3.11..
Figura 1.3.11.: Radiância espectral da radiação de corpo negro para três temperaturas diferentes em função
da freqüência.
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Neste caso, também temos um máximo, o qual chamamos de νMAX, que é diretamente
proporcional a T, como mostra a Equação 1.3.73.; agora, νMAX se desloca para a direita
quando T aumenta. Já o máximo da distribuição de radiância é proporcional à terceira
potência da temperatura, isto é
R νMAX ∝ T 3
1.3.87.
Traduzimos os dados experimentais também em termos da freqüência, pois como já
afirmamos anteriormente, a análise teórica é feita em geral em termos de ν. A análise do
problema envolve evidentemente considerações sobre cada componente da radiação
emitida pelo corpo negro ou cavidade. Assim, o problema que se coloca é o de elaborar
uma teoria que explique o fato experimental descrito na Figura 1.3.10. ou da Figura
1.3.11..
Um primeiro passo para a solução deste problema teórico foi dado por Wien em
1893, quatro anos depois que Stefan enunciou sua lei, definida pela Equação 1.3.70..
Como já citamos acima, para demonstrar a Equação 1.3.71. ele considerou o Efeito
Doppler (mudança de freqüência) que sofre uma radiação de freqüência ν ao incidir sobre
uma parede espelhada em movimento; com isto Wien simulou o movimento de um pistão
dentro do cilindro, atribuindo á radiação uma característica mecânica. Em seguida, Wien
generalizou o raciocínio de Boltzmann, aplicando a Termodinâmica à radiação contida em
cada intervalo de freqüência entre ν e ν + dν. Deste modo, chegou então a Equação
1.3.71.. Usando a Equação 1.3.58, que define a relação entre a radiãncia espectral Rν e a
densidade de energia espectral Uν, temos:
R ν (ν ) =
c ⋅ ν3  ν 
f 
4 T
1.3.88.
A Termodinâmica não dá a forma da função f(ν/T). Não é possível então obter as
curvas experimentais da Figura 1.3.11. ou da Figura 1.3.10.. Mas, mesmo desconhecendo
a forma de f(ν/T), é possível obter a informação parcial contida na Lei do Deslocamento
de Wien e no máximo da distribuição. Para obter a Lei de Deslocamento de Wien, contida
na Equação 1.3.73., basta obter o ponto de máximo (em freqüência) da função Rν(ν) da
Equação 1.3.89.; isto significa impor que dRν/dν = 0, e encontrar a relação que satisfaz
esta condição. Após alguma manipulação matemática, encontramos
ν MAX = x MAX ⋅ T
1.3.89.
onde xMAX é a solução da equação diferencial
3 ⋅ f (x ) + x
df (x )
=0
dx
1.3.90.
com x = ν/T. Mesmo desconhecendo a função f(ν/T), a Equação 1.3.89. é uma
demonstração formal da Lei de Deslocamento de Wien. Além disso, podemos obter a
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radiância total R, integrando a Equação 1.3.88. em todas as freqüências, como indicado
na Equação 1.3.57.. Seguindo este procedimento, encontramos
R = A ⋅ T4
1.3.91.
onde
∞
A = ∫ x 3 ⋅ f (x ) ⋅ dx
1.3.92.
0
é uma constante independente de T, com x sendo como definido acima. Novamente,
mesmo desconhecendo a função f(ν/T), a Equação 1.3.91. é uma demonstração formal da
Lei de Stefan-Boltzmann.
Apesar do relativo sucesso da fórmula proposta por Wien, o desconhecimento da
função f(ν/T) impede que esta seja a palavra final sobre o assunto. É imperativo construir
um modelo a partir do qual as curvas experimentais (Figura 1.3.10. ou Figura 1.3.11.)
sejam obtidas.
A determinação da forma da função f(ν/T) está fora do âmbito da Termodinâmica.
Para determinar f(ν/T) ou mesmo Uν completamente é necessário considerar um
mecanismo dinâmico de emissão de radiação, isto é, uma teoria que leve em conta as
propriedades de um corpo negro em detalhe no processo de emissão de radiação.
1.3.4.2. A Fórmula de Wien
Apesar da concordância entre a Lei de Deslocamento de Wien com os resultados
experimentais, surge uma dúvida sobre a origem da Equação 1.3.71., proposta por Wien.
Nem os princípios e relações básicas da Termodinâmica, nem do Eletromagnetismo
permitem determinar a forma funcional da função f(ν/T) ou f(c/λT). Sua determinação foi
um dos maiores problemas da Física Teórica do final do século XIX.
Uma das conjecturas propostas em 1896 pelo próprio Wien foi baseada em
argumentos dúbios de que a energia deveria ser do tipo daquela proposta por Maxwell
para a distribuição de velocidades de moléculas de um gás. Wien argumentou que, já que
o número de moléculas é proporcional ao termo exp(-m⋅v2/kB⋅T), esta expressão deveria
ser válida também para as moléculas presentes em um sólido. Nas próprias palavras de
Wien, “...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricas das moléculas podem
excitar ondas eletromagnéticas ... e como o comprimento de onda λ da radiação emitida
por uma dada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidade também é uma
função de λ”. Assim, Wien propôs que a distribuição espectral da densidade de energia
seria dada por:
ν

Uν (ν, T ) = α ⋅ ν 3 ⋅ exp − β 
T

1
1 

Uλ (λ, T ) = γ ⋅ 5 ⋅ exp − δ

λ⋅T 
λ

1.3.93.
onde α, β, γ, e δ são constantes. Merece aqui ser destacado o papel desempenhado pelo
Physicalisch-Technische Reichsanstalt e os experimentos aí realizados a partir de 1896
através das figuras proeminentes de Otto Lummer, membro do laboratório desde 1889, e
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seus colegas e colaboradores Ernst Pringsheim, Heinrich Rubens e Ferdinand Kurlbaum.
As medidas da distribuição espectral da densidade de energia eram difíceis de serem
obtidas com a precisão necessária para decidir entre as várias formas empíricas
propostas. A fórmula proposta por Wien, ou seja, a Equação 1.3.93. ajustava-se
satisfatoriamente aos resultados experimentais preliminares, principalmente para
freqüências mais altas (comprimentos de onda mais baixos). Entretanto, medidas feitas
para baixas freqüências (grandes comprimentos de onda) mostram que a fórmula de Wien
não é tão boa; para ν pequeno a Equação 1.3.93. diz que U é proporcional a ν3, enquanto
que os dados experimentais indicam um crescimento mais lento, proporcional a ν2.
1.3.4.3. A Fórmula de Rayleigh
Em 1900 Rayleigh obteve uma expressão para a energia de um corpo negro,
postulando a validade do Teorema da Eqüipartição de Energia também para a radiação
do corpo negro. Este teorema afirma que em um sistema termodinâmico em equilíbrio
térmico, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma
quantidade de energia elementar kB⋅T, onde kB = 1,38×10-23 J/K é a constante de
Boltzmann.
A hipótese fundamental de Rayleigh é que o campo de radiação esteja em equilíbrio
térmico com o corpo negro que o emite. Denominando dn o número de modos normais de
vibração (graus de liberdade) do campo eletromagnético com freqüências situadas entre ν
e ν + dν, e levando em conta o Teorema da Eqüipartição de Energia, temos que a energia
associada a estes dn modos é
dU = k B ⋅ T ⋅ dn
1.3.94.
Para o cálculo destes dn modos temos que analisar o comportamento da radiação
dentro da cavidade. Embora a natureza do corpo não seja importante, consideremos uma
cavidade metálica; admitindo a situação de equilíbrio exige que o vetor campo elétrico
seja normal à parede interna e o campo magnético seja tangencial à esta parede; desta
forma, não existem mais correntes elétricas na parede, e nenhuma radiação adicional é
gerada.
Suponhamos, embora a forma da cavidade não seja importante, que a cavidade
tenha a forma de um cubo de lado a (volume V = a3). Escolhemos adequadamente os
eixos cartesianos dispostos ao longo das arestas do cubo, como mostra a Figura 1.3.12..
Figura 1.3.12.: Cavidade cúbica com paredes metálicas contendo radiação eletromagnética em equilíbrio.
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No equilíbrio concluímos que, por exemplo, que as componentes Ey e Ez devem se
anular nas paredes frontais x = 0 e x = a. Logo, tanto Ey quanto Ez devem ser
proporcionais a sen(nx⋅π⋅x /a), onde nx é um número inteiro. Analogamente, Ex e Ez se
anulam nas paredes y = 0 e y = a, sendo proporcionais a sen(ny⋅π⋅x /a), com ny sendo um
outro número inteiro. Finalmente, Ex e Ey se anulam nas paredes z = 0 e z = a, sendo
agora proporcionais a sen(nz⋅π⋅x /a), com nz sendo ainda um outro número inteiro. Além
disso, a componente Ex não pode ser nula, nem em x = 0, nem em x = a, ao passo que a
componente Ey não pode ser nula, nem em y = 0, nem em y = a, a componente Ez não
pode ser nula, nem em z = 0, nem em z = a. Destas combinações, e levando em conta
ainda a dependência temporal, as componentes do campo elétrico de radiação devem ser
expressas na forma
 ny ⋅ y 
n ⋅x
n ⋅z
 ⋅ sen z  ⋅ cos(ω ⋅ t + φ)
E x (x, y, z, t ) = E 0 x ⋅ cos x  ⋅ sen

