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Análise 2D da propagação de ondas eletromagnéticas geradas em frequência 700 MHz em ambientes Indoor
Soelene B. S. Beltrame1, José Alexandre Nalon2
1
Eng. Eletricista com Habilitação em Telecomunicações, [email protected],
Mestre em Engenharia Elétrica, Professor do UNISAL, [email protected]
2
Resumo – Neste trabalho, são apresentados o método
FDTD (Diferenças Finitas no Domínio do Tempo)
proposto por Yee e a técnica de contorno absorvente
PML (Perfectly Matched Layer) que são utilizados para
a análise e simulação da propagação de ondas
eletromagnéticas em ambiente indoor na frequência de
700 MHz. Em seguida, serão apresentados os resultados
obtidos pelo método FDTD e a intensidade do sinal
propagado em alguns pontos do ambiente de análise
após determinadas iterações de tempo. Ao fim, serão
apresentadas as considerações finais do trabalho. Para
a implementação computacional do método foi utilizado
o software matemático MatLab®.
cenário para solucionarem os possíveis problemas que
possam ocorrer.
Todavia, para auxiliar no estudo de propagação das
ondas eletromagnéticas são utilizados métodos
matemáticos que resolvem as equações diferenciais de
Maxwell. O Método Das Diferenças Finitas no Domínio
do Tempo é comumente utilizado pela comunidade
cientifica por solucionar a modelagem eletromagnética e
por permitir uma implementação mais simples.
Palavras-chave: ondas eletromagnéticas,
FDTD, propagação no espaço livre.
O método das Diferenças Finitas no Domínio do
Tempo (FDTD – Finite Diference Time Domain) foi
apresentado em 1966 por Yee [1], é um dos diversos
métodos computacionais usados para resolver
numericamente, de forma simplificada, as equações
diferenciais de Maxwell que descrevem a propagação,
transmissão
e
o
espalhamento
das
ondas
eletromagnéticas em qualquer meio [2].
Durante o processo de discretização, grades são
alocadas para cada um dos campos, elétricos e
magnéticos, deslocadas uma da outra temporal e
espacialmente, o que permite o cálculo do campo em
instantes de tempos anteriores em relação a outro campo
e a si mesmo.
A utilização das grades bem dimensionadas permite
que a taxa de erro seja menor, dentro de um valor
aceitável, devido ao uso da discretização baseada em
diferenças centradas.
método
Abstract - This paper is presenting the method FDTD
(Finite Difference Time Domain) proposed by Yee and
the absorbing boundary PML technique (Perfect
Matched Layer) that are used to analyzing and
simulating the indoor electromagnetic waves
propagation at a frequency of 700MHz . Then the results
of the FDTD method will be presented and the
propagated signal intensity in some parts of the analyzed
environment after determined periods of time. The final
considerations from this paper analysis will be presented
in the conclusion. In order to set a computer numerical
control implementation of the method was used the
Mathematical software MatLab®.
Keywords: electromagnetic waves, FDTD method,
propagation in free space.
II.
REVISÃO TEÓRICA
A. Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
(FDTD)
B. Célula de Yee, discretização no espaço e no tempo
I.
INTRODUÇÃO
Atualmente a grande demanda do mercado de
comunicações converge para tecnologias que utilizam
transmissão de informações através da propagação de
ondas eletromagnéticas, como por exemplo, os
dispositivos portáteis, eletrônicos e até mesmo a Internet
das Coisas que está sendo introduzida no mercado aos
poucos. Essa demanda acarreta a necessidade de estudos
e aprimoramentos de projetos (existentes e novos) de
propagação de onda eletromagnética com as mais
variadas finalidades.
A propagação de onda eletromagnética ocorre
basicamente devido a um transmissor responsável por
gerar e transmitir uma onda, um meio que irá permitir que
a mesma se propague e um receptor, que irá recepcionar
e decodificar essa onda. No entanto, um grande número
de elementos devem ser considerados em meio a esse
Para explicar a discretização, Yee usou seu modelo
idealizado em um espaço tridimensional, a célula de Yee.
