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Boletim do LABEM, v. 6, n. 11, jul./dez. de 2015
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M&M’s e Matemática: um estudo sobre probabilidades
Leonardo Sodré1
Universidade Federal Fluminense – UFF
Flávia Soares2
Universidade Federal Fluminense – UFF
Resumo
No presente artigo relatamos a aplicação de um experimento que pode contribuir para o ensino e a
aprendizagem de conceitos básicos de probabilidade. A investigação ocorreu numa turma do
Ensino Médio de uma escola pública na região metropolitana do Rio de Janeiro que apresentou
dificuldades na resolução de problemas que envolvem este tema. O objetivo desta atividade é a
fixação do conteúdo e revisão dos conceitos já estudados. Os resultados indicam que a utilização
dessa proposta de ensino pode favorecer a aprendizagem e torna as aulas mais prazerosas e
participativas para os alunos que tornam-se ativos no desenvolvimento de seu próprio
conhecimento.
Introdução
Este texto é o relato de uma experiência desenvolvida em um colégio estadual localizado no
município de São Gonçalo, região metropolitana do estado do Rio de Janeiro em turma do 3° ano
do Ensino Médio do horário noturno3. A atividade implementada tinha como objetivo a fixação do
conteúdo de probabilidades, tema do eixo de Análise de Dados, conforme Currículo Mínimo
proposto pela Secretaria de Educação do Estado do Rio de Janeiro.
Priorizamos uma abordagem não formal do tema, explorando a ideia de probabilidade por
meio de um experimento com materiais concretos, coleta de dados e escala ordinal do impossível
até o possível. Propomos também a leitura e interpretação de gráficos e tabelas de frequência
absoluta, a realização de contagens de arranjos de pequenas amostras e registro em tabelas de
dados, bem como sua representação por meio de árvore de possibilidades e gráfico de barras.
A atividade, intitulada “M&M’s e Matemática”, é um estudo dirigido no qual, por meio da
manipulação de confetes de chocolates coloridos, estimula-se aos alunos a fazer contagens, registro
de dados e cálculo de probabilidades. Os resultados indicam que a utilização dessa proposta de
ensino pode favorecer a aprendizagem e tornar as aulas mais prazerosas e participativas para os
alunos.
Utilizamos neste trabalho a definição de probabilidade segundo Laplace. Esta é conhecida
como a definição clássica de probabilidade, segundo a qual um evento pode ocorrer somente por
meio de um número finito de elementos, como a razão entre o número de casos favoráveis e o
número de casos possíveis, sempre que todos os casos sejam igualmente prováveis.
Graduado em Matemática. E-mail: [email protected]
Doutora em Educação, professora da Faculdade de Educação da UFF. E-mail: [email protected]
3 A atividade foi realizada pelo primeiro autor no âmbito da Disciplina Pesquisa e Prática de Ensino IV e
orientada pela segunda autora.
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A probabilidade na educação básica
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio, o ensino da probabilidade
aparece inserido no bloco de conteúdo denominado “Análise de Dados”. O ensino do assunto é
justificado pela demanda social e por sua constante utilização na sociedade atual, pela necessidade
do indivíduo compreender as informações veiculadas em veículos de comunicação, tomar decisões
e fazer previsões que influenciem em sua vida pessoal e em comunidade. Neste bloco, além de
noções de probabilidades, destacam-se também as noções de estatística e combinatória.
Os PCN estabelecem que a principal finalidade para o estudo das probabilidades
é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do
cotidiano são de natureza aleatória e que se podem identificar possíveis
resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade a
cerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se
manifestam intuitivamente, podem ser explorada na escola, em situações
em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços
equiprováveis) (BRASIL, 1998, p. 52).
Historicamente, o interesse pelo cálculo de probabilidades estava voltado para a previsão
da chance de vitórias em jogos de azar e/ou de baralho. Nos dias atuais, a teoria das
probabilidades possui aplicações importantes nos mais diversos ramos da atividade humana, tais
como Biologia, Estatística, Economia, dentre outras.