 a 
 a 
 a 
 ny ⋅ y 
n ⋅x
n ⋅z
 ⋅ sen x  ⋅ sen z  ⋅ cos(ω ⋅ t + φ)
E y (x, y, z, t ) = E 0 y ⋅ cos

 a 
 a 
 a 
 ny ⋅ y 
n ⋅x
n ⋅z
 ⋅ sen x  ⋅ cos(ω ⋅ t + φ)
E z (x, y, z, t ) = E 0 z ⋅ cos z  ⋅ sen

 a 
 a 
 a 
1.3.95.
A Equação 1.3.95. mostra que o campo elétrico dentro da cavidade é do tipo ondas
estacionárias, análogo ao movimento das partículas de uma corda vibrante. Conhecido o
campo elétrico, basta utilizar as Equações de Maxwell (Equação 1.3.2.) para determinar o
campo magnético; como não é esse o objetivo mais imediato, não procederemos este
cálculo
aqui. Associamos a cada componente do campo elétrico um vetor de onda
r
k = k x î + k y ĵ + k x k̂ , tal que as suas componentes são dadas por
kx =
ky =
nx ⋅ π
a
ny ⋅ π
1.3.96.
a
nz ⋅ π
kz =
a
A cada valor de kx , ky e kz corresponde um modo de vibração, chamado modo normal;
assim, n é o número de modos normais da componente x do vetor de onda, que pode
assumir valores entre 0 e nx⋅π/ a; a mesma interpretação
vale para as componentes y e z
r
do vetor de onda. Por sua vez, o módulo de k é
k = n 2x + n 2y + n 2z ⋅
π
a
1.3.97.
Como dissemos acima, a situação é análoga com o caso de uma corda vibrante com
extremidades fixas; também neste caso a amplitude da onda se anula nas extremidades.
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Como ilustração, a Figura 1.3.13. mostra amplitudes de uma onda estacionária
unidimensional dos três primeiros modos de vibração.
Figura 1.3.13.: Amplitude das ondas estacionárias em uma cavidade unidimensional com paredes em x = 0
e x = a, para os três primeiros modos de vibração.
Usando a Equação 1.3.14., e lembrando que ω = 2⋅π⋅ν, obtemos os seguintes
valores discretos para as freqüências normais
ν=
c
n 2x + n 2y + n 2z
2⋅a
1.3.98
Cada modo normal é fixado por um dado valor de nx, ny e nz. Queremos agora, calcular
quantos modos normais existem entre ν e ν + dν, isto é, quantas trincas de números nx, ny
e nz fornecem freqüências neste intervalo; é fácil de verificar que tal trinca de números
deverá satisfazer a condição
2⋅a
2⋅a
ν < n 2x + n 2y + n 2z <
(ν + dν )
c
c
1.3.99.
Cada triplo de números nx, ny e nz dá as coordenadas de um ponto num sistema de
coordenadas ortogonal apropriado, como mostrado na Figura 1.3.14..
Figura 1.3.14.: Pontos no espaço nx, ny e nz que permitem freqüências entre ν e ν + dν.
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A Figura 1.3.14. nos mostra que a distância do ponto com coordenadas (nx,ny,nz) à
origem está entre os valores r = 2⋅a⋅ν/c e r + dr = 2⋅a⋅(ν + dν)/c. Logo, o número de trincas
desejado é igual à quantidade de pontos que estão dentro da região compreendida entre
os dois octantes de superfícies esféricas com raios r e r + dr. Como cada ponto
corresponde a um volume unitário entre dois octantes, o número de pontos é igual ao
volume entre eles, que é 1/8 do volume da casca esférica de espessura dr. Assim, temos
1
a3 2
2
dn' = 4 ⋅ π ⋅ r ⋅ dr = 4 ⋅ π ⋅ 3 ν ⋅ dν
8
c
1.3.100.
Como a onda eletromagnética é transversal com dois estados de polarização
independentes, o número de modos obtido acima deves ser multiplicado por dois. Assim,
obtemos, finalmente
dn = 8 ⋅ π ⋅
a3
c
3
ν 2 ⋅ dν
1.3.101.
Substituindo a Equação 1.3.101. na Equação 1.3.94., obtemos
dU = 8 ⋅ π ⋅
a3
c
3
k B ⋅ T ⋅ ν 2 ⋅ dν
1.3.102.
Lembrando que du = dU/dV, e que neste caso V = a3, a partir da definição de densidade
de energia espectral Uν, dada pela Equação 1.3.53., temos que
Uν =
8 ⋅ π ⋅ kB ⋅ T
c
3
ν2
1.3.103.
que é a fórmula de Rayleigh, também chamada de Rayleigh-Jeans para a radiação do
corpo negro. Usando agora a relação entre densidade de energia espectral e radiância,
dada pela Equação 1.3.58., chegamos finalmente a
Rν =
2 ⋅ π ⋅kB ⋅ T
c
2
ν2
1.3.104.
De passagem, notamos que a Equação 1.3.104. obedece a Lei de Wien, dada pela
Equação 1.3.88., com f(ν/T) = 8⋅π⋅c-3 (ν/T)-1.
A Equação 1.3.103. mostra que U cresce indefinidamente com a freqüência. Isto não
só está em desacordo com o resultado experimental, mas conduz também ao resultado
absurdo de um valor infinito para a densidade de energia: integrando a Equação 1.3.103.
em todas as freqüências, segundo a Equação 1.3.54., obtemos
∞
u = ∫ U ν ⋅ dν =
0
∞
∫
0
8 ⋅ π ⋅ kB ⋅ T
c
3
ν 2 ⋅ dν =
8 ⋅ π ⋅ kB ⋅ T ν3
3
c3
∞
0 =
∞
1.3.105.
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Esta é a chamada “catástrofe ultravioleta”, o que significaria que se a Equação
1.3.103. fosse verdadeira, o campo eletromagnético de radiação acumularia uma
quantidade de energia infinita em um volume finito, que seria capaz de provocar uma
catástrofe; o termo “ultravioleta’ se refere às freqüências mais altas, tendendo a infinito no
cálculo da integral acima. Apesar de globalmente incorreta, verifica-se que a fórmula de
Rayleigh-Jeans (Equação 1.3.104.) descreve satisfatoriamente bem a parte inferior do
espectro da radiância, isto é, para baixos valores de freqüência, como mostra a Figura
1.3.15..
Figura 1.3.15.: Previsão de Rayleigh-Jeans (linha pontilhada) em comparação com os resultados
experimentais (linha sólida).
1.3.4.4. A Fórmula de Planck
Conhecendo-se o comportamento da curva experimental da distribuição espectral de
radiação (proporcional a ν2 para baixas freqüências e proporcional a ν3⋅exp(-β⋅ν/T) para
grandes freqüências) não é difícil descobrir uma fórmula válida para todo o espectro de
freqüências. Por tentativa e erro chega-se a uma função do tipo A⋅ν3/[exp(β⋅ν/T) – 1] que
satisfaz estas duas condições; ainda mais, colocando A = 8⋅π⋅c-3 kB⋅β obtemos as fórmulas
de Rayleigh e de Wien para os respectivos limites de freqüência. Dessa forma, uma
função que satisfaz os quesitos descritos acima é então
Uν (ν ) =
8 ⋅ π ⋅ kB ⋅ β
c3
ν3
 β⋅ν 
exp −
 −1
 T 
1.3.106.
Com o intuito de fazer aparecer a constante de Boltzmann junto a temperatura no
denominador da exponencial, trocamos a constante β pela constante k⋅β = h, e obtemos
então
Uν (ν ) =
8 ⋅ π⋅h
ν3
c3
 h⋅ν 
 − 1
exp −
 kBT 
1.3.107.
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Como veremos a seguir, esta é a fórmula de Planck; a constante h tem dimensão de
momento angular (ação), isto é, energia×tempo; ela é chamada de constante de Planck e
é uma nova constante fundamental da Física. A Equação 1.3.107. descreve
admiravelmente bem a distribuição espectral experimental; fazendo um ajuste adequado
Planck obteve h = 6,55×10-34 J⋅s.
Este não foi, entretanto o caminho seguido por Planck para obter a sua fórmula. Em
primeiro lugar, ao que parece, ele não conhecia ou não deu importância ao resultado de
Rayleigh. Mais ainda, a obtenção da fórmula como apresentada acima soa artificial, quase
fazendo uso de onde se quer chegar. Vale a pena seguir o raciocínio de Planck.
Enquanto a maioria dos pesquisadores procurava obter por métodos diretos a
relação entre densidade de energia e a temperatura e freqüência, Planck, que era um
mestre em Termodinâmica, sentiu que o conceito de entropia deveria desempenhar um
papel importante no processo; ele suspeitou que a chave do problema deveria estar na
relação entre a entropia do oscilador radiante (que tomou como emissor de radiação) e a
sua energia.
Em seu artigo “Sobre um melhoramento da fórmula de Wien” em 1900, Planck
começa assinalando o fato de que os resultados das medidas recentes da distribuição
espectral para baixas freqüências mostrarem que a fórmula de Wien não era válida em
geral como muitos haviam suposto até então, e que ela era também apenas
aproximadamente correta, como caso limite para grandes freqüências.
Concentrando-se nas cargas das paredes da cavidade, que segundo as leis da
Eletrodinâmica emitem radiação quando aceleradas, e partindo do conhecido fato de que
a radiância de um corpo negro independe da natureza do emissor, Planck considera a
situação mais simples, na qual as cargas aceleradas executam um movimento harmônico
simples com freqüência ν, constituindo-se em osciladores carregados.
Em primeiro lugar Planck procurou trocar informações sobre a densidade espectral
de energia em informação sobre a energia média do oscilador. Para isto, ele calculou a
energia emitida pelo oscilador e aquela que ele absorve do campo já criado. Da igualdade
entre estas duas quantidades no equilíbrio, Planck deduz a relação
Uν =
8⋅π
c
3
ν2 ⋅ U
1.3.108.
onde U é a energia média do oscilador. Em linhas gerais, a Equação 1.3.108. pode ser
obtida pela determinação da energia irradiada por unidade de tempo (potência) por uma
carga acelerada. Este é um cálculo essencial na teoria eletromagnética e pode ser
encontrado em inúmeros livros textos. O resultado é importante para a compreensão das
propriedades da radiação eletromagnética, não apenas no corpo negro, mas também
daquela emitida por átomos, estações de rádio, estrelas e até na origem da cor azul dos
céus. Partimos da expressão da potência irradiada por um dipolo elétrico oscilante, dada
por
P(t ) =
2 q2 r 2
a (t )
3 c3
1.3.109.
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r
em que a(t ) é a aceleração da carga q. No caso do oscilador harmônico, que se comporta
como um dipolo oscilante, a = - (2⋅π⋅ν)2⋅x, onde x é a coordenada de oscilação; tomandose a média temporal da potência, obtemos
P=
2 q2
(2 ⋅ π ⋅ ν )4 ⋅ x 2
3 c3
1.3.110.
em que o valor médio é tomado em intervalos de tempo longos comparados com o
período de oscilação, mas suficientemente pequenos para desprezarmos a radiação
nestes intervalos; como a energia média dos osciladores é
U = m ⋅ (2 ⋅ π ⋅ ν ) ⋅ x 2
2
1.3.111.
onde m é a massa do oscilador, então é fácil verificar por comparação que
P=
2 q2
(2 ⋅ π ⋅ ν )2 ⋅ U
3
3 m⋅c
1.3.112.
Por outro lado, o trabalho fornecido por unidade de tempo ao oscilador por um campo de
radiação com densidade espectral de energia Uν(ν) é dado por P = (π⋅q2/3⋅m)⋅Uν(ν), que
resulta da solução da equação de movimento do oscilador harmônico na presença de um
campo elétrico com freqüência ν. Igualando estas duas últimas expressões, obtemos a
Equação 1.3.108..
É evidente que Planck precisava calcular a energia média de um oscilador
harmônico a uma temperatura T para determinar Uν(ν). Poderia usar o resultado clássico
já conhecido do Teorema da Eqüipartição de Energia, mas isto leva à fórmula obtida por
Rayleigh, como é fácil de ser visto, substituindo U por kB⋅T na Equação 1.3.108.. No
entanto, Planck preferiu usar uma abordagem termodinâmica, provavelmente devido ao
seu continuado interesse nesta linha de pesquisa desde o seu doutorado, cuja tese
consistiu numa re-análise do trabalho de Rudolf Clausius sobre a Segunda Lei da
Termodinâmica em termos da notação da entropia.
Denominando dE a variação de energia dos osciladores nas paredes do recipiente
pelo recebimento da quantidade de calor dQ = T⋅dS (feita a volume constante), temos
então que dU = T⋅dS, já que a variação de trabalho dW = P⋅dV = 0. Chamando de N o
número de osciladores , a energia média do sistema é dU = N⋅d U e a entropia do sistema
é S = N⋅s, onde s é a entropia de um único oscilador. Assim, N⋅d U = T⋅N⋅ds, o que leva a
ds 1
=
dU T
1.3.113.
Usando a Lei de Wien na Equação 1.3.108., Planck obtém uma relação
aproximadamente válida entre a temperatura e a energia média., que usada na Equação
1.3.113. fornece uma relação aproximadamente válida entre a entropia e a energia média.
Assim, substituindo a Equação 1.3.93. na Equação 1.3.108., obtemos
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U=
c3
ν