Nesta célula, o campo elétrico está deslocado
espacialmente em relação ao campo magnético de tal
forma que cada componente do vetor 𝑬 está rodeada por
quatro componentes do vetor H e vice-versa, destacando
os conceitos do operador rotacional. Afigura 1 apresenta
a Célula de Yee, também conhecida como cubo de Yee
[3].
©Revista Ciência e Tecnologia, v. 19, n. 34, p. 19 - 29 , jan./jun. 2016 - ISSN: 2236-6733
Figura 1 – Cubo ou célula de Yee e o posicionamento dos vetores
elétrico e magnético.
Com a aproximação baseada na expansão de Taylor de
segunda ordem, Yee aplicou as diferenças centrais para
obter expressões para as derivadas espaciais e temporais.
As expressões estão representadas pelas Equações 6 e 7:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑢𝑛
−𝑢𝑛 1
1
𝑖+2,𝑗,𝑘
𝑖−2,𝑗,𝑘
(𝑖∆𝑥, 𝑗∆𝑦, 𝑘∆𝑧, 𝑛∆𝑡) =
∆𝑥
1
𝑛+
𝜕𝑢
𝜕𝑡
(6)
1
𝑛−
𝑢𝑖,𝑗,𝑘2 −𝑢𝑖,𝑗,𝑘2
(𝑖∆𝑥, 𝑗∆𝑦, 𝑘∆𝑧, 𝑛∆𝑡) =
− 𝑂(∆𝑥)2
∆𝑡
− 𝑂(∆𝑡)2
(7)
na qual ½ estão destacados devido a adaptação das
expressões ao seu espaço. Caso ocorra alteração de
(𝑖, 𝑗, 𝑘), as expressões podem ter seus elementos espaciais
mais simplificados para implementação computacional.
D. Equações de Maxwell
Fonte: [3]
Considerando um meio isotrópico, as equações de
Maxwell podem ser escritas no domínio do tempo como:
C. Formulação do FDTD
Quando se utiliza o FDTD para simular propagação de
ondas eletromagnéticas, aplicam-se as diferenças
algébricas originadas pelas equações de Maxwell, que
são baseadas na expansão da série de Taylor de 2ª ordem
com relação espacial e temporal.
Considere uma função 𝑓(𝑥) finita e contínua,
aplicando a série de Taylor para expansão, tem-se [4]:
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∆𝑥
𝑓(𝑥 − ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) − ∆𝑥
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
+
+
1
2!
1
2!
∆𝑥 2
∆𝑥 2
𝜕2 𝑓(𝑥)
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑓(𝑥)
𝜕𝑥 2
+⋯
−⋯
(1)
(2)
Subtraindo a expressão (1) pela expressão (2), obtémse:
𝜕𝑓(𝑥)
𝜕𝑥
≅
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥−∆𝑥)
2∆𝑥
(3)
A expressão resultante acima se trata de uma Derivada
Centrada de 2ª ordem que será utilizada para as
aproximações das derivadas espaciais e temporais para a
solução das equações de Maxwell [4].
Devido ao grande número de células ou cubos que irão
completar a região de análise, torna-se necessário o uso
de uma notação com acréscimos espaciais (∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧)
para identificar o posicionamento deles. Desta forma, o
ponto no espaço é representado pela seguinte Equação:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑖∆𝑥, 𝑗∆𝑦, 𝑘∆𝑧) = (𝑖, 𝑗, 𝑘)
(4)
Considerando os campos nas formas discretas, tem-se:
𝑛
𝑢(𝑖∆𝑥, 𝑗∆𝑦, 𝑘∆𝑧, 𝑛∆𝑡) = 𝑢𝑛 (𝑖, 𝑗, 𝑘) = 𝑢𝑖,𝑗,𝑘
(5)
∇×𝑬=−𝜇
∇×𝑯=𝜀
𝜕𝑬
𝜕𝑡
𝜕𝑯
,
𝜕𝑡
+ 𝜎𝑬,
(8)
(9)
na qual E é o vetor intensidade do campo elétrico, H é o
vetor intensidade do campo magnético, 𝜇 é a
permeabilidade magnética, 𝜀 é a permissividade elétrica
do meio e 𝜎 é a condutividade do campo elétrico.
