Apostila 1 | Vetores - liceu

VETORES
1- DEFINIÇÃO: Ente matemático usado para caracterizar
paralelogramo. O vetor resultante é traçado a partir das
uma grandeza vetorial.
origens até a intersecção das linhas auxiliares.
2- TIPOS DE GRANDEZAS
2.1- GRANDEZA ESCALAR- É toda grandeza que fica
bem caracterizada conhecendo-se:
Módulo
Valor numérico +
unidade de medida
Intensidade
5- OPERAÇÃO COM VETORES
5.1- SOMA (Mesma direção e sentido)

A

B
Exemplo: massa, volume, comprimento.

R
2.2- GRANDEZA VETORIAL - É toda grandeza que
fica bem caracterizada conhecendo-se:
Módulo ou intensidade
Direção (horizontal, vertical, diagonal).
Sentido (direita, esquerda, cima, ascendente).
Exemplo: Força, deslocamento, Campo elétrico.
Vetorialmente:
Módulo:
R  A B
5.2- DIFERENÇA (Mesma direção e sentidos opostos)

A

R
3- Representação de Vetores
Vetorialmente:
⊗ (entrando no plano), ⊙ (saindo do plano)
4- Determinação Gráfica dos VETORES
  
R  A B
Módulo:
B
  
R  A B
R  A B
5.3- VETORES PERPENDICULARES
4.1- Método do Polígono.
Deslocam-se paralelamente os vetores dados, de suas
posições originais, unindo a origem de um com a

A

R
extremidade do outro vetor.
B
Vetorialmente:
Módulo:
Obtém-se o vetor resultante ligando a origem do primeiro
vetor com a extremidade do último vetor deslocado.
4.2- Método do Paralelogramo.
Deslocam-se paralelamente os vetores dados e unem-se
suas origens (com linhas auxiliares), traçando-se o
  
R  A B
R 2  A2  B 2
5.4- VETORES OBLÍQUOS

A


R
B
Vetorialmente:
  
R  A B
6- ACELERAÇÃO VETORIAL
R  A  B  2. A.B.COS
2
Módulo:
2
2
2
a 2  aCP
 aT2
5.5- PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR
Considere um vetor unitário x e um número inteiro a
com:
V2

R


* Se a > 0, temos: P  a. X , na mesma direção e sentido
aCP
de x.
escalar.


* Se a < 0, temos: P  a. X , na mesma direção e
OU
aCP   2 .R
E
aT = aceleração
sendo:
a - É a aceleração total;
sentido oposto de x.
aCP - É a aceleração centrípeta, responsável pela mudança
de direção do móvel.
5.6- PROJEÇÃO DE VETORES
(1) Só existe em trajetórias curvilíneas;
(3) Sempre possui direção do centro da curva;
VY
V
aT– É a aceleração tangencial, responsável pela variação

da velocidade.
VX
(1) Só existe quando o movimento for variado;



(2)
Vetorialmente: R  A  B
Possui a mesma direção e sentido de V , quando o
movimento for acelerado.
Módulo:
Componente em X: VX = V.COS 
Possui a mesma direção e sentido oposto de V , quando o
movimento for retardado.
Componente em Y: VY = V.SEN 
Componente Total:
V 2  VX2  VY2
CINEMÁTICA
1- DEFINIÇÃO: É o ramo da Física que estuda o
movimento dos corpos sem se preocupar com suas causas.
2- TEMPO: É um conceito primitivo em Física. Unidades:
s, min, h, etc.
a) Variação do Tempo: É a diferença entre o tempo final e
o tempo inicial, ou seja, é a duração do evento.
Δt = t – t0
material). Exemplo: A Terra, O Sol, um poste, um veículo,
uma pessoa, etc.
b) Posição Inicial (S0, X0, L0): É o ponto de partida num
movimento.
c) Posição Final (S, X, L): É o ponto de chegada num
movimento
d) Variação do Espaço ou da Posição (ΔS): É a diferença
entre a posição final e inicial.
ΔS = S – S0
Lembrete
3- ESPAÇO: É a grandeza que determina a Posição de um
móvel numa determinada trajetória, a partir de uma origem
arbitrária. As unidades: m, cm, Km, etc.
Lembrete
4- MOVIMENTO RELATIVO
a) REFERENCIAL INERCIAL: É um ponto de referência
usado para a determinação da posição de um corpo (ponto
a) Corpo em movimento: Um corpo está em movimento,
em relação a um determinado referencial, quando sua
posição, nesse referencial, varia no decurso do tempo.
b) Corpo em Repouso: Um corpo está em repouso, em
relação a um determinado referencial, quando sua posição,
nesse referencial, não varia no decurso do tempo.
5- TRAJETÓRIA: É o conjunto das posições sucessivas
ocupadas pelo móvel no decorrer do tempo num
referencial.
6- VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (Vm): É o
quociente da variação do espaço (ΔS) pelo intervalo de
tempo (Δt).
Vmédia 
s S  S0