α ⋅ ν ⋅ exp − β 
8⋅π
T

1.3.114.
o que, após alguma manipulação matemática, conduz a
1
1  8⋅π

=−
ln 3
U
T
β⋅ν c ⋅α⋅ν 
1.3.115.
Substituindo, então, a Equação 1.3.115. na Equação 1.3.113., e calculando a segunda
derivada da entropia em relação a energia média, encontramos
d2 s
dU
=−
2
1 1 cons tan te
=
β⋅ν U
U
1.3.116.
A Equação 1.3.116. é a relação entre a entropia e a energia média que decorre da
fórmula de Wien, que sabemos não explica completamente os resultados experimentais.
Planck se propõe então a modificar a Equação 1.3.116. para obter a fórmula que se ajuste
aos resultados experimentais definidos por Uν. Depois de várias tentativas, Planck
finalmente fixou-se na pequena modificação que decorre do acréscimo de um pequeno
termo de segunda ordem U no denominador da Equação 1.3.116.. Ele, então, propõe a
seguinte relação
d2 s
dU
2
=−
A
U⋅ B+U
(
)
1.3.117.
onde A e B são constantes. Percorrendo o caminho inverso, isto é, integrando a Equação
1.3.117., encontramos
ds A 
B 1
= ln1 +  =
dT B  U  T
1.3.118.
que fornece
U=
B
 B 
exp
 −1
 A ⋅T 
1.3.119.
Finalmente, substituindo esta última relação na Equação 1.3.108, obtemos
Uν =
8⋅π
c
3
ν2 ⋅
B
 B 
exp
 −1
 A ⋅T 
1.3.120.
56
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De acordo com as relações termodinâmicas obtidas por Wien, a constante B deve
ser proporcional à freqüência e A deve ser uma constante. Planck obtém então
ν3
Uν = c 1 ⋅
c ⋅ν 
exp 2  − 1
 T 
1.3.121.
que tem a mesma estrutura da Equação 1.3.106..
Para grandes freqüências, a Equação 1.3.106. se reduz à fórmula de Wien (Equação
1.3.93.), com c1 = α e c2 = β. Já para freqüências pequenas, ela se reduz à fórmula de
Rayleigh (Equação 1.3.103.), com c1/c2 = 8⋅π/c3.
Nas palavras do próprio Planck, “como demonstrado por exemplos numéricos, tal
fórmula se ajusta muito bem aos dados experimentais existentes (com valores
convenientes das constantes c e c). Gostaria então de chamar a nossa atenção para essa
fórmula que considero a mais simples possível, além da de Wien, sob o ponto de vista da
teoria eletromagnética da radiação”.
1.3.4.5. O Quantum de Energia
A fórmula obtida por Planck era ainda uma fórmula empírica, pois não possuía uma
justificativa teórica. Em menos de dois meses, em Dezembro de 1900, “depois do mais
árduo trabalho”, como ele comentaria mais tarde, Planck apresentou a demonstração da
Equação 1.3.121.. Sua teoria está baseada no postulado fundamental de que a energia
média de um conjunto de osciladores não é uma grandeza contínua, mas sim, só pode ter
valores discretos e múltiplos de uma quantidade elementar, o quantum de energia. Em
outras palavras, a energia de um único oscilador só pode ter os valores U0, 2⋅U0, 3⋅U0, ...,
isto é
U = Un = n ⋅ U0
1.3.122.
com n sendo um número inteiro.
Antes de discutirmos a demonstração de Planck, vamos fazer a demonstração que
Lorentz fez bem mais tarde, em 1910, baseando-se na Equação 1.3.122.. Admitindo que
a energia de um oscilador tenha uma distribuição contínua, o seu valor médio é dado
então por
∞
U=

