01. Uma pequena coluna de ar de altura h = 76 cm é tampada por

OSG: 7218-12
01. Uma pequena coluna de ar de altura h = 76 cm é tampada por uma coluna de mercúrio através de um tubo
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vertical de altura H =152 cm. A pressão atmosférica é de 10 Pa e a temperatura é de T0 = 17 °C. Para qual
temperatura T1 deve o ar do tubo ser aquecido para remover todo o mercúrio do tubo?
SOLUÇÃO:
A pressão inicial do ar no tubo é igual a pressão hidrostática da coluna de mercúrio (H - h = 76 cm) mais a
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pressão atmosférica. Das condições fornecidas, a pressão atmosférica é 10 Pa = 76 cm de mercúrio.
No início, portanto, a pressão dentro do tubo é aproximadamente o dobro da pressão atmosférica.
Supomos que o deslocamento do mercúrio ocorra lentamente, de modo que o sistema esteja sempre em
equilíbrio.
Próximo do estado final, quando quase todo o mercúrio foi expelido do tubo, a pressão do ar será igual à
pressão atmosférica, ou seja, metade da pressão inicial. Sendo A a área da seção transversal do tubo, o volume
do ar será HA, que é o dobro do volume inicial hA. De acordo com a lei dos gases ideais, a temperatura do ar no
estado final deverá ser a mesma do estado inicial! Vemos, pois, que o mercúrio só irá ser expelido se o ar for
aquecido.
Conseqüentemente, considerar somente os estados inicial e final não é suficiente para resolver este
aparente paradoxo. Primeiro devemos considerar como a temperatura no tubo deve mudar para produzir um
deslocamento gradual da coluna de mercúrio supondo que o sistema esteja sempre em equilíbrio. Seja z a altura
da coluna de mercúrio em um dado instante. A pressão no tubo será P(z) = P0 + ρg(H - z), sendo ρ a densidade do
mercúrio e P0 a pressão atmosférica, que dos dados do problema vale P0 = ρgh/2. Como estamos supondo que o
ar está em equilíbrio termodinâmico, o volume ocupado é Az, e através da equação dos gases ideais podemos
escrever
𝑃 𝑧 𝐴. 𝑧 2𝑃0 𝐴. 𝐻/2
=
𝑇(𝑧)
𝑇0
sendo T0 a temperatura inicial, 2P0 a pressão inicial e AH/2 o volume inicial do ar no tubo. Manipulando estas
equações obtemos
𝑇 𝑧 = 𝑇0 .
(3𝐻 − 2𝑧)
𝑧.
𝐻2
A figura a seguir mostra a dependência da temperatura com a altura z. O processo de expulsão do mercúrio
corresponde a parte da parábola entre os pontos z = H/2 e z = H (linha sólida). Portanto, para expulsar o mercúrio
do tubo, o ar primeiramente deve ser aquecido até T1 e depois resfriado ao seu valor inicial T 0.
Note que T1 será dado por:
3
(3𝐻 − 2. 𝐻) 3
9
4
𝑇1 = 𝑇0 .
. 𝐻 = 𝑇0 = 19,125℃
𝐻2
4
8
o
o
Desse modo, o ar deve ser aquecido até 19,125 C e depois resfriado para 17 C.
02. Duas massas idênticas, cada uma com um valor m encontram-se no eixo x (se movem apenas nesse eixo) nos
pontos (-a, 0) e (+a, 0), respectivamente, ligadas por um fio ideal (sem massa e inextensível). Uma força de
módulo F é aplicada na origem do sistema cartesiano ao longo do eixo y, fazendo com que uma massa se
aproxime da outra. Determine a aceleração da cada massa quando as posições das mesmas corresponderem a (x, 0) e (+x, 0).
SOLUÇÃO:
Do enunciado do problema, temos que:
Note que, verticalmente:
𝐹 = 2𝑇. 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑇 =
𝐹
2. 𝑐𝑜𝑠𝜃
Note, que horizontalmente, o agente responsável pelo movimento de cada massa, e a componente T.senθ da
tração. Desse modo:
𝐹
𝐹
𝐹𝑅 = 𝑇. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = . 𝑡𝑔𝜃
2. 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
𝑚𝑎 =
𝑎=
𝐹
. 𝑡𝑔𝜃
2
𝐹
𝑥
.
2𝑚 𝑎2 − 𝑥 2
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03. Um pêndulo encontra-se na horizontal e em repouso. Determine a aceleração do pêndulo quando ele forma
um ângulo θ com a vertical. Considere a aceleração da gravidade como sendo o parâmetro g.
SOLUÇÃO:
Do enunciado do problema, temos que:
Note que existirão duas componentes de aceleração: aceleração tangencial e aceleração radial (aceleração
centrípeta).
