Jornal da Matemática Extra Desafios APRENDE BRASIL

EXTRA
20 0 9
Assessoria de
ATEMÁTICA
Aprende Brasil
EDITORIAL
Caros colegas:
É com grande satisfação que estamos enviando, por e-mail, aos professores
das escolas conveniadas com o Sistema de Ensino Aprende Brasil, uma edição
extra do Jornal da Matemática. Nessa edição, contemplamos 20 desafios.
Esperamos ter colaborado com o trabalho em sala de aula.
Abraços e até a próxima edição do Jornal da Matemática em 2009!
Assessoria de Matemática
Anvimar Gasparello
[email protected]
Carlos Henrique Wiens
[email protected]
Isabel Lombardi
[email protected]
Paulo César Sanfelice
[email protected]
Vera Petronzelli
[email protected]
Tel.: 041-3218-1169
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DESAFIO Nº 1
Dizem que um homem pediu um milagre para Santo Antônio:
- Multiplique por dois o dinheiro que tenho que dou R$ 20,00 para obras
de caridade.
O milagre aconteceu e o homem pagou a promessa. Achou tão bom que
pediu o mesmo milagre para São João. De novo o milagre aconteceu e, outra
vez, o homem doou R$ 20,00 para as obras de caridade. Então pediu o milagre
para São Pedro. Novamente seu pedido foi atendido e ele doou R$20,00.
Mas, com muita surpresa, o homem constatou que tinha ficado sem
dinheiro.
Quantos reais o homem tinha no início da história?
RESPOSTA:
Chamando de “x” o dinheiro que o homem possuia antes do milagre de Santo Antônio e de “y” o
dinheiro com o qual ele ficou após seu patrimônio ter dobrado e ter feito a doação de R$ 20,00.
Temos então que: 2x – 20 = y
Agora “y” representa o dinheiro que o homem possuia na segunda vez e “z” o dinheiro que ele tinha
após São João ter realizado o milagre e o homem ter doado os R$ 20,00.
Temos então que: 2y – 20 = z
Agora “z” representa o dinheiro que o homem possuia na segunda vez e “w” o dinheiro que ele tinha
após São Pedro ter realizado o milagre e o homem ter doado os R$ 20,00, ou seja, R$ 0,00.
Temos então que: 2z – 20 = w
2z – 20 = 0
2z = 20
z = 10
Se z = 10, temos: 2y – 20 = 10;
2y = 30
y = 15
Se y = 15, temos: 2x – 20 = 15
2x = 35
x = 17,50
Sendo assim, o homem tinha no início da história R$ 17,50.
DESAFIO No 2
Um senhor, vendedor de ovos, negociou os últimos ovos à 3 compradores.
Para um deles, ele venderia metade do total de ovos, mais meio ovo. Para
outro, ele venderia metade dos ovos restantes mais meio ovo e para o terceiro
comprador ele venderia a metade dos ovos restantes mais meio ovo. Assim,
acabariam todos os ovos. Se o senhor realizou todas as vendas, sem quebrar
nenhum ovo, quantos ovos ele negociou?
RESPOSTA:
Início: x ovos
1º comprador: x/ 2 + 0,5
Restaram: x - (x/ 2 + 0,5) = x/ 2 - 0,5
2º comprador: (x/ 2 - 0,5) / 2 + 0,5 = x/ 4 + 0,25
Restaram: x/2 - 0,5 - (x/ 4 + 0,25) = x/ 4 - 0,75
3º comprador: (x/ 4 - 0,75) / 2 + 0,5 = x/ 8 + 0,125
Como todos os ovos foram vendidos:
x = x/ 2 + 0,5 + x/ 4 + 0,25 + x/ 8 + 0,125
8x = 7x + 7
x = 7 ovos
Ele negociou 4 ovos com o 1º comprador, 2 ovos com o 2º comprador e 1 ovo com o 3º comprador,
totalizando 7 ovos.
DESAFIO No 3
Uma caixa d’água tem o espaço interno na forma de um cubo com 1 metro de
aresta. Retira-se um litro de água dessa caixa. Conseqüentemente o nível da
água baixa. De quantos milímetros baixa esse nível?
RESPOSTA:
3
Lembrar: 1m = 10 dm, 1 dm = 1 litro e 1 dm = 100 mm
V = volume de água deslocado igual a 1 litro.
h = quanto baixou o nível da água.
