Ângulos, polígonos e triângulos

GEOMETRIA
01
Ângulos, polígonos e
triângulos
01. Sejam A, B e C respectivamente as medidas do
°
complemento, suplemento e replemento do ângulo de 40 , têmse
°
°
°
a) A = 30 ; B = 60 ; C = 90
°
°
°
b) A = 30 ; B = 45 ; C = 60
°
°
°
c) A = 320 ; B= 50 ; C = 140
°
°
°
d) A = 50 ; B = 140 ; C = 320
°
°
°
e) A = 140 ; B = 50 ; C = 320
05. Dois ângulos adjacentes são complementares. Então, o
ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos é:
a)
b)
c)
d)
e)
30°
35°
40°
45°
50°
06. Dois ângulos consecutivos não adjacentes medem 138º e
40º, quanto mede o ângulo formado pelas suas bissetrizes?
°
02. O ângulo cujo suplemento excede de 6 o quádruplo do seu
complemento, é:
a)
b)
c)
d)
e)
45º
46º
47º
48º
49º
°
a) 58
°
b) 60
°
c) 62
°
d) 64
°
e) 68
07. Observe a figura
D
1 cm
1 cm
C
1 cm
B
1 cm
A
03. Determine x, y, z nas figuras a seguir:
1 cm
E
F
s
r
Em relação aos segmentos de reta não é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
AB e BC são consecutivos, colineares e adjacentes
AB e CD são colineares e congruentes
BD e DF são consecutivos e congruentes
AD e CD são consecutivos, colineares e adjacentes
AC e CD são consecuitivos, colineares e adjacentes
08. As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo α,
apresentado na figura a seguir, é:
04. Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente
proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a
a) 40°
b) 45°
c) 50°
d) 65°
o
e) 130
°
a) 144
°
b) 128
°
c) 116
°
d) 82
°
e) 54
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09. Na figura a seguir temos r//s e t//u//v.
12. Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as
retas m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo α, em
graus, é igual a:
Com base nos estudos dos ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal pode-se afirmar que:
I) O ângulo X mede 127° 30'.
II) O ângulo Y mede 117°.
III) O ângulo Z mede 64° 30'.
Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta.
a) 70.
b) 60.
c) 45.
d) 40.
e) 30.
13. Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte
desafio:
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na
rua Marechal Hermes no número igual à nove vezes o valor do
ângulo  da figura a seguir:
a) Somente as afirmações I e II estão corretas.
b) Somente as afirmações I e III estão corretas.
c) Somente a afirmação I está correta.
d) As afirmações I, II e III estão corretas.
e) As afirmações I, II e III estão incorretas.
10. Na figura, o lado AB do triângulo equilátero ABC é paralelo
ao lado DG do quadrado DEFG.
Se a Equipe resolver corretamente o problema irá fotografar a
construção localizada no número:
a) 990.
b) 261.
c) 999.
d) 1026.
e) 1260.
14. Uma peça de mosaico é confeccionada a partir do corte de
um azulejo quadrado. Os lados do quadrado são paralelos e os
ângulos feitos pelos cortes são representados conforme
desenho abaixo
Qual é o valor, em graus, do ângulo x?
a) 80°
b) 90°
c) 100°
d) 110°
e) 120°
120º
11. As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em
graus, é
y
50º
A medida, em graus, de y é:
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
a) 10º
b) 40º
c) 50º
d) 70º
e) 80º
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15. Um raio de luz monocromática incide sobre a superfície de
um líquido, de tal mode que o raio refletido R forma um ângulo
de 90º com o raio refratado R’. O ângulo entre o raio incidente I
e a superfície de separação dos meios mede 37º, como mostra
a figura.
18. O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo
ABC de 90º no sentido anti-horário ao redor de C, conforme
mostrado no desenho abaixo. Podemos afirmar que α é igual a:
A
α
B
a)
b)
c)
d)
e)
Os valores do ângulo de incidência (i) e do ângulo de refração
(r), são respectivamente iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
53º e 37º
53º e 53º
37º e 37º
53º e 43º
43º e 53º
60º
D
o
55
o
65
o
70
o
80
o
85
C
40º
E
19. (UPE) No retângulo ABCD, figura
abaixo, E é o ponto
médio do lado BC, e F é o ponto médio do lado CD. A
interseção de DE com FB é G. O ângulo EAF mede 20º.