Segundo as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN+), espera-se que o aluno nesta fase de escolaridade (ensino médio) ultrapasse a
leitura de informações e reflita mais criticamente sobre o seu significado. A proposta destaca que o
indivíduo tem necessidades dessas noções para interpretar inúmeros artigos de jornais e revistas
nos quais as informações são dadas sob a forma de porcentagem, de média, de gráficos, etc. O
documento aponta também para o quanto as pessoas são bombardeadas por declarações de
políticos, solicitadas por agência de publicidade e sondagens de opiniões. É imprescindível que
tenham uma visão realista de suas chances de ganhar em jogos de azar (mega-sena e máquinas
caça-níquel, por exemplo) e consigam guardar uma atitude crítica diante das receitas para dominar
o acaso.
Um olhar mais atento para a nossa sociedade mostra a necessidade de
acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão tratar as
informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados
estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à
probabilidade e à combinatória (BRASIL, 1998, p. 49).
Os documentos oficiais sugerem a introdução das noções de probabilidade ainda nas
primeiras séries do Ensino Fundamental. Segundo Lopes (2008), não é possível esperarmos que
nosso aluno chegue ao ensino médio para iniciarmos conteúdos essenciais para o desenvolvimento
de sua visão de mundo. É preciso que a escola proporcione a ele instrumentos de conhecimento
que possibilitem uma reflexão sobre as constantes mudanças sociais e o prepare para o exercício
pleno da cidadania. Porém, mesmo no ensino médio é muito comum encontrarmos alunos que
nunca estudaram conceitos básicos de probabilidade e, quando tomam conhecimento, sua
abordagem reduz-se à resolução repetitiva de exercícios padrões e aplicação de fórmulas.
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Além disso, muitos professores do Ensino Médio sentem-se inseguros quando precisam
abordar conteúdos de probabilidade em sala de aula. Estes tendem a reproduzir a vivência que
tiveram enquanto alunos e se restringem a uma abordagem tradicional do tema. Essa deficiência
no ensino é discutida por Bayer (2005):
[...] a inclusão da probabilidade e da estatística nos programas de
matemática do ensino fundamental e médio, embora tenha ocorrido no ano
de 1997, hoje ainda observa-se um número de muito reduzido de
professores que ensinam probabilidade e estatística. Vários motivos foram
destacados: falta de preparo do professor, falta de tempo, falta de material
didático. O que se observa é que o professor de matemática necessita, assim
como foi feito com os programas de matemática, uma atualização em sua
formação (p. 2).
No que se referem à abordagem do conteúdo, os PCN deixam claro que:
estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos
problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo,
evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho
baseado na definição de termos ou de formulas envolvendo tais assuntos.
(BRASIL, 1998, p. 52).
Recomenda-se que o professor recorra à resolução de problemas, desafiando o estudante a
refletir, elaborar hipóteses e procedimentos, observando a participação ativa dos alunos na
descoberta e assimilação das ideias matemáticas.
Os PCN fornecem orientação para que
a probabilidade seja explorada de maneira informal por meio de
investigações que levem os alunos a fazer algumas previsões a respeito do
sucesso de um evento. Ao se realizarem experiências para calcular
probabilidades, é interessante utilizar materiais manipulativos que
permitam explorar a propriedade da “simetria” (dados, moedas), como
também os que não possuem essa “simetria” (roletas com áreas desiguais
para os números). No trabalho com probabilidade é fundamental que os
alunos compreendam o significado de espaço amostral e sua construção
pela contagem dos casos possíveis, utilizando-se do princípio
multiplicativo e de representações como uma tabela de dupla entrada ou
um diagrama de árvore. Desse modo, será possível indicar o sucesso de um
evento utilizando-se de uma razão (BRASIL, 1998, p. 137).
A maioria dos livros didáticos do ensino médio que abordam o tema probabilidade, foca
mais em questões voltadas para os jogos de azar, no entanto só alguns fazem um elo entre esses
jogos e a teoria da probabilidade. Poucos são os livros que falam do valor histórico deste estudo.
Estes trabalham muito com exercícios que praticamente só exigem que o aluno decore uma
fórmula e a aplique, ou seja, exercícios meramente mecânicos.
