Estimação do tempo de prateleira de um produto perecível

ESTIMAÇÃO DO TEMPO DE PRATELEIRA DE UM
PRODUTO PERECÍVEL A PARTIR DE DADOS DE
INSPEÇÃO
CLÁUDIO JOSÉ MONTENEGRO DE ALBUQUERQUE
Departamento de Engenharia de Produção – UFPE
JACIRA GUIRO CARVALHO DA ROCHA
Departamento de Estatística - UFPE
Abstract:
In this work, a problem of estimation of shelf time of food products is studied. A data
base coming from a food products industry was used, in which the collected opinions of
panelists is used to assess the food product’s quality according the attributes odor, flavor and
appearance. A model that can find percents of failure time and, in the same way, with the
known failure time to find the percents corresponding to that failure times, was fitted to this
data base.
Keywords: reliability, shelf time, logistic regression.
1. Introdução
A análise de confiabilidade tem seu principal foco direcionado para um grupo ou
grupos de elementos em que para cada um deles há um evento de interesse chamado falha, o
qual ocorre após um determinado intervalo de tempo chamado tempo de falha. A falha ocorre
no máximo uma vez em cada elemento.
Para se determinar precisamente o tempo de falha há três exigências: um tempo de
origem definido de forma não ambígua, uma escala de medição da passagem do tempo e a
definição precisa de falha [Cox and Oakes, 1984].
Muitas vezes o interesse concentra-se apenas na distribuição do tempo de falha de um
único grupo. Freqüentemente, deseja-se comparar os tempos de falha de dois ou mais grupos
para ver, por exemplo, se os tempos de falha dos elementos são sistematicamente maiores no
segundo grupo de que no primeiro. Deforma alternativa, valores de covariáveis podem estar
disponíveis para cada indivíduo, as quais podem estar relacionadas com a sobrevivência.
Basicamente dois tipos de problemas são enfocados: (a) Estimação da forma e de outras
características da distribuição dos tempos de falha; (b) Quantificação do relacionamento entre
os tempos de falha e as covariáveis. As covariáveis, ou variáveis explicativas, contribuem
fornecendo informação adicional sobre cada elemento, informações essas que, se presume,
podem influenciar o valor do tempo de falha.
2. Tempo de Falha de um Produto
A vida de um produto é a duração de tempo durante a qual ele funciona
adequadamente. Produtos produzidos de forma similar, mesmo quando usados sob condições
idênticas, não falham com a mesma duração de tempo. Supõe-se então que a vida de um item
é governada por uma distribuição de probabilidade chamada distribuição de vida. A Análise
de confiabilidade usa distribuições de vida nas ciências da engenharia e em pesquisas
pertinentes a alimentos e outros produtos de consumo [Freitas e Colosimo, 1997]. A vida de
um produto alimentar ou qualquer produto de consumo é chamada tempo de prateleira ou
tempo de estocagem. A distribuição do tempo de vida de um bem de consumo durável é
utilizada para se estabelecer seu prazo de garantia. A distribuição do tempo de vida de
equipamentos ou de componentes de sistemas mais complexos é utilizada para se estabelecer
programas de manutenção desses equipamentos.
3. Dados Resultantes de Inspeções
Em muitos experimentos, sabe-se apenas que o tempo de falha de uma unidade tem
lugar antes ou depois de um determinado instante. Cada observação é ou censurada à direita
ou censurada à esquerda. Tais dados de tempo de vida ocorrem se cada unidade é
inspecionada apenas uma vez para se constatar se já falhou ou não. Esses dados são dados de
resposta quantal, ou dados resposta tudo ou nada [Nelson, 1982]. Dados resultantes de
inspeções podem ser obtidos a partir de dois procedimentos:
− Dados de resposta quantal (realiza-se exatamente uma inspeção em cada unidade para se
verificar se ela falhou ou não);
− Dados intervalares (realiza-se um número qualquer de inspeções numa unidade).
3.1 Dados de Resposta Quantal
Uma unidade é inspecionada apenas uma vez. Se a unidade falhou, sabe-se apenas que
seu tempo de falha foi anterior ao tempo da inspeção.
3.2 Dados Intervalares
Para alguns produtos, uma falha é encontrada somente na inspeção, por exemplo, uma
peça rachada no interior de uma máquina. Se for constatado que uma unidade falhou, sabe-se
apenas que a falha ocorreu entre aquela inspeção e a anterior. Também, se uma unidade não
falhou na sua mais recente inspeção, sabe-se apenas que seu tempo de falha é superior ao
tempo de inspeção.
4. Modelos de Tempo de Vida
Uma suposição fundamental na análise estatística de experimentos pertinentes a tempo
de vida é que a distribuição do tempo de vida do produto pertença a uma família de
distribuições de probabilidade. Os parâmetros de uma distribuição de probabilidade
relacionam, diretamente ou indiretamente, valores das medidas de locação e escala a aspectos
físicos do produto. Os parâmetros de distribuições do tempo de vida são estimados através do
uso de dados experimentais. Uma vez estimados os parâmetros de um modelo de tempo de
vida, esses podem ser utilizados para a predição de probabilidades relativas a vários eventos,
tais como falhas futuras [Gacula and Singh, 1984].
