Revisando a Aritmética

Revisando a Aritmética
1.Revisando os sistemas decimais e convertendo números para outras bases.
2.Usando Maple para converter números binários e hexadecimais para outras
bases.
3.Distinguindo frações e números reais.
4.Fatorar números inteiros num produto de números primos.
1. A Base de Nosso Sistema Numérico
Se observarmos a história, nós veremos que os primeiros números usados pelos humanos eram os
números contáveis. Estes números podem ser escritos, na forma moderna, como:
{1,2,3,4,5,6...}
onde os três pontos finais significam " e assim por diante". Um tempo depois, descobriram que o
zero poderia ser adicionado aos números contáveis, como:
{0,1,2,3,4,5,6,7...}
O zero é um elemento neutro.
E a diferença de 3-3 tem uma resposta numérica:
3-3 = 0
Os números inteiros podem ser divididos em partes. É só imaginar um barril contendo vinho; se eu
engarrafar, estarei dividindo o vinho do barril em partes.
Admitirmos frações como parte do nosso sistema numérico nos facilita bastante. Se você insistir na
subtração do problema
4-5 = ?
tem uma resposta; então você estará forçado a admitir número negativo no seu sistema matemático.
Similarmente, se você quer a divisão do problema
33 = 8 1/3,
4
nós temos que obter uma resposta. Então admitirmos frações em nosso sistema matemático é um
"bom negócio".
Mas fazer aritmética com frações, dividir, multiplicar, pode ser cansativo. Sorte nossa termos
calculadoras e o Maple para nos ajudar. Estas ferramentas
podem converter entre números
decimais e números fracionários.
2. Outras Bases
Muitas culturas adaptaram o sistema decimal para a contagem. Várias nações em volta do mundo
inventaram símbolos para os números de 1 até 9. Mas há exceções nessa regra: os romanos por
vezes usavam grupos de 12, os babilônios tinham um sistema misto, trabalhavam, em parte, em
grupo de 10 e de 60, e os maias usavam grupamentos de 20. O grupamento de 12 ainda sobrevive
na língua inglesa. Nós temos um sistema decimal altamente desenvolvido. Mas outros grupamentos
podem ser úteis para certas aplicações.
Os computadores digitais da atualidade funcionam trocando milhares de dispositivos digitais
chamados transistores do estado ligado para o desligado. Alguns aparelhos que têm dois estados
(on e off) são chamados de máquinas binárias.
O sistema numérico com somente dois dígitos, 0 e 1, é uma escolha natural. Outras escolhas úteis
são os grupos de dois. O sistema octal é baseado nos dígitos de 0 até 7 (três grupos de dois), e o
hexadecimal, com os dígitos 0 até 15 (quatro grupos de dois), é muito comum nos computadores
atuais. Todos esses sistemas têm um elemento em comum:o método de escrever
números
chamados de sistema posicional é a base de todos eles.
3. O Sistema Decimal
Considerando o número 1986. Como interpretaremos essa quantidade? Nossa notação posicional
leva em conta que o numeral 1 está na posição do 1.000, o numeral 9 na posição do 900, o numeral
8 na posição do 80, e o 6 na sua mesma posição: ele é realmente 6, mas todos os outros devem ser
multiplicados por uma potência de dez. Nós poderíamos escrever desta maneira:
Agora, nós podemos interpretar um número binário.
Somente os dígitos 0 e 1 devem ser usados quando escrevemos . Primeiramente, atentaremos para
contar em binário. Começando com 0, nós adicionamos 1 para obter 1. adicionando 1 novamente,
nós teremos 10!
A tabela abaixo no mostra:
1
11
+1
100
1
101
+ 001
110
É assim que somamos em binário.
Agora, alguns exercícios para que possamos entender a conversão.
Problema: Converta o número binário 10101 para decimal.
Solução:
obs.: 21 é a soma dos resultados acima. Este é o nosso resultado.
Problema: Converta o número octal 17362 para decimal.
Solução:
O Maple possui um procedimento para converter número de uma base para outra. É muito simples:
Usando o Maple para converter 17362 na base 8 decimal, primeiramente faremos uma lista dos
dígitos em octal na ordem inversa: [2,6,3,7,1], e usamos o comando para converter.
> convert([2,6,3,7,1],base,8,10);
A lista de saída é também invertida. 7922 é a nossa resposta.
Temos este comando também para a conversão:
> convert(17362,decimal,octal);
Note que, neste comando anterior, não precisamos inverter a ordem, e a resposta também não é
invertida!
Os números hexadecimais usam os dígitos 0 até 15 escrevendo como 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E
e F. Se você quiser
converter um número hexadecimal para decimal você deve envolvê-lo com
acento agudo, como mostra o exemplo abaixo.