Expandindo em coordenadas cartesianas as equações
descritas acima, obtêm-se as Equações 10 e 11 para
variação temporal do campo elétrico e magnético:
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑡
=
=
1 𝜕𝐻𝑧
(
𝜀 𝜕𝑦
1 𝜕𝐻𝑥
(
𝜀 𝜕𝑧
−
−
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑥
(10.b)
− 𝜎𝐸𝑧 ),
(10.c)
1 𝜕𝐻𝑦
(
𝜀 𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑡
=−
1 𝜕𝐸𝑧
(
𝜇 𝜕𝑦
−
=−
1 𝜕𝐸𝑥
(
𝜇 𝜕𝑧
=−
1 𝜕𝐸𝑦
(
𝜇 𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑡
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑡
𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑦
(10.a)
− 𝜎𝐸𝑦 ),
=
−
− 𝜎𝐸𝑥 ),
𝜕𝐸𝑦
),
(11.a)
−
𝜕𝐸𝑧
),
𝜕𝑥
(11.b)
−
𝜕𝐸𝑥
),
𝜕𝑦
(11.c)
𝜕𝑧
Com as equações resultantes, pode-se aplicar a
Derivada Centrada de 2ª ordem, definida na Equação 3 e
denotada na Equação 5, para ter as equações discretas de
Maxwell, conforme mostradas nas Equações 12 e 13.
na qual ∆𝑥, ∆𝑦 e ∆𝑧 representam o tamanho da célula em
x, y e z respectivamente, 𝑖, 𝑗, 𝑘 são valores inteiros, 𝑛∆𝑡 é
a duração da observação do fenômeno.
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𝐸 𝑛+1 1
𝑥(𝑖+ ,𝑗,𝑘)
=
2
𝐸 𝑛+1 1
𝑦(𝑖,𝑗+ ,𝑘)
+
2
𝐸𝑛
1
𝑦(𝑖,𝑗+ ,𝑘)
=
2
𝐸 𝑛+1 1)
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+
𝐸𝑛 1
𝑥(𝑖+ ,𝑗,𝑘)
=
2
𝜀
∆𝑡
+
𝜀
2
𝐸𝑛
1
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+ )
∆𝑡
+
2
1
1
𝑛+
2
2
1 1 −𝐻
1 1
𝑧(𝑖+2,𝑗+2,𝑘)
𝑧(𝑖+2,𝑗−2,𝑘)
𝐻
[
1
1
𝑛+
2
2
1
1 −𝐻
1
1
𝑥(𝑖,𝑗+2,𝑘+2)
𝑥(𝑖,𝑗+2,𝑘−2)
[
−
𝑛+
∆𝑧
∆𝑧
−
1
1
𝑛+
𝑛+
2
2
1
1 −𝐻
1
1
𝑦(𝑖+2,𝑗,𝑘+2)
𝑦(𝑖−2,𝑗,𝑘+2)
[
𝜀
1
1
𝑛+
𝑛+
2
2
1 1 −𝐻
1 1
𝑧(𝑖+2,𝑗+2,𝑘)
𝑧(𝑖−2,𝑗+2,𝑘)
∆𝑥
∆𝑥
1
1
𝑛+
𝑛+
2
2
1
1 −𝐻
1
1
𝑥(𝑖,𝑗+2,𝑘+2)
𝑥(𝑖,𝑗−2,𝑘+2)
∆𝑦
−𝐸𝑛
1
𝑥(𝑖+2,𝑗,𝑘)
],
(12.a)
],
(12.b)
].
