Provas e Demonstrações na Aprendizagem da Geometria no
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Provas e Demonstrações na Aprendizagem da Geometria no Ensino Médio Utilizando o Aplicativo GeoGebra Marcella Luanna da Silva Lima1 GD06 – Educação Matemáticas, Tecnologias Informáticas e Educação à Distância A Matemática é vista como filtro social, uma vez que a sociedade incorporou a ideia de que esta é uma ciência para poucos, ou seja, a Matemática acaba sendo decisória na seleção dos alunos que concluirão, ou não, o Ensino Fundamental. Na tentativa de mudar essa visão errônea da Matemática, educadores estão buscando inserir em suas aulas novas ferramentas de ensino, como, por exemplo, materiais manipuláveis, aplicativos educativos, provas e demonstrações, entre outros. Preocupados em aprofundar esse estudo, pretendemos explorar métodos e ferramentas tecnológicas que auxiliem no ensino aprendizagem da Matemática, analisando o uso do GeoGebra no ensino da Geometria do Ensino Médio, trabalhando e propondo, de forma colaborativa, atividades orientadas para o trabalho com o mesmo, enfocando provas e demonstrações. A escolha se deu pelo fato de que é crescente a dificuldade dos alunos em aprender Geometria quando ensinada somente via aula expositiva. Como alunos estão cada vez mais ligados aos computadores, uma das formas que encontramos de chamar a atenção deles para a aprendizagem da Matemática foi o aplicativo GeoGebra. Espera-se com este projeto, parte do projeto OBEDUC/UFMS/UEPB/UFAL, perceber o avanço na aprendizagem da Matemática, em especial da Geometria, tornando a aula desta área do conhecimento mais prazerosa e possibilitando aos alunos se questionarem e investigarem o seu próprio conhecimento. Esperamos também que todo o desenvolvimento desta proposta seja feita de forma colaborativa, onde tanto o pesquisador quanto os professores e alunos tornem-se parceiros da melhoria da educação, contribuindo com o ensino e aprendizagem da Matemática. Palavras-chave: Trabalho colaborativo. Provas e demonstrações. GeoGebra. Geometria. Ensino Médio. 1. Introdução A Matemática é vista como filtro social, uma vez que a sociedade incorporou a ideia de que esta é uma ciência “para poucos”, ou seja, a Matemática acaba sendo decisória na seleção dos alunos que concluirão, ou não, o ensino fundamental, visto que é uma das áreas que possuem maiores índices de reprovação nesta fase, já que, segundo o jornal O Estado de São Paulo, 10% dos alunos que terminam o fundamental saem com conhecimento adequado em Matemática. Estes alunos chegam ao Ensino Médio com pouca base da Matemática e começam a ter dificuldades para assimilar os conhecimentos propostos de uma maneira mais complexa. Sendo assim, na tentativa de mudar essa visão errônea da Matemática, os educadores estão buscando inserir em suas aulas novas ferramentas de 1 Universidade Estadual da Paraíba, e-mail: [email protected], orientadora: Dra. Abigail F. Lins. ensino, como, por exemplo, materiais manipuláveis, jogos matemáticos, aplicativos educativos, provas e demonstrações, entre outros. Dentre as mais variadas metodologias de ensino de Matemática, a que mais nos chama a atenção é o uso do computador nas aulas a partir de aplicativos educativos, porque estes fazem com que o aluno desenvolva capacidades que caracterizam atos próprios do “fazer matemático”, como experimentar, representar, analisar e concluir. Segundo D’Ambrósio (2002, p. 80), “[...] temos com o auxílio da informática e com o crescente ramo de programação, vários aplicativos que possuem o objetivo de aprender, ensinar e se trabalhar com a Matemática. Informática e comunicações dominarão a tecnologia educativa do futuro”. A necessidade de se implementar novas metodologias ao ensino da Matemática se deu a partir das dificuldades dos alunos em aprender e compreender alguns conceitos da Geometria, quando o professor utiliza somente o quadro branco e a aula expositiva. Preocupados em aprofundar esse estudo, qual recurso metodológico a utilizar para que a aprendizagem da Geometria se dê de forma satisfatória? Será que o GeoGebra é eficaz para o aprendizado da Geometria? Preocupados em aprofundar esse estudo, pretendemos explorar métodos e ferramentas tecnológicas que auxiliem no ensino aprendizagem da Matemática, analisando o uso do GeoGebra no ensino da Geometria do Ensino Médio, trabalhando e propondo, de forma colaborativa, atividades orientadas para o trabalho com o aplicativo, enfocando provas e demonstrações, e comparando