A força responsável pela aceleração tangencial é a componente tangencial do peso, ou seja, P.senθ. Desse
modo:
𝑚. 𝑎𝑡 = 𝑃. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑚. 𝑎𝑡 = 𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑎𝑡 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃
Por outro lado, a aceleração radial é o tipo centrípeta, cuja expressão é dada por:
𝑎𝑟 =
𝑣2 𝑣2
=
𝑅
𝐿
Note que não foram fornecidos os valores de v e L no enunciado no problema, desse modo devemos pensar em
outro artifício para auxiliar no cálculo da aceleração radial. A saída é aplicar o princípio da conservação da energia
mecânica nos pontos A e B da figura. Desse modo:
𝐸𝑀,𝐴 = 𝐸𝑀,𝐵
𝑚𝑔𝑂𝐵′ =
𝑚𝑣 2
𝑚𝑣 2 𝑣 2
→ 𝑚𝑔𝐿. 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
→
= 2𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃
2
2
𝐿
Como as componentes da aceleração resultante são perpendiculares, temos que:
𝑎2 = 𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟2 = 𝑔2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 4. 𝑔2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑎2 = 𝑔2 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 4. 𝑔2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
𝑎2 = 𝑔2 1 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 → 𝑎 = 𝑔. 1 + 3𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
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04. Imagine dois cilindros de paredes delgadas. Um deles, cujo raio vale R, gira ao redor de seu eixo com
velocidade angular ω e o outro se encontra em repouso. Estes cilindros são colocados em contato de modo que
seus eixos de rotação fiquem paralelos. Depois de certo tempo (em virtude do atrito), os cilindros passam a girar
sem deslizamento. Qual a quantidade de energia terá se transformada em calor? As massas dos cilindros são
iguais a m1 e m2.
SOLUÇÃO:
Os cilindros começam a se mover um em relação ao outro sem deslizamento quando suas velocidades
lineares v1 e v2 possuem módulos iguais, ou seja, v 1 = v2 = v. Designemos a velocidade inicial do primeiro cilindro
sendo igual a v0, de modo que v0 = ω.R.
A força de atrito F, igual para ambos os cilindros, freará o primeiro cilindro e acelerará o segundo. A
Segunda Lei de Newton para cada cilindro resulta no seguinte:
𝐹=
𝑚1 . (𝑣0 − 𝑣)
𝑡1
𝑒 𝐹=
𝑚2 . 𝑣
𝑡2
Levando em consideração que o intervalo de tempo que dura a ação da força F é o mesmo para os dois cilindros,
ou seja, t1 = t2 = t, temos que:
𝑚2 . 𝑣 = 𝑚1 . (𝑣0 − 𝑣)
𝑣=
𝑚1 𝑣0
𝑚1 + 𝑚2
Para encontrar a energia dissipada, ou seja, a redução da energia mecânica, temos que:
𝑄=
𝑄=
𝑚1 . 𝑣02
𝑣2
− 𝑚1 + 𝑚2 .
2
2
𝑚1 . 𝑣02
𝑚12 . 𝑣02
𝑚1 𝑚2
−
=
. 𝑣02
2
2. 𝑚1 + 𝑚2
2. 𝑚1 + 𝑚2
𝑄=
𝑚1 𝑚2 . 𝜔2 . 𝑅2
2. 𝑚1 + 𝑚2
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05. Um trem atravessa uma curva de raio de curvatura igual a R a uma velocidade v. A distância entre os trilhos é
de 1 m. De que altura é preciso levantar o trilho externo para minimizar a pressão que o trem exerce sobre ele ao
passar pela curva?
SOLUÇÃO:
A figura abaixo mostra a situação em que o trem atravessa a curva.
Sabe-se que:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
ℎ
=ℎ
1
1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 =
1 − ℎ2
onde h deve ser medido em metros. As forças que atuam sobre o trem têm as seguintes componentes:
𝐷𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑥 → 𝑅𝑥 = 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐷𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑦 → 𝑅𝑦 = 𝑁. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔
A resultante na direção x mantém o trem na curva e faz o papel da força centrípeta: Rx = m.acp. Assim,
𝑚𝑣 2
𝑚𝑣 2
𝑅𝑥 =
→ 𝑁. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑅
𝑅
𝑅𝑦 = 0 → 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 → 𝑁 =
Por substiuição, note que:
𝑚𝑔
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑚𝑔
𝑚𝑣 2
. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅
𝑣2
𝑠𝑒𝑛𝜃
ℎ
= 𝑡𝑔𝜃 =
=
𝑔𝑅
𝑐𝑜𝑠𝜃
1 − ℎ2
𝑣4
ℎ2
=
𝑔2 𝑅 2 1 − ℎ2
Após algebrismo simples, chegamos a seguinte expressão:
ℎ=
𝑣2
=
𝑣4
𝑔𝑅 1 + 2 2
𝑔 𝑅
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𝑣2
𝑣 4 + 𝑔2 𝑅 2