O volume de água retirado (1 litro) corresponde ao volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões 10 dm, 10 dm e h dm. Como o volume de um paralelepípedo retângulo corresponde ao
produto das suas dimensões, temos:10 . 10 . h = 1 ⇒ 100 . h = 1 ⇒ h = 0,01 dm ou 1 mm
DESAFIO No 4
Existem 9 números de um algarismo, 90 de dois algarismos, 900 números de
três algarismos, etc. Pense agora em números que tenham o último algarismo
da direita representando o total de algarismos dos números. Por exemplo o
número 9074. O algarismo 4 indica o número de algarismos que compõem
esse número. Quantos números desse tipo existem?
RESPOSTA:
Números com 1 algarismo e que tenham o algarismo 1 no final:
Apenas o 1
Total: 1 número
Números com 2 algarismos e que tenham o algarismo 2 no final:
Temos o 12, 22, 32, 42,52,62,72,82,92
Total : 9 números
Números com 3 algarismos e que tenham o algarismo 3 no final:
Temos o 103, 113, 123, 133, 143, 153, 163, 173, 183, 193,
203, 213, 223, 233, 243, 253, 263, 273, 283, 293,
....
903, 913, 923, 933, 943, 953, 963, 973, 983, 993
Total : 90 números
Números com 4 algarismos: 900 números
Números com 5 algarismos: 9 000 números
Números com 6 algarismos: 90 000 números
Números com 7 algarismos: 900 000 números
Números com 8 algarismos: 9 000 000 números
Números com 9 algarismos: 90 000 000 números
Logo 90 000.000 + 9 000 000 + 900 000 + 90 000+ 9 000 + 900 + 90 + 9 + 1 = 100 000 000
DESAFIO No 5
SUA MENTE É CAPAZ DE DECODIFICAR A MENSAGEM?
M473M471C0 (53N54C1ON4L):
4S V3235 3U 4C0RD0
M310 M473M471C0.
D31X0 70D4 4 4857R4Ç40 N47UR4L D3 L4D0
3 M3 P0NH0 4 P3N54R 3M NUM3R05,
C0M0 53 F0553 UM4 P35504 R4C10N4L.
540 5373 D1550, N0V3 D4QU1L0...
QU1N23 PR45 0NZ3...
7R323N705 6R4M45 D3 PR35UNT0...
M45 L060 C410 N4 R34L
3 C0M3Ç0 4 F423R V3R505
H1NDU-4R481C05
RESPOSTA:
Matemática Sensacional
Às vezes eu acordo
meio matemático.
Deixo toda a abstração de lado
e me ponho a pensar em números,
como se fosse uma pessoa racional.
São sete disso, nove daquilo...
quinze pras onze...
trezentos gramas de presunto...
mas logo caio na real
e começo a fazer versos
hindu-arábicos
DESAFIO No 6
Quatro pessoas são interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido
um roubo.
-
Eu não fui, diz Eduardo.
-
Foi o Fábio, afirma Heitor.
-
Foi o Paulo, garante Fábio.
-
O Heitor está mentindo, diz Paulo.
Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o
roubo, quem é o ladrão?
Explique sua resposta.
RESPOSTA:
Quem mentiu foi Heitor e o ladrão é Paulo.
DESAFIO No 7
Quando a forma a seguir for dobrada de modo a formar um cubo, qual dos
cubos (A, B, C, D ou E) ela irá resultar?
Retirado do livro Treinando seu cérebro: centenas de jogos e passatempos para exercitar sua mente. - Rio de Janeiro:
Reader’s Digest, 2002.
RESPOSTA:
A figura A não pode ser a correta, pois, apesar da face com a circunferência branca ser
adjacente à face com triângulos (branco e preto), deve estar ligada ao triângulo preto e não ao
triângulo branco.
A figura B não pode ser a correta, pois na perspectiva que é apresentada, a face com
retângulos (branco e preto) deveria ser inferior e não superior como aparece.
A figura C não pode ser a correta, pois a face com as diagonais traçadas é oposta à face com
a circunferência preta e não adjacente, como mostrada nessa perspectiva.
Não pode ser a figura E, pois a face com quadradinhos (dois pretos e dois brancos) é oposta
à face com a circunferência branca e não adjacente, como mostrada nessa perspectiva.