(12.c)
2
𝐸𝑛+1
𝑛
1 −𝐸
1
𝑦(𝑖,𝑗+2,𝑘)
𝑦(𝑖,𝑗+2,𝑘)
− 𝜎∆𝑡
2
𝐸𝑛+1
𝐻
−
𝑥(𝑖+2,𝑗,𝑘)
− 𝜎∆𝑡
𝐻
𝐻
∆𝑡
𝐸𝑛+1 1
𝐻
∆𝑦
𝐻
1
1
𝑛+
𝑛+
2
2
1
1 −𝐻
1
1
𝑦(𝑖+2,𝑗,𝑘+2)
𝑦(𝑖+2,𝑗,𝑘−2)
𝑛+
− 𝜎∆𝑡
𝑛
1 −𝐸
1
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+2)
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+2)
2
Para o campo magnético:
𝐻
𝑛+
1
2
1
2
1
2
𝑥(𝑖,𝑗+ ,𝑘+ )
𝐻
𝑛+
1
2
1
2
1
2
𝑦(𝑖+ ,𝑗,𝑘+ )
𝐻
𝑛+
1
2
1
2
1
2
𝑧(𝑖+ ,𝑗+ ,𝑘)
= 𝐻
𝑛−
1
2
1
2
1
2
𝑥(𝑖,𝑗+ ,𝑘+ )
= 𝐻
𝑛−
1
2
1
2
1
2
𝑦(𝑖+ ,𝑗,𝑘+ )
=𝐻
𝑛−
1
2
1
2
1
2
𝑧(𝑖+ ,𝑗+ ,𝑘)
+
+
+
∆𝑡

∆𝑡

∆𝑡

𝐸𝑛
[
−𝐸 𝑛
1
1
𝑦(𝑖,𝑗+ ,𝑘+1)
𝑦(𝑖,𝑗+ ,𝑘)
2
2
∆𝑧
−
𝐸𝑛
[
𝑛
1 −𝐸
1
𝑧(𝑖+1,𝑗,𝑘+ )
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+ )
2
2
𝐸𝑛
∆𝑥
As Equações 12 e 13 permitem discretizar o campo
elétrico e magnético de maneira em que os tornam
interpolados no tempo e no espaço, o que possibilita
definir as características da onda excitadora do meio
como os incrementos temporais (∆𝑡) e espaciais
(∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧), assegurando que os erros de amostragem
serem mínimos que, consequentemente, certifica a
estabilidade numérica do algoritmo [4].
Sendo assim, no instante n tem-se as componentes do
campo elétrico e no instante n-½, as componentes do
campo magnético. A atualização das componentes ocorre
no instante n+1 para o campo elétrico e n+½ para o
campo magnético. Desta forma, pode-se afirmar que os
campos estão separados no tempo por ½.Δt e
espacialmente pela metade dos incrementos ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧
[5]. A Figura 2 seguir representa a ideia do deslocamento
entre elas.
No entanto, para minimizar o problema e a
complexidade, usa-se a predeterminação uniforme da
direção de todas as componentes de campo; Ou seja, as
componentes de ambos os campos compostas por suas
respectivas coordenadas são representadas de forma
discreta em uma única célula satisfazendo às
intercalações temporais e espaciais [5], conforme
apresentado pela Figura 3.
As Equações 12 e 13 e as distribuição dos campos de
Yee, exibidas pela Figura 3, são os principais fatores para
a implementação computacional do método FDTD.
∆𝑦
],
(13.a)
],
(13.b)
].
(13.c)
∆𝑦
𝐸𝑛
−
𝐸𝑛
[
−𝐸 𝑛 1
1
𝑥(𝑖+ ,𝑗+1,𝑘)
𝑥(𝑖+ ,𝑗,𝑘)
2
2
𝑛
1 −𝐸
1
𝑧(𝑖,𝑗+1,𝑘+ )
𝑧(𝑖,𝑗,𝑘+ )
2
2
−𝐸 𝑛 1
1
𝑥(𝑖+ ,𝑗,𝑘+1)
𝑥(𝑖+ ,𝑗,𝑘)
2
2
∆𝑧
𝐸𝑛
−
𝑛
1 −𝐸
1
𝑦(𝑖+1,𝑗+ ,𝑘)
𝑦(𝑖,𝑗+ ,𝑘)
2
2
∆𝑥
E. Análise e precisão do Método
Para garantir que o método FDTD apresente os
resultados mais próximos à realidade é necessário ter a
precisão e estabilidade que estão diretamente
relacionadas à discretização temporal ∆𝑡 e as dimensões
das células Yee, ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧.
Para evitar que a iteração gere um erro superior ao erro
gerado pela iteração anterior, aplica-se a condição de
Courant [6]. Para o caso bidimensional é representada
pela seguinte expressão:
1
∆𝑡 ≤
1
1
(
𝑣𝑚𝑎𝑥 ∆𝑥 2
+
−
2
1
)
2
∆𝑦
(14)
na 𝑣𝑚𝑎𝑥 é a máxima velocidade de propagação na região
de análise.