U 
∫ U ⋅ exp − k B ⋅ T  ⋅ dU
0
∞

U 
∫ exp − k B ⋅ T  ⋅ dU
0
= kB ⋅ T
1.3.123.
que é o resultado proposto por Rayleigh. Como estamos agora diante de um conjunto
discreto de energias, o processo de obtenção de valores médios não pode mais envolver
integrais, que apenas podem ser usadas em distribuições contínuas. Assim, ao invés de
uma integral, devemos substituí-la por uma soma, isto é
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∞
U=

∑ Un ⋅ exp − k

n =0
Un 

B ⋅T 
∞
 U 
∑ exp − k n⋅ T 
 B 
n= 0
=
U0
 U 
exp 0  − 1
 kB ⋅ T 
1.3.124.
Para que a fórmula termodinâmica de Wien seja obedecida, a constante U0 deves ser
proporcional a freqüência, isto é
U0 = h ⋅ ν
1.3.125.
onde h é uma constante, hoje conhecida como constante de Planck. Com isto, a energia
média toma a forma
U=
h⋅ν
1.3.126.
 h⋅ν 
 − 1
exp
 kB ⋅ T 
Assim, substituindo a Equação 1.3.126. na Equação 1.3.108, obtemos a densidade de
energia espectral como sendo
Uν (ν ) =
8 ⋅ π⋅h
ν3
c3
 h⋅ν 
 − 1
exp
k
T
 B 
1.3.127.
que é a fórmula de Planck, a qual foi obtida, admitindo que um oscilador só pode ter
energias discretas dadas por
Un = n ⋅ h ⋅ ν
1.3.128.
Quando estamos a baixas freqüências ou altas temperaturas, de tal modo que a
relação h⋅ν/kB⋅T << 1, o denominador da Equação 1.3.126. é igual a h⋅ν/kB⋅T e obtemos
novamente o resultado clássico U = kB⋅T. Notemos também que a Equação 1.3.127. tem
a forma da relação termodinâmica de Wien, com
f (x ) =
8 ⋅ π⋅h
c
3
1
 x
exp −
 kB

 − 1

1.3.129.
com x = ν/T.
1.3.4.6. Determinação da Constante de Planck
Usando a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Deslocamento de Wien, Planck
determinou o valor de h e , pela primeira vez diretamente, também o da constante de
Boltzmann kB. Partindo diretamente da Equação 1.3.127. ou já aproveitando o resultado
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determinado na Equação 1.3.90. com f(x) dado pela Equação 1.3.129., obtemos a
equação transcendental
(
)
3 ⋅ 1− e −y = y
1.3.130.
onde y = h⋅x/kB. Resolvendo esta equação para y, encontramos
y MAX = 2,82
1.3.131.
Desta relação, concluímos que
ν MAX =
2,82 ⋅ k B
T
h
1.3.132.
que é a Lei de Deslocamento de Wien (Equação 1.3.73.), com a = 2,82⋅kB/h.
Por outro lado, partindo diretamente da Equação 1.3.127., obtemos, mudando a
integração para a variável y
∞
u = ∫ U ν ⋅ dν =
0
4
∞
8 ⋅ π ⋅ k B4 ⋅ T 4 π 4
8 ⋅ π ⋅ h  kB ⋅ T 
y3
⋅
⋅
⋅
=
⋅
dy

 ∫ y
15
c3
c 3 ⋅ h3
 h  0 e −1
1.3.133.
A integral na variável y, com o valor de π4/15, é um dos chamados Números de Bernouille.
Comparando a Equação 1.3.133. com a Lei de Stefan-Boltzmann (R = σ⋅T4 =4⋅u/c),
obtemos a relação
σ=
2 ⋅ π 5 ⋅ k B4
15 ⋅ c 2 ⋅ h 3
1.3.134.
Usando os valores experimentais de σ e a, Planck obtém h = 6,55×10-34 J⋅s e, além
disso, kB = 1,346×10-23 J/K. Estes valores estão bastante próximos dos atuais (obtidos em
1963) h = 6,626×10-34 J⋅s e kB = 1,3805×10-23 J/K.
Apenas como registro histórico, com o valor de kB = R/NAV, onde R = 8,35 J/K⋅mol é
a constante universal dos gases ideais, Planck calculou o valor do Número de Avogadro
como sendo NAV = 6,17×1023, que concorda satisfatoriamente com o valor de 6,40×1023
determinado por Meyer anos antes. O conhecimento de NAV oferece um novo método
para a determinação da carga elementar do elétron, através do uso da constante de
Faraday (F = NAV⋅e), medida através de experiências de eletrólise; com F = 9,658×10,
obtemos e = 1, C. Thomson encontrou e = 10 C dois anos antes.
1.3.4.7. O Trabalho Teórico de Planck
Planck apresenta a demonstração da fórmula de distribuição espectral no trabalho
seguinte ao já citado “Sobre um melhoramento da fórmula de Wien”, este com o título
“Sobre a teoria da lei de distribuição do espectro normal”.
Para esta demonstração Planck fez uso da relação que Boltzmann demonstrou em
seu trabalho sobre a teoria cinética dos gases entre a entropia S e a probabilidade W de
um certo estado termodinâmico, dada por
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S = k B ⋅ ln W
1.3.135.
onde kB = R/NAV é uma constante que posteriormente (1951) foi denominada constante de
Boltzmann. Planck considera a seguir um sistema com N osciladores, cada um com
energia média U e entropia s, tal que a energia e a entropia totais são, respectivamente
UT = N⋅ U e S = N⋅s.
A seguir, ele coloca a sua hipótese. Em suas próprias palavras, “o ponto mais
essencial de todo o cálculo é que a energia total UT de todos os osciladores só pode ser
dividida num número inteiro de partes U0 e não como uma quantidade que pode ser
dividida continuamente em partes infinitesimais; isto é, a energia UT é múltipla de um
certo valor U0”. Assim, UT = p⋅U0, com p sendo um número inteiro. Assim, para a energia
de um único oscilador, temos N⋅ U = p⋅U0.
Cada estado termodinâmico dos N osciladores é agora fixado pelo número de partes
que tem a sua energia total e a probabilidade deste estado. Denominando q o número de
estados com p partes U0 de energia total, a probabilidade desses estados é W = q/Q,
onde Q é o número total de estados. Temos então que
q
S = k B ⋅ ln  = k B ⋅ ln q − k B ⋅ ln Q
Q
1.3.136.
Temos agora que contar quantos estados existem com energia UT . Nosso sistema
tem N osciladores e devemos distribuir entre eles p pedaços de energia; esta é a mesma
situação na qual se tem N recipientes e p objetos a serem distribuídos entre eles. Pela
teoria usual da análise combinatória, tal número é
q=
(N + p − 1)!
(N − 1)!⋅p!
1.3.137.
Como N e p são números muito grandes podemos, sem perder muito em precisão, ignorar
os números 1, tanto no denominador como no numerador da Equação 1.3.137., e além
disso, utilizar a fórmula de Stirling
x! = x x ⋅ e − x
1.3.138.
Desta forma, calculamos q como sendo
q=
(N + p)N+p
NN ⋅ p p
e então, calculando o logaritmo neperiano determinamos a entropia como sendo
S = k B ⋅ ln q − k B ⋅ ln Q = k B ⋅ [(N + p ) ⋅ ln(N + p ) − N ⋅ ln N − p ⋅ ln p] − k B ⋅ ln Q
1.3.139.
1.3.140.
Como p = N⋅ U /U0, após alguma manipulação, obtemos para a entropia s de um oscilador
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 
U
s = k B ⋅ ln1 +
  U0

 U
 U  1
 −
 − ⋅ ln Q
⋅ ln

 U0  U 0  N
1.3.141.
De posse da entropia em função de U para um oscilador, podemos calcular a derivada e
igualar ao inverso da temperatura, como mostra a Equação 1.3.113.. Assim, chegamos a
U + U 
ds 1 k B