Então, por eliminação só pode ser a figura D.
DESAFIO Nº 8
PENTAMINÓS
Observe os diferentes modelos de pentaminós e, em seguida, utilizando-se de
todas as peças, construa:
-
uma estrutura que apresente internamente apenas uma figura vazada e na forma
retangular ou
-
um retângulo que apresente internamente apenas uma figura vazada (qualquer
forma) ou
-
um retângulo que apresente internamente apenas uma figura vazada e na forma
retangular.
Obs.: As figuras são apenas ilustrativas.
RESPOSTA:
1ª construção: Uma estrutura que apresenta internamente apenas
uma figura vazada e na forma retangular.
2ª construção: Um retângulo que apresenta internamente apenas
uma figura vazada.
3ª construção: Um retângulo que apresenta internamente apenas
uma figura vazada e na forma retangular.
DESAFIO Nº 9
Encontre três números formados por três algarismos, de modo que:
-
os três números sejam consecutivos;
-
o primeiro número seja múltiplo de 7;
-
o segundo número seja múltiplo de 9;
-
e, o terceiro número seja múltiplo de 11.
RESPOSTA:
Requisitos:
1º) Números consecutivos: x; x + 1; x + 2, no qual x deverá ser dividido por 7, x + 1 por 9 e x + 2 por
11.
2º) Números formados por três algarismos, então deveremos procurar o intervalo que x deverá
obedecer.
Se o 1º número deve ser múltiplo de 7, então: 7x, desta forma o valor mínimo de x será 15, pois 7x 15
= 105, este valor de x valerá para os outros números: múltiplo de 9, 9 x 15 = 135 e múltiplo de 11, 11
x 15 = 165.
O valor máximo de x será 90. Para isso usamos o requisito: múltiplo de 11, então 11x 90 = 990,
conseqüentemente 7 x 90 = 630, 9 x 90 = 810.
Os três números consecutivos estão entre 165 e 630.
Devemos encontrar três números que tenham resto 0, 1 e 2 em relação ao múltiplo de 7.
Devemos encontrar dois números que tenham resto 0 e 1 em relação ao múltiplo de 9.
Devemos encontrar um número que tenha resto 0 em relação ao múltiplo de 11.
E que sejam consecutivos.
E que satisfaçam estes quatro novos requisitos, simultaneamente.
Múltiplos de 7, que comecem a partir de 165, (165/7 ≈ 23) então 7 x 23 = 161, só poderá ser o
próximo: 168
168,175,182,189,196,203,210,217,224,231,238,245,252,259,266,273,280,287,294,301,308,315,322,3
29,336,343,350,357
Múltiplos de 9 maiores que 165: (165/9 ≈ 18) então 9 x 18 = 162, só poderá ser o próximo : 171
171,180,189,198,207,216,225,234,243,252,261,270,279,288,297,306,315,324,333,342,351.
Observe que 224, 225
287, 288
350, 351
Agora temos que encontrar os múltiplos de 11, que se encaixam numa destas seqüências. Caso não
teh, deveremos encontrar mais múltiplos até 630.
Múltiplos de 11 maiores que 165: (165 / 11 = 15) então:
165,176,187,198,209,220,231,242,253,264,275,286,297,308,319,330,341,352
Desta forma os três números consecutivos, formados por 3 algarismos, sendo que o primeiro é
múltiplo de 7, o segundo múltiplo de 9 e o terceiro múltiplo de 11 são: 350, 351 e 352.
DESAFIO Nº 10
Como você faria para saber quantos dígitos tem a potência
calculadora?
2
64
, sem usar a
RESPOSTA:
0
3
0
1
2
3
- De 2 a 2 , as potências são formadas por 1 algarismo. (2 =1, 2 =2, 2 =4, 2 =8)
4
6
- De 2 a 2 , as potências são formadas por 2 algarismos. (deve-se resolver para mostrar para go
aluno)
5
9
- De 2 a 2 , as potências são formadas por 3 algarismos. (idem ao anterior)
Assim:
0
9
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 3 algarismos.
10
19
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 6 algarismos.
20
29
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 9 algarismos.
30
39
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até12 algarismos.
40
49
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 15 algarismos.
50
59
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 18 algarismos.