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Figura 2 – Representação tridimensional das células de campo elétrico
e magnético interpoladas no tempo e espaço.
F. Fonte de excitação
As fontes de excitação mais utilizadas pelo Método
FDTD são o pulso senoidal e o pulso Gaussiano.
A excitação por pulso senoidal, geralmente é aplicada
quando se precisa de um comportamento em apenas uma
frequência. No entanto, durante as oscilações da
simulação do Método FDTD é possível adicionar outros
componentes de frequência ao espectro. A fonte de
excitação por pulso senoidal é apresentada pela Equação
(16):
𝑆(𝑡) = 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓Δ𝑡)
(16)
na qual 𝐸0 é o campo elétrico, 𝑓 é a frequência da onda e
Δ𝑡 é o intervalo de tempo em que a excitação permanece
ligada.
O pulso Gaussiano fornece informações em uma
banda definida no espectro que é determinada pela
largura do pulso temporal, além de sua atuação suave,
ideal para simulações de variáveis discretas, evitando
oscilações indesejáveis nos resultado. O pulso Gaussiano
é representado pela Equação 17:
Fonte [5]
Figura 3 – Distribuição de campos de Yee em perspectiva
tridimensional.
𝐸(𝑡) = 𝑒 −(
𝑡−𝑡0 2
)
𝑇
(17)
na qual 𝑡0 e 𝑇 são responsáveis pelo atraso temporal e a
largura do pulso respectivamente.
G. PML Berenger
Fonte[ 5]
Para a escolha de incrementos espaciais e garantir
resultados com precisão adequada para os problemas
tratados neste trabalho, utiliza-se o seguinte limite:
∆𝑥,𝑦,𝑧 ≤
𝜆𝑚𝑖𝑛
10
(15)
na qual 𝜆𝑚𝑖𝑛 é o comprimento de onda mínimo.
Os limites inferiores da célula de Yee e de ∆𝑡 são
determinados pelo poder de processamento da máquina,
ou seja, à medida que os valores que se deve representar
vão tendendo a zero ou ao infinito, mais bits serão
necessários para representá-los na base binária. Desta
forma, para resolver questões com maior número de
células é necessário maior processamento e consumo de
memória.
Para que a simulação possua maior precisão, foram
utilizadas as condições de contorno absorventes (PML),
que aplica um maior número de pontos de tratamentos
nas bordas de tal forma que absorve com maior precisão
a onda, obtendo resultados mais exatos [7].
Apresentada por J.P Berenger em 1994 [4], a PML
(Perfectly Matched Layer ou Camada Perfeitamente
Combinada) é uma camada absorvente perfeitamente
casada das ondas eletromagnéticas para qualquer
frequência e ângulo de incidência, na qual as ondas
podem penetrá-la sem reflexões de espúrios.
As atividades inclusas na PML absorvem a energia
eletromagnética e a elimina. Há distintas condutividades
para considerar todas as possíveis direções de
propagação de ondas eletromagnéticas em camada
absorvente [8].
A PML é colocada em torno do domínio de estudo, o
que permite que a onda se propague em toda essa região,
até mesmo com um número de iterações maior que o
necessário para a onda atingir as paredes de contorno.
Desta forma, se garante resultados mais precisos dentro
da região de análise.
Na região de análise ocorre a atualização do campo
elétrico e magnético a cada iteração, juntamente com a
aplicação das equações de Maxwell que descrevem as
características do meio de interesse, conforme o
desenvolvimento matemático é apresentado por [3]. Já na
região da PML há uma parede elétrica capaz de anular os
campos elétricos tangenciais que chegam.
A Figura 4 ilustra a aplicação bidimensional de PML
em aposta a condição de contorno.
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Figura 4 – Camada PML contornando a região de análise
bidimensional.
na qual c é a velocidade da luz no vácuo, Δ𝑠 é a dimensão
da célula na direção em que os valores da condutividade
estão sendo calculados e Γ𝑃𝑀𝐿 é o coeficiente teórico de
reflexão da camada PML (considera-se Γ𝑃𝑀𝐿 < 10−5 )
[3].