a aprendizagem com a aula expositiva e com a aula feita com o auxílio do GeoGebra. A escolha desse problema se deu pelo fato de que é crescente a dificuldade dos alunos em se aprender a Geometria quando ensinada somente com a aula expositiva. Além disso, nos dias atuais, os alunos nos pedem inovação e mudança no ensino da Matemática. Sendo assim, como estes alunos estão cada vez mais ligados ao computador, uma das formas que encontramos de chamar a atenção deles para a aprendizagem da Matemática foi o GeoGebra. Escolhemos este aplicativo pelo fato de ele ser gratuito e dinâmico, o qual reúne Geometria e Álgebra, desenvolvido por Markus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg, Áustria. Além disso, este aplicativo permite a manipulação de objetos que estão na tela gráfica e após feita uma determinada construção o aluno pode aplicar movimento aos seus elementos e ainda assim as propriedades geométricas impostas àquela figura serão preservadas. Ou seja, a aprendizagem dos alunos se torna mais dinâmica e prazerosa como também, eles passam a enxergar, de uma melhor forma, os resultados matemáticos abstratos utilizando este aplicativo. De acordo com Silva et al (2012), o uso do GeoGebra no ensino de Matemática, além de incentivar a criatividade e a descoberta de demonstrações matemáticas, possibilita a exploração de diversos conceitos, mostrando-se não somente a representação geométrica dos objetos e, além disso, trabalhando-se, ainda, com a parte algébrica. Esse aplicativo, quando bem manipulado, favorece o desenvolvimento de diversas habilidades por parte dos alunos, permitindo que eles construam, experimentem e conjecturem, pois como diz o provérbio chinês: “O aluno ouve e esquece, vê e se lembra, mas só compreende quando faz”. Desse modo, estamos certos de que o GeoGebra consiste numa ferramenta motivadora que contribui no processo de argumentação e de dedução que a transmissão e/ou aquisição do conhecimento matemático exige. Assim sendo, este trabalho está vinculado a um projeto maior ligado a CAPES, chamado Trabalho colaborativo com professores que ensinam Matemática na Educação Básica em escolas públicas das regiões Nordeste e Centro-Oeste. Esse projeto, vinculado ao OBEDUC, consiste em reunir coordenadores, mestrandos, doutorandos, graduandos e professores da educação básica em um trabalho colaborativo de modo a tornar melhor o ensino-aprendizagem da Matemática nas escolas públicas. Nosso trabalho será realizado em 3 (três) anos, sendo dividido do seguinte modo: o primeiro ano, consiste em leituras e planejamento dos projetos; o segundo ano, refere-se a execução, resultados e análises dos projetos; e o terceiro ano, consiste no fechamento do projeto maior. 2. Sobre a pesquisa Nesta seção, apresentaremos alguns comentários e aportes teóricos relacionados aos três temas principais desse projeto, sendo eles: Trabalho colaborativo, Provas e demonstrações e Aplicativo GeoGebra. 2.1 Aspectos teóricos 2.1.1 Trabalho colaborativo Para Fiorentini (2004), há diferença entre cooperação e colaboração. Um grupo colaborativo é composto por pessoas voluntárias, que participam espontaneamente e por vontade própria, sem serem coagitadas por alguém a participar. Além disso, as relações nesse grupo são também espontâneas, quando partem dos próprios professores e evoluem a partir da própria comunidade, não sendo reguladas externamente, mesmo que venham a ser apoiadas administrativamente ou mediadas por agentes externos. Desse modo, Fiorentini ilustra essa diferença entre cooperação e colaboração a partir de algumas situações, como por exemplo: Assim, quando diretores ou coordenadores pedagógicos, por acreditarem na importância do trabalho coletivo, obrigam seus professores a fazerem parte de grupos de trabalho e estudo, podem, inconscientemente, estar contribuindo para a formação de grupos coletivos que, talvez, nunca venham a ser, de fato, colaborativos. [...] O mesmo pode acontecer com um pesquisador universitário que tenta cooptar professores da escola para abrirem suas salas de aula para a pesquisa acadêmica e até mesmo quando os convida para fazer parte de uma equipe de pesquisa-ação ou de um programa de educação continuada. O máximo que conseguiremos, nestes casos, é uma pesquisa cooperativa (BORBA, 2004 apud FIORENTINI, 2004). Segundo Ibiapina (2008 apud Kemmis, 1986 & Desgagné, 1997, 2001), a colaboração implica em negociação dos conflitos que são inerentes ao processo de ensinoaprendizagem, representando formas de superação