Gabarito da Lista 1

FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I
Lista de exercícios 1 – 2009
1. As cargas q1 = q2 = 20 µC na Fig. 1a estão fixas e separadas por d = 1,5m. (a) Qual é a força
elétrica que age sobre q1? (b) Colocando-se uma terceira carga q3 = 20 µC na posição
indicada na Fig.1b, qual é agora a força que age em q1 ?
Respostas: a) F12 = 1,6 N (o vetor esta ubicado na reta que une as cargas e aponta pra cima);
b) a força resultante tem módulo FR = 1,6 3 N, e o vetor forma um ângulo de 300 com a reta
que une as cargas q2 e q1.
2. Quais são as componentes horizontal e vertical da resultante das forças eletrostáticas que
atuam na carga +2q da Fig. 2, se q = 1,0×10-7C e a = 5 cm? Dê o módulo, a direção e o
sentido desta resultante.
r
q2
Resposta: a força resultante é FR = k 2
a
q2
FR = k 2
a

 
2  ˆ  2
 ˆj  ; o módulo do vetor é
i
+
−
2
 4 +
  2

2
 
 

(21 + 2 2 ) ≈ 0,176 N, e a direção é θ = arctg  4 +2 / 22−/ 22  ≈ −15,36 .
0


3. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra.Uma terceira
carga é colocada de tal forma que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Qual é a posição e o
valor da terceira carga? (b) O equilíbrio do sistema é estável?
Resposta: a) para que o sistema fique em equilíbrio devemos colocar uma terceira carga (na
reta de união das duas primeiras e entre elas) de valor –(4/9)q a uma distância L/3 da carga
+q. b) O equilíbrio das cargas é instável.
4. Uma carga Q é dividida em duas partes (q e Q-q) e separadas por uma distância d. Qual o
valor de q para que a força de repulsão entre elas seja máxima?
Resposta: q = Q/2
5.
Duas pequenas esferas metálicas iguais, com massa m e carga q, estão suspensas por fios
isolantes de massas desprezíveis de comprimento L, como mostrado na Fig. 3. Se o ângulo θ
for suficientemente pequeno, de modo que sen(θ ) ≈ tg (θ ) (a) mostrar que, quando as esferas
1
estão em equilíbrio, x = (q 2 L / 2πε 0 mg )1 / 3 . Se L = 120 cm, m = 10 g e x = 5 cm: (b) verificar
a aproximação trigonométrica acima e calcular q.
r
Resposta: a) para obter o resultado utilize a condição de equilíbrio estático
∑F = 0
e leve
em conta que sobre cada massa m as forças atuantes são o peso, a tensão da corda e a força de
Coulomb aplicada pela outra esfera. Vai... você consegue. b) O valor da carga é q = 0,024
µC.
6. Duas partículas com cargas iguais e afastadas de 3, 2×10−3 m são largadas a partir do repouso.
A aceleração da primeira partícula é medida como sendo de 7, 0 m/s2 e a da segunda como
sendo 9, 0m/s2. Sendo a massa da primeira partícula de 6, 3×10−7 kg, quais são (a) a massa da
segunda partícula e (b) a carga comum a ambas?
Resposta: a) m = 4,9x10-7 kg; b) q = 7,08x10-11 C
7. Três pequenas bolas, cada qual com a massa de 10 g, estão suspensas de um mesmo ponto
por três fios de seda de 1, 0m de comprimento. As bolas têm cargas idênticas e estão situadas
nos vértices de um triângulo equilátero de 0,1m de lado. Qual o valor da carga de cada bola?
Resposta: q = 5,1x10-8 C
8. Calcule o campo elétrico resultante E no ponto P produzido (a) pelas quatro cargas da Fig. 4
e (b) pelas três cargas da Fig. 5.
Resposta: a) o campo é nulo; b) o campo tem módulo E = 4kq / a 2 e o vetor está na reta que
une a carga 2q e o ponto P.
9. Calcular o campo elétrico do dipolo elétrico da Fig. 6 no ponto P sobre a mediatriz e a uma
distância r >> d. Expressar o resultado em termos do momento de dipolo elétrico p.
2
r
Resposta: E = − k p / r 3 yˆ
10. Um dipolo elétrico é constitutido de cargas +2e e –2e separadas por 0.78 nm. Ele está num
campo elétrico de intensidade 3.4×106 N/C. Calcular o modulo do torque sobre o dipolo
quando o mesmo está (a) paralelo, (b) perpendicular e (c) oposto ao campo elétrico.
Resposta: a) zero; b) τ = 8,5x10-22 Nm; c) zero.
11. Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo x, estendendo-se de x = +x0 até o
infinito positivo. A linha é carregada com densidade linear de carga λ0. Quais são a
magnitude e a direção do campo elétrico na origem?
r
λ
Resposta: E = − k 0 iˆ
x0
12. Uma carga Q = −7,50 µC é distribuída uniformemente sobre uma haste isolante semicircular
de raio R = 4,5 cm. (a) Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico em O, o centro do
semicírculo. (b) Calcule a força que atua sobre uma carga q = 2,00 µC colocada em O. (c)
Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico num ponto posicionado verticalmente
acima de O a uma distância D.
Resposta: em relação ao sistema de coordenadas da figura, temos:
r
a) E0 = −
r
r
|Q| ˆ
7ˆ
ˆ
i
≈
−
2
x
10
i
N/C
;
b)
F
=
q
E
0 ≈ −40i N ;
2π 2ε 0 R 2
r
1
|Q| R
c) E D = −
2
4πε 0 ( R + D 2 ) 3 / 2
 2 ˆ D ˆ
 i + k
R 
π
3
13. Um modelo clássico de uma molécula ionizada é constituído por um par de partículas fixas,
ambas de carga +e, separadas por uma distãncia 2a, com uma terceira partícula, de carga −e,
massa m, descrevendo uma órbita circular de raio r em torno do eixo que liga as duas outras
cargas. Obtenha:(a) o campo elétrico que atua sobre a carga −e; (b) a relação entre o raio r e a
freqüência angular de revolução ω.
r
Resposta: a) E =