> convert(`abcd`,decimal,hex);
De decimal para hex:
> convert(1435,hex);
> convert(`1d`,decimal,hex);
Potências de dez no Maple
Expressando o número
, este é igual
a 3574. No Maple,
podemos usar o "e" para expressar uma potência de dez. Por exemplo: 2e2 + 3e1 + 4 é o número
234 na notação de potência de dez.
> 5e4+4e2+3e0;
Exercícios:
1. Digite o número 5e5+9e4+3e0. O que é esse número?
_________________________________________
2. Converta os números decimais abaixo para hexadecimais.
a. 565656________________
b. 65536_________________
c. 4294967295____________
d. 256*257_______________
3.Converta os números hexadecimais abaixo para decimais.
a. 3FF__________________
b. FEFEFE______________
c. ABCDEF_____________
4.Converta os decimais abaixo para números binários.
Você pode usar a forma :
> convert(16,binary);
a. 32 ___________________
b. 62___________________
c. 123__________________
5. Os computadores pessoais de hoje em dia usam palavras de 32 bits. Isto é equivalente a
dizer que você pode construir um
número binário de 32 zeros até 32 um's. O que é
equivalente em decimal a 32 um's? Você precisa do comando convert, ou existe um caminho
mais fácil para se obter essa resposta?
__________________________________________
Frações
Uma fração é definida como uma proporção entre dois inteiros. Os números então formados são
também chamados de números racionais. A fração é da forma p/q, onde p e q são inteiros e q não é
igual a zero.
A afirmação "a dividido por b" pode ser escrita dessas formas abaixo, que são equivalentes, das
quais a primeira é a preferida.
Adicionando Frações
O primeiro passo na adição de frações é converter os denominadores de todas as frações num
denominador comum.
Por exemplo:
1. Fazemos o conhecido m.m.c.
2. Encontrado o denominador comum , dividimos este pelo antigo e depois multiplicamos pelo
numerador o seu resultado.
3. Somamos os numeradores e o denominador é fixado.
Agora você sabe fazer com papel e caneta. Mas vejamos como o Maple resolve este problema
> 3/5+9/10+1/15;
Números Reais
Você pode imaginar que um sistema numérico, que inclui os inteiros, positivos e negativos, e todas
as frações possíveis, poderia ser suficiente para qualquer trabalho matemático. Depois disso, com
um sistema semelhante, permite você medir comprimentos com uma precisão razoável. Imagine que
você tenha que medir um comprimento e este se encontra entre 5/8" e 3/4". Você poderia tirar uma
média entre essas duas frações e obter (5/8+6/8)/2=11/16". Desse resultado poderíamos tirar um
novo par de frações que, juntas, se somam e, dividindo por dois, obtemos uma nova média, e assim
por diante obter um resultado mais próximo da precisão. Você pode continuar esse processo
utilizando a nova fração e uma das frações já utilizadas, e encontrar outras no meio do caminho.
Após todas essas observações feitas sobre frações, é fácil entendermos que há muitos números que
não podem ser representados com absoluta precisão como frações. Um desses números, e o
primeiro a ser descoberto, é
2 . Este número, enquanto não expresso pelo raio de dois números
inteiros, é facilmente imaginável, porque ele representa o comprimento da hipotenusa .
Imediatamente após esta pequena descoberta, especulações começaram sobre a possibilidade de
representação do número π como uma fração. Dentre os grandes matemáticos, muitos suspeitaram
que π poderia ser um número irracional. Este caso foi provado no final do século passado. Nessa
mesma época, os matemáticos descobriram que há mais números irracionais na linha numérica que
os racionais, ainda que haja infinitos números de cada tipo.
Maple utiliza a função evalf para converter números reais, sendo estes frações ou irracionais, em
seu decimal equivalente. Há uma opção na função evalf que nos permite especificar o número de
dígitos que nós queremos na resposta. Inicialmente, o Maple utiliza dez dígitos de precisão.
> Digits;
A linha de output mostra a você que o Maple está trabalhando com a precisão de dígito-dez. Todo
resultado decimal será impresso com esse número. Se você quiser mudar a precisão com que o
Maple trabalha, digite, por exemplo:
> Digits:=20;
> Digits;
> Digits:=10;
Exercícios:
a. Calcule a raíz cúbica de 3 para a casa do decimal 30.
> Digits:=30;
> sqrt(3*(1/3));
3+ 7+ 5 .
b. Encontre a aproximação decimal para 2 −
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Fatorando
Você sabe que quaisquer dois números sendo multiplicados obteremos um terceiro número. Este
número é chamado de produto.