do que já foi apreendido, uma vez que favorece a tomada de decisões democráticas, ação comum e a comunicação entre pesquisadores e professores. Desse modo, o professor deixa de ser mero objeto de pesquisa, passando a compartilhar com os pesquisadores a atividade de modificar as práticas, a escola e a sociedade. Para Ibiapina (2008), na pesquisa colaborativa, os partícipes são considerados como coprodutores da pesquisa, ou seja, os docentes, em interação com o pesquisador, constroem teorias sobre suas próprias práticas profissionais e interpretam de forma reflexiva com os pares a respeito da questão de investigação proposta pelo pesquisador. Nesse sentido, a prática de pesquisa colaborativa não implica: [...] necessariamente simetria de conhecimento e/ou semelhança de ideias, sentido/significados e valores. Não significa tampouco que todos tenham a mesma ‘agenda’. O que significa é que tenham as mesmas possibilidades de apresentarem e negociarem suas crenças e valores na compreensão da realidade e de entenderem as interpretações dos envolvidos. Além disso, não significa que, em todas as situações, professores e formadores dividam igualmente o ‘poder’ nas decisões (IBIAPINA, 2008 apud CELANI, 2003). Ainda de acordo com Ibiapina (2008), a pesquisa colaborativa proporciona condições para que os professores reflitam e questionem sobre os aspectos da sua própria prática profissional. Além disso, investigar a partir da perspectiva colaborativa significa o envolvimento entre pesquisadores e professores em projetos comuns que beneficiem a escola e o desenvolvimento profissional docente. Sendo assim, nesse processo: a colaboração é produzida por intermédio das interações estabelecidas entre as múltiplas competências de cada um dos partícipes, os professores, com o potencial de análise das práticas pedagógicas; e o pesquisador, com o potencial de formador e de organizador das etapas formais da pesquisa. A interação entre esses potenciais representa a qualidade da colaboração, quando menor as relações de opressão e poder, maior o potencial colaborativo (IBIAPINA, 2008, p. 20). Portanto, a pesquisa colaborativa é uma prática que se direciona a resolução de problemas sociais, em especial aos ligados a escola. Assim sendo, para Ibiapina (2008), a pesquisa colaborativa é uma prática alternativa de indagar a realidade educativa em que pesquisadores e educadores trabalham conjuntamente na realização de mudanças e na análise de problemas, compartilhando a responsabilidade na tomada de decisões e na execução das tarefas de investigação. 2.1.2 Provas e demonstrações Sabemos que uma das maiores dificuldades no ensino e aprendizagem da Matemática é a Geometria, já que os alunos não conseguem compreender os conceitos dos conteúdos ministrados e os professores relegam o seu ensino. Segundo Reis e Lins (2010), em diversos documentos que norteiam a estruturação do currículo escolar, a exemplo dos PCN, a Geometria aparece como um dos elementos de grande importância. Mas é dada pouca relevância a esta disciplina quando ensinada no Ensino Fundamental e no Médio, assim como é senso comum entre professores e alunos desprezar o ensino dela, nos dando a impressão, conforme argumenta o professor Sérgio Lorenzato (Nacarato & Passos, 2003, prefácio), de que a Geometria é a “parte da Matemática cujo ensino tem sido boicotado pelos professores”. Uma das formas de auxiliar o ensino e aprendizagem da Geometria seria a utilização de provas e demonstrações, de modo a tornar mais claro o seu entendimento e a fazer com que os alunos construam, questionem, conjecturem e analisem todo o seu processo. Com isso, o conceito de prova diz respeito ao: desenvolvimento e elevação da compreensão que o aluno deve ter. É um conceito que não apenas difunde-se em seu trabalho na matemática, mas é também envolvido em todas as situações onde a conclusão seja alcançada e decisão seja construída. Matemática tem uma única contribuição para realizar o desenvolvimento deste conceito (BALACHEFF, 2004 apud FAWCET, 1938). Desse modo, as provas e demonstrações no ensino da Matemática, em especial da Geometria, é relevante, uma vez que possibilita aos alunos o desenvolvimento e a elevação da compreensão dos conceitos que eles devem ter. De acordo com Grinkraut e Healy (2007), a preocupação com a argumentação e a produção de uma prova pode ser encontrada nos PCN (Brasil, 1998), que recomenda que o currículo de Matemática deva contemplar experiências e atividades que possibilitem aos alunos o