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I OLIMPÍADA MASSARANDUBENSE DE
MATEMÁTICA
SOLUÇÕES DA PROVA DE SEGUNDA FASE DA OMM - NÍVEL 1
1.
A) Para encontrarmos quanto ela gastará, primeiro iremos calcular quanto ela gasta com cada
fruta:
Maçã: cada quilograma custa R$ 3,00 como ela comprou 4 quilogramas, ela gastou 3 × 4 =
𝑅$ 12,00.
Pêssego: cada quilograma custa R$ 3,50 como ela comprou 3 quilogramas, ela gastou
3,50 × 3 = 𝑅$ 10,50.
Uva: cada quilograma custa R$ 5,00 como ela comprou 2 quilogramas, ela gastou 5 × 2 =
𝑅$ 10,00.
Então, no total ela gastou: 12 + 10,5 + 10 = 𝑅$ 32,50.
B) Considerando que ele comprou a maior quantidade de quilogramas de maçãs com R$ 28,00
de modo que com o dinheiro restante ele comprasse pelo menos mais um quilograma de outra
fruta, e não tivesse troco. Caso João tivesse pego 9 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 27,00, e
com o restante (R$ 1,00) não conseguiria comprar nenhum quilograma de outra fruta. Se João
tivesse pego 8 quilogramas de maçãs, gastaria R$ 24,00, sobrando R$ 4,00, podendo pegar um
quilograma de pêssego, mas ainda sobraria R$ 0,50. Assim João pegou 7 quilogramas de maçãs,
gastando R$ 21,00, com o restante (R$ 7,00) comprou 2 quilogramas de pêssegos, desta forma
não sobrou troco, satisfazendo as condições do problema.
C) Para saber em qual mercado vale mais a pena comprar, devemos calcular o gasto em cada
mercado e comparar eles.
No Ponto Econômico:
Maçã: cada quilograma custa R$ 3,00, como João quer comprar 5 quilogramas de maçãs, ele
gastaria 3 × 5 = 𝑅$ 15,00.
Pêssego: cada quilograma custa R$ 3,50, como João quer comprar 3 quilogramas de pêssegos,
ele gastaria 3,50 × 3 = 𝑅$ 10,50.
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Uva: cada quilograma custa R$ 5,00, como João quer comprar 10 quilogramas de uvas, ele
gastaria 5 × 10 = 𝑅$ 50,00.
Então, no Ponto Econômico ele gastaria, no total, 15 + 10,5 + 50 = 𝑅$ 75,50.
No Promoshow:
Maçã: cada quilograma custa R$ 3,50, como João quer comprar 5 quilogramas de maçãs, ele
gastaria 3,5 × 5 = 𝑅$ 17,50.
Pêssego: cada quilograma custa R$ 4,00, como João quer comprar 3 quilogramas de pêssegos,
ele gastaria 4 × 3 = 𝑅$ 12,00.
Uva: cada quilograma custa R$ 4,50, como João quer comprar 10 quilogramas de uvas, ele
gastaria 4,5 × 10 = 𝑅$ 45,00.
Então, no Promoshow ele gastaria, no total, 17,5 + 12 + 45 = 𝑅$ 74,50.
Assim, vale mais a pena ele comprar no Promoshow, pois gastará um real a menos.
D) Consideramos a quantidade de quilogramas de uvas, pêssegos e maçãs, de 𝑢, 𝑝 e 𝑚,
respectivamente. Como a quantidade de quilogramas de pêssegos é a quantidade de
quilogramas de uvas menos um, podemos dizer que 𝑝 = 𝑢 − 1. Tendo que a soma da
quantidade quilogramas de uvas e pêssegos é 7, temos:
𝑢+𝑝=7
𝑢+𝑢−1=7
2𝑢 = 8
𝑢=4
Assim ele comprou 4 quilogramas de uvas e 3 quilogramas de pêssegos. Para encontrar a
quantidade de quilogramas de maçãs, podemos escrever a seguinte expressão com o preço de
cada quilograma de cada fruta, e sabendo também que Felício gastou 37 reais:
37 = 4,5 × 𝑢 + 4 × 𝑝 + 3,5 × 𝑚
Aplicando os valores encontrados de u e p:
37 = 4,5 × 4 + 4 × 3 + 3,5 × 𝑚
37 = 18 + 12 + 3,5 × 𝑚
7 = 3,5 × 𝑚
𝑚=2
Portanto, Felício comprou 2 quilogramas de maçãs.
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2.
A) Como a folha original tem área igual a 64 cm², após a primeira dobra o triângulo resultante
possui área igual a 32 cm². Este triângulo pode ser dividido em 4 triângulos menores de área
igual a 8 cm². Facilmente, notamos que a área dos dois triângulos cinza somadas é igual a área
de um desses triângulos, logo a região cinza possui área igual a 8 cm².
B) Note que a folha original é composta por 32 triângulos iguais aqueles que temos no topo do
diamante. A partir disso, a área de cada triângulo é
256
32
= 8 𝑐𝑚². Agora devemos notar que o
diamante é formado por 7 triângulos. Portanto, a área do diamante é igual a 7 × 8 = 56 𝑐𝑚².