Boa parte dos experimentos para estimar o tempo de falha de um produto resulta em
variáveis binárias do tipo falhou, não falhou, pois dificilmente observa-se o tempo exato
quando a falha ocorreu. Esses dados resultantes de inspeções são identificados como dados de
proporções ou contagens. Modelando proporções, onde o ponto de partida comum é o modelo
de regressão binomial, utilizam-se modelos lineares generalizados.
4.1 Modelos de Regressão Logística
Num estudo de resposta binária, a variável aleatória Yi representa o número de
sucessos em amostras de tamanhos mi , i=1,2,...,n.
Se E(Yi)=µi=miπi
um modelo linear generalizado permite modelar as proporções esperadas πi em função das
variáveis explicativas xi por meio de
G(πi)=β’ xi
Onde g é uma função de ligação e β um vetor de p parâmetros desconhecidos. A especificação
usual do erro é
2
Yi∼B(mi , µi) com função de variância dada por
V(Yi)=miµi(1-µi)
A função de ligação canônica para a distribuição binomial é a ligação logito.
G(µi)=logito[µi/mi-µi)]=logito[πi/(1-πi)]=ηi.
O modelo logístico é bastante utilizado para modelar tempo de falha de produtos a
partir de dados resultantes de inspeções, onde a variável resposta é do tipo zero um [Dalal et
al., 1989]. O modelo permite estimar as proporções de falhas em função das variáveis
explicativas, dentre as quais inclui-se o tempo.
5. Aplicação
O experimento consistiu em se avaliar as características odor, sabor e aparência de
caldo de galinha acondicionado sob três condições: câmara climática, ambiente e estufa. Uma
amostra de caldo de galinha de mesmo lote, fórmula, etc., foi selecionada, preparada e
avaliada semanalmente. A avaliação das características de interesse – odor, sabor e aparência
foi feita por meio de um painel de degustadores. Cada degustador recebeu, a cada semana,
uma amostra do produto e atribuiu nota de 0 a 6 a cada uma. As avaliações dessas amostras
tiveram início em 11 de julho de 1995 e continuaram, com periodicidade semanal, até 24 de
junho de 1996. Como o experimento visava tanto a estimação da degradação do produto
através do tempo como também a avaliação da influência das condições de acondicionamento
na conservação ou deterioração do produto, cada degustador avaliou, semanalmente, três
amostras: uma proveniente do produto armazenado em câmara climática, outra do produto
acondicionado sob condições do ambiente e uma terceira do produto mantido em estufa. Por
exemplo, para a 44ª semana, sob condição ambiental, os sete degustadores ( d2, d21, d16, d3,
d13, d1 e d32) atribuíram as seguintes notas, para os atributos odor, sabor e aparência:
Semana 44ª
Condição: Ambiente
Atributo
Odor
Sabor
Aparência
d.2
4
5
5
d.21
5
5
4
d.16
4
4
4
d.3
5
4
4
d.13
1
3
2
d.1
0
3
3
d.32
4
5
4
De acordo com a empresa fabricante, o produto é adequado ao consumo quando
recebe notas superiores ou iguais a quatro. Desta forma, considera-se que o produto falhou,
isto é, foi considerado inadequado ao consumo, quando recebeu notas inferiores ou iguais a
três em pelo menos um desse atributos.
5.1 Descrição do Banco de Dados
Os dados originais consistiam numa relação de notas em que, para cada semana tinhase: condição de acondicionamento, número de identificação do degustador e nota de cada
degustador para cada uma das características (odor, sabor e aparência). Para a aplicação de
procedimentos estatísticos pertinentes a dados categóricos, os dados iniciais foram
transformados. Foram registrados, para cada semana, os seguintes resultados: número de
ordem da semanas; número de degustadores, que corresponde ao número de avaliações; e,
para cada característica observada, o número de avaliações com notas inferiores ou iguais a
três, ou seja, o número de amostras rejeitadas. Para as condições ambiente e estufa, também
foram observadas a temperatura e a umidade; na condição câmara climática, a temperatura foi
mantida constante em 37ºC e umidade em 80%. Na estufa observou-se temperatura média de
37ºC e umidade média de 49%. Sob condições ambientais, esses valores médios foram 25ºC e
51%, respectivamente.
Esses dados são censurados à esquerda e à direita, se formos bastante rigorosos em
nossa observação. São censurados à esquerda quando um degustador atribui uma nota menor
3
ou igual a três, numa determinada semana, quando na realidade a falha (o fato de o produto
Ter-se tornado impróprio para o consumo) ocorreu em qualquer instante de tempo anterior
àquele, mas que se desconhece. Por outro lado, são censurados à direita quando um
degustador atribui uma nota superior ou igual a quatro, numa determinada semana, mas de
fato o produto irá falhar num instante de tempo posterior àquele, desconhecido àquela altura.