desenvolvimento e a comunicação de argumentos matematicamente válidos. É necessário tomar conhecimento de que, segundo Balacheff (2004), a educação para prova matemática não deve iniciar enfatizando a forma, mas pelo significado da prova como atividade matemática. Ou seja, os alunos e os professores devem ver a prova matemática como uma atividade que está intrinsecamente relacionado à própria Matemática, a qual não pode ser vista separada desta área de conhecimento. Nesse sentido: a maior contribuição potencialmente significativa de prova para educação matemática é a comunicação sobre compreensão matemática" [...] "Um currículo matemático que objetiva refletir modelo real de prova rigorosa na matemática deve apresentar-se como ferramenta indispensável ao invés de estar mais no cerne desta ciência (BALACHEFF, 2004 apud HANNA & JAKE, 1996). De acordo com Balacheff (2004), do ponto de vista dessas autoras, Hanna e Jake, a prova matemática é algo bastante instrumental, a qual surgiu como resposta a algo que queria justificar. Porém, pode-se aliar a prova matemática com novos recursos didáticos que facilitem a sua resolução e não torne essa prova tão instrumental. Dessa maneira, Healy (2007), nos indica que uma abordagem eficiente para o ensino da prova requer o conhecimento das dificuldades e concepções dos alunos, o desenvolvimento de situações de aprendizagem inovadoras que explorem novos contextos e ferramentas, os quais possibilitem a construção de argumentos matematicamente válidos, além da aceitação e da apropriação pelos professores dessas novas ferramentas e situações. Ainda relacionado a essa questão, Jahn, Healy e Pitta Coelho (2007), nos indica que uma investigação na problemática do ensino e aprendizagem da prova pode compreender dois enfoques inter-relacionados. Com relação ao primeiro enfoque, elas nos mostra que se refere à elaboração de situações de aprendizagem, visando possibilitar aos aprendizes o desenvolvimento de habilidades para lidar com argumentos matemáticos expressos de diferentes formas. Já com relação ao segundo enfoque, este se centra no professor, que nessa nova abordagem de sala de aula, torna-se o agente principal desse processo de adaptação. Nesse sentido, é importante observar como e quais as condições e suportes que favorecem a utilização da prova matemática pelo professor a partir do uso de novos recursos didáticos e como o aluno será capaz de construir seu próprio conhecimento através desse ensino. Dessa forma, o professor tem que escolher uma nova ferramenta que ele mesmo aceite e saiba se apropriar de seus comandos e possibilidades, contribuindo assim para o ensino e aprendizagem da Matemática de forma eficaz e duradoura. 2.1.3 Aplicativo GeoGebra Os educadores matemáticos estão pesquisando sobre a utilização de computadores nas aulas de Matemática, observando o quão a aprendizagem é significativa e como esta se torna rica com o uso das TIC. A esse respeito: Estamos entrando na era do que se costuma chamar a ‘sociedade do conhecimento’. A escola não se justifica pela apresentação de conhecimento obsoleto e ultrapassado e muitas vezes morto. Sobretudo ao se falar em ciências e tecnologia. Será essencial para a escola estimular a aquisição, a organização, a geração e a difusão do conhecimento vivo, integrando nos valores e expectativas da sociedade. Isso será impossível de se atingir sem a ampla utilização de tecnologia na educação (D’AMBRÓSIO, 2009). Ao se pensar renovação na prática pedagógica, pensa-se também a formação do professor que deve ser contínua antes, durante e após a utilização das novas tecnologias na sala de aula. Faz-se necessário que o professor mude sua visão, passando a ser o mediador entre o conhecimento e o aluno, buscando instigar e motivar os alunos a questionarem e a formularem novas hipóteses, aguçando o raciocínio lógico e as validações de teoremas da Geometria. Nesse sentido: Com a presença do computador, a aula passa a ter um novo cenário, refletindo diretamente nas relações professor-aluno e aluno-aluno, e no papel desempenhado por outros atores envolvidos no processo educacional, como professor, aluno, direção e família. Esses atores se veem em situações novas, diferentes das que estão acostumados a enfrentar, exigindo que o docente elabore estratégias variadas para desenvolver seu trabalho. Situações em que o professor tem que responder ‘não sei’ ao aluno, e momentos em que um aluno terá mais conhecimento sobre determinado software ou instrumento computacional passam a