Agora considere o problema inverso: pegando um número e encontrando dois números que juntos
multiplicam-se obtemos
aquele resultado. Para pequenos números você pode resolver este
problema mentalmente. Tendo o número 15, os dois números são 3 e 5. Estes números são
chamados de fatores de 15. Outros números, como o 30, pode ser fatorado por dois caminhos: 10 x
3, ou 6 x 5. Após examinar estas duas soluções , algum desses números podem ser expressos como
fatores:
10 = 2 x 5 e 6 = 2 x 3. E nenhum desses números pode ser fatorado em números menores. No
Maple, a função ifactor é usada para encontrar os fatores de qualquer inteiro.
Exemplo: use o Maple para fatorar o inteiro 123456789.
> ifactor(123456789);
Note que o fator 3 é repetido duas vezes.
Exercícios
Use a função ifator para mostrar que isso é fatorável
> ifactor(2^(2^(5)))+1;
2
Você pode usar a expressão n − n + 41 e substituir n .
> subs(n=42,n^2-n+41);
> isprime(%);
E também testar se esse número é primo:
> restart;
isprime(subs(n=16,n^2-n+41));
> (16^(2))-16+41;
> isprime(%);
2
A expressão n − 79 n + 1601 produz outra seqüência de primos. Qual o menor valor de n
que produza um não-primo?
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Exercício:
a. Complete a tabela
b. Conversão para binário.
converta 61 para binário________________
converta 33 para binário________________
converta 48 para binário________________
c. Um problema muito antigo envolvendo contagem. Uma versão mais moderna é mostrada a
seguir (rima foi traduzida):
Quanto eu fui para St. Ives
Encontrei um homem com sete esposas.
Cada noiva tinha sete sacolas,
Cada sacola tinha sete gatos,
Cada gato tinha sete gatinhos
Gatinhos, gatos, sacolas, esposas,
Quantos deles tinham em St. Ives?
(1) Complete a tabela, assumindo que o homem e suas esposas estavam indo para St. Ives:
(2) Converta a soma, expresse-a de um número com base sete para decimal. São os totais os
mesmos?
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Laboratório Maple
LM 1: As Quatro Operações Básicas
O Maple é uma calculadora. Você pode somar, subtrair, multiplicar e dividir.
a. Os egípcios antigos restringiram-se eles mesmos a fracionar utilizando numeradores unitários,
com a única exceção da fração
Por exemplo, eles escreviam
2
.
3
3
1 1
+
como
.
4
2 4
Como você escreveria a fração que eles escreviam como
1 1
1
1
+ +
+
?
2 4 14 28
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b. Use o Maple para ajudá-lo a converter estas frações egípcias para frações equivalentes
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c. Como podemos escrever a fração
23
da forma egípcia?
47
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LM 2: Divisores de um Número Inteiro
a. Pode 16.000.001 ter divisores? Caso existam, quais são eles?
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b. Quais são os divisores de 1.600.000.001 ?
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c. Quais são os divisores de 16.000.000.039 ?
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LM 3: Divisibilidade
Numerologistas têm investigado "números perfeitos" durante séculos. Um número perfeito é igual
à soma de todos os seus fatores. O primeiro número perfeito é o 6, pois a soma de todos os
possíveis fatores de 6 (isto é, 1,2,3) é seis. O próximo número perfeito é 28, pois
28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 . Todos os fatores possíveis são utilizados para formar a soma.
a. O próximo número perfeito é 496. Usando o comando ifactor, escreva todos os seus fatores e a
soma destes.
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b. O número 8128 é um número perfeito? Escreva todos os seus fatores e a sua respectiva soma.
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c. O número 33550336 é um número perfeito?
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n
Dica: Para adicionar todos os fatores, utilize o comando sum. Todas as combinações de 2 ,
n = 0 .. 12 são possíveis, junto com 2 n 8191 , n = 1 .. 1 . Dessa maneira, utilize o comando
> sum(2^n+2^n*8191,n=0..11)+2^12;
LM 4: Números Perfeitos Rapidamente Tornam-se Grandes
Utilize a dica vista anteriormente para mostrar que p = 8.589.869.056 é um número perfeito. Qual
é o maior fator de p?
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LM 5: Convertendo Para Bases Diferentes
Cientistas de Computação freqüentemente usam números binários ou hexadecimais. Para converter
um número como 45 de decimal para hexadecimal, use o comando
> convert(45,hex);
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a. Use o comando anterior para converter os seguintes números para hexadecimal
( i ) 64
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( ii ) 16
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( iii ) 16.377.216 (16.000K)
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( iv) 43.690
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b. Que palavras em inglês esses números formam quando convertidos para hexadecimal?
( i ) 65.261
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( ii ) 64.206
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( iii ) 2.766
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( iv ) 3.243
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( v ) 51.966
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( vi ) 12.648.430
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LM 6: Conversões Para a Base 7
O problema da contagem de todos os gatinhos, gatos, sacos, esposas indo para St. Ives poderia ter
sido feito de forma mais fácil se utilizássemos o sistema numérico de base 7. O número 7, escrito
na base 7, é lO7 . Utilizamos
> convert(7,base,7);
para encontrar os dígitos na conversão. Note que os dígitos podem ser lidos da direita para a
esquerda no output do Maple.