t
t  t0
a) Unidades de Velocidade Escalar são: cm/s, m/s, km/h,
etc. No SI (Sistema Internacional de Unidades) usa-se o
metro por segundo (m/s).
b) Relação de conversão
b) O móvel chegou a origem dos espaços: S = 0;
4- Classificação dos Movimentos e Sinal da velocidade:
a) Se v > 0, o movimento é progressivo ⇨ a partícula se
move no sentido dos espaços crescentes.
b) Se v < 0, o movimento é retrógrado ou regressivo ⇨ a
partícula se move no sentido dos espaços decrescentes.
Obs. 1: Quando dois móveis (A e B) se encontram, suas
posições finais são iguais, ou seja, SA = SB;
Obs. 2:
Para se determinar o tempo de encontro dos dois móveis.
a) Os móveis estão deslocando-se no mesmo sentido.
VA
VB
A
B
t 
S
V A  VB
b) Os móveis estão deslocando-se em sentido opostos.
VA
VB
A
B
t 
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
(MRU)
1- DEFINIÇÃO
É todo movimento em que o móvel percorre distâncias
iguais em intervalos de tempos iguais.
S
VA  VB
5- GRÁFICOS DO MRU
a) ESPAÇO x TEMPO
S
S
V>0
Movimento
Progressivo
S0
S = S0 +V t
t
S
2- CARACTERÍSTICAS
a) A velocidade é constante e diferente de zero (V  0);
b) A velocidade média equivale à velocidade instantânea;
c) A aceleração é nula (a = 0).
V 
S
t
3-FUNÇÃO HORÁRIA DO ESPAÇO
S  S0  V .t
Observações:
a) O móvel partiu da origem dos espaços: S0 = 0;
S0
V<0
Movimento
Retrógrado
S
S = S0 - V t
b) VELOCIDADE x TEMPO
t
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
1- DEFINIÇÃO
É o movimento cuja trajetória é uma reta e sua a
velocidade escalar é variável.
2- ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA ( a m )
É o quociente da variação de velocidade
t  :
v
am 
t
v 
vm 
pelo
v
Aumenta no tempo
“v” e “a”, têm sinais iguais.
MOVIMENTO RETARDADO:
3- ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA
“ a ”, é o valor limite a que tende a aceleração escalar
v t , quando t tende a zero.
v
Diminui no tempo
“v” e “ a ”, têm sinais contrários.
v
t 0 t
a  lim
MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUO
a = am = constante  0.
4- UNIDADES
a) No SI, usa-se: m/s2.
b) No cotidiano emprega-se: cm s 2 , km h 2 , etc.
1- DEFINIÇÃO:
É um movimento que ocorre nas proximidades da terra.
este movimento é uniformemente variado e cuja
aceleração é a da gravidade.
O valor normal da aceleração da gravidade ao nível do
mar, a uma latitude de 450 é:
5- FUNÇÕES HORÁRIAS
a) DA POSIÇÃO
a
s  s 0  v0 t  t 2
2
v1  v2
2
8- CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
MOVIMENTO ACELERADO:
intervalo de tempo correspondente
média
No MUV, a velocidade escalar média entre dois instantes é
igual à média aritmética das velocidades escalares
instantâneas:
g = 9,80 m/s2
ou
a
s  v0t  t 2
2
b) DA VELOCIDADE
v  v0  a.t
6- EQUAÇÃO TORRICELLI
v 2  v02  2.a.s
7- VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA NO MUV
Há duas possibilidades para a orientação da trajetória,
conforme as conveniências. A seguir, elas são
apresentadas com as respectivas equações, em que o
espaço (s) é trocado pela altura (h) e a aceleração escalar
(a), pela aceleração gravitacional (g):
s  s0  v0t 
 .t 2
2

gt 2
h  v0 t 
2
v  v0    t  v  v0  gt
v 2  v02  2. .S 
v 2  v02  2.g.h
2- Lançamento Vertical para Cima
2.1 CARACTERÍSTICAS
A velocidade inicial é diferente de zero (V0  0).
No ponto mais alto, há mudança de sentido (V = 0).
Na subida o movimento é retardado.
Na descida o movimento é acelerado.
A velocidade inicial pode ou não ser zero.
Na descida, o movimento é acelerado.
No vácuo, os corpos caem ao mesmo tempo,
independente de sua massa e formato.
3.2 Equações
a) altura
h  v0t 
2.2 Equações
a) Tempo de Subida e Descida
t SUB 
b) velocidade
v0
g
O tempo de subida é igual ao tempo de descida
tVÔO  2.t SUB
b) ALTURA
gt 2
h  v0t 
2
hMAX
gt 2
2
v02

2.g
v  v0  gt
v 2  v02  2.g.h
2ª Parte - CINEMÁTICA VETORIAL

A) Vetor velocidade média ( Vm ) ou velocidade
vetorial média.
Define-se como sendo o quociente entre o vetor


deslocamento S  d e o intervalo de tempo ∆t
em que o movimento se realiza.
Consideremos um móvel em uma trajetória
qualquer. Temos:
c) Velocidade
v  v0  gt
v  v  2.g.h
2
3- Queda Livre.
3.1 características
2
0


d
Vm 
t
Sendo:

d = vetor deslocamento - vetor que tem origem na
posição inicial e extremidade na posição final do
móvel.
Notas:

(1ª) O vetor velocidade média Vm tem a mesma
direção e o mesmo sentido do vetor

deslocamento d .