ser mais frequentes nesse novo cenário. O que não quer dizer que o professor irá perder sua autoridade em sala de aula, pois será ele quem conduzirá os alunos no sentido de explorar determinados conceitos. Contudo, a negociação entre ele e os alunos se modifica (ZULATTO, 2002). A partir da utilização de novas metodologias nas aulas de Matemática, surge a possibilidade de se usar aplicativos nas aulas, tornando esta mais dinâmica e interativa. Estes aplicativos podem ser os de Geometria Dinâmica, que possibilita que o aluno interligue a Geometria com a Álgebra, já que para uma figura geométrica há a sua representação algébrica e vice-versa. Para tanto: o termo “Geometria Dinâmica” está fortemente relacionado aos softwares que permitem que as figuras geométricas possam ser arrastadas pela tela mantendose os vínculos estabelecidos durante sua construção. Isso provoca transformações que “ocorrem continuamente em tempo real, determinadas pelos movimentos do cursor controlados pelo usuário” (ZULATTO & PENTEADO, 2006 apud SHUMANN & GREEN, 1994). Além disso, quando os alunos arrastam essas figuras geométricas com o cursor, as mesmas não perdem a propriedade geométrica relacionada a ela, fazendo com que eles compreendam melhor os conteúdos da Geometria envolvidos nas figuras construídas, como também possibilita a conjectura e a validação de teoremas desta área da Matemática. Com o intuito de melhorar o ensino-aprendizagem da Geometria, apresentando a mesma de forma contextualizada, prazerosa e interativa em um ambiente de descoberta, onde o aluno passa a analisar minuciosamente os conceitos envolvidos nos desenhos, validando e verificando as propriedades de cada figura construída a partir das propostas feitas pelo professor; vem surgindo vários tipos de aplicativos de Geometria Dinâmica que fazem com que o aluno construa, questione, conjecture e analise todos os seus conhecimentos geométricos e algébricos aprendidos nas séries anteriores. O aplicativo que utilizaremos para esta pesquisa refere-se ao GeoGebra, o qual permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas como com funções que podem modificar-se dinamicamente depois. A esse respeito: Esse aplicativo pode ser trabalhado de duas formas. Na primeira, os próprios alunos constroem as figuras, tendo como objetivo o domínio dos procedimentos para se obter a construção. Na segunda, o professor entrega as figuras prontas aos alunos para que estes possam reproduzi-las. O objetivo desta última modalidade de trabalho é possibilitar que, por meio da experimentação, os alunos descubram as invariantes das propriedades das figuras reproduzidas (REIS e LINS, 2010 apud GRAVINA, 1996). Portanto, esse aplicativo, assim como outros recursos, pode ser usado a benefício da educação quando as atividades e metas forem bem definidas. O professor, portanto, não precisa nem deve ignorar suas demais concepções metodológicas e nem deve temer ser substituído por esses recursos; basta reflexão, capacitação e disponibilidade ao novo. 2.2 Aspectos metodológicos Segundo Bogdan & Biklen (2003), a investigação em educação começou a se modificar quando foi publicada a primeira edição de Investigação Qualitativa em Educação: Uma Introdução à Teoria e aos Métodos, em 1982. O campo mais usado para a investigação era o da pesquisa quantitativa, que era dominado por questões de mensuração, definições operacionais, variáveis, teste de hipóteses e estatística. Este campo alargou-se para contemplar uma metodologia de investigação que destaca o uso da descrição, da indução, da teoria fundamentada e do estudo das percepções pessoais. Esta abordagem refere-se à pesquisa qualitativa. Nesse sentido, a nossa proposta para este projeto diz respeito à pesquisa qualitativa. As estratégias escolhidas para abordagem metodológica consistirá, primeiramente, de uma pesquisa bibliográfica e um estudo dessas, com o intuito de analisar os benefícios e malefícios na utilização de aplicativos nas aulas de Geometria. Com relação a este tipo de pesquisa, Marconi & Lakatos (2008) nos esclarece que diz respeito a toda bibliografia que já se tornou pública em relação aos temas de estudo, desde publicações avulsas, revistas, livros, pesquisas, dissertações, teses etc., até meios de comunicações orais, como rádio e gravações. Ainda de acordo com as autoras, a finalidade dessa pesquisa é colocar o pesquisador em contato direto com tudo o que já foi escrito, dito ou filmado sobre determinado assunto e isto não consiste em mera repetição do