Torne-se familiar com o processo de conversão.
a.
Converta
49
(7
x
7)
para
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a
base
7.
b. Converta 343 (7 x 7 x 7) para a base 7.
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c. Para converter da base 7 para a base 10, você deve primeiro escrever o número da base 7 111110 - como uma lista, começando da direita: [0,1,1,1,1], e usá-lo esta forma do comando
convert:
> convert([0,1,1,1,1],base,7,10);
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d. Converta 234.787 para a base 7.
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e. Converta 22.875 para a base 7.
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LM 7: Somando Números
a. Encontrar a soma dos primeiros 1.000 inteiros. O comando do Maple é
> sum(i,i=1..1000);
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b. Encontre a soma das primeiros 1000 quadrados.
(Dica: o comando do Maple é sum(i^2,i=1..1000). )
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c. Encontre a soma dos primeiros 1000 cubos.
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LM 8: Resolvendo um Problema por Enumeração
Um número é um quadrado perfeito e um cubo perfeito. Este número está entre 40.000 e 50.000.
Que número é este, e qual é a sua raiz cúbica?
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A Conjetura 3N + 1
Uma regra simples para produzirmos uma lista de inteiros é
1. Escolha um inteiro positivo. Chame-o de N.
2. Se N = 1, pare.
3. Se N for par, troque-o por
N
e vá para o passo 2.
2
4. Se N for ímpar, troque-o por 3N + 1 e vá para o passo 2.
A regra produz uma string de números baseados no primeiro número, N. Alguns números muito
grandes, como 65.536, produzem uma seqüência relativamente pequena, enquanto outros, muito
menores, como 41, produzem uma longa lista de dígitos.
A conjetura é que a seqüência irá parar quando chegarmos ao valor 1, não importando qual foi
nossa escolha inicial ( N ).
O Maple tem uma linguagem de programação que nos permite codificar este algoritmo:
> lc:=proc(n::integer)
local r,i;
r:=n;
i:=1,print(r);
if r=1 then
RETURN();
fi;
while not r=1 do
if r mod 2 = 0 then
r:= r/2;
print(r);
i:=i+1;
else
r:=3*r+1;
print(r);
i:=i + 1;
fi;
od;
print(`Numero de Iteracoes: `,i);
end:
Você pode reconhecer muitos comandos neste programa. A primeira linha define um procedimento
e nos permite dar um número de entrada, n. As próximas 3 linhas inicializam variáveis de que o
programa necessita. Nas linhas 5,6,7 temos a nossa condição de saída. A linha 8 configura uma
tarefa repetida, permitindo da linha 9 até a 17 processarmos a tarefa até encontrarmos o valor 1. A
linha 19 nos mostra quantos números foram gerados para a seqüência.
Depois de você ter escrito o programa, digite o comando
> lc(4);
Desde que o número inicial seja uma potência de 2, a seqüência pára rapidamente. Qual é a
seqüência gerada por lc(3)?
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Conjetura 1. Você pode supor quanto maior for o número inicial, maior será a seqüência. Para
testar a conjetura, registre o número de iterações produzidas por
( i ) lc(25)
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( ii ) lc(27)
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( iii ) lc(29)
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A conjetura 1 é verdadeira ou falsa?
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Tente dar um número negativo para iniciar o processo:
> lc(-1);
Você terá que pressionar o botão stop, porque a saída entra em loop.
O tamanho do ciclo é o número de números num padrão repetitivo. Qual é o tamanho do ciclo lc(1)?
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Qual é o tamanho dos ciclos para ( i ) lc(-2)
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( ii ) lc(-3)
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( iii ) lc(-5)
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( iv ) lc(-17)
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A conjetura 3N + 1: Não importa qual seja o número inicial, a seqüência gerada pelo algoritmo irá
eventualmente encontrar 1 e parar.
Algumas seqüências têm tamanho maior que 200. Esta seqüência é gerada por um número entre
3.500 e 4.000. Qual é este número e qual o tamanho de sua seqüência?
Dica: Você pode usar um programa do Maple para automatizar sua busca.
> for jk = 3500 to 4000 do lc(jk) od;
Tenha a certeza de ter removido os parâmetros de impressão do while loop no procedimento lc para
o que o Maple imprima apenas o número de interações, e não todos os valores.
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Os dois números que você encontrou acima estão cercados de números que produzem pequenas
seqüências. Números grandes não necessariamente produzem seqüências longas. Por exemplo,
qual é o tamanho da seqüência para o número 123.456.789?
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Encontre uma seqüência longa utilizando lc(n). Que número encontrado produziu a seqüência mais
longa e qual foi essa seqüência?
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