Em geral, os conteúdos são apresentados do modo tradicional: primeiro definem-se os
conceitos, depois há exemplos e em seguida apresenta-se uma bateria de exercícios. Pouco se tenta
instigar o aluno à pesquisa, à experiência, ao estudo reflexivo e crítico do que está sendo
aprendendo e não abre muito espaço para exercícios que permitam ao aluno respondê-los com
suas próprias palavras. Os livros didáticos, em geral, possuem uma gama de exercícios úteis para o
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aprendizado do conteúdo em estudo. Porém, falta uma ligação mais direta com a realidade do
aluno. A apresentação do conteúdo limita-se para esse tema, em falar sobre os jogos de azar, no
entanto, propõem exercícios que envolvem muitos tópicos que eles nem sequer comentam. Por
exemplo, alguns livros não comentam sobre a relação entre a estatística e a probabilidade, mas
apresentam uma bateria de exercícios, na qual o conhecimento da estatística seria fundamental
para o melhor entendimento do que se está fazendo.
Propõe-se um capítulo de probabilidade que inicie com um texto que contenha alguma
aplicação, curiosidades, ou até fatos históricos que incentivem o aluno a aprender esta teoria. Para
apresentar os conteúdos sugerimos que ao conceituar cada tópico apresentem-se exemplos
diversos, e não somente aqueles que envolvem jogos de azar. Preferencialmente achamos
interessante que estes exemplos relacionem a teoria com a aplicação no cotidiano, tais como
Biologia, Estatística, Economia, dentre outros. Quanto aos exercícios, vemos que é importante
trabalhar não somente exercícios que exijam respostas exatas, mas também exercícios que
permitam ao aluno dar uma resposta discursiva e que ajudem a desenvolver não só senso lógicomatemático, mas também o senso-crítico do aluno em relação ao que se está estudando.
Uma sugestão de atividades
A atividade, intitulada “M&M’s e Matemática”, é um estudo dirigido com o objetivo de
trabalhar alguns conceitos relacionados à análise de dados e probabilidade. Os materiais utilizados
em sala na realização da tarefa foram: material impresso para acompanhamento da atividade, uma
embalagem de confetes M&M’s fornecida por nós, um pratinho descartável e lápis de cor.
Distribuímos embalagens lacradas de M&M’s para os alunos e solicitamos que inicialmente
despejassem todo o conteúdo no prato descartável. Em seguida, eles contaram e registraram na
folha de acompanhamento a quantidade de M&M’s de cada cor que a embalagem recebida
continha. Neste ponto, os próprios alunos constataram que apesar das mesmas cores aparecerem
em todas as embalagens dos colegas, a quantidade total de M&M’s e proporção das cores era
diferenciada em relação aos colegas e, portanto conferia singularidade para seu experimento.
Cada embalagem de M&M’s de 100g utilizada na atividade tinha em, em média, 100
unidades de M&M’s. As embalagens que compramos apresentaram uma quantidade em torno de
96 e 122 unidades. Para que todos os alunos trabalhassem com a mesma quantidade de M&M’s,
fixamos em 100 a quantidade padrão e os alunos ficaram livres para escolher quais M&M’s em
excesso eles descartariam. Por exemplo, um dos alunos, com 112 M&M’s, decidiu descartar 3
M&M’s verdes, 2 M&M’s azuis e 7 M&M’s amarelos. Sua justificativa foi a de trabalhar com
“quantidades arredondadas”. Outro aluno, com 108 M&M’s, decidiu descartar seus 8 M&M’s
vermelhos extinguindo essa cor da atividade. Inicialmente, ficamos receosos em eliminar uma das
cores da atividade, mas percebemos que essa ação distinguiria as respostas deste aluno dos
demais, criando um novo padrão de respostas diferente das que esperávamos nas questões que
estavam por vir na folha de acompanhamento. Como partiu do aluno esta iniciativa, optamos por
apoiá-los e acompanhar sua solução particular para o problema proposto.
Um único aluno teve menos de 100 M&M’s em sua embalagem. Este, ao invés de comer os
confetes para atingir a quantidade padrão como os demais, precisou receber 4 M&M’s para
completar 100, pois em sua embalagem só havia 96 unidades.