H. Algumas considerações referentes a antenas
Considera-se um dipolo hertziano orientado na direção
z, transporta uma corrente variante na forma senoidal,
apresentada pela Equação 21 [10]:
𝐼 = 𝐼0 cos 𝜔𝑡
Fonte: [3]
A PML pode ser aplicada em toda a região de análise,
porém como os fatores σx, σy e σz não são nulos na região
de absorção.
De modo geral, a Figura 5 representa a distribuição dos
parâmetros  pelo domínio bidimensional.
A função polinomial, apresentada pelas Equações 18 e
19, mostram como são obtidos os valores de  e  ∗.
𝜎𝑖 =
𝑖 𝑚
𝜎𝑚𝑎𝑥 [𝑛𝑐]
(18)
(21)
na qual 𝐼0 é a amplitude da corrente e 𝜔 é a frequência
angular.
Considerando um caso ideal, onde não há atraso de
fase, o potencial magnético, pode ser escrito de acordo
com a Equação 22.
̃ = 𝜇𝐼0𝑙
𝑨
(22)
4𝜋
na qual 𝑙 é o comprimento do dipolo.
̃ e o campo elétrico 𝑬
̃
O campo magnético 𝑯
̃
correspondem a 𝑨, que descrevem as relações de espaço
livre, são apresentados respectivamente pelas Equações
23 e 24 [10]:
1 𝑚
∗
∗
𝜎𝑖+
1 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 [
2
𝑖+2
𝑛𝑐
]
(19)
̃ = 1∇×𝑨
̃
𝑯
(23)
̃ = 𝑗𝜔𝑬
̃
∇×𝑯
(24)
𝜇
∗
na qual 𝜎𝑚𝑎𝑥 e 𝜎𝑚𝑎𝑥
são os valores máximos da
condutividade elétrica e magnética na região PML, nc é
a espessura da camada PML (geralmente essa espessura
é de 8 células), m é a ordem do polinômio interpolador
(geralmente considerado 3) [3].
Em campo distante ou região de Fraunhofer, os termos
de irradiação de 𝐄𝛉 e 𝐇𝛟 são apresentados pelas
Equações 25 e 26, respectivamente:
Figura 5: Domínio de estudo bidimensional do fator  e camada PML.
𝑬𝜃 =
𝐼0 𝛽𝑙𝜂0
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜃,
(25)
𝑬𝜽
𝑯𝜙 =
(26)
𝜂0
2𝜋
na qual 𝛽 = .
𝜆
Para um dipolo hertziano, a densidade máxima de
potência 𝑆𝑚𝑎𝑥 é descrita pela Equação 27, devido a
radiação máxima perpendicular ao dipolo (𝜃 = 𝜋/2)
correspondente ao plano de azimute [10].
𝑆𝑚𝑎𝑥 =
15𝜋𝐼02
𝑟2
𝑙 2
( )
(27)
𝜆
Fonte: [9]
na qual  e  ∗ representam a condutividade elétrica e
magnética, respectivamente.
É importante destacar que a eficiência da PML está
diretamente relacionada à 𝜎𝑚𝑎𝑥 e pode ser calculada pela
seguinte equação [3]:
𝜎𝑚𝑎𝑥 = − [
(𝑚+1)𝜀0 𝑐 𝑙𝑜𝑔(Γ𝑃𝑀𝐿 )
2𝑛𝑐Δ𝑠
]
(20)
A potência de radiação 𝑃𝑟𝑎𝑑 é representada pela
Equação 28 e pode também pode ser escrita conforme a
Equação 29. Considera-se a diretividade D=1,5 para o
dipolo hertziano [11]:
𝑃𝑟𝑎𝑑 =
𝑃𝑟𝑎𝑑 =
4𝜋𝑟 2
𝐷
×
15𝜋𝐼02
𝑟2
4𝜋𝑟 2
𝐷
𝑆𝑚𝑎𝑥
(28)
𝑙 2
𝑙 2
𝜆
𝜆
( ) = 40𝜋 2 𝐼02 ( )
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(29)
III.
