Circuitos Dinâmicos - Resposta na Frequência

Análise de Circuitos
LEE 2006/07
Guia de Laboratório
Trabalho 4
Circuitos Dinâmicos
Resposta em Frequência
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Paulo Flores
1 Objectivos
Este trabalho de laboratório tem os seguintes objectivos:
1. familiarização com o equipamento de medida disponı́vel e com as bases de experimentação
laboratorial;
2. realização de montagens simples de filtros com componentes passivos e análise da sua
resposta na frequência;
3. introdução ao simulador eléctrico pspice (análise na frequência).
2 Sumário
Este trabalho foi dimensionado de modo a ser realizado numa sessão de laboratório de 2 horas,
desde que previamente tenham sido resolvidas as questões teóricas e realizadas as simulações.
O plano de trabalho consta das seguintes partes:
1. filtro com circuito RC de 1a ordem
2. filtro RC de 2a ordem
Os resultados devem ser apresentados nas folhas em anexo, previstas para esse efeito, juntamente com os resultados das simulações realizadas.
3 Equipamento para Ensaio Laboratorial
1. Base de experimentação e placa breadboard, e respectivas Fontes de Alimentação;
2. Voltı́metro Digital DC e Gerador de Sinais;
3. Osciloscópio de duplo traço;
4. Cabos de ligação para a base de experimentação e para os aparelhos laboratoriais.
A montagem dos circuitos em ensaio é feita montando e interligando os respectivos componentes na placa breadboard.
A alimentação dos circuitos em ensaio é feita directamente através da base de experimentação
que fornece tensões DC reguláveis de 0V até +15V e −15V , e fixa de +5V e −5V . Os componentes a utilizar são os seguiuntes:
2 × 3.3kΩ 2 × 0.1µF
1
4 Plano de Trabalho
4.1 Resposta na Frequência - Regime Forçado Sinusoidal
O estudo da resposta na frequência de um circuito consiste em analisar a resposta de uma saı́da
em regime forçado sinusoidal numa gama frequências a uma entrada (sinusoidal). O quociente entre as amplitudes complexas (fasores) da saı́da e da entrada permite definir as funções
de amplitude e fase da resposta em frequência, geralmente denominadas de caracterı́sticas de
amplitude e fase. A caracterı́stica de amplitude reflecte a relação existente entre as amplitudes
do dois sinais e a caracterı́sticas de fase reflecte a diferença de fase entre os dois sinais.
Os circuitos cujo comportamento depende fortemente da frequência, são designados por
filtros. Os filtros são largamente usados em sistemas de telecomunicações, controlo, processamento de sinal, etc. Consoante a caracterı́stica da resposta na frequência de um circuito ele
pode ser classificado como um dos seguintes tipos de filtro:
passa-baixo, quando atenua as amplitudes dos sinais de altas frequências;
passa-alto, quando atenua as amplitudes dos sinais de baixas frequências;
passa-banda, quando atenua as amplitudes dos sinais de frequências acima e abaixo de uma
dada banda de frequências, denominada banda de passagem;
rejeita-banda, quando atenua uma dada banda de frequências;
passa-tudo, o filtro não altera a amplitude dos sinais presentes na sua entrada em nenhuma
gama de frequências em particular, mas permite, por exemplo, equalizar a fase destes
sinais. Neste caso, o filtro passa-tudo é denominado equalizador de fase.
A representação gráfica das funções amplitude e fase da resposta em frequência, em escala logarı́tmica, designam-se por diagramas de Bode de amplitude e de fase. Nos diagramas de
Bode de amplitude, o eixo das frequências (horizontal) representa-se em escala logarı́tmica (permitindo assim abranger num mesmo gráfico uma gama muito mais ampla de frequências), ao
passo que na escala vertical (que é linear) representa-se a função de amplitude em Decibel (dB),
ou seja, 20 · log10 (amplitude). Nos diagramas de Bode de fase, o eixo das frequências (horizontal) representa-se também em escala logarı́tmica e na escala vertical (que é linear) representa-se
directamente a função de fase em graus ou radianos.
Em regime forçado sinusoidal todas as tensões e correntes, num circuito linear, têm a mesma
frequência do gerador independente vs que o alimenta. Se vs (t) = Vs cos(t) = Re{Vs · est }, com
s = jω, então qualquer tensão ou corrente no circuito será da forma v x (t) = Vx cos(ωt + α) =
Re{Vx · e jα · est } = Re{Vx · est } ou ix (t) = Ix cos(ωt + β) = Re{Ix · e jβ · est } = Re{Ix · est } em que
Vx e Ix são as amplitude complexas da tensão vx e corrente ix , respectivamente.
