RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK
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São Caravaggio SãoJerônimo JerônimoEscritor Escritor ––Caravaggio FÍSICA MODERNA I José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville RADIAÇÃO TÉRMICA EO POSTULADO DE PLANCK “Consideramos, porém – este é o ponto mais importante de todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a soma de um número inteiro de partes iguais” – Max Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO O que é a Física? Física é uma palavra originária do grego φύσις (lê-se “physiké”), e que significa natureza. Antes do Século XIX a Física era conhecida como Filosofia Natural, e estudava indistintamente o mundo animado e o inanimado. A partir do Século XIX começou a haver divisões de interesse da Física, tais como a Mecânica, a Termodinâmica, a Eletricidade e o Magnetismo. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Do que trata a Física? A partir do Século XX, podemos dizer que Física é a Ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais. Como Ciência, a Física utiliza o Método Científico. Para a formulação dos conceitos que regem os fenômenos naturais a Física utiliza a Matemática como linguagem. A Física busca, primordialmente, identificar e conhecer as leis básicas que regem o Universo. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Universo? Natureza? Mas, o que é a natureza? Vamos analisar o quadro abaixo e verificar quais são os elementos básicos que constituem a natureza. Quadro com elementos da natureza MATÉRIA NATUREZA = + RADIAÇÃO (LUZ) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Formas de se encontrar a matéria na natureza Até agora o ser humano encontra a matéria em cinco formas distintas na natureza. Exemplo de sólido Exemplo de líquido Exemplo de gás MATÉRIA Exemplo de condensado de Bose-Einstein - BEC Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Exemplo de plasma RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Formas de encontrar a radiação na natureza Já os vários tipos de radiação se distinguem entre si entre outras coisas, pelas diferentes formas como elas são produzidas. RADIAÇÃO (LUZ) Luz do Sol - natural Luz de uma vela – natural Luz de um LED – “light emitting diode” – artificial Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Luz de uma lâmpada elétrica artificial RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Características da matéria A matéria apresenta algumas características, às quais vamos descrever sucintamente abaixo. 1) A matéria é localizável, isto é, observamo-la concentrada em uma dada região do espaço. 2) A matéria é ponderável, isto é, a ela está associada uma certa quantidade de massa. 3) A matéria tem comportamento corpuscular, isto é, ela pode ser compreendida como sendo constituída por um conjunto de partículas. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. INTRODUÇÃO Características da radiação Por sua vez, a radiação apresenta características distintas daquelas da matéria, as quais apresentamos abaixo. 1) A radiação é não-localizável (distribuída), isto é, ela não pode ser localizada pois está distribuída por todo o espaço. 2) A radiação é imponderável, isto é, não é possível associar uma quantidade de massa a ela. 3) A radiação tem comportamento ondulatório, isto é, ela pode ser compreendida como sendo transportada por uma onda. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX Como a Física descrevia a matéria no final do Século XIX A dinâmica da matéria era tratada pelas Leis de Newton. Isaac Newton (1643-1727) apresentou as suas leis em seu livro mais famoso, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado em 1687. Philosophae Naturalis Principia Mathematica – Frontispício Isaac Newton Trecho do livro Philosophae Naturalis Principia Mathematica Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX Fenômenos que as Leis de Newton conseguiram explicar As Leis de Newton, particularmente a 2a Lei de Newton, resultaram numa melhor compreensão da Mecânica Celeste, da Mecânica dos Fluidos e da Termodinâmica. r r dp F= dt Turbulência na decolagem de um avião Figura ilustrativa do Sistema Solar Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Funcionamento de um motor de combustão interna RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX Como a Física descrevia a radiação no final do Século XIX A dinâmica da radiação era tratada pelas Equações de Maxwell. James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou suas equações no livro A Treatise on Electricity and Magnetism, publicado em 1873. A Treatise on Electricity and Magnetism – Frontispício Trecho do livro A Tratise on Electricity and Magnetism James Clerk Maxwell Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX Fenômenos que as Equações de Maxwell explicam As Equações de Maxwell permitiram uma melhor compreensão dos fenômenos da Eletricidade, do Magnetismo e da Óptica. r r ∇•D = ρ r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r r ∂D ∇× H = J + ∂t Dispersão da luz branca por um prisma Raios em uma tempestade Polos magnéticos da Terra Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX Fenômenos onde ocorre interação entre radiação e matéria 1) Emissão de radiação por corpos aquecidos, a Radiação de Corpo Negro. 2) Retirada de cargas elétricas de um corpo sob iluminação, o Efeito Fotoelétrico. Emissão de radiação por um corpo aquecido Retirada de cargas elétricas de um corpo sob iluminação Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equações de Maxwell: generalidades As propriedades do campo de radiação estão associadas ao comportamento do campo eletromagnético. Por sua vez, o campo eletromagnético obedece às chamadas Equações de Maxwell. As Equações de Maxwell representam o formalismo matemático de uma série de observações experimentais realizadas durante o final do Século XVIII até o final do Século XIX. Vamos apresentar rapidamente as quatro Equações de Maxwell, procurando relacionar a observação experimental com o formalismo matemático. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Gauss para a Eletricidade 1) A Lei de Gauss da Eletricidade baseia-se no fato de cargas elétricas atraírem-se ou repelirem-se entre si. Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por Carl Friedrich Gauss (1777-1855), importante cientista alemão. Assinatura de Gauss Carl Friedrich Gauss Gauss em seu leito de morte em 1855 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Coulomb A observação experimental correspondente à Lei de Gauss para a Eletricidade é devida a Charles Augustin de Coulomb (1736-1806). Coulomb observou que corpos eletrizados atraem-se ou repelem-se na razão direta de suas quantidades de carga e na razão inversa do quadrado de suas distâncias. r Q1 ⋅ Q2 F =K⋅ ⋅ rˆ 2 d Charles Coulomb Esquema representativo de forças elétricas Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Linhas de campo elétrico ao redor de cargas elétricas Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo elétrico nas vizinhanças de cargas elétricas. Em cargas positivas convencionase que as linhas de campo elétrico “saem” a partir da carga. Linhas de campo elétrico para carga positiva e negativa Já em cargas negativas convenciona-se que as linhas de campo elétrico “entram” a partir da carga. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Formalismo matemático da Lei de Gauss da Eletricidade A Lei de Gauss da Eletricidade descreve o fenômeno da existência da carga elétrica. r ∫∫ D • nˆ ⋅ dS = Q = ∫∫∫ ρ ⋅ dV S Linhas de campo elétrico entrando e saindo de superfícies gaussianas ρ: densidade de carga elétrica Q: quantidade de carga dentro da gaussiana V ⇓ Teorema da Divergência ⇓ r r ∇•D = ρ Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Gauss para o Magnetismo 2) Lei de Gauss para o Magnetismo: baseia-se no fato de dipolos magnéticos (ímãs) atraírem-se ou repelirem-se entre si. Intensitas vis Magneticae Terrestris ad mensuram absolutam revocata – Frontispício Cédula de $ 10 marcos alemães em homenagem a Gauss Selo alemão em homenagem a Gauss Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO De Magnete – William Gilbert Um dos primeiros estudos sistemáticos com ímãs é o livro De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure, escrito por William Gilbert (1544-1603). De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure – Frontispício William Gilbert Ilustração retirada do livro De Magnete Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Linhas de campo magnético em torno de ímãs Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo magnético nas vizinhanças dos polos de ímãs. Em ímãs convenciona-se que as linhas de campo magnético “saem” do polo norte e “entram” no polo sul. Linhas de campo magnético nos polos de um ímã Isto significa que as linhas de campo magnético formam uma superfície fechada. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Gauss para o Magnetismo: formalismo matemático A Lei de Gauss para o Magnetismo descreve o fenômeno da existência de dipolos magnéticos. r ˆ B • n ⋅ dS = 0 ∫∫ S ⇓ Teorema da Divergência ⇓ Linhas de campo magnético entrando e saindo de superfícies gaussianas r r ∇•B = 0 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Indução de Faraday 3) A Lei de Indução de Faraday baseia-se no fato de que surge corrente elétrica induzida quando um ímã é aproximado ou se afasta de uma bobina. Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por Michael Faraday (1791-1867), importante cientista inglês. Frase “holística” de Faraday Michael Faraday Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Base experimental da Lei de Indução de Faraday Em 1831 Faraday demonstrou o experimento da indução usando a montagem mostrada abaixo. Nesta montagem a bateria (à direita na figura) produz corrente elétrica na bobina A. Quando se move em relação à bobina B, o campo magnético produzido pela corrente elétrica induz uma voltagem momentânea na bobina, detectada pelo galvanômetro G. Uma das montagens construídas por Faraday para demonstrar a Lei de Indução Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO A variação do fluxo magnético em uma bobina. A ilustração animada abaixo mostra como se dá a indução de corrente elétrica na espira quando variamos o fluxo do campo magnético através dela. O movimento do ímã em direção à espira, com a consequente variação do fluxo magnético, faz com que uma corrente elétrica seja induzida na espira. Animação ilustrativa da Lei de Indução Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Faraday: formalismo matemático A Lei da Indução de Faraday descreve como criar campos elétricos a partir de campos magnéticos variáveis. r r r ∂B ∫C E • dl = − ∫∫S ∂t • nˆ ⋅ dS ⇓ Teorema de Stokes ⇓ Circulação de corrente definindo uma superfície aberta onde flui um campo magnético r r r ∂B ∇× E = − ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Ampère 4) A Lei de Ampère-Maxwell descreve como agulhas imantadas se defletem próximas de fios onde passam correntes elétricas (Ampère). Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por André-Marie Ampère (17751836), importante cientista francês. André-Marie Ampère Frase de Ampère Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Maxwell 4) A Lei de Ampère-Maxwell também descreve como correntes elétricas podem se transmitir de um fio condutor a outro pelo vácuo (Maxwell). Frase de Maxwell James Clerk Maxwell Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Base experimental da Lei de Ampère A observação experimental correspondente à Lei de Ampère é devida a Hans Christian Oersted (1777-1851). Em seu famoso experimento Oersted observou a deflexão da agulha de uma bússola quando esta se aproximava de um fio de corrente elétrica. Hans Oersted (1777-1851) Ilustrações do experimento de Oersted Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Base experimental da Lei de Maxwell A observação experimental correspondente à Lei de Maxwell é devida ao próprio James C. Maxwell (1777-1851). Neste experimento, Maxwell observou que corrente elétrica fluía através de um capacitor de placas paralelas, apesar de não haver contato elétrico entre as placas. Ilustrações do experimento de Maxwell feito com capacitores Fotografia de Maxwell Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO As linhas de campo magnético em um fio de corrente Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo magnético nas vizinhanças de um fio por onde circula uma corrente elétrica. O sentido do campo magnético é convencionado a partir do uso da chamada “regra da mão direita”. Linhas de campo magnético de um fio de corrente Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO As linhas de campo elétrico e magnético em um capacitor Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as linhas de campo elétrico e magnético nas vizinhanças de um capacitor de placas paralelas. A corrente elétrica variável cria um campo magnético também variável no tempo. Por sua vez, a variação do campo magnético cria um campo elétrico entre as placas do capacitor. Linhas de campo elétrico e magnético de um capacitor Este campo elétrico transmite a corrente de uma placa a outra. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Lei de Ampère-Maxwell: formalismo matemático A Lei de Ampère-Maxwell descreve como criar campos magnéticos a partir de correntes elétricas ou campos elétricos variáveis. Circulação que define uma superfície aberta por onde flui a densidade de corrente e o campo elétrico r r r r ∂D ∫C H • dl = ∫∫S J + ∂t • nˆ ⋅ dS = I ⇓ Teorema de Stokes ⇓ I : corrente elétrica r r r r ∂D ∇× H = J + ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Relação constitutiva entre o vetor campo elétrico e o vetor deslocamento elétrico r r D =ε ⋅E A constante ε é chamada permissividade elétrica do meio. No caso geral (meios não lineares) ε pode depender tanto do tempo quanto das coordenadas espaciais. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Relação constitutiva entre o vetor campo magnético e o vetor intensidade magnética r r B = µ⋅H A constante µ é chamada permissividade magnética do meio. No caso geral (meios não lineares) µ pode depender tanto do tempo quanto das coordenadas espaciais. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equações de Maxwell para meios lineares Em meios lineares (ε e µ constantes), as Equações de Maxwell são escritas como abaixo. r r ρ ∇•E = ε r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r ∂E ∇ × B = µ ⋅ J + µ ⋅ε ⋅ ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equações de Maxwell para o vácuo No vácuo não existem nem fontes de carga, nem fontes de corrente elétrica. Finalmente, temos que os valores das constantes ε e µ como sendo ε = ε0 = 8,8542×10-12 F/m e µ = µ0 = 4π×10-7 H/m. r r ∇•E = 0 r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇× E = − ∂t r r ∂E ∇ × B = µ0 ⋅ ε 0 ⋅ ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equações de Maxwell e a Equação da Onda As Equações de Maxwell conduzem à Equação de Onda para o campo eletromagnético. r 2 r ∂ E 2 ∇ E − µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 = 0 ∂t r 2 r ∂ B 2 ∇ B − µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 = 0 ∂t ( ) 2 ∂2 r r ∇ − µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 E , B = 0 ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Análise da Equação da Onda A estrutura matemática da Equação de Onda Escalar é mostrada abaixo. 1 ∂ Ψ ∇ Ψ− 2 ⋅ 2 =0 v ∂t 2 2 vOEM = 1 µ0 ⋅ ε 0 vOEM: velocidade da onda eletromagnética Na equação ao lado v é a velocidade de propagação da onda. Comparamos esta Equação de Onda Escalar com a Equação de Onda do campo eletromagnético e concluímos que a velocidade da onda eletromagnética vOEM está associada às constantes ε0 e µ0. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Onda eletromagnética na velocidade da luz Com os valores de ε0 e µ0 é possível calcular a velocidade da onda eletromagnética. vOEM = 1 = 2,9979 × 108 µ0 ⋅ ε 0 m/s c= 1 µ0 ⋅ ε 0 O valor acima é muito próximo daquele experimentalmente para a velocidade da luz c. c = 2,9979 ×108 c: velocidade da luz m/s obtido A conclusão deste fato é que a luz comporta-se como uma onda eletromagnética. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equação da Onda e a velocidade da luz Escrevemos abaixo a Equação de Onda em termos da velocidade da luz c, que é igual à velocidade do campo eletromagnético. r 2 r 1 ∂ E 2 ∇ E− 2 ⋅ 2 =0 c ∂t r 2 r 1 ∂ B 2 ∇ B− 2 ⋅ 2 =0 c ∂t O operador matemático que atua sobre o campo elétrico e sobre o campo magnético é chamado de d’alambertiano. ( ) 2 1 ∂2 r r ∇ − 2 ⋅ 2 ⋅ E , B = 0 c ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Equações de Maxwell: a LUZ ...E “DEUS” DISSE r r ∇•D = ρ r r ∇•B = 0 r r r ∂B ∇× E = − ∂t r r r r ∂D ∇× H = J + ∂t ⇒ ....E A LUZ FOI FEITA!!!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Plana Vamos supor que exista uma expressão para o campo elétrico que seja solução da equação de onda. r EP (x, t ) = εˆ ⋅ E p (x, t ) Isto significa que a parte espacial do campo elétrico proposto depende apenas da coordenada x (arbitrária), à qual define a direção de propagação do campo eletromagnético. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO A solução matemática para a Onda Plana Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo. r E P ( x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ ) ( ) r BP (x, t ) = iˆ × εˆ ⋅ B0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ ) k: número de onda λ: comprimento de onda ω: frequência angular da onda ν: frequência da onda T: período da onda ϕ: fase da onda k= 2 ⋅π λ 1 B0 = ⋅ E0 c 2 ⋅π ω= = 2 ⋅ π ⋅ν T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Onda plana: representação geométrica Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e magnético da onda plana como mostrado abaixo. Propagação de Onda Eletromagnética Plana c= ω k = λ ⋅ν = c = 2,9979×108 m/s: velocidade da luz no vácuo r λ E P (x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ ) T ( r 1 ˆ r BP = ⋅ i × E P c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck ) RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Esférica Vamos supor que exista uma expressão para o campo elétrico que seja solução da equação de onda como dada ao lado. r EE (r , t ) = εˆ ⋅ EE (r , t ) Isto significa que a parte espacial do campo elétrico proposto depende apenas da coordenada r (radial), à qual define a direção de propagação do campo eletromagnético. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO A solução matemática para a Onda Esférica Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo. r AE ˆ EE (r , t ) = ε ⋅ ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ ) r 1 AE = ⋅ AB c r A BE (r , t ) = (rˆ × εˆ ) ⋅ B ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ ) r k: número de onda λ: comprimento de onda ω: frequência angular da onda ν: frequência da onda T: período da onda ϕ: fase da onda k= 2 ⋅π λ 2 ⋅π ω= = 2 ⋅ π ⋅ν T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Onda esférica: representação geométrica Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e magnético da onda esférica como mostrado abaixo. Propagação de Onda Eletromagnética Esférica ( r r r AE 1 EE (r , t ) = εˆ ⋅ ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ ) BE (r , t ) = ⋅ rˆ × EE r c ω λ c = = λ ⋅ ν = c = 2,9979×108 m/s: velocidade da luz no vácuo k T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck ) RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO O espectro eletromagnético Abaixo mostramos imagens do espectro eletromagnético. Imagens do espectro eletromagnético Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Produção de ondas eletromagnéticas Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou de forma experimental a existência da radiação eletromagnética criando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio. Busto de Hertz no campus da Universidade de Karlsruhe. Tradução: Neste local descobriu Heinrich Hertz as ondas eletromagnéticas nos anos 1885 — 1889 Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Produção e recepção de ondas eletromagnéticas Oscilador de Hertz: esquema (ao lado) e montagem (abaixo) Ao lado mostramos o esquema e montagem do Oscilador de Hertz. Rádio receptor de ondas eletromagnéticas Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO O vetor de Poynting Definimos o vetor de Poynting como abaixo. r 1 r r S= ⋅E×B µ0 Calculamos a divergência do vetor de Poynting e obtemos a equação abaixo. r r ∂ 1 1 2 r 2 r ∇ • S + ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) + ⋅ B (r , t ) = 0 ∂t 2 2 ⋅ µ0 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO A Equação da Continuidade do campo eletromagnético A partir daí, definimos a densidade de energia associada ao campo eletromagnético. u r 1 1 2 r 2 r u (r , t ) = ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) + ⋅ B (r , t ) 2 2 ⋅ µ0 Obtemos então uma equação que tem a estrutura de Equação da Continuidade, à qual expressa a Lei da Conservação de Energia. r r ∂ r ∇ • S + [u (r , t )] = 0 ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Energia e densidade de energia A definição de densidade de energia u em termos da energia U é mostrada ao lado. dU u= dV [u ] = J / m3 SI A partir da definição de densidade de energia do campo eletromagnético, podemos concluir que este campo armazena energia em seu interior. 1 1 2 r 2 r U = ∫∫∫ ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) + ⋅ B (r , t ) ⋅ dV 2 2 ⋅ µ0 V Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Densidade de energia de onda eletromagnética plana e onda eletromagnética esférica Podemos calcular a densidade de energia média para uma onda eletromagnética plana e obtemos a equação mostrada ao lado. Analogamente, podemos calcular a densidade de energia média para uma onda eletromagnética esférica, e obtemos a equação mostrada ao lado. 1 2 u P = ⋅ ε 0 ⋅ E0 2 1 AE uE = ⋅ ε 0 ⋅ 2 2 r Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Intensidade e intensidade média Definimos intensidade de uma onda como a razão entre a sua potência e a área sobre a qual a onda incide. 2 d U I= dA ⋅ dt 1 dU I= ⋅ A dt Intensidade de uma onda O campo eletromagnético ao incidir sobre uma superfície provoca sobre ela uma dada intensidade, dada abaixo. r r I (r , t ) = u (r , t ) ⋅ c ⇒ I = u ⋅c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Intensidade e o vetor de Poynting Tanto para uma onda eletromagnética plana, quanto para uma onda eletromagnética esférica, associamos a intensidade do campo eletromagnético ao vetor de Poynting. I P,E r r 1 r = S P,E = ⋅ EP , E × BP , E µ0 [I ] = W / m 2 SI 1 Podemos obter expressões I P = ⋅ c ⋅ ε 0 ⋅ E02 para a intensidade de uma onda 2 eletromagnética plana e para uma 2 1 A onda eletromagnética esférica. I E = ⋅ c ⋅ ε 0 ⋅ 2E 2 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck r RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Momento linear e densidade de momento linear Embora não transporte massa, o campo eletromagnético troca momento linear com qualquer corpo. Para entendermos a origem do momento linear do campo eletromagnético, consideremos uma distribuição de cargas em movimento sobre a qual atua o campo elétrico e o magnético produzidos pela própria distribuição. Ao fazermos isso, obtemos a equação abaixo. [ ( )] r r d r Pm + ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV = 0 dt V Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO A Conservação do Momento Linear [ ( )] r r Analisemos com cuidado d r Pm + ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV = 0 a equação ao lado. dt V Esta equação estabelece uma lei de conservação entre o momento linear mecânico e uma grandeza associada ao campo eletromagnético, a qual tem unidade de momento linear. A partir daí, definimos o momento linear do campo eletromagnético como mostrado ao lado. [ ( )] r r r pem = ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV V Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO O momento linear do campo eletromagnético A partir da integral de volume obtida acima, podemos definir também a grandeza densidade de momento linear do campo eletromagnético. r r pem = ∫∫∫ g em ⋅ dV V [ pm ] = kg ⋅ m / s ⇒ r r 1 r r g em = ε 0 ⋅ E × B = 2 ⋅ S c SI [ pem ] = J ⋅ s / m Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck SI RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Momento linear de onda eletromagnética plana e de onda eletromagnética esférica Podemos obter uma expressão para o momento linear de uma onda eletromagnética plana. r 1 g emP ( x, t ) = ⋅ u P ( x, t ) ⋅ iˆ c U r U ˆ pemP = ⋅ i pemP = c c Podemos obter também uma expressão análoga para o momento linear de uma onda eletromagnética esférica. r 1 g emE (r , t ) = ⋅ u E (r , t ) ⋅ rˆ c r U pemE = ⋅ rˆ c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck pemE U = c RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Pressão Definimos pressão a partir da equação mostrada abaixo. r F 1 dp P= = ⋅ S S dt Definição de pressão [P] = N / m 2 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck SI RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Pressão de radiação Ao incidir sobre uma superfície, o campo eletromagnético troca momento linear como mostrado na figura ao lado. Esta variação no momento linear da radiação implica que ela executa sobre a parede uma pressão de radiação dada pela equação mostrada abaixo. r r 2 PR (r , t ) = 2 ⋅ u (r , t ) ⋅ cos θ [P] = J / m3 SI Definição de pressão de radiação Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Brilhância Definimos a grandeza brilhância como sendo a quantidade de energia irradiada em um ponto de uma cavidade por unidade de ângulo sólido, por unidade de volume, por um corpo aquecido a uma temperatura T. du n B= dΩ No caso particular da radiação ser emitida de forma isotrópica, a brilhância é dada pela equação abaixo. Ângulo sólido u u B= = Ω 4 ⋅π Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO Pressão de radiação de cavidade Em uma cavidade em equilíbrio térmico com o meio, a radiação eletromagnética também provoca uma pressão de radiação sobre as suas paredes. Neste caso, definimos a grandeza pressão de radiação de cavidade, e obtemos para ela o resultado mostrado abaixo. Pressão de radiação de cavidade PRC Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck 1 = ⋅u 3 RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Radiação de corpo negro e radiação de cavidade Abaixo mostramos alguns exemplos de corpos que emitem radiação quando aquecidos em altas temperaturas. Forno elétrico Mostramos também cavidades que representam um bom modelo para a radiação de corpo negro. Metal em forja Estrela Corpo Negro representado por uma cavidade Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Definição dos termos para a radiação Definimos radiância como sendo a quantidade de energia irradiada pelo elemento de área que contém P, por unidade de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma temperatura T. 2 d U R (P ) = dS ⋅ dt [R] = J / m 2 ⋅ s = W / m 2 Radiação emitida por um ponto de uma superfície aquecida Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck SI RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Definição dos termos para a radiação Seja agora a superfície S aquecida a uma temperatura T e portanto emitindo radiação como mostrado na figura abaixo. Neste caso, a radiância está relacionada com a intensidade da radiação como mostrado abaixo. R (P ) = I ⋅ cos θ = u ⋅ c ⋅ cos θ Radiação emitida por uma superfície aquecida Como podemos observar pela unidade desta grandeza, a radiância, nada mais é do que a intensidade da radiação emitida pela superfície S. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Radiância em termos da densidade de energia para a radiação de cavidade A partir da definição de brilhância feita anteriormente, obtemos a relação entre a radiância R e a densidade de energia u em uma cavidade. 1 RC = ⋅ u ⋅ c 4 Radiância de uma cavidade Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Características da radiação de corpo negro Definimos radiação térmica como sendo a radiação emitida por um corpo devido a sua temperatura. A radiância R, como definida anteriormente depende, pelo menos, da temperatura do corpo. R = R(T ) Um corpo aquecido emite e absorve radiação do meio que o cerca. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Radiância de corpos aquecidos RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Radiância espectral em termos do comprimento de onda Definimos radiância espectral Rλ (em termos do comprimento de onda) tal que a quantidade Rλ·dλ represente a taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nos comprimentos de onda entre λ e λ+dλ. dR Rλ (λ ) = dλ [Rλ ] = W / m 2 ⋅ m = W / m 3 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck SI RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Radiância espectral em termos da frequência Definimos radiância espectral Rν (em termos da frequência) tal que a quantidade Rν·dν represente a taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nas frequências entre ν e ν+dν. dR Rν (ν ) = dν [Rν ] = W / m 2 ⋅ Hz = J / m 2 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck SI RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Relação entre as radiâncias espectrais Rλ e Rν A radiância R(T) nada mais é do que a soma (integral) de todas as diferenciais de radiâncias espectrais. ∞ ∞ 0 0 R(T ) = ∫ Rλ (λ ) ⋅ dλ = ∫ Rν (ν ) ⋅ dν Desta forma, impondo a igualdade das diferenciais de cada termo obtemos uma relação entre Rν(ν) e Rλ(λ). Rλ (λ ) = c λ 2 ⋅ Rν (ν ) = ν 2 c ⋅ Rν (ν ) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck ν= c λ RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Densidades espectrais de energia uλ e uν Analogamente, definimos a densidade espectral de energia uλ(λ) em termos do comprimento de onda. du u λ (λ ) = dλ ∞ ⇒ u = ∫ uλ (λ ) ⋅ dλ 0 Da mesma forma, definimos a densidade espectral de energia uν(ν) em termos da frequência. du uν (ν ) = dν ∞ ⇒ u = ∫ uν (ν ) ⋅ dν 0 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Propriedades das densidades espectrais de energia uλ e uν As densidades espectrais de energia uν(ν) e uλ(λ) estão relacionadas com as respectivas radiâncias espectrais Rν(ν) e Rλ(λ) através das equações mostradas abaixo. 1 Rλ (λ ) = ⋅ uλ (λ ) ⋅ c 4 ⇒ 1 Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) ⋅ c 4 Por sua vez, as densidades ν2 c espectrais de energia uν(ν) e uλ(λ) uλ (λ ) = 2 ⋅ uν (ν ) = ⋅ uν (ν ) λ c estão relacionadas entre si através de c uma relação similar àquela para as ν= radiâncias espectrais Rν(ν) e Rλ(λ). λ Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Emissão de radiação por corpos aquecidos Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em um espectro contínuo, com maior intensidade na região do infravermelho (IR). Corpos aquecidos emitindo radiação Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio termodinâmico através de trocas de energia. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Algumas definições Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo como sendo a energia emitida por unidade de área e por unidade de tempo. Definimos a absorvidade ou absorbância (a) como sendo a fração da energia incidente sobre a superfície de um corpo que é absorvida por ele. A emissividade de um corpo A absorbância de um corpo e o seu processo de medida Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Primeiros e antigos resultados experimentais Em 1853 William Ritchie obteve o resultado abaixo, usando um termômetro diferencial. e1 e2 = a1 a 2 Termômetro Diferencial de Leslie Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Conclusões e definições a partir do resultado de Ritchie Vamos considerar a situação em que um corpo (por exemplo o corpo 2 → N), absorva totalmente a radiação que incide sobre ele, ou seja, aN = 1. a2 = a N = 1 ⇒ e1 eN = a1 N é CORPO NEGRO Como por definição temos que a1 < 1, então este fato implica que eN > e1. a1 < 1 ⇒ e N > e1 O corpo N (corpo negro) tem a maior absorbância e a maior emissividade possível entre todos os corpos!!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A procura por uma lei para a dependência da emissividade com a temperatura Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente da emissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav Robert Kirchoff (1824-1887). Kirchoff foi um cientista versátil que formulou a conhecida Lei dos Nós e das Malhas (Leis de Kirchoff dos Circuitos Elétricos) em 1845, quando ainda era estudante. Gustav Kirchoff (1824-1887) Em 1854 desenvolveu trabalhos de espectroscopia na Universidade de Heidelberg onde descobriu os elementos químicos Cs e Rb. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O trabalho de Kirchoff A chamada Lei de Kirchhoff da Radiação Térmica declara que “em equilíbrio térmico, a emissividade de um corpo (ou superfície) é igual à sua absorbância”. A partir desta formulação Kirchoff concluiu que a emissividade de um corpo negro é uma função universal independente da forma, tamanho e composição química do corpo. eN = eN (T ) Assim, a emissividade de um corpo negro deve depender apenas da sua temperatura. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O artigo de Kirchoff sobre a radiação térmica Em 1859 Kirchoff propôs a lei de emissão de radiação térmica comprovando-a em 1861. Kirchoff publicou o artigo “Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme” na revista Monatsberichte der Akademie der Wissenchaften zu Berlin, December, p. 783-787. Ilustração de Kirchoff com o seu espectroscópio Em português o título deste artigo é “Sobre a relação entre a emissão e a absorção de luz e calor”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O trabalho de Tyndall Em 1864 John Tyndall (1820-1893) realizou em experimento envolvendo a radiação emitida por um fio de platina em duas temperaturas diferentes. Tyndall foi um dos precursores da ciência hoje conhecida como climatologia. John Tyndall (1820-1893) Arranjo experimental desenvolvido por Tyndall para medir a concentração de CO2 na atmosfera Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Resultados numéricos obtidos por Tyndall Tyndall foi um excelente experimentador, e graças a esta capacidade foi capaz de medir a emissividade de um fio de platina a duas temperaturas distintas. T1 = 525 °C ⇒ T1 = 798 K T2= 1200 °C ⇒ T2 = 1473 K Tyndall obteve que a emissividade do fio de platina a 1200 °C era 11,4 vezes a emissividade do fio a 525 °C. Fio de platina e (T2 ) = 11, 4 ⋅ e (T1 ) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Resultados sistematizados por Stefan Foi apenas em 1879 que Joseph Stefan (1835-1893) sistematizou os dados de Tyndall e encontrou uma relação direta entre a emissividade e a temperatura do corpo. A descoberta desta lei permitiu que Stefan estimasse a temperatura do Sol como sendo em torno de 5.430 C. Joseph Stefan (1835-1893) Placa na casa onde nasceu Stefan. Tradução: Nesta casa nasceu o físico Josef Stefan, em 24 de Março de 1835, descobridor das leis da radiação que levam o seu nome. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo de Stefan A partir dos dados obtidos por Tyndall, determinou a relação entre radiância e temperatura. Stefan Stefan inicia seu trabalho propondo uma relação de potência entre a emissividade (radiância) e a temperatura, como mostrado abaixo. Proposta de Stefan ⇒ R(T ) = σ ⋅ T Do ajuste de curvas da Física Experimental Stefan determinou o valor da constante n, aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação acima. n R log 2 R1 n= T log 2 T1 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A determinação da lei de potência Stefan usou então os dados de Tyndall, mostrados novamente abaixo. Dados de Tyndall T1 = 525 °C ⇒ T1 = 798 K R2/R1 = e2/e1 = 11,4 T2= 1200 °C ⇒ T2 = 1473 K Stefan então determinou o valor para a constante n. log(11,4) n= 1473 n = 4,00 ⇒ log 798 Fórmula de Stefan R(T ) = σ ⋅ T 4 σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4 ⇒ constante de StefanBoltzmann Posteriormente, Stefan determinou o valor da constante σ obtendo o valor de 5,67×10-8 W/m2⋅K4. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O artigo de Stefan Stefan escreveu o artigo “Über die Beziehung swischen der Wärmstrahlung und der Temperatur” na revista Wiener Berichte, volume 79, pg. 391-428. Em português o título de artigo é “Sobre a relação entre calor e temperatura”. Busto de Stefan Instituto Josef Stefan em Ljubljana - Slovênia Selo austríaco comemorativo aos 100 anos de Stefan Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Primeiros resultados para a radiância espectral Rλ Os primeiros bons resultados experimentais do espectro de emissão de um corpo aquecido foram obtidos no Physicalisch-Technische Reichsanstall, atual Max Planck Institute. Physicalisch-Technische Reichsantall em fotografias de 1913 e de 2012, além do seu brasão Laboratório de Lummer onde foram feitas medidas da radiação de corpo negro Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Primeiras curvas para a radiância espectral Rλ Ao lado mostramos resultados experimentais obtidos por Otto Lummer (1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-1917) em 1899. Este resultado foi obtido Physicalisch-Technische Reichsanstall. Otto Lummer (1860-1925) Espectro de corpo negro obtido por Lummer e Pringsheim Ernst Pringsheim (1859-1917) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck no RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Principais medidas de curvas para a radiância espectral Rλ Colaboradores importantes deste laboratório foram Heinrich Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (18571927). Foram deles as principais medidas com as quais Max Planck comparou seu modelo teórico. Heinrich Rubens (1865-1922) Equipamento original usado por Rubens e Kurlbaum Ferdinand Kurlbaum (1857-1927) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Lei de Deslocamento de Wien É possível obter um resultado numérico muito importante a partir das curvas para Rλ(λ). Este resultado é conhecido como Lei de Deslocamento de Wien. A Lei de Deslocamento de Wien foi verificada experimentalmente inúmeras vezes. A confirmação mais cuidadosa desta lei foi obtida por Friedrich Paschen (1865-1947) em 1899. Friedrich Paschen (1865-1947) Lei de Deslocamento de Wien ⇒ λMAX ⋅ T = b Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Determinação da constante b Abaixo mostramos uma comparação entre o resultado obtido por Lummer e Pringsheim com aquele obtido a partir de medidas atuais mais precisas. λMAX ⋅ T = b bL&P = 2,94×10-3 m⋅K bA = 2,89×10-3 m⋅K Em cerca de 115 anos houve uma melhora de cerca de 2% na precisão deste resultado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro Para obtermos resultados teóricos para a emissão de radiação, construímos um modelo para a Radiação de Corpo Negro. Este modelo deve ser tal que o ente que representa o Corpo Negro absorva toda radiação que incide sobre ele, ou seja, aN = 1. CORPO NEGRO É O ORIFÍCIO!! CORPO NEGRO É A CAVIDADE!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO As considerações de Boltzmann para a radiação térmica Em 1884, Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906) demonstrou rigorosamente a relação obtida por Stefan. Boltzmann partiu do princípio que o corpo negro é modelado como sendo uma cavidade. Boltzmann considerou ainda a radiação como sendo uma máquina térmica, sujeita às leis da Termodinâmica. Ludwig Boltzmann (1844-1906) Assim, Boltzmann pôde usar o resultado obtido para a pressão de radiação dentro da cavidade como sendo a pressão de radiação do corpo negro. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro Boltzmann demonstrou o resultado Stefan usando apenas obtido por argumentos da Termodinâmica, aliados com a Teoria Eletromagnética de Maxwell. R(T ) = σ ⋅ T Túmulo de Boltzmann em Viena 4 σ = 5,67× ×10-8 W/m2 ⋅K4 Boltzmann considerou que a radiação é composta de “partículas”, à semelhança de um gás ideal. Com isto, Boltzmann pôde tratar a radiação como um sistema de partículas não-interagentes entre si. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A aplicação da 1a Lei da Termodinâmica Assim, Boltzmann impôs que a cavidade estava em equilíbrio termodinâmico com o meio, trocando calor com ele, a uma mesma temperatura T. Desta forma, Boltzmann pôde aplicar a 1a Lei da Termodinâmica à cavidade. dU = ∂Q − ∂W U: energia interna da cavidade Q: quantidade de calor dentro da cavidade W: trabalho mecânico realizado pela radiação Devemos nos lembrar que a cavidade representa o corpo negro, logo as propriedades da radiação de cavidade são as propriedades da radiação de corpo negro. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A aplicação da 2a Lei da Termodinâmica Boltzmann também aplicou a 2a Lei da Termodinâmica à cavidade. ∂Q = T ⋅ dS Q: quantidade de calor dentro da cavidade T: temperatura da cavidade S: entropia da radiação presente na cavidade Boltzmann usou também a relação entre trabalho mecânico e pressão. ∂W = P ⋅ dV P: pressão que a radiação provoca nas paredes da cavidade W: trabalho mecânico realizado pela radiação V: volume da cavidade Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia interna da radiação na cavidade A combinação da 1a e da 2a Lei da Termodinâmica mais a definição de trabalho mecânico levam à equação mostrada abaixo. T ⋅ dS = P ⋅ dV + dU Relação de escala entre energia e volume U (V , T ) = u (T ) ⋅ V Nesta equação está implícita a hipótese de Boltzmann que a radiação contida na cavidade é proveniente de um corpo negro a uma dada temperatura T. Boltzmann usou o fato que a energia interna U é uma função de estado e pôde então escrever a equação ao lado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A pressão de radiação da cavidade Para escrever esta última equação, reproduzida abaixo, Boltzmann usou o fato já conhecido que a densidade de energia u depende apenas da temperatura, isto é, u = u(T). U (V , T ) = u (T ) ⋅ V 1 P = ⋅u 3 u (T ) = γ ⋅ T 4 Por fim, Boltzmann levou em conta a pressão de radiação em uma cavidade que contém a radiação. Após alguma manipulação matemática, Boltzmann finalmente chegou ao resultado final entre densidade de energia u e temperatura T, mostrado ao lado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A Equação de Stefan-Boltzmann Para obter a relação entre radiância e temperatura usamos o fato que a densidade de energia e a radiância são proporcionais, como já visto anteriormente. c R (T ) = u (T ) ⋅ 4 ⇒ R (T ) = γ ⋅c 4 ⋅T 4 Definimos então a constante de Stefan-Boltzmann σ em termos desta constante de integração γ. σ= γ ⋅c 4 ⇒ R(T ) = σ ⋅ T 4 σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4 ⇒ constante de StefanBoltzmann Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A entropia do campo de radiação A partir do resultado entre densidade de energia e temperatura Boltzmann pôde calcular a entropia do campo de radiação. Após alguma manipulação matemática, Boltzmann obteve então o resultado mostrado ao lado. 16 ⋅ σ 3 S (V , T ) = T ⋅V 3 Radiação eletromagnética em uma cavidade Manifestantes “contra” a 2a Lei da Termodinâmica Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O artigo de Boltzmann Boltzmann publicou estes resultados no artigo “Ableitung des Stefan’schen Gesetzes betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus na revista der elektromagnetischen Lichttheorie” Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 22, pg. 291-294. Frase de Boltzmann Em português o título deste artigo é “Derivação da Lei de Stefan relacionada com a dependência da radiação de calor e da temperatura com a teoria eletromagnética da luz”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Os estudos de Wien sobre a radiação térmica De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien (1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos para obter uma expressão para a densidade espectral de em energia uν(ν,T). Prêmio Nobel de Física de 1911 – “pelas descobertas das leis de irradiação do calor” Wilhelm Wien (1864-1928) Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO As hipóteses de Wien no artigo de 1893 Wien considerou o Efeito Doppler que sofre uma radiação ao incidir sobre uma parede espelhada em movimento. Wien simulou o movimento de um pistão dentro do cilindro, atribuindo á radiação uma característica mecânica. Esquema da reflexão de raios de luz no interior de uma esfera que se contrai Wien considerou o corpo negro como sendo modelado por uma esfera oca que que se contrai uniformemente a uma velocidade v = dr/dt. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O Efeito Doppler aplicado à radiação de cavidade Wien, a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann, aplicando a Termodinâmica à radiação contida em cada intervalo de frequência entre ν e ν + dν. Após um cálculo exaustivo, Wien então obteve uma equação que relaciona a densidade espectral de energia em termos de uma função desconhecida f(ν/T). Esquema do Efeito Doppler Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Wien A expressão obtida por Wien é mostrado abaixo. ν uν (ν ) = ν ⋅ f T 3 O problema é quer nem os princípios e relações básicas da Termodinâmica, nem do Eletromagnetismo permitem determinar a forma funcional da função f(ν/T). Embora a derivação da fórmula de Wien fosse calcada em uma hipótese ad hoc, seu resultado teve o mérito incontestável de reproduzir corretamente a Lei do Deslocamento de Wien, além da Lei de Stefan-Boltzmann. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann Vamos inicialmente mostrar que a fórmula de Wien conduz à Lei de Stefan-Boltzmann. Faremos isto sem precisar conhecer a forma funcional da função f(ν/T). Para isto basta integrar a função uν(ν) em todo o espectro de frequências, além de no processo de integração fazer uma mudança de variáveis adequada. ∞ c R(T ) = ⋅ ∫ uν (ν , T ) ⋅ dν 4 0 ν uν (ν , T ) = ν ⋅ f ⇒ T 3 R(T ) = σ ⋅ T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck 4 RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A expressão para uλ (λ λ,T) Também podemos mostrar que que a fórmula de Wien conduz à Lei de Deslocamento de Wien. Para esta demonstração é necessário escrever a fórmula de Wien em termos do comprimento de onda da radiação ao invés da frequência. Para obter este resultado, usamos a relação direta existente entre uν(ν) e uλ(λ). uλ (λ ) = c λ 2 ⋅ uν (ν ) ν= c λ ⇒ u λ (λ , T ) = 1 λ 5 ⋅ g (λ ⋅ T ) Na equação acima a função g(λ⋅T) também tem sua forma funcional desconhecida. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Wien e a Lei de Deslocamento de Wien A origem do nome “lei de deslocamento” deve-se ao fato de que o comprimento de onda no qual a densidade espectral de energia é máxima, se “desloca” tal que ele é inversamente proporcional à temperatura. Este resultado pode ser deduzida a partir da relação uλ(λ). u λ (λ , T ) = duλ (λ ) dλ 1 λ 5 ⋅ g (λ ⋅ T ) λ = λMAX ⇒ =0 λMAX ⋅ T = b O valor da constante b depende, obviamente da forma da função g(λ⋅T), que na fórmula de Wien é desconhecida. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O problema a ser resolvido: determinar g(λ,T) Abaixo estão as curvas experimentais a serem modeladas, bem como as expressões matemáticas conhecidas associadas a elas. ν MAX T λMAX ⋅ T = b =a RλMAX ∝ T 5 Espectro em frequência RνMAX ∝ T 3 Espectro em comprimento de onda Os comportamentos de νMAX, λMAX, RνMAX e RλMAX com a temperatura, todos são explicados pela fórmula de Wien. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A procura da função uν(ν ν,T) A fórmula de Wien não explicita a função uν(ν,T). Desta forma, a fórmula de Wien apenas serve como guia para a determinação exata da função uν(ν,T). Com isso, torna-se necessário construir um modelo teórico com base em primeiros princípios. Estes primeiros princípios devem ser Termodinâmica e as Equações de Maxwell. as leis da Por outro lado, como já vimos, com a fórmula de Wien ao menos é possível demonstrar a Lei de Deslocamento de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Resultados do Modelo Empírico de Wien (artigo de 1893) Assim, as fórmulas abaixo todas elas são obtidas sem que seja necessário conhecer a forma funcional de f(ν/T). ν MAX T = a RνMAX ∝ T 3 λMAX ⋅ T = b RλMAX ∝ T 5 R(T ) = σ ⋅ T 4 Para determinar a forma funcional de f(ν/T) Wien fez então uma conjectura. Uma conjectura é uma ideia, fórmula ou frase, a qual não foi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou ideias com fundamento não verificado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A conjectura de Wien expressa no artigo de 1896 A Conjectura de Wien: a densidade espectral de energia deve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para a distribuição de velocidades de moléculas de um gás. Abaixo transcrevemos as próprias palavras de Wien. “ ...