Quanto mede o ângulo EGB ?
16. Na figura abaixo considere AB ≅ AC ≅ CD e AC bissetriz
do ângulo BÂD determine a medida do ângulo α
A
a) 32°
b) 25°
c) 15°
d) 30°
e) 20°
20. Da figura abaixo sabe-se que:
Ø r//s
Ø AM ≅ AP
Ø BM ≅ BQ
s
α
r
P
D
C
B
Q
α
a) 30º
b) 36º
c) 40º
d) 45º
e) 60º
A
M
B
Então, α vale:
17. Observe a figura
A
70º
65º
E
70º
55º
B
C
D
Com base nos dados dessa figura, pode-se afirmar que o
maior segmento é:
a)
b)
c)
d)
e)
AB
AE
EC
BC
ED
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15. Congruência de ângulos
r
Dois ângulos são congruentes se, e somente se,
eles têm mesma medida.
21. Na figura a seguir determine o ângulo que é oposto
A ao lado
de menor comprimento.
A
D
QUESTÕES
CONTEXTUALIZADAS
DE GEOMETRIA PLANA
E
B
O
24. As lentes são formadas por materiais transparentes (meio
refringente) de tal forma que pelo menos uma das superfícies
por onde passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana.
B
Nas lentes esféricas,
uma das super- fícies, ou ambas, são
F
cortes de uma esfera e, consequentemente, caracterizadas por
C
um raio de curvatura.
Observação
As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua
duas Quando
retas r e s s
construção, como lentes convergen- tesQuando
e divergentes.
Simbolicamente:
ângulos
adjacentes
con
a lente está no ar ou em qualquer minam
meio menos
refringente
que
^
^
^o seu material, as lentes
^
convergentes
sãoper
mais
grosna
madas
pen
dicusas
lares.
ABC ≅ DEF ⇔ med (ABC)
med que
(DEF)
parte =central
nas bordas. O contrário ocorre nas
bolica
mente:
r ⊥ s.
divergentes, que são delgadas no seuSim
centro
e mais
grossas
nas extremidades. Exemplos de lentes convergentes são lupas
e lentes para corrigir hipermetropia. Lentes diver- gentes são
encontradas em olho-mágico de portas e em óculos para
22. (UFPE) Na ilustração abaixo, os segmentos DC, DE, EA
correções da miopia. Outra classificação é feita em termos da
o
têm mesma medida. O ângulo CDB mede 23 . Qual a soma
geometria da lente. Caso as duas superfícies sejam côncavas,
dos dígitos da medida em minutos do ângulo EAD?
a lente é chamada bicôncava. Se as duas superfícies são
Das seis figuras
e outra
tem-se umaSendo
lente plano! As
por materiais
convexas,plana
tem-se
umaconvexa,
lente biconvexa.
uma superfície
A
D lentes são formadas
B
lentes,e a quanti
convexa
e
assim
por
diante.
o
transparentes 23
(meio
refringente) de talplana
formae outra convexa, tem-se uma lente plano- convexa
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br é:
assim
por
diante.
que
pelo
menos
uma
das
superfícies
por
onde
E
1
b) 2
passa a luz (ao entrar ou sair da lente)Existem
não é seis tipos de lentes, que são representadasa)pelas
Existem seis tipos de lentes, que são represen- Resolução
plana. Nas lentes esféricas,
uma das figuras
super- a seguir.
C
fícies, ou ambas, são cortes de uma esfera e,
consequentemente, caracterizadas por um raio
de curvatura.
As lentes
ser classificadas,
de acordo
23. (UFPE) Determine a medida em
graus podem
do ângulo
α na
com sua construção, como lentes convergenilustração a seguir.
tes e divergentes. Quando a lente está no ar ou
em qualquer meio menos refringente que o seu
121°
material, as lentes convergentes são mais grossas na parte central que nas bordas. O contrário
ocorre nas divergentes, que são delgadas no
seu centro e mais grossas nas extremidades.
