Não comutatividade no espaçotempo: algumas propostas
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Não comutatividade no espaçotempo: algumas propostas alternativas Alysson Fábio Ferrari III Oficina Nacional de Teoria de Campos! ! 22 a 24 de Novembro de 2013 - Brasília, DF Histórico ✤ Já na década de 1940, a NC do espaçotempo surgiu como uma proposta para regularizar as divergências da TQC. Inicialmente devida a Heisemberg, a idéia chegou a Snyder que publicou dois trabalhos sobre o tema.! ✤ Snyder tomou todo o cuidado de preservar a invariância relativística: discretização não implica necessariamente em violação de Lorentz! Histórico ✤ O programa de renormalização mostrou-se uma abordagem mais conservadora, e de enorme sucesso na descrição das interações fundamentais, o que levou até o Modelo Padrão das partículas elementares.! ✤ A motivação para modificar a estrutura do espaçotempo em determinadas escalas foi cada vez mais apoiada no problema da quantização da gravitação. Gravitação “Geometria! Quantizada”? Geometria Relatividade! Geral Quantização Histórico ✤ A grande questão: qual a estrutura do espaçotempo na escala de Planck? ✤ O fato da gravitação ser descrita pela própria geometria torna difícil conceber que a gravidade possa tornar-se quântica, sem mudar radicalmente a geometria do espaçotempo. ! ✤ Isso poderia ser concebível na aproximação de campo fraco (Minkowski + campo de spin 2), mas aí obtemos uma teoria não renormalizável. Histórico ✤ Um vínculo muito forte: a simetria de Lorentz. (Kostelecky et al, arXiv: 0801:02873). Histórico ✤ Na década de 1990, Alain Connes desenvolve sua geometria não comutativa.! ✤ Além do interesse matemático em si (conceito mais geral de geometria), uma motivação seria descrever uma estrutura mais fundamental para o espaçotempo.! ✤ Chega a formular (ao menos classicamente) um modelo padrão não comutativo. 01 Histórico ✤ Doplicher, et al (1995): argumentos semiclássicos de gravitação sugerem a existência de um limite na localização de eventos no espaçotempo: ✤ Poderiam ser entendidas como as “relações de incerteza” oriundas de uma não comutatividade entre coordenadas: ✤ Simetria de Lorentz é preservada por essa construção. Histórico ✤ κ-Poincaré: deformação da álgebra de Poincaré, incluindo um parâmetro com dimensão de energia κ, tal que o limite κ → ∞ retorna a álgebra de Lorentz usual (Kosinski, Lukierski et al).! ✤ Está relacionado com um espaçotempo não comutativo, denominado κ-Minkowski.! ! ✤ Esta deformação surge da gravitação quântica em (2+1)D (Freidel, Kowalski-Glikman, Smolin), e pode estar relacionada a existência da escala invariante de comprimento (Doubly Special Relativity). NC Canônica ✤ Seiberg, Witten, Douglas: não comutatividade na teoria de cordas. ✤ Parâmetro de NC é um tensor constante, que define direções preferenciais: Violação da simetria de Lorentz NC Canônica ✤ Implementação muito simples via produto Moyal: ✤ TQC implementada via integral funcional: ✤ Termos quadráticos (propagadores) não são modificados, enquanto que vértices são modificados por fatores trigonométricos (razoavelmente) simples. NC Canônica ✤ Ao longo da 1a década deste século, esse formalismo foi extensivamente estudado, numa série de modelos.! ✤ Mistura UV/IR: desafio a renormalizabilidade dos modelos bem conhecidos.! ✤ Teorias de calibre Abelianas: autointeração mesmo na teoria livre.! ✤ Teorias de calibre não Abelianas: restrições nos grupos de calibre.! ✤ Teorias supersimétricas: supersimetria não deformada, ameniza o problema UV/IR. Além da NC canônica ✤ Muitos modelos interessantes estudados, mas…! ✤ Emboras sempre existam questões em aberto, acredita-se que as propriedades fundamentais já foram todas elucidadas…! ✤ O que acontece com a quebra da simetria de Lorentz?! ✤ De um ponto de vista mais geral, a NC canônica pode ser vista como uma primeira aproximação para uma situação mais geral: Não comutatividade de spin Não comutatividade de spin (NR) ✤ Falomir, Gamboa et al, 2009: não-comutatividade em MQ não relativística envolvendo o spin. ✤ Motivação: um limite NR da álgebra de Snyder.! ✤ Aplicação: conexão com condensação de Bose-Einstein de átomos de Cromo. Não comutatividade de spin (R) ✤ Gomes, Kupryianov & da Silva (2010): o mesmo tipo de nãocomutatividade é obtida a partir da quantização de um sistema clássico (Berezin-Marinov)! ✤ Generalização Relativística: ✤ Não comutatividade: ✤ Equação de Dirac: Não comutatividade de spin (R) ✤ Envolve apenas objetos covariantes (θ é um escalar), e por isso essa construção preserva a simetria de Lorentz. ✤ Nesta construção, o operador x tem uma estrutura não trivial no espaço de spin. Em, particular, x não é Hermiteano, mas satisfaz: ✤ Como interpretar x neste caso? ✤ Por outro lado: x e γ não-comutam, então temos um problema de ordenamento no termo γ A(x).! ✤ Única possibilidade consistente: ordenamento simétrico, ✤ Em termos do “produto” estrela: ✤ ✤ ✤ Explicitamente: Derivadas temporais de altas ordens! Será possível definir uma dinâmica Hamiltoniana unitária? Primeiro resultado: podemos definir uma corrente elétrica ( ∼ densidade de probabilidade do elétron) conservada nesta teoria. ✤ Isso é fácil de ver em primeira ordem em θ. ! ✤ A equação de Dirac proposta é derivada da seguinte ação: ✤ Em O(θ), não há derivadas superiores, e o teorema de Noether pode ser aplicado diretamente. ✤ ✤ Com um pouco de trabalho algébrico, contudo, é possível provar a existência da corrente conservada em qualquer ordem de θ. A corrente conservada depende do potencial elétrico. (Vassilevich et al, 2011) ✤ Por fim: conseguimos definir uma dinâmica Hamiltoniana consistente? ✤ Caso particular, Problema de Landau: A = ( 0, 0, Bx , 0) Só sobra um termo com uma! derivada, de ! ordem θ ✤ Hamiltoniana Hermiteana: ✤ Teoria de Perturbação usual para calcular correções no espectro de energia:! ✤ Primeira ordem em θ: δE = 0.! ✤ Segunda ordem em θ: resultados não-triviais, quebra parcial da degenerescência.! ✤ Várias questões que não sabemos responder em geral, mas ao menos neste caso simples, tudo parece consistente. AFF et al., PLB 718 (2013) 1475.! ✤ Potenciais mais gerais? É possível definir uma TQC neste formalismo? NC de spin: potencial de Coulomb ✤ Com A. Manzoni, estamos estudando agora o problema de Coulomb. ✤ A equação de Dirac contem correções em todas as ordens de θ, e o que conseguimos fazer é truncar a série em 1a ordem: NC de spin: potencial de Coulomb ✤ Modificação da Hamiltoniana em 1a ordem: ✤ Hamiltoniana Hermiteana, correções no espectro já em 1a ordem, também levanta parcialmente a degenerescência.! ✤ Em primeira ordem de θ tudo parece OK, mas o que podemos dizer em geral? Under progress… Simetria de Lorentz Torcida 01 Simetria de Lorentz Torcida ✤ Chaichian, Balachandram (~2005): é possível “conciliar” de alguma forma a NC canônica com a simetria de Lorentz, usandose a linguagem de álgebras de Hopf, em particular, usando a ferramenta chamada de torção de Drinfeld (Drinfeld twist).! ✤ Possíveis consequências fenomenológicas: violações do princípio de Pauli? ! ! ✤ Trivialidade? Dualidade: álgebras e coálgebras ✤ Álgebras são bem conhecidas dos físicos, pois são fundamentais para entender os grupos contínuos que representam simetrias fundamentais em física.! ✤ O conceito de dualidade também é bem conhecido de qualquer estudante de MQ: dualidade entre o espaço de bras e de kets.! ✤ Dualidade para um espaço vetorial é razoavelmente simples. Para uma álgebra é um pouco mais complicado. Dualidade: álgebras e coálgebras Álgebra: operação fundamental! é o produto: ! Associatividade Coálgebra: operação fundamental! é o coproduto: ∆ Coassociatividade Dualidade: álgebras e coálgebras ✤ Do ponto de vista físico, a Álgebra é usualmente representada como operadores atuando num certo espaço de estados. Neste caso, o coproduto ensina como a Álgebra opera em estados de muitas partículas.! ✤ Por exemplo, o coproduto “usual” para o operador momento implica simplesmente na regra de Leibnitz. Não comutatividade como “Twist” ✤ O produto Moyal pode ser entendido como um produto deformado por uma torção de Drinfeld Torção de Drinfeld Não comutatividade como “Twist” ✤ Correspondentemente, deve ser feita uma mudança no coproduto, que também é deformado.! ! ✤ Ou seja, a regra de Leibnitz é modificada. Supersimetria torcida ✤ A NC canônica foi incorporada a teorias supersimétricas de forma a deixar intocada a estrutura da supersimetria, mas queremos estudar situações mais gerais. ! ✤ Com C. Palechor, estamos estudando a aplicação das torções de Drinfeld para teorias supersimétricas.! ✤ Em quatro dimensões espaçotemporais, há várias torções possíveis, que definem espaços não anticomutativos, ou seja, deformações não triviais da supersimetria devido a não comutatividade do (super)espaço. Supersimetria torcida ✤ O caso de quatro dimensões é difícil por causa da noção de quiralidade.! ✤ Por exemplo: SUSY N=1/2 de Seiberg et al:! ! ! ✤ Em três dimensões, a situação é mais simples pois não temos a noção de quiralidade, e as supercoordenadas são reais. SUSY deformada em 3D ✤ AFF et al, PRD 74 (125016) 2006: várias propostas para SUSY N=1 com deformação, em 3D. ! ✤ A questão é: como introduzir a deformação nas coordenadas fermiônicas, sem destruir a supersimetria?! ! ✤ Queremos manter a álgebra dos geradores que caracteriza SUSY.! ✤ A saída foi começar com N=2, introduzindo a deformação em um conjunto de coordenadas fermiônicas. A teoria resultante possui SUSY N=1 e “lembra" de alguma forma a simetria que foi quebrada. SUSY deformada em 3D ✤ Outra saída: geradores deformados.! ! ✤ Geradores não são operadores de 1a ordem: não respeitam Leibnitz ⇒ coproduto deformado.! ✤ O cálculo de superdiagramas, se possível, deverá ser bastante complicado por este fato.! ✤ Estamos estudando a conexão deste fato com o formalismo de torção. Under progress… Obrigado!