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricas das moléculas podem excitar ondas eletromagnéticas ... e como o comprimento de onda λ da radiação emitida por uma dada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidade também é uma função de λ”. Esta conjectura permitiu que a forma funcional de f(ν/T) fosse proporcional a exp(-β⋅ν/T), onde β é uma constante. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A conjectura de Wien e a forma funcional de f (,T) Assim, a Conjectura de Wien permitiu que ele formulasse a seguinte proposta para uν(ν) mostrada abaixo. ν uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ T 3 Na equação ao lado, α e β são constantes a serem determinadas. Wien usou então as relações entre uν(ν) e uλ(λ) para obter a expressão para uλ(λ) e obteve o resultado mostrado abaixo. uλ (λ ) = c λ 2 ⋅ uν (ν ) ν= c λ ⇒ β ⋅c u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp − λ λ ⋅T 4 1 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO As limitações do Modelo Empírico de Wien A equação obtida por Wien não é correta para todo o espectro de frequências. A equação proposta por Wien concorda muito bem para altas frequências, mas é ruim para baixas frequências. Isto é observado como os resultados apresentados na figura ao lado. ν uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ T 3 Espectro em frequência Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Ainda as limitações do Modelo Empírico de Wien Da mesma forma, a equação correspondente uλ(λ) concorda muito bem para comprimentos de onda pequenos, mas é ruim para comprimentos de onda elevados. Isto também é observado como os resultados apresentados na figura ao lado. β ⋅c u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp − λ λ ⋅T 4 1 Espectro em comprimento de onda Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo das constantes α e β É possível calcular valores para as constantes α e β em termos de b (Lei de Deslocamento de Wien) e σ (constante de Stefan-Boltzmann), além da velocidade da luz c. Para isto impomos as condições que envolvem cada uma destas leis, como mostrado abaixo. ∞ ∫ Rν (ν )⋅ dν = σ ⋅ T o duλ (λ ) dλ 4 3 ν 4 ⋅ α ⋅ c = σ ⋅ β uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ ⇒ 2 T 3 β ⋅c 4 ⇒ = 0 u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp − λ λ ⋅T 1 λ = λMAX Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck 5⋅b β= c RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O valor das constantes α e β A partir destas expressões, calculamos então as constantes em termos de σ, b e c e obtemos as relações abaixo. 1250 ⋅ σ ⋅ b α= 5 3⋅ c 4 5⋅b β= c b = 2,89×10-3 m⋅K σ = 5,67×10-8 W/m2⋅K4 c = 2,9979×108 m/s Com os valores das constantes b, σ e c mostradas acima, os valores calculados de α e β são apresentados abaixo. α = 6,81×10 −58 kg ⋅ s 2 / m β = 4,82 ×10 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck −11 K ⋅s RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O primeiro trabalho de Wien Em 1893 Wien publicou o artigo “Ein neue Beziehung der Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der Wärmertheorie” na revista Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften de 09 de Fevereiro, pg. 55-62. Em português o título deste artigo é “Uma nova relação da radiação de corpo negro em termos de dois conjuntos principais da teoria do calor”. Wien com os filhos Gerda, Hildegard e Karl em fotografia de 1910 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O segundo trabalho de Wien Já em 1894 Wien publicou o artigo “Temperatur und Entropie der Strahlung” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 52, pg. 132-165. Em português o título deste artigo é “Temperatura e entropia da radiação”. Ilustração de Wien com frase elogiosa de Max von Laue Wien com a esposa Luise e os filhos Gerda, Karl, Waltraut e Hildegard em fotografia de 1919 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O terceiro trabalho de Wien Por fim em 1896 Wien publicou o artigo “Über die Energievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzen Körpers” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 58, pg. 662-669. Selo sueco em homenagem aos 100 anos do Prêmio Nobel de Wien Em português o título deste artigo é “Sobre a distribuição de energia no espectro de emissão de um corpo negro”. Selo sueco em comemoração ao Prêmio Nobel de Wien Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Os estudos de Sir Rayleigh sobre a radiação térmica No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt (1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien. Strutt herdou o título de Barão de Rayleigh após a morte de seu pai em 1873 e a partir desta data passou a ser conhecido como Lord Rayleigh. Prêmio Nobel de Física de 1904 – “pelas investigações sobre as densidades dos gases e pela descoberta do Argônio” John Strutt – Lord Rayleigh (1842-1919) Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A crítica de Lord Rayleigh à Lei de Wien Em seu trabalho sobre o tema da radiação térmica Lord Rayleigh comentou a necessidade de se determinar a forma correta da função g(λ⋅ λ⋅T), já que equação proposta por Wien é λ⋅ “pouco mais do que uma conjectura”. Além disso, Lord Rayleigh afirmou que “esta lei parece ser de difícil aceitação, especialmente a implicação que à medida que a temperatura aumenta, a radiação para um dado comprimento de onda se aproxima de um limite”. Lord Rayleigh sugeriu então uma “modificação na lei de Wien, a qual parece ser mais provável, a priori”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O uso do Teorema da Equipartição da Energia Por outro lado, Lord Rayleigh indicou que “Especulação sobre este assunto é impedida pelas dificuldades que decorrem do Teorema da Equipartição da Energia a partir da Estatística de Maxwell-Boltzmann”. Este teorema, baseado na Estatística de MaxwellBoltzmann, implicitamente admite que qualquer modo de vibração é igualmente favorecido no que diz respeito à sua contribuição para a energia total do sistema. Quando falava em “modos de vibração” Lord Rayleigh se referia aos modos de oscilação do campo eletromagnético de radiação dentro de uma cavidade (corpo negro). Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Os modos normais de oscilação do campo de radiação Lord Rayleigh deixa claro em seu trabalho que, embora a Estatística de Maxwell-Boltzmann falhe ao ser aplicada para todas as frequências, ela parece ser aplicável para modos mais graves, isto é, aqueles correspondentes a baixas frequências. A partir destas considerações, Lord Rayleigh admitiu que a Radiação de Corpo Negro pôde ser tratada como radiação de cavidade. Nestas condições, o campo eletromagnético responsável pela emissão de radiação pôde ser tratado a partir de seus modos normais de vibração (ou modos de oscilação). Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Os limites da proposta de Rayleigh Ao utilizar o Teorema da Equipartição da Energia e a Estatística de Maxwell-Boltzmann Lord Rayleigh chegou ao resultado no qual a densidade espectral de energia uλ era proporcional a λ-4, que ele entendia ser adequado para altos valores de comprimento de onda. Nas conclusões de seu trabalho Lord Rayleigh reconheceu que o resultado obtido por ele não se adequava à fórmula de Wien. Para contornar esta dificuldade Lord Rayleigh indicou que a lei completa da radiação devia ser o produto de seu resultado (∝ λ-4) pela exponencial exp(- β/λ⋅T)!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A contribuição de Jeans Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, Lord Rayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica. Este erro foi observado em 1905 pelo físico inglês James Hopwood Jeans (1877-1946). Por causa desta correção, a teoria clássica da radiação de corpo negro é conhecida como Modelo de Rayleigh-Jeans. James Jeans (1877-1946) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Frase de Jeans RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO As hipóteses do Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans A hipótese fundamental deste modelo é que o campo de radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo negro que o emite. Com esta hipótese, Lord Rayleigh considerou a troca de energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os modos de oscilação do campo eletromagnético existentes dentro da cavidade (corpo negro). Desta forma, Lord Rayleigh pôde aplicar o Teorema da Equipartição da Energia ao problema da radiação de corpo negro. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O Teorema da Equipartição da Energia Vamos relembrar o Equipartição da Energia. enunciado do Teorema da Teorema da Equipartição de Energia Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia elementar kB⋅T. Lembremos que a constante de Boltzmann admite o valor kB = 1,38×10-23 J/K. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia total do campo de radiação Desta forma, a energia total contida no campo de radiação com frequência entre ν e ν + ∆ν é dada abaixo. ∆U = k B ⋅ T ⋅ ∆n Nesta equação ∆n é o número de modos normais de oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com frequência entre ν e ν + ∆ν. Aqui é importante lembrar que ν é uma variável contínua, ao passo que n expressa uma quantidade discreta!!! O problema então passa a ser construir um modelo para o cálculo de ∆n. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O campo de radiação dentro da cavidade Para este cálculo, Lord Rayleigh considerou a radiação de corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro de uma cavidade a uma dada temperatura T. Lord Rayleigh levou em conta ainda que a cavidade era feita com material condutor. Desta forma, o campo elétrico na superfície da cavidade deve ser nulo!!! Cavidade cúbica de aresta a e volume a3 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A cavidade cúbica Por simplicidade de cálculo, consideramos a forma geométrica mais simples para a cavidade. Desta forma, a cavidade tem uma forma de um cubo de aresta a, e assim o seu volume é V = a3 . O campo eletromagnético dentro da cavidade, além da equação de onda, deve obedecer também condições de contorno adequadas. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A Equação de Onda para o campo de radiação na cavidade Vamos voltar a escrever a equação de onda para o campo eletromagnético. r 1 2 ∇ E− 2 c r 1 2 ∇ B− 2 c r 2 ∂ E ⋅ 2 =0 ∂t r 2 ∂ B ⋅ 2 =0 ∂t Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO As condições de contorno para o campo de radiação Lembremos que as paredes da cavidade cúbica são de material condutor, o que implica em condições de contorno adequadas. Estas condições são tais que o campo elétrico e magnético são nulos nas paredes da cavidade. r r E (0, y, z , t ) = E (a, y, z, t ) = 0 r r B (0, y, z , t ) = B(a, y, z , t ) = 0 r r E (x,0, z , t ) = E ( x, a, z , t ) = 0 r r B(x,0, z , t ) = B(x, a, z , t ) = 0 r r E ( x, y,0, t ) = E (x, y, a, t ) = 0 r r B(x, y,0, t ) = B( x, y, a, t ) = 0 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Ondas eletromagnéticas harmônicas no tempo Vamos considerar que a onda eletromagnética seja composta de ondas harmônicas no tempo, de frequência ν. Assim, tanto o campo elétrico quanto o campo magnético devem ser expressos como abaixo. r r − i⋅ω ⋅t E ( x, y , z , t ) = E ( x, y , z ) ⋅ e r r B( x, y, z , t ) = B(x, y, z ) ⋅ e −i⋅ω ⋅t r r E⊥B ω = 2 ⋅ π ⋅ν Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A Equação de Helmholtz Substituímos esta proposta de solução na equação de onda e encontramos a chamada Equação de Helmholtz. r r 2 ∇ E ( x, y , z ) + k ⋅ E ( x, y , z ) = 0 r r 2 2 ∇ B ( x, y , z ) + k ⋅ B ( x, y , z ) = 0 2 k= ω c A constante k (número de onda) satisfaz a condição expressa ao lado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A solução da Equação de Helmholtz A solução da Equação de Helmholtz para o campo elétrico no caso de uma cavidade cúbica de paredes condutoras é dada abaixo. ny ⋅ π nx ⋅ π n ⋅π E x ( x, y, z ) = E0 x ⋅ sin ⋅ x ⋅ cos ⋅ y ⋅ cos z ⋅ z a a a ny ⋅ π n ⋅π n ⋅π E y ( x, y, z ) = E0 y ⋅ cos x ⋅ x ⋅ sin ⋅ y ⋅ cos z ⋅ z a a a ny ⋅π nx ⋅ π n ⋅π E z ( x, y, z ) = E0 z ⋅ cos ⋅ x ⋅ cos ⋅ y ⋅ sin z ⋅ z a a a Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O espaço de variáveis discretas Nas equações acima, temos ainda que nx, ny e nz são números inteiros positivos e não nulos. Após alguma manipulação obtemos relacionando estes números nx, ny e nz. Trata-se da equação de uma “esfera” nas variáveis discretas nx, ny e nz. uma equação 4⋅a 2 n + n + n = 2 ⋅ν c 2 2 x 2 y 2 z O número de modos ∆n é diretamente proporcional ao “volume” de uma “casca esférica” no espaço das variáveis discretas nx, ny e nz. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A casca esférica no espaço de variáveis discretas Para ser preciso, o número de modos ∆n é proporcional ao volume desta “casca esférica” contida no octante positivo. Isto ocorre pois números nx, ny e nz são números inteiros e positivos. Após alguma manipulação, obtemos a relação abaixo. Espaço de variáveis nx, ny e nz 3 a 2 ∆n' = 4 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ν ⋅ ∆ν c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O número de modos de oscilação do campo de radiação Entra aqui a contribuição dada por Jeans em 1905 e ignorada por Lord Rayleigh em 1900. Jeans considerou que o campo eletromagnético tem dois estados de polarização possíveis. Desta forma, o número de estados calculado por Lord Rayleigh deve ser multiplicado por dois. ∆n = 2 ⋅ ∆n' 3 ⇒ a 2 ∆n = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ν ⋅ ∆ν c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo da energia da radiação na cavidade Após o cálculo do número de modos de oscilação do campo eletromagnético ∆n com frequências entre ν e ν + dν, podemos então determinar a energia do campo de radiação ∆U. Lembremos que no modelo clássico proposto por Lord Rayleigh a energia do campo de radiação é diretamente proporcional a ∆n. ∆U = k B ⋅ T ⋅ ∆n 3 ⇒ a 2 ∆U = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν ⋅ ∆ν c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A passagem para o contínuo de frequências Como a frequência do campo eletromagnético é uma variável contínua, podemos obter a energia do campo de radiação dU com frequências entre ν e ν + dν fazendo a troca da diferença ∆U pela diferencial dU. a3 dU = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν c Com o resultado ao lado, determinamos então a densidade de energia do campo de radiação du na cavidade cúbica. 1 1 a3 8 ⋅π 2 du = ⋅ dU = 3 ⋅ 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν ⇒ du = ⋅ k ⋅ T ⋅ ν ⋅ dν B 3 V a c c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo da radiância espectral Com este resultado, determinamos então a densidade espectral de energia do campo de radiação uν. 8 ⋅π du = 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν c ⇒ du 8 ⋅ π uν = = 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 dν c Por fim, para poder comparar com os resultados experimentais, calculamos a radiância espectral do campo de radiação Rν. c Rν = ⋅ uν 4 ⇒ 2 ⋅π 2 Rν (ν ) = 2 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A comparação com os resultados experimentais Vamos agora fazer a comparação entre o resultado teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas argumentos clássicos com os resultados calculados para Rν(ν) a partir dos resultados experimentais de Rλ(λ). 2 ⋅π 2 Rν (ν ) = 2 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν c Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados calculados para a radiância espectral Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Mais comparação com os resultados experimentais Podemos também fazer a comparação entre o resultado teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas argumentos clássicos com os resultados experimentais para Rλ(λ). Rλ (λ ) = c λ 2 ⋅ Rν (ν ) Rλ (λ ) = 2 ⋅ π ⋅ c ⋅ k B ⋅ T ⋅ 1 λ4 Comparação entre o resultado sugerido por Lord Rayleigh e os resultados experimentais para a radiância espectral Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A catástrofe do ultravioleta Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtido por Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campo eletromagnético contido na cavidade. ∞ U = a 3 ⋅ ∫ uν ⋅ dν 0 ∞ 3 8 ⋅ ⋅ a π 2 U = a3 ⋅ ⋅ k ⋅ T ⋅ ν ⋅ dν B 3 ∫ c 0 U →∞ Ao aparecimento deste absurdo e impossível infinito no resultado, dá-se o nome de catástrofe do ultravioleta. É importante frisar que o absurdo da catástrofe do ultravioleta era do conhecimento de Lord Rayleigh. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O artigo de Lord Rayleigh Os resultados de Lord Rayleigh foram publicados em 1900 no artigo “Remarks upon the law of complete radiation” na revista Philosophical Magazine, volume 49, pg. 539-540. Em português o título deste artigo é “Apontamentos sobre a lei da radiação completa”. Fotografia de Lord Rayleigh e William Ramsay em 1894 Selo sueco de 1964 em comemoração aos 60 anos do Prêmio Nobel de Lord Rayleigh Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A necessidade de um novo modelo O quadro abaixo mostra a situação encontrada por Max Planck quando ele resolveu atacar o problema da radiação de corpo negro a partir dos primeiros princípios da Física. CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA NECESSIDADE DE UM NOVO MODELO PARA DESCREVER AS TROCAS DE ENERGIA ENTRE A RADIAÇÃO E A MATÉRIA ⇒ MODELO CLÁSSICO É INADEQUADO ⇓ ⇐ FALHA AO USAR O TEOREMA DA EQUIPARTIÇÃO DA ENERGIA Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 1. Introdução 2. A Física no Final do Século XIX 3. Propriedades do Campo de Radiação a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação 4. A Radiação de Corpo Negro a. Resultados Experimentais b. Modelos Teóricos - A Demonstração de Boltzmann - Modelo de Wien - Modelo de Rayleigh-Jeans - Modelo de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Um pouco de história Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professor na Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900, sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica. Prêmio Nobel de Física de 1918 – “por trabalhos no desenvolvimento da Física e pela descoberta dos quanta de energia” Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio Nobel de Física Max Planck (1858-1947) Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A importância do contato entre teóricos e experimentais Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanente com os pesquisadores do Physicalisch-Technische Reichsanstall, tais como Lummer, Pringsheim, Rubens e Kurlbaum, já citados anteriormente. Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro a Outubro, estes cientistas haviam obtido uma curva experimental para a radiação emitida por um corpo negro. Espectro de corpo negro Como já vimos, estes resultados contradiziam o modelo teórico apresentado por Wien em 1896. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Um problema que exige uma abordagem multidisciplinar Planck decidiu então abordar o problema da radiação de corpo negro, já que havia um desafio em obter um modelo teórico que explicasse o resultado experimental. Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula que fornecia um excelente ajuste a todos os resultados experimentais conhecidos. Nos três meses seguintes, Planck justificativa teórica para a sua fórmula. buscou uma Para chegar ao resultado final, Planck utilizou argumentos da Teoria Eletromagnética, da Termodinâmica e da recém fundada Mecânica Estatística. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A emissão de radiação por osciladores radiantes Como vemos, Planck procurou por um modelo teórico que levasse em conta todos as grandes teorias existentes na sua época. Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck, ao que parece, não conhecia ou não deu importância aos resultados obtidos por Lord Rayleigh. Planck considerou que o emissor de radiação eram as cargas elétricas presentes na superfície do corpo negro. Assim, estas cargas elétricas comportavam-se como osciladores radiantes. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Os osciladores radiantes e a entropia Segundo Planck, as cargas elétricas oscilavam excitadas pela temperatura do corpo aquecido. Desta forma, para Planck era muito importante utilizar os conceitos da Teoria Eletromagnética. Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitos da Termodinâmica. Ele percebeu que o conceito de entropia deveria desempenhar um papel importante no processo de troca de energia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O primeiro artigo: correção da fórmula de Wien Por fim, como havia um número muito grande de osciladores presentes na matéria, Planck considerou importante usar os conceitos da Mecânica Estatística. No artigo “Sobre um aperfeiçoamento da fórmula de Wien” de 1900, Planck mostrou que a fórmula de Wien não era válida para todas as frequências emitidas pelo corpo negro. Como sabemos, a fórmula de Wien é apenas aproximadamente correta como caso limite de grandes frequências. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Osciladores carregados em movimento harmônico simples Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiação emitida por um corpo aquecido era proveniente das cargas das paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura. Planck considerou a situação mais simples, na qual as cargas aceleradas executam um movimento harmônico simples com frequência ν. Estas cargas em movimento harmônico simples constituem-se nos já denominados osciladores carregados. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O Teorema de Planck e o equilíbrio termodinâmico Em primeiro lugar Planck procurou escrever uma expressão para a densidade de energia espectral uν do campo eletromagnético em termos da energia média do oscilador. Para isto, Planck considerou que os osciladores das paredes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmico com a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior. Assim, a perda de energia de cada oscilador seria compensada pela absorção da energia da radiação. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Larmor Para alcançar seu objetivo, Planck utilizou o resultado obtido pelo físico irlandês Joseph Larmor (1857-1942). Em 1897 Larmor calculou a potência média emitida por uma carga q em qualquer movimento acelerado com aceleração a. O resultado obtido por Larmor é mostrado abaixo. Joseph Larmor (1857-1942) q2 2 P= ⋅a 3 6 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O Teorema de Planck Para obter o teorema que leva o seu nome em 1899 Planck impôs o equilíbrio termodinâmico entre osciladores e radiação e obteve a equação mostrada abaixo. 8 ⋅π 2 uν = 3 ⋅ν ⋅ U c Esta expressão mostra que a densidade espectral de energia da radiação é determinada a partir do cálculo da energia média de um único oscilador. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo da energia média do oscilador O problema a ser resolvido é então calcular a energia média deste oscilador. Com este cálculo, determina-se facilmente a expressão para a densidade espectral de energia uν(ν). O Teorema de Planck é um resultado geral e portanto pode também ser usado para calcular uν(ν) segundo a abordagem clássica. Para isto, basta calcular a energia média segundo o método clássico (Estatística de Maxwell-Boltzmann). Sabemos que neste caso, o resultado final para a energia média é o conhecido Teorema da Equipartição da Energia. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo clássico da energia média do oscilador Pelo Teorema da Equipartição da Energia, usando a Estatística de Maxwell-Boltzmann, obtemos a energia média do oscilador como mostrado ao lado. U = kB ⋅T Assim, a aplicação deste resultado clássico no Teorema de Planck fornece o resultado obtido por Rayleig-Jeans. 