α de lentes convergentes são lupas e
Exemplos
lentes para corrigir hipermetropia. Lentes diver123°
gentes são encon
tradas em olho-mágico de
portas e em óculos para correções da miopia.
Outra classificação é feita em termos da
geometria da lente. Caso as duas superfícies
sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava.
Se as duas superfícies são convexas, tem-se
uma lente biconvexa. Sendo uma superfície
122°
44
MATEMÁTICA
tadas pelas figuras a seguir.
Somente as du
não convexas.
Resposta: D
"
Quando f
intuitivamente
mesmo tamanh
executando-se
se “encaixam”
outras. Observ
está sendo usad
já que os conj
cada uma das fi
mais precisa
expressão "figu
Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a
quantidade de regiões não convexas é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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total de 24 horas. Por isso, se você observar o a) 80°
b) 82°
c) 84°
céu todas as noites, sempre à mesma hora,
d) 86°
e) 88°
notará que seu aspecto irá modificando-se. AlResolução
gumas estrelas e constelações deixam de ser
visíveis, enquanto outras vão surgindo no
I)
3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
^
horizonte no lado Leste. E se voltar a observar II) CDB
= 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
o céu daqui a três meses, verá que tal mo^
III) ADC = 2 . 44°26.
= 88°Uma folha retangular de papel ofício de medidas 287 x
24. Nas regiões
próximas
à linha
do Ao
Equador,
dificação será
bem mais
sensível.
término todas as
estrelas nascem
e
se
põem
quatro
minutos
mais
cedo,
a
cada
210
mm foi dobrada conforme a figura.
Resposta: E
de seis meses, você poderá verificar que todas
dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará
as constelações visíveis serão diferentes, pois
um total de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as
Castelos e palácios eram residências
você estará vendo o outro lado do céu
noites, sempre à mesma hora, notará que seu aspecto irá
majestosas para nobres e reis, mas apenas
estrelado,
que
era
invisível
em
virtude
da
luz
modificando-se. Algumas estrelas e constelações deixam de
castelos
ser visíveis,solar.
enquanto outras vão surgindo no horizonte no
lado tinham muros altos, torres e fossos.
Embora
residênLeste. E se voltar a observar o céu daqui a três meses, verá os palácios fossem grandes
^
^
e pudessem Os
ter muros
ao X
seueredor,
não
Ronaldo
de FreitasAo
Mourão.
que tal modificação será
bemRogério
mais sensível.
término cias
de seis
ângulos
da dobradura medem,
Y resultantes
tinham muros altos de proteção e não eram
de Ouro
do Universo
6a. Ed. Ediouro
meses, vocêO Livro
poderá
verificar
que ,todas
as constelações
respectivamente, em graus
projetados
Publicações
visíveis serão diferentes, pois você estará
vendoS/A
o outro
lado para finalidades militares.
Durante um ataque a um castelo medieval, os
do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.
O fosso – um grande
a) 40 dique
e 90. ou trincheira ao sentinelas
b) 40
e 140. a ponte levadiça, até que
ergueram
redor do muro externo
c) 45 e do
45. castelo – era a ela formasse
d) 45 um
e 135.
ângulo α com a horizontal. Se
A
primeira linha de defesa.
poderia ser cheio a medida do ângulo α é a metade da medida do
d) 35 eEle
145.
de água ou seco (um fosso seco poderia ser
seu suplemento, então, o complemento de α
B
forrado com estacas
de madeira).
27.pontiagudas
Três cidades
A, B e C situam-se
ao longo de uma estrada
vale:
Normalmente, havia
uma
elevadiça
reta;
B ponte
situa-se
entre que
A e C e a distância de B a C é igual a
30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
dois quando
terços da
de Aa)a B.