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Figura 1 – Materiais utilizados na realização da tarefa
A cada nova etapa da tarefa os alunos tiravam suas dúvidas, solicitavam esclarecimentos,
ou apenas nos chamavam à mesa para conferir o andamento. Este tipo de atendimento
personalizado demanda tempo e foi um dos fatores de atraso da nossa atividade. Nossa estimativa
de tempo para execução da tarefa era de 50 min, contudo gastamos cerca de 1h20min. A
colaboração do professor foi fundamental na execução da tarefa, tanto para o atendimento aos
alunos, quanto para conter a turma em alguns momentos de dispersão.
Na segunda questão foi solicitado aos alunos que criassem um gráfico de barras a partir
dos dados coletados. Para isto, fornecemos uma malha quadriculada e lápis de cor. Deixamos de
livre escolha a escala a ser utilizada. Vejamos alguns resultados.
Figura 2 – Resolução de um aluno usando Escala 1:3
Este aluno, por exemplo, convenciou que 1 quadradinho de altura corresponde a 3 M&M’s
da cor desejada. Observamos que ele ampliou o gradeado para representar seus 36 M&M’s
laranjas.
Outro aluno utilizou a escala 1:4 (Fig.3). O aluno expressou corretamente seus 6 M&M’s
vermelhos ao dividir um quadradinho ao meio. A explicação do aluno foi: “Se 1 quadradinho vale
4 M&M’s, logo ½ quadradinho vale 2 M&M’s. Como 6 é 1 x 4 + 2, então eu uso 1 quadradinho + ½
quadradinho de altura.”
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Figura 3 – Resolução de um aluno usando Escala 1:4
Elegemos a escala 1:5 como a mais apropriada para representar na malha proposta, visto
que comporta até 50 M&M’s em uma barra. Nenhuma das embalagens apresentou uma única cor
com mais do que 50 unidades, o máximo encontrado foi 46.
Vejamos o exemplo do aluno que representou 5 M&M’s por quadradinho de altura. Ele
utilizou uma aproximação por falta ou por excesso, conforme conveniente. Na tabela ele registrou
22 M&M’s verdes e no gráfico ele os representou por 4 quadradinhos, o equivalente a 20 M&M’s.
Os 9 M&M’s vermelhos foram representados por 2 quadradinho de altura no gráfico, o que
equivale a 10 M&M’s. Consideramos justa a compensação feita pelo aluno. O arredondamento não
compromete de forma geral a leitura do gráfico. Veja a tabela e as compensações feitas pelo aluno.
Figura 4 – Resolução de um aluno usando Escala 1:5
Outro tipo de escala utilizada pelos alunos foi a de 1:10. Não consideramos esta escala
muito precisa, pois um dos alunos representou, por exemplo, 22 M&M’s verdes e 21 M&M’s
laranjas da mesma forma no gráfico, comprometendo a leitura de que os M&M’s de cor verde tem
mais chances de sair dos que os de cor laranja numa retirada aleatória de um M&M’s da
embalagem.
Figura 5 – Resolução de um aluno usando Escala 1:10
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Dois alunos construíram seus gráficos nas escalas de 1:1 com perspectivas diferentes. O
primeiro registrou 1 quadradinho de altura por M&M’s para quantidades menores ou iguais a 10.
Para quantidades maiores que 1 dezena ele registrou somente 10 quadradinhos de altura no
gráfico, alegando não ter mais espaço para continuar. Ou seja, tanto 10, 23 ou 36 M&M’s teriam a
mesma representação gráfica. Ficou claro neste ponto que o aluno não soube escolher uma escala
adequada para os dados. Posteriormente, sugerimos a ele uma redução de escala explicando que
cada quadradinho poderia representar mais de 1 M&M’s por vez, que era necessário “reduzir para
caber”. O aluno se comprometeu em refazer o gráfico em outra aula.
Figura 6 – Resolução de um aluno usando Escala 1:1
O outro aluno que trabalhou com escala 1:1, não atentou a nossa instrução inicial de que a
base de cada barra no gráfico teria a largura de 3 quadradinhos. Ele simplesmente pintou na malha
a quantidade de quadradinhos correspondente ao número de M&M’s de cada cor.