Na Tabela 1 indicam-se, para os elementos de circuito básicos, resistência, condensador e
bobina, as respectivas impedâncias Z = Vx /Ix e admitâncias Y = Ix /Vx que permitem determinar
teoricamente a resposta na frequência de um dado circuito.
2
Elemento
Resistência
Condensador
Bobine
Impedância
geral regime sinusoidal
R
R
1
sC
1
jωC
sL
jωC
Admitância
geral regime sinusoidal
1
R
1
R
sC
jωC
1
sL
1
jωL
Tabela 1: Impedâncias e admitâncias para os elementos de circuito básicos
4.2 Circuito RC de 1a Ordem RC
Considere o circuito representado na Figura 1 com os seguintes valores para os componentes:
R = 3.3kΩ e C = 0.1µF.
R
vi
C
vo
Figura 1: Circuito RC de 1a ordem.
Para a simulação do circuito da Figura 1 use o programa pspice. Note que agora pretendese simular e analisar a resposta em frequência do circuito. Como queremos realizar uma
simulação/análise na frequência as fontes independentes e o tipo de análise devem ser alteradas
relativamentes às simulações anteriormente realizadas para obter respostas no tempo. Para o
efeito crie um ficheiro com a extensão .cir com as seguintes instruções:
* Circuito RC de 1 a Ordem - Resposta em Frequencia
R1 1 2 3.3 K
C1 2 0 0.1 U
* Fonte de tensao AC entre o no 1 e 0 ,
* com uma amplitude de 1 V e defasagem de 0 graus .
Vs 1 0 AC 1 V 0 DEGREE
* Tipo de analise a realizar pelo simulador :
* Analise AC ( na frequencia )
* por DECadas com 50 pontos por decada e
* varrendo as frequencias de 10 Hz a 10 MHz
. AC DEC 50 10 Hz 10000 KHz
* Obtencao da tabela em Decibel de valores de V (2):
. PRINT AC VDB (2)
* Obtencao da tabela da desfazagem de V (2)
. PRINT AC VP (2)
. PROBE
. END
3
VBD (2) = 20 log (V (2))
Realize a simulações do circuito e obtenha a evolução na frequência da caracterı́stica de
amplitude e de fase da função de transferência do circuito nas situações que irá que irá realizar
experimentalmente no laboratório. Anexe os resultados obtidos ao relatório.
Execute de seguida os seguintes passos, registando e comentando justificadamente todos os
resultados obtidos no Anexo de Apresentação de resultados:
1. Determine teoricamente a função de transferência do circuito T (s) = Vo (s)/Vi (s). A partir da equação que obteve preencha a 2a coluna da tabela de resposta em frequência do
circuito que se encontra no anexo de Registo de Resultados (Tabela 2). Tenha em atenção
que ω = 2π· f e que |X |dB = 20·log10 |X |, quando X representa um quociente entre tensões
ou correntes.
2. Use o ficheiro resultante da simulação (extensão .out) para preencher os resultados correspondente à simulação na Tabela 2.
3. Monte o circuito da Figura 1. Aplique em vi um sinal sinusoidal com 1V de amplitude
(2Vpp ). Complete a Tabela 2, preenchendo as restantes colunas com os valores medidos
experimentalmente. Para efectuar as medições com precisão use um voltı́metro. Note
que pode alterar a amplitude de vi para evitar ter na saı́da sinais de muita baixa amplitude. Note também que nem todos os multı́metros AC têm uma frequência máxima de
funcionamento superior a 100kHz, e que normalmente, eles medem valores eficazes, e
não máximos, das tensões e/ou correntes. Quando não tiver multı́metro compatı́vel, terá
que medir as amplitudes de entrada e saı́da com o osciloscópio, obtendo, em princı́pio,
um valor menos preciso. O osciloscópio é um aparelho de visualização e não de medida
de precisão. Caso pretenda, pode efectuar mais duas medidas, a frequências não especificadas na tabela, para obter mais pontos numa determinada banda de frequências, por
exemplo, na proximidade da frequência de corte. Não se esqueça de indicar a unidades
das grandezas e o tipo das medidas realizadas (amplitude, valor pico-pico ou eficaz).