Um encontro foi marcado por
permanecia erguida
o distância
castelo era
C
3 moradores,
um de locais
cada cidade,
em um ponto P da estrada,
atacado. Vários fossos
eram também
Resolução
D
AMAT_prof 2011 15/09/10 10:08 Página 51
localizado
as cidades
para depósito de lixo
e detritos.entre
A existência
de B e C e à distância de 210 km de
180° – α
A.do
Sabendo-se
que
P está
próximo
de=C180°
do que
um fosso dependia
terreno – nem
todos
os 20α km
= mais
⇒ 3α
⇒ αde
= 60°
–––––––––
a distância
2 de B deverá percorrer
castelos tinhamB, determinar
fossos. Alguns
eramque o morador
até
ponto
de encontro.
construídos no alto
deouma
rocha
e não preciLogo, o complemento de α é 30°.
savam deles. Os castelos de Edinburgo e de
Na figura acima,
o
astrônomo
observou
que
as
estrelas
A,
B
e
Na figura acima, o astrônomo observou que as Stirling na Escócia,a)por exemplo,
60 km estão no alto Resposta: A
"
C estão posicionadas de tal modo que BD é bissetriz do ângulo
ADC. Se ADB = 3x–10°e
CDB = 2x+8°, então a
medida do ângulo ADC é:
b)
65 km
c)
66 km
d)
68 km
360°
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
a) 80°
b) 82° calcular ac) 84°
km ⇔72 km
–
Para
x = ––––– . 800 km ⇔ x = 50 . 800 e)
gina 48! (UNICAMP)
7,2°
circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes
a) 140°
160°
c) 180°
28. Na pista
de kart dab)figura
seguinte,
temos:AB paralelo a
→
d) da
86°distância conhecida
e) 88° de 800 km
valeu-se
! Calcular
"d)(ESCOLA
TÉCNICA
FEDERAL-RJ)
– As
medidas
x na figura, sabendo-se
DE e também
paralelo
a
FG.
Assim,
a
soma das
medidas
dosdo com⇔ x = 40 000 que
km OC é bissetriz do
200°
e) 220°
^
entre as localidades de Alexandria
e Siena no
ângulos
x
e
y
vale:
plemento,
do
suplemento
e
do
replemento
de
um
ângulo de
Resposta:
40
000
km
25. Castelos
e palácios
eram residências majestosas para
ângulo
AOB.
Egito (A e S, respectivamente), situadas no
B
nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres
A
40° são, respectivamente, iguais a
mesmo
terrestre.
sabia que,
estrelas A, meridiano
B e C estão posicionadas
de tal deEle
uma encosta rochosa. Vários castelos
60º
e fossos.
Embora
os palácios
fossem grandes residên- cias e
quador,
modo que BD é bissetriz do ângulo ADC. Se alemães ao longo do Rio Reno foram consa) 30°, 60° e 90°
b)135º
30°, 45° e 60°
quando
em Siena os raiostruídos
solares
caíam
quatro
"
Nelson
Piquet,
três
vezes
campeão
do
nas
áreas
mon
tanhosas
do
vale.
pudessem
ter
muros
ao
seu
redor,
não
tinham
muros
altos
de
ssa. Ao ADB = 3x – 10° e CDB = 2x + 8°, então, a
y
105º C
www.spectrumgothic.com.br
vertical
mente,
Alexandria
eles
faziam
um
I
medida do
ângulo ADCem
é:
ará um
mundo,
se
tornará
um
dos
donos
da
equipe
c) 320°, 50° e 140°
d) 50°, 140° e 320°
proteção e não eram projetados para finalidades militares.
—
^
^
^
^
servar o
a hora,
o-se. Alde ser
ndo no
bservar
tal moérmino
e todas
es, pois
do céu
da luz
a) 80° de b)7,2°
82°
c) 84° a vertical. Calcule, com
ângulo
com
d) 86°
e) 88°
esses
dados, a circunferência terrestre, isto é,
Resolução
I)
3x – 10° = 2x + 8° ⇒ de
x = 18°uma volta completa em
o comprimento
^
II) CDB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
torno
da
Terra.
^
III) ADC = 2 . 44° = 88°
H
50º
BMW, em 2010, junto com o suíço Petere) 140°,
x
50° e 320°
E
Sauber – proprietário hoje de cerca de 20% da
D
150º
organização. Assim, o futuro de Nelsinho
RESOLUÇÃO:
F
G
Piquet estará praticamente assegurado na
1) complemento: 90° – 40° = 50°
Resposta: E
Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP da
2)o suplemento: 180° – 40° = 140°
" Castelos e palácios eram residências
Europa, no dia 23, em Valência, pela a)
Renault,
C1_2AMAT_prof
2011 15/09/10
52
140
Resolução
3)o replemento:
360°10:08
– 40°Página
= 320°
majestosas para nobres e reis, mas apenas
mas
no
ano
que
vem
sua
vaga
estaria
b)
160
raios
castelos tinham muros altos, torres e fossos.