METODOLOGIA E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Esse trabalho, de forma generalizada, trata-se de um
estudo da propagação de ondas eletromagnéticas na
frequência de 700 MHz em um ambiente bidimensional
indoor, através da aplicação do Método das Diferenças
Finitas. Os domínios (matrizes) utilizados para analisar
as estruturas com o método FDTD são
consideravelmente grandes. Desta forma, para a
realização da simulação desse trabalho utiliza-se o
MatLab®, um computador atual com uma boa
capacidade de processamento e memória e a escolha dos
incrementos espaciais necessários que garantem a
precisão do código e um processamento intenso.
A simulação é realizada em um ambiente vazio, no
caso uma residência, cuja planta baixa é apresentada pela
Figura 6. Nesta simulação foram consideradas as
permissividades das paredes, portas de madeira e janelas
de vidro. As dimensões estimadas para o ambiente são
10x10m.
A. Soluções aplicadas
Para a solução deste problema bidimensional, definiuse apenas uma célula, representado pela Figura 3, com
todas as características de deslocamento temporal e
espacial dos campos elétrico e magnético. Os
procedimentos adotados são apresentados pelo
fluxograma da Figura 7 que mostra os passos realizados
na simulação.
B. Discretização
Usando as condições de precisão estabelecidas
anteriormente pelas Equações 14 e 15 e usando a
frequência de 700 MHz no sinal da fonte, obtém-se
respectivamente:
∆x = ∆y ≤
∆𝑡 ≤
1
𝑣𝑚𝑎𝑥
(
1
∆𝑥 2
+
λmin
= 0,0428 m
10
1
∆𝑦 2
1
2
(30)
−
)
= 7,1429×10-11s
(31)
Os valores de ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑡 com a frequência de 700
MHz satisfazem as Equações 14 e 15, garantindo a
precisão do módulo.
C. Sinal do transmissor: Fonte de excitação
Considera-se um transmissor com 1 Watt de potência
de transmissão e o dipolo 𝑙 = 0.1m. Através da potência
de radiação, mostrada pela Equação 29 foi possível
calcular a amplitude da corrente 𝐼0 , que por sua vez
auxiliou na identificação da amplitude do campo elétrico
𝐸0 , apresentado pela Equação 25.
A fonte de excitação utilizada neste trabalho é a
modulação de uma onda senoidal por envoltória
gaussiana. A principal característica dessa fonte é a
largura de faixa finita e pode ser representada pela
multiplicação do pulso senoidal pelo pulso gaussiano,
conforme apresentado Equação 32.
Figura 6: Planta baixa bidimensional de 10x10m.
𝐸(𝑡) = 𝑒 −(
𝑡−𝑡0 2
)
𝑇
∗ 𝐸0 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓Δ𝑡)
(32)
Para diminuir os efeitos de dispersão e os possíveis
erros de discretização, considerou-se 𝑇 = 20 para cada
amostragem por comprimento de onda. Desta forma, a
excitação deve começar suavemente com valores
próximos a zero prevenido contra bruscas oscilações
indesejadas nos resultados.
Fonte: Acervo do Autor
O fluxograma mostra que inicialmente são realizadas
as definições da discretização relacionadas às equações
de Maxwell e discretização espacial e temporal. Em
seguida são configuradas as informações sobre a planta
da residência. Logo após, é iniciado o loop que realiza as
atualizações dos campos elétrico e magnético, a PML e a
excitação do sinal. Ao final são apresentados os
resultados da simulação.
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Figura 7 – Fluxograma dos processos realizados.
D. Características do ambiente indoor
Devido a grande dificuldade de adquirir de forma
prática ou teórica a susceptibilidade elétrica e a
resistividade elétricas dos materiais existentes na
estrutura da residência, foram adotados valores fictícios
para a permissividade (𝜀𝑟 ) e condutividade () elétrica.
A Tabela 1 relaciona esses valores.
Tabela 1 – Permissividade e condutividade elétrica dos materiais.
Material
Parede de alvenaria
Madeira
Vidro
𝜀𝑟 (F/m)
5
4
2,5
 (Ω-m)-1
0,2
1×10-10
1×10-12
Conforme já mencionado, o ambiente considerado
neste trabalho é apresentado pela Figura 6. As dimensões
da residência são 10x10m e excitação aplicada possui
uma frequência de 700 MHz. Com o comprimento de
onda =0,428m, obtém-se uma malha de 234x234
células e a discretização temporal é de t = 71,4 ps,
conforme apresenta a Figura 8.