Em termos práticos, podemos tratar os resultados desse experimento como se fossem tempos
de falhas exatos, avaliados com freqüência semanal.
5.2 Modelagem
Depois de várias tentativas, na busca de um modelo que descrevesse adequadamente o
comportamento da proporção de itens rejeitados em função do tempo (em semanas) e da
condição de armazenamento, foi ajustado um modelo de regressão logística. O modelo de
regressão logística adotado concluiu que as covariáveis temperatura e umidade não se
mostraram significativas, para explicar o comportamento do número de notas inferiores ou
iguais a três. O modelo que melhor se ajustou aos dados identificou uma interação entre o
valor do fator correspondente à condição de acondicionamento e o tempo, expresso em
semanas. É bom lembrar que a condição de acondicionamento traz embutidos os valores da
temperatura e da umidade, covariáveis que contribuem, de forma preponderante, para
caracterizar a condição de acondicionamento.
A variável resposta é o número de itens rejeitados (com notas, na característica
considerada, inferiores ou iguais a três). Para a realização dos cálculos, foi utilizado o pacote
estatístico GLIM [Aitkin et al., 1989].
Para o armazenamento na condição câmara climática, foram obtidos os seguintes
resultados:
p odor ,câmara, sem =
e −2, 446+ 0,08882 sem
1 + e − 2, 446+ 0,08882 sem
p sabor ,câmara, sem =
e − 2,337 + 0,1036 sem
1 + e − 2,337+ 0,1036 sem
p aparência,câmara, sem =
p geral ,câmara, sem =
e −3, 405+ 0,09575sem
1 + e −3, 405+0, 09575sem
e − 2, 289+0,1023sem
1 + e −2, 289+ 0,1023sem
Para armazenamento na condição ambiente, foram obtidos os resultados:
4
p odor ,ambiente, sem =
e −2,6743+ 0,06785sem
1 + e − 2,6743+ 0,06785sem
p sabor ,ambiente, sem =
e − 2,5938+ 0,06516 sem
1 + e − 2,5938+0, 06516 sem
p aparência,ambiente, sem =
p geral ,ambiente, sem =
e −3, 49558+ 0, 08384 sem
1 + e −3, 49558+ 0,08384 sem
e − 2,0714+0, 08384 sem
1 + e − 2, 0714+ 0,08384 sem
Para a condição de estufa, foram obtidos os resultados:
e −4,76+ 0,35912 sem
p odor ,estufa, sem =
1 + e − 4, 76+0,35912 sem
p sabor ,estufa, sem =
e − 2,9168+ 0, 2388sem
1 + e − 2,9168+ 0, 2388 sem
p aparência,estufa, sem =
p geral ,estufa, sem =
e − 4,138+ 0, 29935sem
1 + e − 4,138+ 0, 29935sem
e − 2,943+ 0, 2703sem
1 + e − 2,943+ 0, 2703sem
Conclusões:
A estocagem na condição ambiente é aquela em que o caldo de galinha sofre um
processo de deterioração mais lento; em seguida vem a estocagem em câmara climática; por
último vem a estocagem em estufa, que acelera a deterioração do produto.
Os modelos de regressão logística ajustados permitem estimar os percentis dos tempos
de falha do caldo de galinha para cada uma das três condições de acondicionamento, como
também possibilitam avaliar, para um determinado tempo, a proporção de produtos que se
tornou imprópria para o consumo [Agresti, 1996].
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Referências Bibliográficas
[Agresti, 1996] Agresti, A (1996). Na Introduction to Categorical Data Analysis. John Wiley
and Sons, New York – NY.
[Aitkin et al., 1989] Aitkin, M., anderson, d., Francis, B., and Hide, J. (1989). Statistical
Modelling in GLIM. Clarendon Press, Oxford.
[Cox and Oakes, 1984] Cox, D.R. and Oakes, D. (1984). Statistical Analysis of Survival Data.
Chapman and Hall, London.
[Dalal et al., 1989] Dalal, S.R., Fowlkes, E.B., and Hoadley, B. (1989). Risk Analysis of the
Space Shuttle:Pre-Challenger Prediction of Failure. JASA 84, 945-957.
[Freitas e Colosimo, 1997] Freitas, M. A e Colosimo, E. (1997). Confiabilidade: Análise de
Tempo de Falha e Testes de Vida Acelerados. Fundação Cristiano Ottoni, Escola de
Engenharia da UFMG, Belo Horizonte-MG – Brasil.
[Gacula and Singh, 1984] Gacula, M. C. and Singh, J. (1984). Statistical Methods in Food
and Consumer Research. Academic Press Inc., Orlando, Florida – USA.
[Nelson, 1982] Nelson, W. (1982). Applied Life Data Analysis. John Wiley and Sons, New
York – NY.
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