Figura 7 – Resolução de um aluno usando Escala 1:1
Concluídos os registros e a representação gráfica dos dados, partimos para próximas
questões. Pedimos para que os alunos listassem as cores de M&M’s possíveis/impossíveis (itens 3
e 4 da atividade) de ocorrer numa retirada aleatória de um único M&M’s da embalagem.
A maioria citou como resultados possíveis as 6 cores presentes nas embalagens de M&M’s,
a saber: AMARELO, VERMELHO, AZUL, VERDE, LARANJA e MARROM. Salvo alguns alunos
que registram somente 5 das cores comuns: um, por não ter sido contemplado com uma das cores
em sua embalagem; e outro, por ter eliminado uma das cores no início da tarefa. Para os
resultados impossíveis, eles responderam as cores ROSA (15 ocorrências), PRETO (14 ocorrências),
BRANCO (11 ocorrências), ROXO (6 ocorrências) e CINZA (3 ocorrências).
O aluno que eliminou os M&M’s vermelhos no começo da tarefa gerou certa polêmica entre
os colegas por citar o VERMELHO como cor impossível de sair, mas logo se justificou explicando
que se tratava de uma solução particular da sua atividade. Outro aluno respondeu oralmente que
era impossível sair qualquer cor que não estivessem na embalagem. Mas no registro ele escreveu
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“qualquer cor”. Completamos com “exceto amarelo, vermelho, azul, laranja, verde, marrom” para
dar sentido a sua resposta.
Pedimos então que os alunos criassem um ranking das cores que tinham mais chance para
a que tinha menos chance de sair quando retirássemos um único elemento da sua embalagem de
M&M’s. Como referência os alunos puderam consultar os valores na tabela ou fazer uma leitura
do gráfico de barras criado por eles. Todos ordenaram as cores corretamente.
A próxima etapa da atividade, destacada por um quadro na folha de acompanhamento,
visava investigar o conhecimento prévio do aluno sobre o tema probabilidade, que já o tema havia
sido ensinado nas aulas de matemática pelo professor da turma, pois como dissemos inicialmente,
esta atividade foi proposta para revisão e fixação do conteúdo. Dessa forma os alunos já estavam
familiarizados com alguns termos como “evento”, “espaço amostral”, “experimento aleatório”.
Para isto pedimos que completassem as lacunas do texto sobre probabilidades de acordo com seus
conhecimentos sobre o assunto. Seguem algumas das respostas frequentes.
Figura 8 – Exemplo de Resolução
Um dos alunos confundiu a definição de probabilidade e registrou a relação ESPAÇO
AMOSTRAL / EVENTO como válida para o cálculo de probabilidades.
Figura 9 – Exemplo de Resolução com erro na definição de probabilidade
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Em seguida, propomos aos alunos que calculassem a probabilidade de ocorrência de alguns
eventos (item 6 da atividade). Na retirada de um único M&M’s da embalagem, perguntamos qual
era a probabilidade de:
Evento A: sair um M&M’s amarelo;
Evento B: sair um M&M’s marrom ou laranja;
Evento C: sair um M&M’s de chocolate.
As respostas foram variadas justamente por depender diretamente do conteúdo das
embalagens de cada aluno. Para o evento A, esperava-se que os alunos respondessem usando a
definição de probabilidade:
P(amarelo) =
no de m&m's amarelos
100
Para o cálculo da probabilidade de ocorrência do evento B o aluno deveria calcular
P(marrom ou laranja) = P(marrom) + P(laranja), visto que os eventos “sair um M&M’s marrom” e
“sair um M&M’s laranja” são eventos mutuamente excludentes. Portanto,
P(marrom ou laranja) =
no de m&m's marrons+ n de m&m's laranja
100
No evento C, a probabilidade de sair um M&M’s de chocolate é 100%, por se tratar de
confeitos coloridos feitos exclusivamente de chocolate.
