interna deslocamento

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7. Potencial Eléctrico
Tópicos do Capítulo
7.1. Diferença de Potencial e Potencial Eléctrico
7.2. Diferenças de Potencial num Campo Eléctrico Uniforme
7.3. Potencial Eléctrico e Energia Potencial Eléctrica de Cargas Pontuais
7.4. Obtenção do Campo Eléctrico pelo Potencial Eléctrico
7.5. Potencial Eléctrico devido a Distribuições Contínuas de Carga
7.6. Potencial Eléctrico dum Condutor Carregado
7.6.
Neste capítulo utilizaremos o conceito de energia em nosso estudo da electricidade.
Como a força electrostática (dada pela lei de Coulomb) é conservativa, os fenómenos
electrostáticos podem convenientemente ser descritos em termos de uma função energia
potencial eléctrica. Este conceito nos permite definir uma grandeza denominada
potencial eléctrico, que é uma função escalar da posição e, assim, conduz a um meio
mais simples de descrever alguns fenómenos electrostáticos do que o método do campo
eléctrico. Como veremos nos capítulos subsequentes, o conceito de potencial eléctrico é
de grande valor prático.
7.1. Diferença de Potencial e Potencial Eléctrico

Quando uma carga pontual q0 é colocada em um campo eléctrico E , a força eléctrica na

partícula é q 0 E . Essa força é a soma vectorial das forças individuais exercidas em q0


pelas várias cargas que produzem o campo E . Segue que a força q 0 E é conservativa
porque as forças individuais regidas pela lei de Coulomb são conservativas1. Vamos
considerar um sistema que consiste na carga pontual e em todas as cargas-fonte que
criam o campo eléctrico. Como o campo representa o efeito das cargas-fonte, podemos
também considerar o sistema como o campo eléctrico e a carga q0 que colocam no
campo, sem nos referirmos especificamente às cargas-fonte. Quando a carga pontual se
move em resposta à força eléctrica no campo eléctrico, um trabalho é realizado sobre a

partícula pelo campo. Para um deslocamento infinitesimal ds de uma carga pontual q0,
 
 
o trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre a carga é Fe  ds  q0 E.ds .
O trabalho feito pelo campo numa carga pontual é similar ao trabalho feito por
um campo gravitacional sobre um corpo em queda livre. Vimos em Física Geral I que a
energia potencial gravitacional de um sistema isolado campo – corpo se altera por uma
quantidade igual ao negativo do trabalho feito pelo campo sobre o corpo. Similarmente,
o trabalho realizado pelo campo eléctrico numa partícula carregada varia a energia
 
potencial do sistema isolado campo – carga por uma quantidade dU = – dW = – q0 E  ds .
Para um deslocamento finito de uma carga de prova q0 entre os pontos A e B, a variação
da energia potencial do sistema campo – carga é
 
U  U B  U A  q 0  E  ds
B
(7.1)
A
1
Uma força é conservativa se o trabalho que realiza sobre uma partícula é independente da trajectória que
a partícula percorre entre dois pontos. Uma força conservativa na mecânica não causa uma transformação
de energia mecânica em energia interna.
111
A integral na equação 7.1 é calculada ao longo da trajectória na qual a partícula
se desloca de A para B é denominada integral da trajectória ou integral de linha. Como a

força q 0 E é conservativa, essa integral não depende da trajectória entre A e B.
A energia potencial U do sistema por unidade de carga q0 é independente do
valor de q0 e tem um valor único em cada ponto do campo eléctrico. A grandeza U / q0 é
chamada de potencial eléctrico V (ou, simplesmente, o potencial):
V
U
q0
(7.2)
Como a energia potencial é uma grandeza escalar, o potencial eléctrico também é uma
grandeza escalar. Observe que o potencial não é uma propriedade do sistema campo –
carga porque dividimos a energia potencial do sistema pela carga. É uma propriedade
somente do campo. Assim, na situação física, podemos imaginar que removemos a
carga de prova do campo. O potencial ainda existe no ponto em que a carga de prova
ocupava e é devido às cargas – fonte que estabelecem o campo eléctrico. A diferença de
potencial V = VB – VA entre os pontos A e B é definida como a variação da energia
potencial do sistema campo – carga quando a partícula de prova se desloca entre os
pontos, dividida pela carga q0 da partícula de prova:
 