que já foi feito, mas propicia a análise do tema em questão sob um novo olhar ou enfoque, proporcionando conclusões inovadoras. Posteriormente, a metodologia a ser adotada consistirá na pesquisa exploratória, por meio da qual faremos estudos de casos, selecionando turmas de alguns professores de uma determinada escola (pública ou privada) e analisando o ensino e aprendizagem da Geometria quando utiliza-se o aplicativo GeoGebra. Nesse sentido, segundo Bogdan & Biklen (2003), os estudos de casos consistem na observação detalhada de um contexto, nesse caso, dos alunos, de uma única fonte de documentos ou de um acontecimento específico, mais especificamente, a sala de aula. Será utilizado nesse projeto, o estudo de caso de observação, uma vez que a recolha de dados consistirá na observação participante e o foco do estudo centra-se na escola, especialmente na aprendizagem dos alunos com relação à Geometria. Segundo Marconi & Lakatos (2008), este tipo de observação consiste na participação real do pesquisador com o grupo ou com a comunidade, a qual ele se incorpora e confunde-se com a equipe. A observação participante: é uma tentativa de colocar o observador e o observado do mesmo lado, tornandose o observador um membro do grupo de molde a vivenciar o que eles vivenciam e trabalhar dentro do sistema de referência deles (MARCONI & LAKATOS, 2008 apud MANN, 1970). Desse modo, faremos, primeiramente, uma observação das aulas dos professores sem o GeoGebra e, posteriormente, observaremos as aulas com o aplicativo. Para isso, faremos um trabalho colaborativo entre pesquisador, professores e alunos, propondo estudos e atividades relacionadas ao aplicativo GeoGebra e as provas e demonstrações no ensino e aprendizagem da Matemática. Além disso, faremos uma avaliação com os alunos que poderá ser feita de dois tipos: uma avaliação prática, enquanto eles manipulam o GeoGebra, nós observamos se eles estão fazendo corretamente, se estão conseguindo observar as propriedades geométricas nas construções, etc.; a outra avaliação, é uma prova escrita que conterá questões referentes aos conteúdos vistos nas aulas expositivas, para podermos analisar se eles compreenderam melhor os conteúdos, após a utilização do aplicativo. 3. Resultados esperados Espera-se com este projeto, parte do projeto OBEDUC/UFMS/UEPB/UFAL, perceber o avanço na aprendizagem da Matemática, em especial da Geometria, tornando a aula desta área do conhecimento mais prazerosa e possibilitando aos alunos se questionarem e investigarem o seu próprio conhecimento. Além disso, com o auxílio das provas e demonstrações no ensino da Geometria, aliado ao aplicativo GeoGebra, espera-se que os alunos construam o seu próprio aprendizado, sendo capaz de argumentar, conjecturar e confirmar aquilo que está sendo validado. Esperamos também que todo o desenvolvimento desta proposta seja feita de forma colaborativa, onde tanto o pesquisador quanto os professores e alunos tornem-se parceiros da melhoria da educação, contribuindo com o ensino e aprendizagem da Matemática. 4. Referências bibliográficas BALACHEFF, N. (2004). A epistemologia do pesquisador: a prova como impasse na pesquisa educacional. (Trad. Chang Kuo Rodrigues). Les cahiers du laboratoire Leibniz, 109. BOGDAN, R. & BIKLEN, S. (2003). Investigação Qualitativa em Educação: uma introdução à teoria e aos métodos. Portugal: Porto Editora. BORBA, M. C. (2004). A Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Anais da 27ª Reunião da ANPEd, 1-18. D’AMBROSIO, U. (2009). Educação matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus. FIORENTINI, D. Pesquisar Práticas Colaborativas ou Pesquisar Colaborativamente? In: Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. GRINKRAUT, M. L. & HEALY, L. (2007). A influência do projeto AprovaME em professores da educação básica no ensino-aprendizagem da prova. Anais do IX ENEM (Encontro Nacional de Educação Matemática). IBIAPINA, I. M. L. M. (2008). Pesquisa colaborativa: investigação, formação e produção de conhecimentos. Brasília: Líber Livro Editora. JAHN, A. P; HEALY, L; PITTA COELHO, S. (2007). Concepções de professores de Matemática sobre prova e seu ensino: mudanças e contribuições associadas à participação em um projeto de pesquisa. Anais da 30ª Reunião Anual da ANPEd (Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação). Jornal O Estado de S. Paulo. (2012, 08 de agosto). Reprovação e abandono escolar crescem nas mudanças de ciclo. 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