Resposta:
D
7,2º
RESOLUÇÃO:
o
Embora os palácios fossem
A grandes residênB
A
c)
180
solares
reservada no Mundial.
Mourão. cias e pudessem ter muros ao seu redor, não
o
60º
tinham
muros
altos
de
proteção
e
não
eram
Ediouro
3x – 20° = x + 11°
d)
200
Quando
escreveu
no
twitter
que
poderia
“quem
135º
ões S/A projetados para finalidades militares.
o
y
Durantedique
um ataque aou
um castelo
medieval, os ao redor do muro
45º
fosso
– ouum
grande
trincheira
60º
e) dias,
220
O fossoO
– um
grande dique
trincheira
ao sentinelas
sabe
ergueram a ponte levadiça,
até quecorrer no seu próprio time”, há dois
C
I) x + 135° =
2xkm
=– 31°
800
redor do muro externo do
castelo
era a ela formasse um ângulo α com a horizontal. Se
!
Antônio
Carlos
levou
seu filho Fernando Antônio
para fazer
I
externo
do
castelo
–
era
a
primeira
linha
de
defesa.
Ele
poderia
60º
20º
primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio
S a medida do ângulo α é a metade da medida
20º
e depois
disse que estava “brincando”, na
do
II) x +y + 70
H no “Rio do Peixe” cujas margens são
passeio
No para
de águaser
ou seco
(um fossode
seco
poderia
ser ou
x =água
15,5°,
ou
seja,(um
cheio
seco
105º
x paralelas.
seuseco
suplemento,
então, fosso
o complemento
de α poderia ser forrado
29. um
Antônio
Carlos
Fernando
Antônio
B
30º levou seu filho
realidade
Nelsinho falou a verdade. Nelson,
seu
forrado com estacas pontiagudas de madeira). vale:
E
Resposta: C
comhaviaestacas
pontiagudas de madeira). Normalmente, havia
local
eles foram,
havia uma
que cujas
ligava
margem
Normalmente,
uma ponte elevadiça
D a margens
umaonde
passeio
no “Rio
do ponte
Peixe”
são
x = 15°que
30’a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° pai,
e) 70°
50º
tenta dar sequência ao que semprefazer
fez com
permanecia erguida quando o castelo era
150º
C
uma
ponte
elevadiça
que
permanecia
erguida
quando
o
castelo
r com No
um ilha
B ehavia
uma outra
paralelas.
locallocalizada
aonde pelo
elesponto
foram,
uma ponte
ponte que
atacado. Vários fossos eram também locais Resolução
o filho: competir em sua escuderia. Foi assim
para depósito
lixo e detritos. A existência
de
F
eradeatacado.
Vários
fossos
G Cilha
180° – α eram também locais para depósito
ligava
a margem
r com
um
localizada
ligando
a ilha com
o ponto
na outra
margem,pelo
comoponto
mostraBa e uma
um fosso dependia do terreno – nem todos os α = ––––––––– ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
no kart,
na Fórmula
3, na GP2 – Nelsinho
lixofossos.
e detritos.
A existência
de um fosso
dependia
do terreno
2
castelosde
tinham
Alguns eram
MATEMÁTICA
outrafigura
ponte
ligando
a ângulo
ilha com
ponto
C na forma
outracom
margem,
seguinte.
Se o
agudoo que
a margem
construídos no alto de uma rocha e não preciobteve
sucesso
– e provavelmente será
Logo,
o complemento tinham
de α é 30°. sempre
— mostra a figura
–
nem
todos
os
castelos
fossos.
Alguns
eram
^
comoAB
seguinte.
Se
o ângulo
agudo
que a
savam deles. Os castelos de Edinburgo e de
mede
18°
e
A
BC
=
92°,
então,
a
medida
do
ângulo
obtuso
que as Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto Resposta: A
agora
também nadeles.