60
63
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 19 algarismos.
64
66
- De 2 a 2 , as potências são formadas por até 20 algarismos.
64
Portanto: O resultado de 2 tem 20 algarismos.
DESAFIO Nº 11
Este cubo, quando completo, possui 1000 cubinhos. Quantos cubinhos faltam
para completá-lo?
Fonte: www.aulis.de
RESPOSTA:
Faltam 45 cubinhos.
Faltam 19 cubinhos.
Faltam 10 cubinhos.
Faltam 4 cubinhos.
Para completar os 1000 cubos,
faltam:
45 cubos azuis
+ 19 cubos amarelos
+ 10 cubos vermelhos
+ 4 cubos verdes
+ 2 cubos azuis
80 cubos
Faltam 2 cubinhos.
DESAFIO Nº 12
Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8
pulos. Porém, dois pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a
distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o número
de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre?
RESPOSTA:
Temos uma relação inversamente entre os pulos do cachorro e os da lebre, sabendo que um pulo da
lebre é igual a 2/5 pulos do cachorro.
Temos:
Número de pulos
Valor do pulo
5
2
8
5
Sabendo que a relação entre os pulos é inversa, aplicamos uma multiplicação inversa,
multiplicaremos os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre 5 e multiplicaremos os 8 pulos da
lebre pelo valor do pulo do cachorro 2. Teremos que 5 x 5 = 25 ( para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para
a lebre ), em cada instante o cachorro estará tirando uma diferença de 25 -16 = 9 pulos. Lembrando
que a distância entre eles é 36 pulos de cachorros, o cachorro terá que percorrer essa distância 36 / 9
= 4 vezes até alcançar a lebre. Vamos agora, multiplicar o fator do cachorro (25) por 4 teremos 25 x 4
= 100 pulos .
DESAFIO Nº 13
Qual símbolo completa logicamente este quadro? Justifique sua resposta.
Fonte: Berloquin P. 100 jogos lógicos. Coleção O prazer da matemática. Lisboa: Gradiva, 1990.
RESPOSTA:
O símbolo que completa logicamente este quadro é o X. Observe a seqüência:
Triângulo
Triângulo, mais
Triângulo, mais, triângulo invertido
Triângulo, mais, triângulo invertido, xis
Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola
Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado
Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado, quadrado
Triângulo, mais, triângulo invertido, xis, bola, retângulo deitado, quadrado, retângulo em pé.
DESAFIO Nº 14
Uma empresa fabrica biscoitos de forma circular com 10 cm de diâmetro e
embala em dois tipos de caixas (vista superior):
As duas caixas, possuem no centro, um biscoito circular de chocolate. Quais as
dimensões das caixas e quais os diâmetros dos biscoitos de chocolate?
RESPOSTA:
1. A medida do diâmetro de dois biscoitos coincide com a medida do lado da caixa quadrada. Assim,
o lado da caixa quadrada mede 20 cm.
2. Considere o triângulo retângulo com vértice no centro de 3 circunferências, os catetos medindo 10
cm e hipotenusa 10 + d, onde d é o diâmetro do biscoito de chocolate.
Aplicando Pitágoras, temos:
(10 + d )
2
= 10 2 + 102
d 2 + 20d − 100 = 0
∆ = 800 ∴ ∆ = 20 2
d=
−20 + 20 2
∴ d = 10
2
(
)
2 −1
3. A caixa circular tem raio
r = 10 + 5 2 − 5
r = 5 2 + 5∴ r = 5
(
10 +
d
.Logo:
2
)
2 +1
DESAFIO Nº 15
OCTÓGONO AMOROSO
Um grupo de amigos formado por 4 meninos (André, Beto, Cláudio e Diego) e 4
meninas (Tina, Patrícia, Viviane e Rita) não se desgrudam. Todos amam
alguém do grupo, mas esses amores não são correspondidos. Veja:
•
André ama a menina que gosta do menino que ama Patrícia
•
Beto não é amado por Tina
•
Cláudio gosta da menina que ama Diego
•
O menino que é amado por Viviane não ama Tina
•
Rita é amada pelo menino que é amado pela amada de Beto
Quem ama quem?
Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento,1991.