= =
⋅ ln 0
d U T U0  U 
1.3.142.
Assim, após alguma manipulação, obtemos
U=
U0
 U 
exp 0  − 1
 kB ⋅ T 
1.3.143.
Substituindo este resultado na Equação 1.3.108., obtemos
Uν =
8⋅π
c
3
ν2 ⋅
U0
 U 
exp 0  − 1
 kB ⋅ T 
1.3.144.
Como a fórmula de Wien deve ser obedecida, devemos ter U0 proporcional à freqüência,
isto é, U0 = h⋅ν. Com isto, a Equação 1.3.144. torna-se
Uν (ν ) =
8 ⋅ π⋅h
ν3
c3
 h⋅ν 
 − 1
exp
k
T
 B 
1.3.145.
que é igual a fórmula empírica proposta anteriormente. Notemos que, a partir da Equação
1.3.142, obtemos
d2 s
dU
2
=−
kB
U ⋅ U0 + U
(
)
1.3.146.
que tem a mesma estrutura da Equação 1.3.117. com A = kB e B = U0.
Com esta dedução feita por Planck descrevemos completamente o fenômeno da
radiação de corpo negro. Como vimos, a sua proposição de que a energia do oscilador
que dá origem à radiação de corpo negro só pode admitir valores múltiplos inteiros de
uma energia fundamental U0 = h⋅ν, apesar de desafiar o entendimento usual da época,
explica totalmente os resultados experimentais.
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1.3.5. Estrutura Corpuscular da Luz
Nesta seção examinaremos processos nos quais a radiação interage com a matéria.
Três processos (o Efeito Fotoelétrico, o Efeito Compton e a Produção de Pares) envolvem
o espalhamento ou a absorção de radiação pela matéria. Outros dois (o Bremsstrahlung –
radiação emitida por uma carga elétrica em desaceleração e a Aniquilação de Pares)
envolvem a produção de radiação. Em cada caso serão mostradas evidências
experimentais que a radiação se comporta como uma partícula quando ela interage com a
matéria, diferentemente do comportamento ondulatório que apresenta quando ela se
propaga (ondas eletromagnéticas).
1.3.5.1. O Efeito Fotoelétrico
Este fenômeno trata da emissão de elétrons por um corpo exposto à radiação
eletromagnética.
1.3.5.1.1. Resultados Experimentais
A primeira evidência da interferência da luz com fenômenos elétricos foi observada
por Hertz em 1887 em seu trabalho sobre a produção de ondas eletromagnéticas. Hertz
notou que a centelha elétrica entre o anodo e o catodo acontecia mais facilmente quando
o catodo (o pólo negativo) era exposto à luz ultravioleta. As observações foram
continuadas por Hallwachs, o qual observou três fenômenos em experiências com uma
esfera metálica carregada exposta à luz ultravioleta:
a) se a esfera estiver carregada negativamente, ela perde rapidamente sua carga;
b) não há efeito mensurável se a mesma esfera estiver carregada positivamente;
c) se neutra, ela fica carregada positivamente após a exposição.
Destas observações é evidente que, sob a ação de luz ultravioleta, elétrons são
emitidos pela superfície metálica. Medidas da relação carga/massa (e/me) dessas cargas
emitidas mostram que de fato trata-se de elétrons. Elster e Geitel verificaram que algumas
ligas metálicas produzem o efeito também com luz visível, e a partir desta observação,
construíram o primeiro tubo fotoelétrico. Para os metais alcalinos, o limiar de freqüência
(cor) está também na região de luz visível, sendo, por exemplo, verde para o sódio.
As leis empíricas relativas à emissão de elétrons foram enunciadas por Lenard em
1902. Um resumo destas leis é mostrado abaixo
a) a energia cinética máxima dos elétrons emitidos pela superfície metálica é
independente da intensidade da luz incidente, dependendo apenas da freqüência desta
luz;
b) para cada substância existe uma freqüência mínima (limiar de freqüência) para
que o fenômeno ocorra;
c) a intensidade da luz só interfere no número de elétrons ejetados, sendo a
intensidade da corrente elétrica proporcional à intensidade da radiação incidente.
O estudo da dependência da energia dos elétrons e da intensidade de sua corrente
elétrica com a freqüência e intensidade da luz incidente é feita com o tubo fotoelétrico,
esquematizado na Figura 1.3.16..
O tubo fotoelétrico é altamente evacuado; os eletrodos são colocados em um
invólucro de vidro, onde uma janela de quartzo permite que um feixe de luz atinja o
catodo. Acima de um certo valor ν0 da freqüência da luz incidente, que é característico de
cada substância, o amperímetro (galvanômetro G) marca a passagem de uma corrente
elétrica, evidenciando que elétrons são liberados pelo catodo (eletrodo A) e atingem o
anodo (eletrodo B, também chamado de coletor). Tal corrente elétrica ocorre mesmo que
a tensão entre os eletrodos seja nula (V = 0), e mesmo que V seja levemente negativa.
Neste caso, a corrente elétrica é bem mais fraca, evidenciando que os elétrons estão
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sendo brecados pela voltagem reversa. A corrente elétrica continua diminuindo até atingir
o valor zero para um certo valor –V0 da tensão reversa. Nesta situação, os elétrons são
completamente brecados pela diferença de potencial que não os deixa sair do catodo. Os
elétrons saem do catodo com várias energias, pois alguns são arrancados do interior do
metal, e devido à colisão com os átomos que compõem o metal, perdem parte de sua
energia cinética.
Figura 1.3.16. Tubo fotoelétrico. A magnitude da voltagem pode ser variada continuamente, e seu sinal
pode ser trocado pela chave inversora.
A Figura 1.3.17. mostra o resultado experimental da corrente elétrica medida no
galvanômetro i em função da tensão aplicada entre o catodo e o anodo, para duas
intensidades de luz diferentes Ia e Ib.
Figura 1.3.17.: Gráfico da corrente elétrica i em função da voltagem V, de dados obtidos com o aparelho da
Figura 1.3.16.. A diferença de potencial aplicada V é dita positiva quando o coletor B está a um potencial
maior do que o da superfície fotoelétrica A. Na curva b, a intensidade da luz incidente foi reduzida à metade
daquela da curva a.
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Vamos chamar E a energia máxima dos elétrons emitidos; para certo valor V da
tensão, a energia cinética final dos elétrons é expressa pela relação
E( final) − E(catodo ) = e ⋅ V
1.3.147.
Quando V = - V0, a energia cinética final é nula, pois isto é o que mostra o resultado da
corrente elétrica ser nula para esta tensão. Portanto, a energia cinética dos elétrons ao
sair do catodo satisfaz a relação
E(catodo ) = E MAX = e ⋅ V0
1.3.148.
A Equação 1.3.148. mostra como é medida a energia cinética máxima dos elétrons
ejetados pela luz.
O resultado da Figura 1.3.17. mostra que, variando a intensidade da luz o valor da
energia cinética máxima E (isto é, o valor de V0) não se altera; a mudança na intensidade
só altera o número de elétrons emitidos pelo catodo por unidade de tempo (a corrente
elétrica i).
Outro resultado experimental, indicado na Figura 1.3.18., mostra que a energia
cinética máxima E só muda com a freqüência da luz incidente.
Figura 1.3.18.:
Como curiosidade histórica, o resultado mostrado na Figura 1.3.18. foi estabelecido
por Milikan em 1916, cerca de dez anos depois de Einstein formular a sua teoria dos
fótons, como veremos a seguir.
Os resultados experimentais não podem ser explicados pela teoria clássica da luz.
De acordo com esta teoria, os elétrons ligados aos átomos são sacudidos pelo campo
eletromagnético da radiação incidente; desta forma, eles adquirem amplitudes que
aumentam com a intensidade dos campos, até que sejam arrancados do átomo. Ainda de
acordo com esta teoria, quanto mais intensa a luz, mais fortes seriam os campos, e com
mais energia os elétrons deveriam sair do átomo; em outras palavras, quanto mais
intensa a onda eletromagnética, tanto mais energética ela seria, e tanto mais energia
seria transferida para o elétron. Porém, como mostra a Figura 1.3.17., a energia cinética
máxima dos elétrons (E = e⋅V0) não depende da intensidade da luz, mas só da sua
freqüência. Mais ainda, Lenard observou que cada elétron é ejetado do catodo com
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energias da ordem de 1 eV (igual a 1,6×10-19 J), e instantaneamente (ou pelo menos num
tempo muito curto para ser detectado com os instrumentos da época). Para que cada
elétron pudesse sair com esta energia e no curto tempo em que o faz, a luz incidente
deveria ser imensamente intensa; ou, por outro lado, com as intensidades usualmente
usadas nos laboratórios da época, o tempo deveria ser extremamente longo.
Para comprovar esta afirmação, vejamos o exemplo numérico a seguir. Com a luz
amarela (λ = 590 nm, ν = 5,1×10 Hz) incidindo na liga metálica usada para obter os
resultados da Figura 1.3.18., verificamos que o elétron é emitido com energia de 4,8×10-20
J (0,30 eV, V0 = 0,30 V); escolhendo uma fonte que emite 100 nW/cm2 (por exemplo, de
uma lâmpada de filamento pequena), a quantidade de energia que passa através de um
átomo com área de aproximadamente 10-16 cm2 (diâmetro ≈ 1 nm), é aproximadamente
10-23 J/s; portanto, mesmo absorvendo toda essa luz, o tempo para o átomo absorver os
4,8×10-20 J é da ordem de 4×103 s, isto é, da ordem de 1 hora. Entretanto, a observação
experimental é que o efeito fotoelétrico ocorre instantaneamente (ou ao menos, em um
período muito curto de tempo) com a incidência da luz.
1.3.5.1.2. A Teoria de Einstein para os Fótons
Em 1905 Einstein apresentou sua teoria do efeito fotoelétrico no artigo “Sobre a
criação e conversão de luz”, publicado no Annalen der Physik, volume 17, página 132.
Como curiosidade histórica, neste mesmo volume do Annalen der Physik ele publicou
seus artigos sobre o Movimento Browniano e sobre a Relatividade.
Einstein começa calculando a entropia da radiação dentro de uma cavidade, para
depois compara-la à de um gás ideal dentro de um recipiente. Esta comparação pode ser
feita a partir da noção de que a luz é composta de partículas que não interagem entre si,
equivalente às partículas que compõem um gás ideal; desta comparação nasce a idéia da
estrutura energética granular da luz, isto é, de que a energia eletromagnética não é
contínua, mas sim discreta, múltipla de um quantum (posteriormente chamado de fóton).
Após formular sua teoria para a luz, Einstein aplica-a com sucesso para explicar os
resultados experimentais do efeito fotoelétrico.
Consideremos a lei da radiação na região na qual coincide com a equação proposta
por Planck. Levando em conta a Equação 1.3.145. no limite de grandes freqüências,
temos que
Uν =
8 ⋅ π ⋅ h ⋅ ν3
c
3
 h⋅ν 