Fórmula
1.
Assim,com
x + 60°
180° ⇒18°
construídos no alto de uma rocha e não
precisavam
Os
— e ABC = 92°, então, a
margem forma
AB= mede
BC
é:
que
a
margem
s
forma
com
a
ponte
Resolução
castelos de Edinburgo e de Stirling na Escócia,
por exemplo,
medida do ⇒
ângulo
obtuso
que+a20°
margem
forma com a ponte
x = 120°,
y = 60°
= 80° e,sportanto,
O Estado
de São Paulo – 03/08/2009
Seja x estão
o comprimento
da rochosa. Vários castelos
104°
c) 106°
d) 108°
e) 110°
no alto da
de circunferência
uma encosta
BC é:a)—102°x + y b)
=
120°
+
80°
=
200°
Terra. alemães ao longo do Rio Reno foramNa
pistatruídos
de kart nas
da figura
seguinte, temos: AB
consáreas
→
—
—
(ESCOLA TÉCNICA
FEDERAL-RJ) – As medidas do com-se que
é bissetriz
do
DeOCacordo
com
o"
enunciado,
tem-se:
montanhosas
do vale.
paralelo a DE e também paralelo a FG. Assim, a Resposta: D
48
plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de
Durante um
ataque
a umiguais
castelo
medieval, os sentinelas
40° são,
respectivamente,
a
60° e 90°levadiça,
b) até
30°, 45°
e 60° ela formasse um ângulo α
erguerama)a30°,ponte
que
c) 320°, 50° e 140°
d) 50°, 140° e 320°
com a horizontal.
Se a medida
do ângulo α é a metade da
e) 140°, 50° e 320°
medida do seu suplemento, então, o complemento de α vale:
RESOLUÇÃO:
1) complemento: 90° – 40° = 50°
2) suplemento: 180° – 40° = 140°
3) replemento: 360° – 40° = 320°
Resposta: D
a) 30°
Nos exercícios
!e
d) 60°
o com:
a) 20°
b) 25°
!
b) 40°
c) 50°
"e), determinar
o valor de x, associando70°
c) 40°
d) 50°
e) 80°
#
"
a) 102°
c) 106°
RESOLUÇÃO:
e) 110°
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(UFPE)
b) 104°
d) 108°
5
As medidas
nto
!
(ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um
^
encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz do ângulo A SC
—
^
^
encontra o lado AC. Se ABC = 62° e ACB = 34°, então, a medida do
triângulo
ABC
(figurade
1). papel
Esta folha
é dobrada em
de AD, de
modo
30.
Uma
folha
determina
umtorno
triângulo
ABC
(figura
a)
10º
^
^
ângulo STCb)
é:
1).
Esta
folha
é
dobrada
em
torno
de
AD,
de
modo
que
o
lado
20º
que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e
AB^ fique contido no lado AC (figura 2), DAC = 49° e ABD = a) 94°
c) b) 30º
95°
ABD = 60°.
60°.
d)
40º
e)
50º
A
c) 96°
Túnel Ayr
(figura 1)
B
e) 98°
ton Sen
n
a
33. O símbolo internacional
de acesso, mostrado na figura,
anuncia local acessível para o portador de necessidades
especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados
elementos gráficos geométricos elementares.
A
C
D
d) 97°
Praça das
Esculturas
A
(figura 2)
B
C
B
C
D
A medida do ângulo^ BCD é:
A medida do ângulo BCD é:
Os elementos geométricos que constituem os contornos das
o
b) 21°
c) 20°
d) 19°
e) 18°
Resolução partes claras da figura são
a)a) 22°
22
o
a) retas e círculos.
b)Resolução
21
o
b) retasTúenecircunferências.
l Ayrton S
c)
20
A
enna
o
$ Pedro
c) arcos de circunferências
e retas.
d)
19 Afonso pretendia fazer um bumerangue como o que
o na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e
d)
coroas
circulares
e segmentos de retas.
aparece
e)
18
49º
B
49º
e) arcos de circunferências e segmentos de retas.
acabou fazendo
seu bumerangue
com o formato da figura 2.