er
e2
ˆ
r
;
b)
(
r
)
=
ω

2
2
2πε 0 (a 2 + r 2 ) 3 / 2
 2πε 0 m a + r
1
(
1/ 2

3/ 2 

)
14. Uma haste fina de comprimento l e densidade de carga linear uniforme λ se encontra sobre o
eixo x, como mostrado na Figura 7. (a) Mostre que o campo elétrico em P, a uma distância |y|
r
sobre sua mediatriz, não tem nenhuma componente x e é dado por E = (2kλsen(θ 0 ) / y ) yˆ . (b)
Use o resultado anterior para mostrar que quando o comprimento da haste é infinito ( l → ∞ ),
r
o campo em P fica E = (2kλ / y ) yˆ .
Resposta: a) é isso ai... vai, mostre que sabe...; b) e continue mostrando, você consegue!.
P
z
+q
d
+p
-q
-q
d
-p
+q
Fig. 7
Fig. 8
15. Uma esfera com 4,0 cm de raio tem uma carga líquida de +29 µC. (a) Se esta carga estiver
uniformemente distribuída no volume da esfera, qual será a densidade volumétrica de carga?
(b) Se esta mesma carga estiver uniformemente distribuída sobre a superfície da esfera, qual
será a densidade superficial de carga?
Resposta: a) ρ ≈ 0,11C / m3 ; b) σ ≈ 1,44 x10−3 C / m 2
4
16. Um disco fino de raio R é uniformemente carregado com densidade superficial de carga
r
σ. (a) Determine o campo elétrico E ( x) a uma distância x sobre o eixo do disco. (b)
Considere R= 35 cm e σ = 7,9×10−3 C/m2 e calcule a intensidade de E a uma distância x=5cm.
r

σ 
x
iˆ ; b) E (0,05m) = 3,84 x108 N / C
Resposta: a) E ( x) =
1− 2
1
/
2
2

2ε 0  (x + R ) 
17. A figura 8 mostra um quadrupolo elétrico. Ele consiste em 2 dipolos cujos momentos de
dipolo p tem módulos iguais e sentidos opostos. Mostre que o valor de E sobre o eixo do
quadrupolo, em pontos que distam de z do seu centro (suponha z>>d), é dado
por E =
3Q
, onde Q = 2qd 2 é o momento quadrupolar da distribuição de carga.
4
4πε 0 z
Resposta: para chegar no resultado some (vetorialmente) os quatro campos elétricos no ponto
considerado, que fica a uma distância z do centro de cargas. Considere a variável x = d/z.
Depois,
utilize
as
1
(1 + x)α ≈ 1 + αx + α (α − 1) x 2 + O( x 3 ) ,
2
expansões
e
1
(1 − x)α ≈ 1 − αx + α (α − 1) x 2 + O( x 3 ) , válidas quando x << 1 e boa sorte!
2
18. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicírculo de raio R. Uma carga +Q
está uniformemente distribuída ao longo da metade superior e uma carga −Q está
uniformemente distribuída ao longo da metade inferior, como mostra a figura 9. Determine o
r
campo elétrico E em P, o centro do semicírculo.
r
Resposta: EP = −
Q
ε 0π 2 R 2
ˆj
+
+
+
P
-q
-
a
R
x
Fig. 9
-
L
Fig. 10
P
19. Na figura 10, uma barra não-condutora, de comprimento L, tem uma carga −q uniformemente
distribuída ao longo de seu comprimento. (a) Qual a densidade linear de carga da barra? (b)
5
Qual o campo elétrico no ponto P a uma distãncia a da extremidade da barra? (c) Se o ponto
P estivesse a uma distância muito grande da barra comparada com L, ela se comportaria com
uma carga puntiforme. Mostre que a sua resposta para o item (b) se reduz ao campo elétrico
de uma carga puntiforme para a >> L.
Resposta: a) λ = −
r
1
1 ˆ
q
1
; b) EP = −
|λ | −
i
L
4πε 0
a L+a
r
20. Na figura 11, um campo elétrico E , de módulo 2.0 × 103 N/C, apontando para cima, é
estabelecido entre as duas placas horizontais, carregando-se a placa inferior positivamente e a
placa superior negativamente. As placas têm comprimento l =10.0 cm e separação d = 2.0 cm.
Um elétron é então lançado entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa inferior.
r
A velocidade inicial v0 do elétron faz um ângulo θ = 45o com a placa inferior e tem um
módulo de 6.0 × 106 m/s. (a) Atingirá o elétron uma das placas? (b) Sendo assim, qual delas e
a que distância horizontal da extremidade esquerda?
Resposta: a) e b) sim, o elétron atinge a placa superior a uma distância de 2,73 cm desde a
extremidade esquerda.
v0
Fig. 11
θ
d
E
l
6