exp −
 kB ⋅ T 
1.3.149.
de onde obtemos
 c 3 ⋅ Uν
k
1
= − B ln
T
h ⋅ ν  8 ⋅ π ⋅ h ⋅ ν3
 dS
=
 dU

1.3.150.
Para obtermos uma solução para a entropia, devemos escrever Uν em termos da energia
interna U. Da definição de densidade espectral de energia dada pela Equação 1.3.53.,
podemos escrever
Uν =
1 U
V ∆ν
1.3.151.
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Assim, substituindo a Equação 1.3.151. na Equação 1.3.150. e integrando para obter a
entropia, temos

kB ⋅U  
c3 ⋅U

 + cons tan te
S=−
ln
h ⋅ ν   V ⋅ ∆ν ⋅ 8 ⋅ π ⋅ h ⋅ ν 3 
1.3.152.
Chamando S0 o valor da entropia quando o volume da mesma quantidade de radiação for
V0, temos
S0 = −

kB ⋅ U  
c3 ⋅U
 + cons tan te
ln
h ⋅ ν   V0 ⋅ ∆ν ⋅ 8 ⋅ π ⋅ h ⋅ ν 3 
1.3.153.
e subtraindo estas duas expressões, obtemos após alguma manipulação
U
 V
S − S 0 = k B ⋅ ln
 V0
 h⋅ν