U
   E  ds
q0
A
B
V 
(7.3)
A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial.
A diferença de potencial entre dois pontos num campo eléctrico é proporcional à
diferença de energia potencial do sistema campo – carga quando a carga está nos dois
pontos, e vemos pela equação 7.3 que as duas grandezas estão relacionadas por
U = q0 V.
A Equação 7.3 define somente a diferença de potencial. O potencial
frequentemente é considerado como sendo zero em algum ponto conveniente, às vezes
chamado um terra. Geralmente ajustamos em zero o potencial devido a uma ou mais
cargas – fonte para um ponto no infinito (isto é, um ponto infinitamente remoto em
relação às cargas – fonte produzindo o campo eléctrico). Com essa opção, podemos
dizer que o potencial eléctrico num ponto arbitrário devido às cargas – fonte é igual ao
trabalho necessário para trazer uma partícula de prova do infinito a esse ponto dividido
pela carga na partícula de prova. Assim, se tomarmos VA = 0 no infinito na equação 7.3,
então o potencial em algum ponto P será
 
VP    E  ds
P
(7.4)


onde E é o campo eléctrico estabelecido pelas cargas – fonte. Na realidade, VP
representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no infinito. (A equação
7.4 é um caso especial da equação 7.3.) Ao discutir potenciais em um circuito eléctrico,
ajustaremos V = 0 em algum ponto seleccionado no circuito. Como o potencial é uma
medida da energia por unidade de carga, a unidade SI do potencial é o joule por
coulomb, denominada volt (V): 1 V  1 J / C.
112
Significa que se libertarmos uma partícula com uma carga de 1 C num campo eléctrico
e ela se deslocar dum ponto de potencial elevado para um ponto de potencial baixo com
uma diferença de potencial de – 1 V, ela terá 1J de trabalho feito sobre ela pelo campo
e, consequentemente, alcançará uma energia cinética de 1 J (de acordo com o teorema
do trabalho e da energia cinética). De maneira alternativa, 1J de trabalho deve ser
realizado por um agente externo para levar uma partícula com uma carga de 1 C através
de uma diferença de potencial de + 1 V a velocidade constante (de acordo com o
modelo do sistema não isolado). A Equação 7.3 mostra que a diferença de potencial
também tem as mesmas unidades que o campo eléctrico vezes a distância. A partir
disso, segue-se que as unidades SI de campo eléctrico, newtons por coulomb, podem
Ser expressas em volts por metro: 1 N / C  1 V / m.
Isso sugere que o campo eléctrico pode ser interpretado como a taxa de variação do
potencial eléctrico no espaço. Um campo eléctrico intenso corresponde a um potencial
que varia rapidamente no espaço, enquanto um campo fraco representa um potencial
que varia lentamente.
Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o electrão – volt (eV):
1 eV = (1 e)(1 V) = (1.60  10-19 C) (l J / C) = 1.60  10-19 J
(7.5)
Um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo
acelerada por uma diferença de potencial de valor 1 V. A Equação 7.5 pode ser utilizada
para converter qualquer energia em joules para electrões – volt. Por exemplo, um
electrão no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma velocidade de
3.5  107 m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de 5.6  10 16 J, que é
equivalente a 3.5  103 eV. Tal electrão tem de ser acelerado do repouso com uma
diferença de potencial de 3.5 kV para atingir essa velocidade.
7.2. Diferenças de Potencial num Campo Eléctrico Uniforme
Nesta secção descrevemos a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos num
campo eléctrico uniforme. Considere um campo eléctrico uniforme dirigido ao longo do
eixo y negativo, como na Figura 7.1a. Vamos calcular a diferença de potencial entre
dois pontos A e B, separados por uma distância d, onde d é medida paralelamente às
linhas do campo. Se aplicarmos a Equação 20.3 a essa situação, teremos
B 
B
B