Com o intuito de ampliar gradativamente o grau de dificuldade das questões, liberamos
que os alunos comessem todos os M&M’s amarelos. Isto modificava significantemente os
resultados encontrados até agora, pois reduzia o número de elementos do espaço amostral. Os
alunos registraram na folha de acompanhamento sua nova quantidade de M&M’s, ou seja, o novo
número de elementos do espaço amostral.
Além disso, nesta nova etapa trabalhamos com a retirada de dois M&M’s da embalagem:
primeiro um, depois o outro. Inicialmente, construímos um quadro de possibilidades para
visualizar os possíveis arranjos de corres, na retirada sucessiva de dois M&M’s, levando em conta
que temos uma cor a menos no processo. Segue o registro em tabela feito por um aluno, de todas
as possibilidades na retirada de dois M&M’s.
Figura 10 – Exemplo de Resolução. Quadro de possibilidades.
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Investigamos com os alunos a probabilidade de ocorrer os seguintes eventos (item 9 da
atividade):
Evento D: sair um M&M’s azul e depois um M&M’s vermelho, com reposição;
Evento E: saírem dois M&M’s verdes, sem reposição.
O professor da turma foi enfático durante a elaboração desta atividade ao afirmar que este
tópico era o ponto de maior dificuldade da turma. “Eles têm muitas dúvidas quanto à variação da
quantidade de elementos do espaço amostral durante a primeira e a segunda retirada de
elementos, nos eventos sem reposição” disse o professor, que trabalhou o tema probabilidade da
forma tradicional com a resolução do problema de “retirada de bolas de uma urna”, que muito se
assemelha à atividade que estamos propondo.
No evento D, esperávamos que os alunos concluíssem que a probabilidade de sair um
M&M’s azul e depois um M&M’s vermelho com reposição é P(1° azul e 2° vermelho) = P(1° azul) x
P(2° vermelho) e que o espaço amostral se manteria o mesmo, visto que o primeiro M&M’s
retirado foi devolvido ao pacote antes da segunda retirada.
O evento E, propunha a retirada de dois M&M’s e perguntava a probabilidade de serem
retirados 2 M&M’s verdes, primeiro um, depois o outro, sem reposição. Este caso requeria um
pouco mais de atenção, pois na segunda retirada o espaço amostral teria um elemento a menos. O
número de elementos do evento também se alteraria na segunda retirada, pois um M&M’s verde já
tinha saído na primeira retirada.
Vamos acompanhar o desenvolvimento de um dos alunos.
Figura 11 – Exemplo de Resolução do itens 6,7 e 9
No caso desse aluno sua tabela inicial tinha 20 M&M’s amarelos que foram eliminados,
reduzindo então o número de elementos do seu espaço amostral de 100 para 80. No cálculo da
probabilidade de ocorrência do evento D, o aluno fez uso do princípio multiplicativo. Observe que
o aluno considerou corretamente o número de elementos do espaço amostral, o qual não se altera
da primeira para a segunda retirada, pois se trata de um problema com reposição de elementos.
Diferentemente do evento E, no qual a redução do número de elementos do espaço e do número
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de elemento do evento da primeira para a segunda retirada é consequência da condição de não
reposição dos elementos.
Considerações Finais
Ao término da atividade os alunos se mostraram bem animados com a proposta de aula e
assumiram ter esclarecido as dúvidas que ainda tinham sobre o tema. Na semana posterior as
aplicações desta atividade, ocorreram as avaliações bimestrais da turma, bem como a avaliação
diagnóstica da educação no Estado do Rio de Janeiro, o SAERJ. Pelo depoimento do professor da
turma, os resultados obtidos neste bimestre foram positivos, e a turma alcançou um bom
rendimento. Embora não tenha sido o único tema abordado nesta avaliação, entendemos que a
vivência deste experimento tenha colaborado para o despertar para questões relacionadas à
probabilidade, conteúdo hoje indispensável para a formação plena do cidadão.
Referências
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na Escola. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE ENSINO MATEMÁTICA, 3, 2005, Canoas.
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Acesso em: 23/05/2013.
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LOPES, Celi Aparecida Espasandin. O Ensino da Estatística e da Probabilidade na Educação Básica
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