1.3.154.
Comparando com a diferença de entropias de um gás ideal, cuja expressão é
 V 

S − S 0 = k B ⋅ ln
 V0 
N
1.3.155.
vemos que a radiação se comporta como sendo constituída de N corpúsculos com
energia total
UN = N ⋅ h ⋅ ν
1.3.156.
Da Equação 1.3.156. concluímos que a energia do campo de radiação é discreta e
múltipla de um quantum elementar
U = h⋅ν
1.3.157.
Este quantum de energia foi posteriormente em 1925 chamado de fóton.
1.3.5.1.3. Aplicação da Teoria do Fóton para o Efeito Fotoelétrico
Após estabelecer sua teoria para os fótons, Einstein aplicou a sua teoria corpuscular
da luz ao fenômeno fotoelétrico. Nas próprias palavras de Einstein “de acordo com a idéia
de que a luz incidente consiste de quanta de energia h⋅ν, podemos descrever a produção
de elétrons pela luz como segue: os quanta de luz penetram dentro da camada superficial
do corpo e a energia de um quantum é totalmente transferida a um só elétron”. Na
verdade, poderia ser apenas uma parte da energia, mas ele faz a suposição mais simples,
que é toda ela, argumentando que isto é garantido pelas observações experimentais. Um
elétron, ganhando energia cinética dentro do corpo perderá parte dela quando chega à
superfície e gastará uma parte desta energia E0 para sair; E0 é a energia mínima
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necessária para a extração de um elétron de um corpo, chamada de função trabalho.
Aplicando a conservação de energia à energia cinética destes elétrons, temos
E MAX = h ⋅ ν − E 0
1.3.158.
Levando em conta a Equação 1.3.148., temos finalmente que
V0 =
1
⋅ (h ⋅ ν − E 0 )
e
1.3.159.
A Equação 1.3.158. e a Equação 1.3.159. demonstram as duas primeiras
observações feitas por Lenard, de que a energia cinética máxima só depende da
freqüência, e que esta freqüência tem que ser maior do que o valor
ν0 =
E0
h
1.3.160.
para que ocorra o Efeito Fotoelétrico. A demonstração da terceira observação é imediata
pois, como a energia total da radiação é proporcional ao número N de fótons, a
intensidade da radiação também o será; como cada elétron absorve um quantum, o
número total de elétrons ejetados do metal é proporcional à intensidade da luz.
A linearidade de crescimento da energia com a freqüência não foi estabelecida por
Lenard, uma vez que ele utilizava um arco voltaico, e este sistema não produz
freqüências únicas. Bem mais tarde conseguiu-se feixes de lua monocromática e a lei de
variação da energia com a freqüência pode ser apropriadamente estudada. Apenas em
1916, pouco mais de dez anos depois de Einstein estabelecer sua teoria dos fótons para
a luz, é que a Equação1.3.159. pode ser comprovada por Milikan. Milikan separou cinco
das várias linhas espectrais de uma lâmpada de mercúrio e usou-as separadamente
como fonte de luz monocromática. Medindo a energia cinética dos elétrons emitidos para
cada freqüência, e colocando os valores num gráfico, obteve o que está representado na
Figura 1.3.18.. A tangente do ângulo da reta com a abscissa dá, numericamente, a razão
h/e; como o valor da carga elementar era conhecido (fora determinado pelo próprio
Milikan em 1911), ele obteve h = 6,58×10-34 J⋅s. Este valor está de acordo com aquele
obtido por Planck a partir dos resultados experimentais da radiação do corpo negro. Com
este resultado, a hipótese de Einstein do quantum de luz tornou-se desde então um fato
inquestionável. Assim, a Equação 1.3.157. define a energia de um fóton.
Por sua vez, o momento linear da radiação é definido pela Equação 1.3.36., o que
combinando com a Equação 1.3.157. conduz a
p=
h⋅ν h
=
c
λ
1.3.161.
Em 1922, a existência de tal momento linear foi comprovada experimentalmente por
Compton, no experimento descrito a seguir.
1.3.5.2. O Efeito Compton
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Compton, em 1922, investigando o espalhamento de Raios-X por um bloco de
parafina, verificou que a radiação espalhada fora da direção de incidência, possuía um
comprimento de onda maior do que a radiação de onda incidente.
1.3.5.2.1. Resultados Experimentais
O arranjo experimental utilizado por Compton está esquematizado na Figura 1.3.19..
Figura 1.3.19.:
λ MIN =
h⋅c
e⋅V
∆λ = λ C ⋅ (1 − cos θ)
p x ⇒ p 0 + 0 = p1 ⋅ cos θ + p ⋅ cos ϕ
p y ⇒ 0 + 0 = p1 ⋅ sen θ − p ⋅ sen ϕ
(
E ⇒ p 0 ⋅ c + m ⋅ c 2 = p1 ⋅ c + p 2 ⋅ c 2 + m 2 ⋅ c 4
p fóton =
∆λ =
)
1/ 2
h
λ
h
⋅ (1 − cos θ) = 2,43 × 10 −12 ⋅ (1 − cos θ)
m⋅c
m
h ⋅ ν = E elétron + E pósitron
(
) (
h ⋅ ν = m ⋅ c 2 + K elétron + m ⋅ c 2 + K pósitron
)
BIBLIOGRAFIA
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QUESTÕES
Radiação de Corpo Negro
1. A relação RT = σ⋅T4 é exata para corpos negros e vale para todas as
temperaturas. Por que esta relação não é usada como base para uma definição de
temperatura a, por exemplo, 100 C?
2. Um pedaço de metal brilha com uma cor brilhante a 1100 K. Nesta mesma
temperatura, no entanto, um pedaço de quartzo absolutamente não brilha. Explique a
razão destes comportamentos.
3. Há grandezas quantizadas na Física Clássica? A energia é quantizada na Física
Clássica? Justifique a sua resposta.
4. Em muitos sistemas clássicos as freqüências de oscilação possíveis são
quantizadas. Cite alguns desses sistemas? Nestes casos, a energia também é
quantizada? Justifique a sua resposta.
5. Mostre que a constante de Planck tem dimensões de momento angular. Isto
necessariamente sugere que o momento angular é quantizado? Justifique a sua resposta.
6. Quando um corpo é aquecido até temperaturas elevadas e começa a emitir luz, as
cores da radiação emitida passam do vermelho para o amarelo e finalmente para o azul, à
medida que a temperatura do corpo vai aumentando. Explique a razão pela qual se dá
esta mudança de cores. Quais são as outras variações nas características da radiação?
Efeito Fotoelétrico e Efeito Compton
1. Por que, mesmo para radiação incidente monocromática os elétrons são emitidos
do metal com velocidades diferentes?
2. A existência de um limiar de freqüência no efeito fotoelétrico é freqüentemente
encarada como a objeção mais forte à teoria ondulatória. Explique a razão deste fato.
3. Explique a razão das medidas fotoelétricas serem muito sensíveis à natureza da
superfície fotoelétrica.
4. Os resultados das experiências fotoelétricas invalidam a experiência de
interferência de Young? Justifique a sua resposta.
5. Por que, no espalhamento Compton, seria esperado que ∆λ fosse independente
do material do qual o alvo é composto?
6. Você esperaria observar o Efeito Compton mais facilmente com alvos compostos
de átomos com números atômicos baixos ou com alvos com números atômicos altos?
Justifique a sua resposta.
7. É possível observar o Efeito Compton com a luz visível? Por que?
8. Um tubo de televisão emite Raios-X? Explique a sua resposta.
Ondas de Matéria
1. Por que a natureza ondulatória da matéria não nos é aparente em nossas
observações diárias?
2. O comprimento de onda de De Broglie aplica-se apenas a partículas elementares,
ou aplica-se também a sistemas materiais com estrutura interna? Dê exemplos.
3. A freqüência de uma onda de matéria é dada por E/h? A velocidade da onda de
matéria é dada por λ⋅ν? A velocidade da onda de matéria é igual a velocidade da luz?
Explique.
4. Discuta a analogia: a óptica física está para a óptica geométrica, assim como a
mecânica quântica está para a mecânica clássica.
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5. O comprimento de onda de De Broglie associado a uma partícula depende do
movimento do sistema de referência do observador? Qual é o efeito disto sobre a
dualidade onda-partícula?
6. Dê exemplos de como o processo de medida perturba o sistema que está sendo
medido.
7. O elétron é uma partícula? É uma onda? Explique.
8. Justifique através do Princípio da Incerteza de Heisemberg a razão pela qual a
menor energia de um oscilador não pode ser nula.
9. Discuta as semelhanças e diferenças entre uma onda eletromagnética e uma
onda de matéria.
10. Explique qualitativamente o fato de que a incerteza na medida da posição de
uma partícula aumenta quanto mais precisamente a localizamos no instante inicial, e que
a incerteza aumenta com o tempo.
11. O fato de ocorrer interferência entre várias partes da onda associada a uma
única partícula simplifica ou complica a física quântica?
12. Segundo a filosofia operacional, se não podemos prescrever uma operação
exeqüível para a determinação de uma grandeza física, devemos renunciar a essa
grandeza como tendo realidade física. Quais são as vantagens e desvantagens desse
ponto de vista?
13. Os nossos conceitos são limitados, em princípio, pelas nossas experiências
diárias, ou isto é apenas o ponto de partida conceitual? Como se relaciona esta questão
com uma resolução da dualidade onda partícula?
PROBLEMAS
Propriedades do Campo Eletromagnético
1. Mostre, a partir das Equações de Maxwell que o campo elétrico e o campo
magnético obedecem a uma equação de onda quando se propagem no vácuo. Mostre,
também que estes dois campos são perpendiculares entre si.
2. Mostre que uma onda plana é solução da equação de onda do campo
eletromagnético. Admita que o campo eletromagnético se propague na direção x e que o
campo elétrico tenha polarização ε̂ , e determine a direção do campo magnético
correspondente.
3. Calcule a densidade de energia média armazenada no campo eletromagnético.
Admita que este campo possa ser expresso na forma de onda plana.
4. Para o caso de uma onda plana, determine a relação entre a intensidade e a
densidade de energia armazenada no campo eletromagnético.
5. Determine a relação entre a energia e o momento linear do campo
eletromagnético.
6. Determine a relação entre a pressão de radiação e a densidade de energia do
campo eletromagnético.
7. Determine a relação entre a radiãncia total e a densidade de energia do campo
eletromagnético.
Radiação do Corpo Negro
1. Mostre, a partir da entropia do campo eletromagnético que a radiância total de um
corpo negro a uma dada temperatura, é proporcional à quarta potência desta temperatura.
2. Demonstre a Equação 1.3.88..
3. Demonstre que a Equação 1.3.88. satisfaz a Lei de Deslocamento de Wien e a Lei
de Stefan-Boltzmann.
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11. Mostre que a o campo elétrico dado pela Equação 1.3.95. obedece as Equações
de Maxwell e as condições de contorno para a cavidade. A partir dele, determine o
correspondente campo magnético da radiação dentro da cavidade.
12. Determine expressão para o número de ondas eletromagnéticas estacionárias
oscilando entre uma freqüência ν e outra ν + dν, para o caso de uma cavidade de volume
V.
13. Admitindo a hipótese clássica, determine a energia total média associada a cada
onda de freqüência ν de um corpo negro a uma temperatura T.
14. Com os resultados obtidos no Problema 12 e no Problema 13, determine a
densidade de energia associada a um corpo negro, segundo a Teoria Clássica.
15. A partir da expressão da potência irradiada por um dipolo oscilante, demonstre a
Equação 1.3.108..
16. Admitindo agora a hipótese contida na Teoria de Planck para a radiação de
cavidade, determine a energia total média associada a cada onda de freqüência ν de um
corpo negro a uma temperatura T.
17. Com os resultados obtidos no Problema 15 e no Problema 16, determine a
densidade espectral de energia associada a um corpo negro, segundo a Teoria de Planck
para a radiação de cavidade. Obtenha então a expressão para a radiância espectral Rν(ν).
18. A partir do resultado do Problema 17, obtenha a expressão para a radiância
espectral Rλ (λ).
19. A partir do resultado do Problema 17 ou do Problema 18, obtenha a Lei de
Stefan-Boltzmann.
20. Faça um gráfico de Rν(ν) a partir do resultado do Problema 17; faça também um
gráfico de Rλ(λ) a partir do resultado do Problema 18. Compare estes dois gráficos.
21. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade a 6000 K irradia mais
energia por comprimento de onda? Justifique a sua resposta.
22. Considere duas cavidades de material e formato arbitrários, as duas a mesma
temperatura T, ligadas por um tubo estreito no qual podem ser colocados filtros de cor
que vão permitir a passagem apenas de radiação com uma dada freqüência ν.
a) Suponha que em uma certa freqüência ν’ a radiância espectral da cavidade
1 seja maior do que a radiância espectral da cavidade 2. Um filtro que permite a
passagem apenas da freqüência ν’ é colocado no tubo que liga as duas cavidades.
Discuta o que vai acontecer em termos do fluxo de energia.
b) O que vai acontecer com as respectivas temperaturas?
c) Mostre que a conclusão da questão anterior viola a Segunda Lei da
Termodinâmica.
d) Prove, a partir destas conclusões, que todos os corpos negros a uma
mesma temperatura devem emitir radiação térmica com o mesmo espectro, independente
dos detalhes de sua composição.
23. Um irradiador de cavidade a 6000 K tem um orifício de 0,10 mm de diâmetro feito
em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício
a) no intervalo de comprimentos de onda entre 550 e 551 nm;
b) no intervalo de comprimentos de onda entre 200 e 800 nm.
24. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro.
a) Supondo que a temperatura da superfície do Sol é 5700 K, use a Lei de
Stefan-Boltzmann para determinar a massa de repouso perdida por unidade de tempo
pelo Sol na forma de radiação eletromagnética. Para este cálculo, considere que o
diâmetro do Sol seja 1,4×109 m.
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b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida cada ano sob forma de
radiação eletromagnética? Para este cálculo considere a massa do Sol como sendo
2,0×1030 kg.
25. Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é, em um
certo instante, 1,0×107 K. Determine o comprimento de onda para o qual a radiação
emitida é máxima. Compare este resultado com o espectro eletromagnético, e conclua
que perigos tal explosão pode causar (além, obviamente da temperatura elevada no
local).
26. A uma dada temperatura λmax = 650 nm para uma cavidade de corpo negro. Qual
será o novo valor de λmax se a temperatura nas paredes da cavidade for aumentada de
forma a taxa de emissão de radiação espectral seja aumentada?
27. A que comprimentos de onda o corpo humano emite sua radiação térmica
máxima? Apresente uma lista de hipóteses feitas para obter o resultado.
28. Obtenha a Lei de Deslocamento de Wien a partir da expressão da radiância
espectral proposta por Planck.
29. Recentemente foi descoberta experimentalmente que a radiação de fundo do
universo correspondente a uma temperatura de 3 K se ajusta perfeitamente a uma
radiação de corpo negro. Para verificar experimentalmente este fato, decide-se medir a
radiância espectral desde um comprimento de onda menor que λmax para o qual R(λ) =
0,2⋅R(λmax) até um valor de comprimento de onda maior que λmax para o qual R(λ) =
0,2⋅R(λmax) novamente. Entre que valores de comprimento de onda devem ser feitas estas
medidas?
30. Uma série de estudos astronômicos podem ser feitos através da espectroscopia
da luz emitida por corpos celestes, principalmente estrelas. No final do século XIX,
Fraunhofer já havia levantado um espectro de linhas do sol, com aproximadamente 600
linhas, em um espectro de absorção. Estas linhas são chamadas de linhas espectrais e
estão associadas a um comprimento de onda. A linha mais forte, ou dominante,
representa o comprimento de onda máximo emitido pela estrela. A partir deste
comprimento de onda máximo podemos determinar a sua temperatura. O gráfico abaixo
apresenta uma curva de calibração, para se determinar uma relação entre o comprimento
de onda em metros e a temperatura na escala absoluta (escala Kelvin).
a) A partir do gráfico abaixo determine a equação de calibração para um
possível termômetro óptico.
b) Sabendo que estrelas da classe A, tais como Sírios e Vega emitem luz com
λ = 3,22× 10-7 m, e estrelas da classe G, tais como o Sol e Capela emitem luz com λ =
5,269× 10-7 m, calcule a temperatura destas estrelas.
Comprimento de
onda (m)
Lei de Wien
7,00E-07
6,00E-07
5,00E-07
4,00E-07
0,00015
0,00018
0,00021
0,00024
1/T(K)
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31) O comprimento de onda visível mais curto é aproximadamente igual a 400 nm.
Determine a temperatura de um corpo negro ideal cuja radiância espectral tenha um pico
para esse comprimento de onda.
32) Determine λMAX e νMAX para T = 3,00 K, T = 300 K e T = 3000 K.
33) Mostre que para baixas freqüências a distribuição de Planck concorda com a
distribuição de Rayleigh.
34) Um corpo negro ideal irradia com uma intensidade total de 6,94 MW/m2.
Determine o comprimento de onda onde ocorre o pico da radiância espectral.
35) Seja uma cavidade a uma temperatura t = 200 °C, com um orifício de área igual
a 4,00 mm2. Admitindo que esta cavidade se comporte como um corpo negro, determine o
tempo necessário para que ela irradie 100 J através do orifício.
Efeito Fotoelétrico e Efeito Compton
1. A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é 2,3 eV. O
sódio apresenta efeito fotoelétrico para a luz amarela com comprimento de onda λ = 589
nm?
2. Luz de comprimento de onda 200 nm incide sobre uma superfície de alumínio.
Para o alumínio, são necessários 4,2 eV para remover um elétron.
a) Qual a energia cinética do elétron mais rápido emitido?
b) Qual a energia cinética do elétron mais lento emitido?
c) Qual o valor do potencial de corte?
d) Qual o comprimento de onda limite para o alumínio?
e) Se a intensidade da luz incidente é 2,0 W/m2 qual o número médio de fótons
que atinge a superfície, por unidade de tempo e por unidade de área?
3. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de
comprimento de onda 491 nm é 0,71 V. Quando se muda o comprimento de onda da
radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de 1,42 V. Qual é o valor do
comprimento de onda da luz?
4. Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um fotocátodo
de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para λ = 300 nm, e de 0,82 V para
λ = 400 nm. A partir destes dados, determine:
a) o valor da constante de Planck;
b) a função trabalho do sódio;
c) o comprimento de onda limite para o sódio.
5. Considere que sobre uma placa fotográfica incida luz. A luz será gravada se
dissociar uma molécula de AgBr desta placa. A energia mínima para dissociar esta
molécula é 1,0 eV. Determine o comprimento de onda de corte, acima da qual a luz não
vai sensibilizar a placa fotográfica.
Uma placa de potássio, cujo diâmetro é 16,0 mm, é colocada a 1,2 m de distância de
uma fonte luminosa de potência 1,5 W. A luz incidente é monocromática de cor amarela e
tem comprimento de onda 589 nm. Determine:
a) a intensidade de radiação sobre a placa;
b) o número de fótons que atingem a placa durante 5 minutos;
c) o número de fótons que são emitidos pela fonte luminosa durante este mesmo
tempo;
d) o número de elétrons emitidos por segundo, admitindo um rendimento de 24,2
% nessas condições;
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e) o potencial de corte;
f) o comprimento de onda de corte;
g) o número de elétrons emitidos por segundo, se a potência da fonte luminosa for
duplicada;
h) o rendimento do processo, quando a freqüência da radiação incidente for
14
4,8×10 Hz;
i) o valor do potencial de corte se a distância do metal à fonte passa a ser de 1,0
m;
j) o valor máximo da corrente elétrica entre os eletrodos para uma radiação
incidente de freqüência 6,0×1014 Hz, se o rendimento for de 49,4%.
6. Sob condições ideais, o olho humano registra um estímulo visual a 550 nm se
mais de 100 fótons forem absorvidos por segundo. A que potência luminosa isso
corresponde?
7. Sobre a Terra incide radiação solar a uma taxa de 1,94 cal/cm2⋅min sobre uma
superfície normal aos raios incidentes. Supondo que o comprimento de onda médio seja
550 nm, a quantos fótons por cm2⋅min isto corresponde?
8. Obtenha a relação
hν 
θ 
cot g  = 1 +
tgϕ
 2   m 0 c 2 
entre as direções de movimento do fóton espalhado e do elétron envolvidos no Efeito
Compton.
9. Obtenha a relação
 2hν 