RESPOSTA:
Pela primeira afirmação, temos:
1 - André
menina
menino
Patrícia
Pela terceira afirmação, temos:
2 - Cláudio
menina
Diego
Pela última afirmação, temos:
3 - Rita
menino
menina
Beto
Invertendo esta última, obtemos:
4 - Beto
menina
menino
Rita
Juntando 1 e 2, temos:
5 – André
menina
menino
Patrícia
Cláudio
menina
Diego
Encaixando 4 nesta junção, obtemos:
6 – André
menina
Beto
Patrícia
Cláudio
Rita
Diego
Faltam 2 meninas: Tina e Viviane. Como a segunda afirmação do enunciado diz que Beto não é
amado por Tina, então Viviane ama Beto. Logo:
7 – André
Viviane
Beto
Patrícia
Cláudio
Rita
Diego
Portanto, Diego ama Tina e esta ama André, completando o octógono:
8 – André
Viviane
Beto
Patrícia
Cláudio
Rita
Diego
Tina
CONCLUSÃO:
ANDRÉ AMA VIVIANE
VIVIANE AMA BETO
BETO AMA PATRÍCIA
PATRÍCIA AMA CLÁUDIO
CLÁUDIO AMA RITA
RITA AMA DIEGO
DIEGO AMA TINA
TINA AMA ANDRÉ
DESAFIO Nº 16
QUEM SOU EU?
Se o meu quatro fosse um nove
E o meu seis fosse um três
Aquilo que sou apenas valeria
Menos um da metade que eu seria...
Tenho três dígitos
Só três numa fila...
Então, quem sou eu,
Quem é que adivinha?
Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento,1991.
RESPOSTA: Quatrocentos e sessenta e oito (468).
DESAFIO Nº 17
A IDA AO MUSEU
Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar sem pagar.
Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem pagar.
-
-
Eu não fui, diz Bernardo.
-
Foi o Carlos, diz o Mário.
-
Foi o Pedro, diz o Carlos.
O Mário não tem razão, diz o Pedro.
Só um deles mentiu.
Quem entrou sem pagar?
Adaptado de: Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 3. Cidade: Afrontamento, 1991.
RESPOSTA:
Só um deles mentiu.
Se Bernardo mentiu então Mário e Carlos mentiram. (F)
Se Mário mentiu então Pedro entrou sem pagar.
Se Carlos mentiu então Mário entrou sem pagar.
Se Pedro mentiu então Carlos mentiu. (F)
Supostos caloteiros: Pedro e Mário
Se Pedro entrou sem pagar então Mário mente.
Se Mário entrou sem pagar então ele e Mário mentem. (F)
Resposta: Pedro entrou sem pagar e o mentiroso é o Mário.
DESAFIO Nº 18
QUANTO TEMPO DUROU O TELEFONEMA?
Em Nova Iorque são 7h da manhã quando é meio-dia em Portugal. Susana, em
Portugal, telefonou para Billy Jo, em Nova Iorque. Quando o telefonema
começou o relógio de Susana marcava 18h 45min, quando terminou, o relógio
de Billy Jo marcava 14h 23min. Quantos minutos durou esse telefonema?
Adaptado de: Vivien Lucas. Um problema por dia: questões matemáticas para todos os dias do ano
escolar. Editora: Replicação. Lisboa, 2003.
RESPOSTA:
DESAFIO Nº 19
DIVIDINDO QUADRADOS
• Desenhe onze quadrados.
• Divida um deles em 2 quadrados menores.
• Divida outro quadrado em 3 quadrados menores.
• Divida outro quadrado em 4 quadrados menores e assim por diante, até
12 quadrados menores.
Existem 3 destas situações impossíveis de serem resolvidas, quais são
elas?
RESPOSTA: (há outras soluções)
4 quadrados
6 quadrados
7 quadrados
9 quadrados
10 quadrados
11 quadrados
8 quadrados
12 quadrados
DESAFIO Nº 20
NÚMEROS CRUZADOS
Horizontais
A – É um quadrado perfeito e um cubo perfeito.
B – Todos os algarismos deste número são pares.
C – É um quadrado perfeito.
Verticais
D – Tem os algarismos diferentes e por ordem crescente.
E – É um múltiplo de 19.
F – É um número primo.
D E F
A
B
C
Eduardo Veloso e José Paulo Viana. Desafios 4. Edições Afrontamento,1995.
RESPOSTA:
DEF
A729
B864
C961