4. Usando os dados da Tabela 2 trace em papel semi-logarı́tmico (ou em alternativa papel
milı́metrico) o diagrama de Bode de amplitude (|T ( jω)|dB ) em função de f (ou log10 ( f ))
em Hz. Neste gráfico os valores de simulação/teóricos deverão ser unido por um traço e
os valores experimentais assinalados com uma cruz, ×.
5. Determine a frequência de corte a −3dB, f c , do circuito. Apresente os valores teóricos e
experimental, justificando como os obteve e comente eventuais diferenças.
6. Que tipo de filtragem realiza este circuito. Justifique.
7. Se no circuito da Figura 1 trocar a posição da resistência e condensador que tipo de filtro
obteria? Justifique.
4
4.3 Filtro RC de 2o Ordem
Monte o circuito representado na Figura 2 fazendo R1 = R2 = 3.3kΩ e C1 = C2 = 0.1µF.
R1
vi
R2
C1
C2
vo
Figura 2: Circuito RC passa-baixo de 2o ordem.
Realize a simulação do circuito e obtenha a evolução na frequência da caracterı́stica de
amplitude fase da função de transferência do circuito. Anexe os resultados obtidos ao relatório.
1. Obtenha teoricamente a função de transferência do circuito, G(s) = Vo (s)/Vi(s). Determine o valor da frequência dos polos e zeros.
2. Use o ficheiro resultante da simulação (extensão .out) para preencher os resultados correspondente à simulação na Tabela 3.
3. Usado os resultados da simulação determine a frequência de corte a −3dB, f c .
4. Monte o circuito da Figura 2. Complete a Tabela 3, preenchendo as restantes colunas
com os valores obtidos experimentalmente. Para medir as desfasagem dos sinais deve de
usar o osciloscópio escolhendo escalas apropriadas de forma a obter a melhor precisão
possı́vel. Represente as desfasagem nas mesmas unidades que obteve da simulação.
5. Comente o despenho comparativo do filtro RC de 2a ordem com o circuito de 1a ordem,
nomeadamente face às respectivas frequências de corte a −3dB e atenuação nas altas
frequências (quando ω → ∞).
6. Repare que função de transferência que obteve não é igual ao produto das funções de
transferia da cada uma das secções RC de 1a ordem quando isoladas. Porquê? Como
alteraria o circuito da Figura 2 para se pudesse calcular G(s) como G(s) = T (s) · T (s),
justifique.
5
T RABALHO No 4
Circuitos Dinâmicos
Resposta em Frequência
Registo de Resultados
Grupo:
No :
Nome:
No :
Nome:
No :
Nome:
4.2 Circuito de 1a Ordem RC
1. Cálculo teórico da função de transferência, T (s).
6
2. Resposta em frequência do circuito RC de 1a ordem.
Freq.
Teórico
(Hz) |T ( jω)|dB
50
100
200
300
500
800
1000
2000
5000
10000
20000
50000
100000
Simulação Experimental Experimental Experimental
|T ( jω)|dB
Vi (V )
Vo (V )
|T ( jω)|dB
Tabela 2: Resposta em frequência do circuito RC de 1a ordem.
3. Completar a Tabela 2.
4. Anexar gráfico em papel semi-logarı́tmico (ou milı́metrico)do diagrama de Bode de amplitude.
5. Cálculo do valor teórico de f c .
fc =
Justificação de medida realizada e determinação do valor experimental de f c
7
Comparação e comentário sobre a f c
6. Tipo de filtragem e justificação.
7. Filtragem resultante e justificação.
8
4.3 Filtro RC de 2o Ordem
1. Cálculo teórico da função de transferência, G(s).
9
2. Resposta em frequência do filtro RC de 2a ordem.
Freq. Simulação Simulação
(Hz) |G( jω)|dB
φ( jω)
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
20000
50000
100000
Experimental
φ( jω)
Tabela 3: Resposta em frequência do filtro RC de 2a ordem.
3. Frequência de corte a −3dB.
fc =
4. Completar a Tabela 3.
5. Comparação da resposta em frequência dos dois circuitos (filtros RC 1 a e 2a ordem).
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6. Justificação da alteração na função de transferência.
Alteração do circuito para que G(s) = T (s) · T (s).
Conclusões Gerais
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