 sen 2  θ 
2 

m0c 
2
K
= 
E
 2hν 
 sen 2  θ 
1 + 
2 
2
 m0c 
entre a energia cinética de recuo dos elétrons e a energia do fóton incidente no Efeito
Compton.
10. Fótons com comprimento de onda 2,4×10-12 m incidem sobre elétrons livres.
a) Determine o comprimento de onda de um fóton que é espalhado de um ângulo
de 30° em relação à direção de incidência, e a energia cinética transmitida ao elétron.
b) Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 150°.
11. Um fóton de energia inicial 1,0×105 eV que se move no sentido positivo do eixo x
incide sobre um elétron livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de 90, indo
no sentido positivo do eixo y. Determine as componentes do momento linear do elétron.
12. Determine a energia cinética máxima possível de um elétron envolvido no
processo Compton, em termos da energia do fóton incidente e da energia de repouso do
elétron.
13. Determine a variação máxima do comprimento de onda no espalhamento
Compton de fóton por prótons.
Ondas de Matéria
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1. Um projétil de massa 40 g se move a 1000 m/s. Determine o comprimento de
onda que podemos associar a ele. Por que sua natureza ondulatória não se revela por
meio de efeitos de difração?
2. O comprimento de onda da emissão espectral amarela de sódio é 589 nm. Com
que energia cinética um elétron tem o mesmo comprimento de onda de De Broglie?
3. Um elétron e um fóton têm cada um um comprimento de onda de 0,2 nm.
Determine:
a) o momento linear de cada um;
b) a energia total de cada um;
c) compare as energias cinéticas do elétron e do fóton.
4. Um nêutron térmico tem uma energia cinética dada por 3kBT/2, onde T é a
temperatura ambiente, igual a 300 K. Esses nêutrons estão em equilíbrio térmico com o
ambiente. Determine:
a) a energia de um nêutron térmico;
b) o seu comprimento de onda de De Broglie.
5. Qual o comprimento de onda de um átomo de hidrogênio que se move com
velocidade correspondente à energia cinética média no equilíbrio térmico a 20 C?
6. O espaçamento planar principal em um cristal de KCl é 0,314 nm. Compare o
ângulo de refração de Bragg de primeira ordem por esses planos, de elétrons com
energia cinética de 40 keV com o de fótons de energia 40 keV.
7. Elétrons incidentes sobre um cristal sofrem refração devido a um potencial atrativo
de aproximadamente 15 V produzido por um cristal, devido aos íons na rede cristalina. Se
o ângulo de incidência de um feixe de elétrons é de 45° e os elétrons têm energia
incidente de 100 eV, determine o ângulo de refração.
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