C) Como a folha original é composta por 64 triângulos iguais aqueles que temos no topo da
vela. A partir disso, a área de cada triângulo é
256
32
= 8𝑐𝑚². Logo a área da região cinza é igual a
8cm².
3.
A) O número 10002 não faz parte da lista de Paulo, pois 1 + 0 + 0 + 0 = 1, o quadrado de 1 é 1,
e não 2. Logo o último algarismo não é igual ao quadrado da soma dos demais, portanto esse
número não está na lista de Paulo.
B) Na lista de Paulo estarão contidos os seguintes números de 4 algarismos, nesta listagem,
perceba que a soma dos três primeiros algarismos deve ser no máximo 3, pois se for 4 o
quadrado é 16, que não é um algarismo.
1001
1014
1104
1029
1209
2004
2019
2109
3009
Assim, existem 9 números de 4 algarismos na lista de Paulo.
C) O maior número da lista de Paulo que não possui algarismos repetidos será aquele que o
último algarismo é o maior possível, ou seja, 9, e a soma dos três algarismos seja 3, composta
de maneira a utilizar 3 algarismos diferentes, eles estejam disposto do maior para o menor.
Portanto, o maior número da lista de Paulo que não possui algarismos repetidos é 2109.
D) Não, pois a lista é infinita, basta adicionar infinitos zeros em um dos números já listados que
sua soma não será alterada, simplesmente aumentaremos sua ordem.
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4.
A) O mapa 3 está apresentado abaixo:
20
22
21
27
26
19
23
24
25
B) Percebe-se que cada mapa é constituído por 9 números, assim para encontrar os números
dispostos no mapa 157, devo encontrar o produto de 157 × 9 = 1413. Este é o último número
do
mapa,
desta
forma
juntamente
com
ele,
estão
os
números
1412, 1411, 1410, 1409, 1408, 1407, 1406, 1405.
C) Para encontrar o número do mapa, basta dividir o último número do mapa, pela quantidade
de números que temos em cada mapa, que é 9. Fazendo isso, encontraremos o número 224 que
é o último mapa de Altamir.
5.
A) Sim, é possível, considerando que o primeiro é de VERDADÓ, todos os demais serão, assim
não existirá nenhum habitante de MENTIROLÂNDIA na fila.
B) Podemos considerar duas possibilidades: Alfredo é de VERDADÓ ou Alfredo é de
MENTIROLÂNDIA.
Caso Alfredo seja de VERDADÓ, então o que ele diz é verdade, logo foi Bentinho que acionou a
campainha. Bentinho é de MENTIROLÂNDIA, já que falou que não foi ele que acionou. Camilo
também é de MENTIROLÂNDIA pois diz que Alfredo mentiu, porém ele é de VERDADÓ. Perceba
que considerando que Alfredo é de VERDADÓ temos 2 habitantes de MENTIROLÂNDIA. Não
satisfazendo o problema.
Caso Alfredo seja de MENTIROLÂNDIA, então o que ele diz é mentira, logo não foi Bentinho que
acionou a campainha. Bentinho, pelo fato anterior, é de VERDADÓ, pois ele realmente não
acionou a campainha. Já Camilo também é de VERDADÓ pois diz que Alfredo mentiu, que está
correto, já que consideramos isso no início deste caso. Perceba que considerando que Alfredo é
de MENTIROLÂNDIA, satisfazemos o problema, já que somente ele é de MENTIROLÂNDIA e
outros dois são de VERDADÓ.
Assim, dentre os 3, o habitante de MENTIROLÂNDIA é Alfredo.
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C) Partindo de que A fala a verdade, temos que B e C são de MENTIROLÂNDIA. Desta forma, o
que C fala sobre D (que é sua vizinha tirando A) é falso, sendo assim D é de VERDADÓ e por
consequência E é de MENTIROLÂNDIA. Logo na roda temos 3 pessoas de MENTIROLÂNDIA (B,
C e E).
6.
A) Para a primeira bolinha a ser pintada temos 3 cores disponíveis. Para a segunda bolinha,
considerando que bolinhas ligadas por um segmento devem ter cores diferentes, temos 2 cores
disponíveis (exclui-se a utilizada anteriormente). Para a terceira bolinha temos 1 cor
disponível (exclui-se as duas utilizadas anteriormente). Aplicando o PFC (Princípio
Fundamental da Contagem) temos: 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. Portanto, ele pode pintar o mapa de 6
maneiras diferentes.
B) Perceba que essa bolinha adicionada deve ter uma cor diferente das duas a qual ela está
ligada, assim temos um cor disponível para colori-la. Portanto, o número de maneiras de
colorir esse mapa é igual a 6 ⋅ 1 = 6.
C) A região central existem 6 maneiras de colorir. Cada grupo de duas bolinhas adicionada a
região central, existem 2 maneiras de colorir, pois essas duas bolinhas deve ser de cores
diferentes daquelas que ela está ligada na região central. Aplicando o PFC, temos:
⏟
6
𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙
⋅ ⏟
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 96 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
𝑟𝑒𝑔𝑖õ𝑒𝑠 𝑣𝑖𝑧𝑖𝑛ℎ𝑎𝑠
Portanto temos 96 maneiras de colorir esse mapa.
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