S
(2ª) Em cinemática escalar Vm 
. Como d  S .
t

Então: Vm  Vm .
B)
Velocidade vetorial instantânea (vetor

velocidade) V : é um vetor de direção sempre
tangente à trajetória, no mesmo sentido do
movimento é módulo igual ao da velocidade

escalar instantânea ( Vm  = Vm).



V1 

V2
V3
V1
V2
Módulo:
2
a  a CP
 a 2t
Nota:

A aceleração centrípeta ( aCP ) só existe em


movimentos de Trajetórias Curvas ( aCP  0 ); em

Trajetórias Retilíneas aCP

Trajetória retilínea, V ,
tem direção constante.

V4

V3
Trajetória curvilínea,
tem direção variável.

V

C) Aceleração Vetorial Instantânea ( a ) é a
aceleração de um móvel num determinado instante t;

indica a variação do vetor velocidade ( V ) em
módulo e em direção. Tem duas componentes:


ACELERAÇÃO TANGENCIAL ( a t ): indica a
variação apenas do módulo do vetor

velocidade V , tangente à trajetória e
módulo igual ao da aceleração escalar:


a t  a (escalar). Sentido: mesmo de V , se

o movimento for acelerado; oposto ao de V ,
se o movimento for retardado.

0
I - COMPOSIÇÃO DE MOVIMENTOS
Movimentos
compostos
são
aqueles
resultantes da composição de dois ou mais
movimentos. Como o movimento de um barco na
correnteza, de um avião no ar, de um corpo lançado
obliquamente no ar, etc.
Sejam dois sistemas de referências (R e r) e um
ponto P.
Movimento
Relativo
Movimento de
Arrastamento
VB/A
BARCO (B)
VA/T
ÁGUA (A)
TERRA(T)
(r)
(P)
(R)
VB/T
Movimento Resultante
Temos:

a

a

V

V
(B/T)
M. Acelerado
M. Retardado

Nota: a t só existe em movimentos variados



No M.U, at  0 , pois  V  não varia.


ACELERAÇÃO CENTRÍPETA ( a CP ): é
perpendicular à trajetória e indica a
variação apenas da direção do vetor

velocidade V . Tem sentido para o centro
da trajetória e módulo dado por:

V

a CP
R



VRES = VREL + VARR
a CP 
(B/A)
(A/T)
O Princípio da Simultaneidade ou Independência
de GALILEU pode ser enunciado da seguinte forma:
“Quando um corpo se encontra sob a
ação simultânea de vários movimentos, cada um
deles se processa como se os demais não
existissem; e no mesmo intervalo de tempo”.
II - MOVIMENTOS NÃO VERTICAIS NO VÁCUO
1°) Lançamento horizontal
Movimento resultante da composição de dois
movimentos retilíneos e ortogonais:
V2
R
C
Sendo v = velocidade
R = raio da trajetória

 

ACELERAÇÃO RESULTANTE ( a  a CP  a t )
a = alcance
►Componentes da velocidade inicial: V0x = V0 e
V0y = 0
►Funções Horárias:
Segundo x: MU →
x = V0.t
1
y  gt 2 e Vy = g.t
2
2°) Lançamento Oblíquo no vácuo
É aquele em que a velocidade inicial do
movimento forma com a horizontal um ângulo ,
chamado ângulo de tiro. É, também, uma
composição de um MUV na direção vertical com MU
na direção horizontal.
Segundo y: MUV
→
►Componentes da velocidade inicial:
V0x = V0.cos 
V0y = V0 . sen 
► FUNÇÕES HORÁRIAS:
Segundo x (MRU ) :
x = x0 + v0x.t
v0x=cte 0
1
y  y 0  v 0 y .t  g.t 2
2
Segundo y (MRUV ):
Vy2  V02y  2.g.y
Vy = V0y – g.t
► Em qualquer instante de tempo, para os dois
casos (L. horizontal e L. oblíquo), teremos:
 

V  V0 x  Vy em módulo V 2  V02x  Vy2
Notas:
1ª) O módulo da velocidade vertical Vy diminui
durante a subida e aumenta na descida.
2ª) No ponto de altura máxima (h máx) o módulo da
velocidade no movimento vertical é zero (Vy =
0).
3ª) Pode-se demonstrar que a trajetória é parabólica
e que para uma dada velocidade inicial o alcance
máximo é atingido com ângulo de tiro de 45°.
Alcance máximo A  V02 ou Amáx = 4.H
máx
g
4°) Quando o ângulo de lançamento (de tiro) não for
45°; existirão duas opções de ângulo para se obter o
mesmo alcance.Tais ângulos são complementares,
isto é 1 + 2 = 90°.