60º
31.
Pedro
Afonso
pretendia
fazer
um
bumerangue
como
o
Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas
34. RotasA aéreas são como pontes que ligam cidades,
que aparece
60º na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro
figuras é:
estados ou países. O mapa aPraça
seguir
C
e acabou
fazendo Dseu bumerangue com o formato
da figura 2.
das mostra os estados
B’
a) 235° a soma
b) 240°
c) 245°
d) 250° α e e)
255°
Esculturascapitais identificadas
brasileiros e 42º
a localização de algumas
Assim,
das medidas
dos
ângulos
β assinalados
—
^
^
I) AD é bissetriz do ângulo B’AC ⇒ B’AD = 49°
42º
pelos números.
Considere
nas
figuras é:
T que a direção seguida por um avião
II) No triângulo AB’C, temos:
AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no
^
^
Pará, seja um 52º
segmento de reta com extremidades em DF e
BCD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ BCD = 22°
em 4.62º
Resposta: A
52º
"
B
Arthur pretende encontrar um tesouro que está escondido no
34º
S
C
Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu mapa, ele primeiro
deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B e C que aparecem
na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o ponto S onde a bissetriz
^
—
do ângulo BAC encontra o lado BC do triângulo ABC. Finalmente, ele
a) 235°
RESOLUÇÃO:
b) 240°
c) 245°
d) 250°
e)!
255°
Demonstre que a soma das medidas dos ângulos internos
de um triângulo é igual a 180°.
32. Cada estrutura lateral de uma torre metálica, em forma
RESOLUÇÃO:
de
uma pirâmide regular de base quadrada, consiste
de um
—
Sejam α, βisósceles
e γ os ângulos
internos
do ∆ABC.
r // BC,
temos:
triângulo
ABC,
de base
BC,Traçando
conforme
representado
na figura adiante. Para minimizar o número de peças de
tamanhos distintos na fabricação da torre, as barras metálicas
BC, CD, DE, EF e FA têm comprimentos iguais. Assinale a
medida do ângulo BÂC.
I) α = 90° + 30° = 120°
II)54
β = 80° + 35°
= 115°
MATEMÁTICA
Logo, α + β = 120° + 115°= 235°
Resposta: A
^
^
Assim, STC + 52° + 34° = 180° ⇒ STC = 94°
Resposta: A
α + b + c = 180°
β = b (alternos internos)
γ = c (alternos internos)
!
⇒ α + β + γ = 180°
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
o
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus
no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
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6
35. Durante uma prova de rally aquático num rio de margens
paralelas o piloto da lancha seguiu as instruções do navegador
para deslocamento entre dois pontos A e B situados em
margens opostas deste rio que orientava:
a)
b)
c)
d)
e)
o
67 30’
o
37 30’
o
27 30’
o
17 30’
o
12 30’
o
Partir do ponto A sob um ângulo de 10 na direção oeste;
o
Após 1km de navegação mudar a direção em 20 no
sentido anti-horário;
o
Após mais 1km de navegação mudar a direção em 30 no
sentido anti-horário;
Seguir por mais 1 km para atingir o ponto B.
Gabaritos
01. D
02. C
03.
a)
b)
c)
d)
c)
Determine a medida x, em graus, do ângulo que a trajetória da
lancha fez ao com a direção leste ao atingir o ponto B.
o
a)
10
o
b)
30
o
c)
45
o
d)
50
o
e)
60
36. Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é
composta pela seguinte estrutura:
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE
e AD, que possuem comprimentos diferentes e formam o
ângulo DÂE igual a 45°;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as
duas varas e possui uma marca em seu ponto médio M;
- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na
outra extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura:
°
x = 15
°
x = 50 ;
°
y =110 ;
°
z = 70
°
x = 38
04. A
05. D
06. E
07. D
08. A
09. A
10. E
11. E
12. A
13. C
14. D
15. A
16. B
17. A
18. A
19. E
20. 90
21. 58
22. 10
23. 06
24. D
25. E
26. A
27. D
28. A
29. D
30. C
31. A
32. a
33. b
34. E
35. B
36. E
37. D
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na
posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os
pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85°.
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