Geometria_-_Aula_01

GEOMETRIA – AULA 01
Prof. Antonio
POTI – Pirassununga
1 - Ângulos
Ângulo é a região de um plano determinada pelo encontro de duas semirretas
que possuem uma origem em comum, chamada vértice. Trata-se de um dos
conceitos fundamentais da matemática para o estudo da geometria.
1.1 – Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas
medidas é igual a 90º.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 90°
1.2 – Ângulos suplementares
Quando a soma da medida de dois ângulos é igual a 180°
eles são chamados de suplementares.
Temos: 𝛼 + 𝛽 = 180°
1.3 – Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando os lados de um são
semirretas opostas ao lado do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são
congruentes, ou seja, eles têm a mesma
medida.
1. (Tarefa) Mostre que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Problemas de 2 a 5 (Banco de questões da OBMEP 2006 – Nível 2)
̂U ?
2. Na figura temos TU = SV. Quanto vale o ângulo SV
1
3. Calcule os ângulos que não estão indicados e o perímetro da figura sabendo
̂ C = BĈD
que BC = BD e DB
̂ S = 30°.
4. No triângulo KLM temos KL=KM, KT=KS e LK
Calcule o valor do ângulo x.
5. Na figura estão indicadas em graus as medidas de alguns ângulos em
função de x. Quanto vale x?
2 - Triângulos
Em muitos exercícios olímpicos de geometria recorremos a soma dos ângulos
internos de um triângulo.
2
2.1 – Soma dos ângulos internos de um triângulo.
Teorema 1. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Demonstração:
Dado um triângulo ABC, tomamos a partir de A uma
reta paralela a BC. Pelas propriedades de
paralelismo, temos que
̂ B = AB
̂ C = BĈA (ângulos alternos internos)
̂ C e DA
EA
̂ D é um ângulo raso, temos que EA
̂ D = 180°
Como EA
podemos concluir que:
̂ B = 180°
̂ C + BĈA + CA
AB
Teorema 2. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma
das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Demonstração:
Como a soma dos ângulos internos é 180°, então
̂ B = 180°
̂ C + BĈA + CA
AB
Mas na reta BD, temos que BĈA + DĈA = 180°
Assim,
̂ B = BĈA + DĈA
̂ C + BĈA + CA
AB
̂ B = DĈA
̂ C + CA
AB
Teorema 3. A soma de todos os ângulos internos de um polígono convexo de n
lados é 180° ・ (n − 2).
Demonstração. A partir de um vértice do polígono, traçaremos todas as suas
diagonais, ou seja, dividimos o polígono em n − 2 triângulos, portanto, a soma
de todos os ângulos internos do polígono é igual a soma de todos os ângulos
internos de todos os triângulos que é 180° ・ (n − 2).
6. (OBM – 2014 – 2ª Fase) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular
e EFG é um triângulo equilátero. Determine a medida, em graus, do ângulo
AEG.
3
7. (bq OBMEP- 2013) Na figura a seguir, os ângulos marcados em cinza têm a
mesma medida. Do mesmo modo, os ângulos marcados em branco também
têm a mesma medida. Determine a medida do ângulo b.
8. (OBM 2008) No desenho temos AE = BE = CE = CD. Além disso,  e  são
medidas de ângulos. Qual é o valor da razão

?

9. (OBM 2006) No triângulo ABC isósceles abaixo, I é o encontro das
̂ I = HB
̂ C = α.
bissetrizes e H é o encontro das alturas. Sabe-se que HA
Determine o ângulo α.
B
I
H
A
C
4