8 ⋅π 2 uν (ν ) = 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν c Equação para a densidade espectral de energia obtida pelo modelo clássico de Rayleigh-Jeans, que sabemos não descrever corretamente o fenômeno da radiação de corpo negro Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A entropia de um único oscilador e sua energia média Planck, por sua vez, preferiu realizar uma abordagem termodinâmica para o cálculo da energia média dos osciladores. 1 ds = dU V T Ele levou em conta a relação entre a entropia s de um único oscilador e a sua energia média, mantido o volume da cavidade constante. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O uso da fórmula de Wien Planck tomou como base o modelo empírico de Wien, que ele sabia que apresentava bom comportamento para altas frequências mas ruim para baixas frequências. Como vimos, segundo Wien a densidade espectral de energia é dada pela equação mostrada ao lado. Após algum cálculo, Planck chegou ao resultado mostrado ao lado. ν uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ T 3 2 d s 1 cte =− =− 2 dU β ⋅ν ⋅U U Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Lembrança: a fórmula de Wien não fornece a resposta correta para o problema da radiação de corpo negro Planck sabia que a equação mostrada ao lado NÃO descreve corretamente a radiação de corpo negro, pois ela é obtida a partir do modelo de Wien. Comparação entre o resultado proposto por Wien e os resultados calculados para a radiância espectral 2 d s 1 cte =− =− 2 dU β ⋅ν ⋅U U Como sabemos, a fórmula de Wien apresenta bom comportamento para altas frequências mas é ruim para baixas frequências. O que fez então Planck? Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A alteração proposta por Planck Planck propôs uma pequena alteração nesta expressão, considerando que isto poderia levar ao resultado esperado. 2 2 d s cte = − 2 dU U d s A = − 2 U ⋅ (B + U ) dU Cálculo de Planck utilizando a equação baseada no Modelo de Wien Correção feita por Planck, procurando “encontrar” a solução para o problema É provável que a alteração proposta por Planck tenha sido fruto de um exaustivo trabalho em busca da resposta correta ao problema da radiação de corpo negro. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo da energia média dos osciladores a partir da correção proposta por Planck Planck partiu então desta última expressão e percorreu o caminho inverso para determinar a energia média, e após alguma manipulação obteve a equação mostrada abaixo. B U = B exp A ⋅ T − 1 As constantes A e B devem ser determinadas a partir dos resultados experimentais. Neste caso os resultados experimentais são a Lei de Stefan-Boltzmann e a Lei de Deslocamento de Wien. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O cálculo corrigido da densidade de energia espectral De posse desta expressão, Planck voltou ao seu teorema e calculou a densidade espectral de energia obtendo a equação mostrada abaixo. 8 ⋅ π ⋅ν 2 B ⋅ uν (ν ) = 3 c B exp A ⋅ T − 1 Mas, e as constantes A e B? Como Planck as determinou? Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A determinação da constante B Para determinar a constante B Planck seguiu o argumento de Wien (correto!!!) segundo o qual a densidade espectral de energia deve obedecer a fórmula de Wien. ν uν (ν ) = ν ⋅ f T 3 8 ⋅ π ⋅ν 2 uν (ν ) = ⋅ 3 c B B exp −1 A ⋅T Ao comparar as duas expressões acima, Planck observou que para satisfazer a fórmula de Wien, necessariamente a constante B deve ser proporcional à frequência. B ∝ν ⇒ B = c1 ⋅ν c1 e A são constantes a serem determinadas pelo ajuste com a curva experimental Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O ajuste da curva proposta com os dados do experimento Com isto, Planck obteve a expressão para a densidade de espectral de energia mostrada abaixo, bem como a equação para a radiância espectral Rν(ν). 8 ⋅ π ⋅ c1 ν3 ⋅ uν (ν ) = 3 c c1 ⋅ν exp A ⋅ T − 1 2 ⋅ π ⋅ c1 c ν3 ⋅ Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) = 2 4 c c1 ⋅ν exp A ⋅ T − 1 Este resultado ajusta-se completamente com os dados obtidos experimentalmente, dependendo apenas dos valores das constantes c1 e A!!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O primeiro artigo de Planck Em 1900 Planck publicou o artigo “Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung” na revista Verhandlungen der Deutschen Physikalishen Gesellschaff, volume 2, pg. 202-204. Em português o título deste artigo é “Sobre um aperfeiçoamento da equação de Wien para o espectro”. Frase de Planck Selo alemão de 1952 em homenagem a Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A síntese do artigo de Planck Citamos abaixo as palavras de Planck em seu artigo. “Como demonstrado por exemplos numéricos, tal fórmula se ajusta muito bem aos dados experimentais existentes (com valores convenientes das constantes c1 e A). Gostaria então de chamar a nossa atenção para essa fórmula que considero a mais simples possível, além da de Wien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética da radiação”. 8 ⋅ π ⋅ c1 ν3 uν (ν ) = ⋅ 3 c c1 ⋅ν exp A ⋅ T − 1 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck Espectros da Fórmula de Planck em termos da frequência RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O empirismo da fórmula obtida por Planck A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA, isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique. 8 ⋅ π ⋅ c1 ν3 uν (ν ) = ⋅ 3 c c1 ⋅ν exp A ⋅ T − 1 ⇒ FÓRMULA EMPÍRICA ⇒ Precisa de uma teoria que a justifique!!! O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a “dedução” da fórmula acima, pois ele sabia que tal equação carecia de fundamentação física. Assim, Planck procurou (e encontrou em alguns meses!!!) por um modelo que justificasse a equação encontrada empiricamente. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A busca pelo modelo físico na Mecânica Estatística Na busca pelo conteúdo físico para sua fórmula, Planck se deu conta que a entropia dos osciladores teria que ser determinada por argumentos probabilísticos. Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da Mecânica Estatística, recém desenvolvida por Boltzmann. Planck aplicou a análise combinatória de Boltzmann, dividindo a energia total U de um conjunto de N osciladores idênticos e distinguíveis, obtendo a equação mostrada ao lado. U U = N Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O número de estados possíveis com N osciladores em M células Por outro lado, Planck admitiu que poderiam existir M células indistinguíveis tal que a energia E de um único oscilador seja dada pela equação ao lado. U E= M Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas M células e calculou o número total de estados possíveis G desta distribuição, obtendo o resultado mostrado abaixo. ( N + M − 1)! (N + M )! ≅ G= M !⋅(N − 1)! M !⋅N ! A aproximação feita na equação de G é porque N e M são muito maiores do que 1. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A entropia total do conjunto de osciladores Pela Mecânica Estatística, a entropia de um sistema está associada ao número de estados possíveis G existentes dentro dele através da famosa expressão proposta por Boltzmann, mostrada ao lado. Assim, a entropia do sistema de N osciladores distribuídos por M células é dada pela equação mostrada ao lado. S = k B ⋅ ln G ( N + M )! S = k B ⋅ ln M !⋅( N )! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia média do conjunto de osciladores Planck, após uma exaustiva manipulação chegou ao resultado para a energia média do conjunto de osciladores mostrado abaixo. U = E E − 1 exp k ⋅ T B Lembremos que E é a energia de um único oscilador!!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia de um único oscilador proporcional à frequência Planck propôs então que a energia de um único oscilador E fosse proporcional à frequência ν. E = h ⋅ν U = ⇒ h é uma constante a ser determinada (constante de Planck) Esta proposição de Planck argumentos (corretos!!!) de Wien. é h ⋅ν h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T coerente com os Lembremos que, segundo Wien, a fórmula para a densidade de energia espectral deve ser proporcional a ν3⋅f(ν/T). Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A densidade espectral de energia e a radiância espectral Depois de calcular a energia média dos osciladores, Planck utilizou o seu teorema e determinou a densidade espectral de energia. 8 ⋅ π ⋅ν uν = ⋅U 3 c 2 8 ⋅π ⋅ h ν3 ⋅ ⇒ uν (ν ) = 3 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T ν3 2 ⋅π ⋅ h ⋅ c ⋅ Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) = 2 4 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O problema da interação da radiação com a matéria Porém, após chegar com sucesso ao resultado correto para o espectro de radiação de um corpo negro, uma questão ainda precisou ser respondida por Planck. Qual comportamento deve ter a interação da radiação com a matéria para que um oscilador com energia h⋅ν produza uma energia média do conjunto de osciladores dada abaixo? U = h ⋅ν h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T Como se dão as trocas de energia entre o corpo negro e a radiação emitida por ele, tal que esta seja a energia média dos osciladores? Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Uma outra estatística para tratar osciladores carregados Planck sabia que o conjunto de osciladores NÃO obedecia à Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann. A Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann, baseada numa distribuição contínua da energia dos osciladores, dava como resultado final a fórmula de Rayleigh-Jeans. Como sabemos a fórmula de Rayleigh-Jeans não está de acordo com os resultados experimentais. Desta forma, não restou outra alternativa a Planck senão admitir que a interação entre o campo de radiação e o corpo aquecido se dava através de trocas de energias discretas (não contínuas)!!! Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Trocas discretas de energia entre radiação e matéria Assim, Planck formulou o modelo físico que dá suporte a toda sua teoria e explica completamente o problema da radiação de corpo negro. O modelo de Planck está baseado no postulado fundamental de que a troca de energia entre os osciladores e o campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua. Assim, as trocas de energia só podem se dar através de valores discretos e múltiplos de uma quantidade elementar. Einstein, em 1905, denominou esta quantidade elementar de QUANTUM DE ENERGIA. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O quantum de energia Como as trocas de energia se dão de forma discreta, nesta situação a energia dos osciladores U também admite apenas valores discretos, múltiplos do QUANTUM DE ENERGIA. Assim, Planck propôs que a energia U dos osciladores obedecesse a equação abaixo. U = Un U n = n ⋅U 0 n é um número inteiro U0 é o QUANTUM DE ENERGIA Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Trocas de energia discretas e a fórmula de Planck Como logo veremos, a proposição de Planck leva ao resultado esperado para a densidade espectral de energia para a radiação de corpo negro. 8 ⋅ π ⋅ν 2 uν = ⋅U 3 c U = U = n ⋅U 0 U 0 = h ⋅ν h ⋅ν h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T 8⋅π ⋅ h ν3 ⋅ uν (ν ) = 3 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T Lembramos que a proposição de Planck é que as trocas de energia entre a matéria (osciladores!!!) e a radiação são quantizadas. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Planck e os resultados experimentais O resultado teórico obtido por Planck para a densidade espectral de energia está completamente de acordo com os dados experimentais medidos por Lummer e Pringsheim. 8 ⋅π ⋅ h ν3 c uν (ν ) = ⋅ 3 ( ) R ν = ⋅ uν (ν ) c h ⋅ν ν 4 − 1 exp kB ⋅T Rλ = Rλ (λ ) = c λ 2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2 λ5 2 ⋅ ν3 2 ⋅π ⋅ h ⋅ Rν (ν ) = ⋅ c2 h ⋅ν − 1 exp k ⋅ T B ⋅ Rν 1 h⋅c − 1 exp λ ⋅ kB ⋅T Espectro de corpo negro obtido por Lummer e Pringsheim Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Comparação entre os modelos estudados Partindo da fórmula de Planck, que é aquela que traduz com exatidão os resultados experimentais, podemos fazer uma comparação entre todos os modelos estudados. Com esta equação podemos estudar as situações limites para baixas frequências (comprimentos de onda elevados) e altas frequências (comprimentos de onda baixos). Ao trabalhar com estas situações limites, iremos concluir que a fórmula de Wien e a fórmula de Rayleigh-Jeans são casos particulares da fórmula de Planck. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Wien como caso particular da fórmula de Planck para altas frequências Para altas frequências, temos que h⋅ν >> kB⋅T. Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de Planck, obtemos a fórmula de Wien. ν3 8 ⋅π ⋅ h uν (ν ) = ⋅ 3 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T h ⋅ν >> k B ⋅ T ⇒ Fórmula de Planck h ⋅ν 8 ⋅π ⋅ h 3 uν (ν ) = ⋅ν ⋅ exp − 3 c kB ⋅T Fórmula de Wien Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A fórmula de Rayleigh-Jeans como caso particular da fórmula de Planck para baixas frequências Para baixas frequências, temos que h⋅ν << kB⋅T. Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de Planck, obtemos a fórmula de Rayleigh-Jeans. 8 ⋅π ⋅ h ν3 Fórmula de Planck ⋅ uν (ν ) = c3 h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T h ⋅ν << k B ⋅ T ⇒ 8 ⋅π ⋅ kB ⋅T 2 uν (ν ) = ⋅ν 3 c Fórmula de Rayleigh-Jeans Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Determinação das constantes α e β em termos de h e kB De posse da fórmula de Wien obtida a partir da aproximação para altas frequências, podemos exprimir as constantes α e β em termos de h e kB. ν h ⋅ν 8 ⋅π ⋅ h 3 3 uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ uν (ν ) = ⋅ν ⋅ exp − 3 c T kB ⋅T 8 ⋅π ⋅ h α= 3 c h β= kB α = 6,18×10-58 kg⋅s2/m β = 4,80×10-11 K⋅s α = 6,81×10-58 kg⋅s2/m β = 4,82×10-11 K⋅s É fácil observar que tratam-se das mesmas expressões com as constantes α e β como dadas ao lado. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Comparação gráfica entre as três fórmulas Todos estes resultados podem ser sintetizados no gráfico abaixo. h ⋅ν 8 ⋅π ⋅ h 3 W uν (ν ) = ⋅ν ⋅ exp − 3 c kB ⋅T 8 ⋅π ⋅ kB ⋅T 2 uν (ν ) = ⋅ν 3 c Espectros dos três modelos em termos da frequência 8⋅π ⋅ h ν3 uν (ν ) = ⋅ 3 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck R-J P RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Resultados em termos do comprimento de onda Podemos exprimir os resultados em termos do comprimento de onda, bastando para isto usar a relação entre uλ e uν. Para valores de baixos comprimentos de onda, temos que h⋅c/λ >> kB⋅T. uλ = c λ 2 ⋅ uν ⇒ 8 ⋅π ⋅ h ν3 uν (ν ) = ⋅ 3 c h ⋅ν − 1 exp kB ⋅T u λ (λ ) = 8 ⋅π ⋅ h ⋅ c λ5 h⋅c ⋅ exp − λ ⋅ kB ⋅T Fórmula de Wien Fórmula de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Resultados em termos do comprimento de onda Já para valores de altos comprimentos de onda, temos que h⋅c/λ << kB⋅T. uλ = uν (ν ) = c λ 2 ⋅ uν ⇒ uλ (λ ) = 8 ⋅ π ⋅ k B ⋅ T ⋅ λ 4 Fórmula de Rayleigh-Jeans ν 8 ⋅π ⋅ h ⋅ c3 h ⋅ν − 1 exp k B ⋅ T Fórmula de Planck 3 1 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Comparação gráfica entre estas três fórmulas Estes resultados podem ser sintetizados no gráfico abaixo. u λ (λ ) = 8⋅π ⋅ h ⋅ c λ5 h⋅c ⋅ exp − λ ⋅ kB ⋅T uλ (λ ) = 8 ⋅ π ⋅ k B ⋅ T ⋅ u λ (λ ) = Espectros dos três modelos em termos do comprimento de onda 8 ⋅π ⋅ h ⋅ c λ5 ⋅ W 1 λ 4 R-J 1 h⋅c − 1 exp λ ⋅ k ⋅ T B Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck P RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A determinação do valor da constante de Planck... Em seu artigo de 1901 Planck determinou o valor da constante h, que hoje leva o nome de constante de Planck. Para isto, Planck utilizou a Lei de Stefan-Boltzmann, uma vez que a constante de Stefan-Boltzmann σ era conhecida. Vamos seguir os passos dados por Planck e perceber que além de h ele também determinou kB com precisão. ∞ R = ∫ Rν (ν ) ⋅ dν = σ ⋅ T 4 0 ⇒ 2 ⋅π ⋅ h ⋅ ν3 Rν (ν ) = ⋅ c2 h ⋅ν − 1 exp k ⋅ T B 2 ⋅π ⋅ k h = 2 15 ⋅ c ⋅ σ 5 Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck 4 B 1/ 3 RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO ...e da constante de Boltzmann Para o cálculo de h Planck precisava saber o valor de kB, além da constante de Stefan-Boltzmann σ e da velocidade da luz c. Uma relação entre a constante de Boltzmann kB e a constante de Planck h é obtida usando a Lei de Deslocamento de Wien. duλ (λ ) dλ u λ (λ ) = λ = λMAX 8 ⋅π ⋅ h ⋅ c λ5 ⋅ =0 b = λMAX ⋅ T 1 h⋅c − 1 exp λ ⋅ kB ⋅T ⇒ b: constante obtida da Lei de Deslocamento de Wien h b = 4,97 ⋅ kB c Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Valores numéricos para h e kB Após alguma manipulação equações mostradas abaixo. matemática, obtemos as b ⋅σ b ⋅σ h = 14,9 ⋅ 2 k B = 3,00 ⋅ c c 4 3 b = 2,89×10-3 m⋅K σ = 5,67×10-8 W/m2⋅K4 c = 2,9979×108 m/s Abaixo mostramos os valores de h e kB obtidos por Planck com os dados de sua época, além dos valores atuais destas grandezas. kBP = 1,35×10-23 J/K hP = 6,55×10-34 J⋅s kB = 1,38×10-23 J/K h = 6,62×10-34 J⋅s Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O segundo artigo de Planck Para a justificativa teórica de seu modelo, em 1901 Planck publicou o artigo “Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum” na revista Annalen der Physik, volume 4, pg. 553-563. Em português o título deste artigo é “Sobre a lei de distribuição de energia no espectro normal”. Moeda de 1947 no valor de $ 2,00 em homenagem a Planck Frase de Max Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Einstein calcula a energia média dos osciladores Admitindo a proposta de Planck da existência do QUANTUM DE ENERGIA, Einstein realizou em 1907 o cálculo da energia média dos osciladores. Nesse ano Einstein defendeu o modelo da quantização da energia destes osciladores, independente de sua interação com o campo de radiação. Ele fez este cálculo para explicar o comportamento do calor específico dos sólidos. Einstein então pôde calcular o peso estatístico (função de partição) a partir do conceito das energias discretas. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A Estatística de Bose-Einstein Como a energia dos osciladores é uma grandeza discreta, o cálculo da energia média só pode ser feito através da soma mostrada na equação abaixo. ∞ U = ∑P n ⋅U n 0 ∞ ∑P n 0 Nesta expressão Pn é o peso estatístico (função de partição) associado a cada energia Un, e é dado pela expressão abaixo. Un Pn = exp − kB ⋅T Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia média dos osciladores calculada por Einstein Desta forma, após um cálculo exaustivo Einstein calculou a energia média dos osciladores e obteve o resultado abaixo. U = U0 U0 − 1 exp kB ⋅T U 0 = h ⋅ν Por fim, como a expressão final para a densidade espectral de energia deve obedecer à fórmula de Wien (isto é, uν ∝ ν3⋅f(ν/T), temos que U0 deve ser diretamente proporcional à frequência, como mostrado abaixo. h é a constante de Planck Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A energia média dos osciladores em termos da frequência Desta forma, a energia média dos h ⋅ν osciladores calculada por Einstein é U = h ⋅ν dada pela equação ao lado. − 1 exp kB ⋅T Einstein publicou estes resultados em 1907 no artigo “Die Planckshe Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme” na revista Annalen der Physik, volume 22, pg. 180-190. Einstein em momento de descontração Em português, o título deste artigo é “A Teoria da Radiação de Planck e a Teoria do Calor Específico”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Expressão correta para as energias dos osciladores Estes resultados (à exceção daquele obtido por Einstein, foram publicados por Planck nos dois artigos, um de 1900 e outro de 1901, já citados anteriormente. Apenas a título de informação, o resultado correto para a quantização das energias dos osciladores não é aquela proposta originalmente por Planck, mas sim a expressão dada pela equação abaixo. 1 U P = n ⋅ h ⋅ν U n = n + ⋅ h ⋅ν 2 Solução obtida resolvendo a chamada Equação de Schroedinger para o oscilador harmônico simples Obviamente este resultado estava fora do escopo da teoria construída por Planck. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A Física depois de Max Planck É possível afirmar sem medo de errar que a Física tomou outro rumo após a contribuição de Planck para a compreensão da radiação emitida por um corpo aquecido. Ao invocar ideias da Mecânica Estatística para obter sua fórmula, Planck só conseguiu este objetivo introduzindo conceitos totalmente contraditórios à Física Clássica. Citamos abaixo as palavras do próprio Planck. “Consideramos, porém – este é o ponto mais importante de todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a soma de um número inteiro de partes iguais”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO Max Planck, um revolucionário relutante Apesar de sua contribuição revolucionária, ironicamente Planck era, por formação, um físico muito conservador, convicto da validade da Física Clássica. Por muitos anos Planck procurou conciliar as concepções clássicas com a ideia da quantização, ao ponto de, em 1931 afirmar que seu rompimento com a Física Clássica foi “um ato de desespero”. Por causa disso o físico e historiador da Ciência Abraham Pais caracterizou Max Planck como um “revolucionário relutante”. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A evolução da Física após Max Planck A rigor, o nome “quantum de energia” foi dado por Einstein em 1905 em seu trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico. Einstein foi o primeiro físico – e por cerca de 25 anos, o único – a perceber as consequências revolucionárias dos resultados de Planck sobre a natureza da radiação, baseando-se nelas para introduzir o conceito de fóton. A formulação quantitativa da Mecânica Quântica só ocorreu a partir de 1925 com os trabalhos de Heisenberg, Schroedinger, Dirac e Born. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A radiação de corpo negro na Física Contemporânea Agora vamos expor rapidamente uma “contribuição” de Planck para a Física Contemporânea. Uma das verificações experimentais mais belas e precisas da fórmula de Planck é a determinação do espectro da radiação térmica cosmológica de fundo, remanescente da origem do Universo (Big Bang). Os dados mais atuais (que dão grande suporte ao modelo do Big Bang) foram obtidos a partir de 2003 pelo satélite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO A radiação de corpo negro e o Big-Bang Pelos dados da WMAP mostrados abaixo, a expansão do Universo resfriou a radiação cósmica de fundo até a sua temperatura atual de 2,73 K com intensidade máxima na região de micro-ondas (λMAX = 1,059 mm). Espectro da radiação cósmica de fundo obtido pela WMAP Dados da WMAP sobre a radiação cósmica de fundo Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO O legado de Max Planck como humanista Afora a sua grande contribuição para o avanço da Ciência, Planck foi também um grande humanista. Planck permaneceu na Alemanha durante a 2a Guerra Mundial, e segundo relato de Heisenberg tentou convencer Hitler a não expulsar os cientistas judeus das universidades alemãs. Planck também sofreu muito com as duas Grandes Guerras Mundiais: na primeira morreu seu filho mais velho e na segunda seu outro filho foi covardemente assassinado pela Gestapo (polícia secreta nazista). Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK BIBLIOGRAFIA 1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica; Editora Campus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 19-47. 2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna; Elsevier Editora; São Paulo, 2006; páginas 299-329. 3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna; Editora Polígono; São Paulo, 1969; páginas 282-287. 4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4; Editora Edgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 246-249. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK BIBLIOGRAFIA 5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.; Fundamentos de Física – Volume 4 – 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 158-159. 6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN, R. A.; Física IV; 10a Edição; Pearson Education do Brasil; São Paulo, 2004; páginas 204-208. 7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna; Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001; páginas 83-87. Física Moderna I – Radiação Térmica e o Postulado de Planck A Ceia em Emaús – Caravaggio