VB  VA  V    E  ds   E cos 0 ds    Eds
A
A
A
Como E é constante, pode ser colocado fora da integral, dando
B
V   E  ds   EA
(7.6)
A
O sinal negativo resulta do facto de que o ponto B está num potencial mais baixo do que
o ponto A; isto é, VB < VA. Em geral, as linhas do campo eléctrico sempre apontam na
direcção de diminuição do potencial eléctrico.
113
Suponha agora que uma carga de prova q0 se desloca de A para B. A variação da
energia potencial eléctrica do sistema campo – carga pode ser encontrada a partir das
equações 7.3 e 7.6:
U  q0V  q0 Ed
(7.7)
Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então U é negativa. Isso significa que,
quando uma carga positiva se desloca no sentido do campo eléctrico, a energia potencial
eléctrica do sistema campo – carga diminui. (Isso é análogo à mudança na energia
potencial gravitacional - mgd de um sistema campo - corpo quando um corpo com
massa m cai de uma altura d num campo gravitacional uniforme, como sugerido na
Figura 7.1b.) Se uma partícula com uma carga positiva q0 é libertada do repouso no


campo eléctrico, sofre uma força eléctrica q 0 E no sentido de E (para baixo na Figura
7.1a). Consequentemente, ela acelera para baixo, ganhando energia cinética. Como a
partícula carregada ganha energia cinética, o sistema campo – carga perde uma
quantidade igual de energia potencial. Esse resultado familiar é similar ao que vimos
para as situações gravitacionais (Figura 7.1b). O enunciado é simplesmente o princípio
da conservação da energia mecânica no modelo do sistema isolado para campos
eléctricos.

Figura 7.1. (a) Quando o campo eléctrico E está direccionado para baixo, o ponto B
está num potencial eléctrico mais baixo que o ponto A. Quando uma carga positiva de
prova se desloca de A para B, o sistema carga – campo perde energia potencial eléctrica.
(b) Quando um corpo com massa m se desloca para baixo na direcção do campo

gravitacional g , o sistema corpo – campo perde energia potencial gravitacional.
114
Se q0 for negativa, então U na Equação 7.7 é positiva e a situação está
invertida. Se uma partícula negativamente carregada for liberada do repouso no campo

E , ela acelera na direcção oposta ao campo eléctrico. O sistema campo - carga perde
energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à
do campo eléctrico. Não temos nenhum análogo para essa situação no caso
gravitacional porque nenhuma massa negativa foi observada até o momento.
Considere agora o exemplo mais geral de uma partícula carregada que se desloca

entre dois pontos quaisquer num campo eléctrico uniforme, como na Figura 7.2. Se  r
representa o vector deslocamento entre os pontos A e B, a equação 7.3 nos fornece
B 
B
 
  
V    E  ds  E  ds  E  r
A
(7.8)
A

onde novamente podemos remover E da integral porque ele é constante. Além disso, a
variação na energia potencial eléctrica do sistema campo - carga é
 
U  q0 V  q0 E  r
(7.9)
Figura 7.2. Uma partícula se desloca num campo eléctrico uniforme. O ponto B está
num potencial mais baixo que o ponto A. Os pontos B e C estão no mesmo potencial.
Finalmente, nossos resultados mostram que todos os pontos num plano
perpendicular a um campo eléctrico uniforme estão no mesmo potencial. Isso pode ser
 
visto na Figura 7.2, onde a diferença de potencial VB - VA =  E  r =  Er cos =
- Ed = VC - VA . Sendo assim, VB = VC. O nome superfície equipotencial é dado a toda
superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo
potencial eléctrico. Observe que, como U  q0 V , nenhum trabalho é necessário para
mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície
equipotencial. As superfícies equipotenciais de um campo eléctrico uniforme consistem
numa família de planos, todos perpendiculares ao campo. As superfícies equipotenciais
para campos com outras simetrias serão descritas posteriormente.
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