Figura 8 – Geometria discretizada, a disposição da fonte de excitação
e dos pontos de representação do sinal.
Fonte: Acervo do Autor.
E. Distribuição do campo elétrico
Fonte: Acervo do Autor
Ao realizar as iterações, foram obtidas as distribuições
de campo elétrico no plano (x, y) apresentadas pelas
Figuras 9 a 11.
Analisando as Figuras 9, 10 e 11, pode-se observar os
efeitos de refração e atenuação causados pelas paredes. É
possível perceber também que nas regiões onde estão
localizadas as portas e janelas, o sinal se propaga com
maior facilidade passando de um ambiente para outro, ou
seja, a atenuação é menor.
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Figura 9 – Distribuição das componentes Ex (dB) após 300 iterações.
8. Através delas, é possível observar o momento t em
que a amplitude do campo começou a variar.
Figura 12 – Variação da amplitude do campo elétrico Ex no ponto P1.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 10 – Distribuição das componentes Ex (dB) após 500 iterações.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 13 – Variação da amplitude do campo elétrico Ex no ponto P2.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 11 – Distribuição das componentes Ex (dB) após 800 iterações.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 14 – Variação da amplitude do campo elétrico Ex no ponto P3.
Fonte: Acervo do Autor
F. Amplitude do campo elétrico
Fonte: Acervo do Autor
As Figuras de 12 a 16 apresentam a amplitude do
campo elétrico coletada nos pontos destacados na Figura
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Figura 15 – Variação da amplitude do campo elétrico Ex no ponto P4.
As Figuras 17 a 21 apresentam a densidade de
potência do sinal nos pontos demarcados na Figura 8.
Figura 17 – Densidade de potência na sala (P1).
Fonte: Acervo do Autor
Figura 16 – Variação da amplitude do campo elétrico Ex no ponto P5.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 18 – Potência do sinal no hall (P2).
Fonte: Acervo do Autor
Como se pode observar nos gráficos, há a variação da
amplitude do campo elétrico devido à reflexão do sinal
que ocorre quando o mesmo atinge as paredes.
A Figura 14 apresenta uma variação do campo elétrico
de baixa amplitude a partir de 400 iterações
aproximadamente. No entanto, a frente de onda do sinal
chega somente após 670 iterações aproximadamente,
onde as amplitudes do campo elétrico são maiores e mais
estável para as iterações seguintes.
Fonte: Acervo do Autor
Figura 19 – Densidade de potência na cozinha (P3).
G. Densidade de potência
Por fim, com o auxílio da Equação 33, obtida através
da formula Friis [12], é possível calcular a densidade
média de potência do sinal irradiado no ambiente indoor.
𝑆𝑚𝑒𝑑 =
na qual 𝜂0 = √
𝜇0
𝜀0
𝐸02
2𝜂0
(33)
= 120, é a impedância intrínseca do
Fonte: Acervo do Autor
espaço livre.
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Figura 20 – Densidade de potência no quarto 1 (P3).
Fonte: Acervo do Autor
Figura 21 – Densidade de potência no quarto 2 (P5).
existentes na estrutura da casa, como permeabilidade e
condutividade elétrica paredes de alvenaria, janelas de
vidro e portas de madeira.
Com uma frequência de 700 MHz e as características
de um meio ideal (espaço livre), o incremento espacial de
uma célula igual a Δ𝑥,𝑦 = 0,0428 m e a condição de
estabilidade Δ𝑡= 71,420, ambos respeitando os limites
exigidos para garantir precisão do método.
A propagação do campo eletromagnético atinge toda a
área da residência em 800 iterações de tempo. É possível
observar que o campo elétrico passa com mais facilidade
pela madeira e vidro, pelo fato de serem obstáculos
menos permissivos e mais condutivos que a parede de
alvenaria. Por fim, é apresentado o comportamento da
amplitude do campo elétrico e a densidade de potência
em alguns pontos da residência. Os resultados foram
satisfatórios.
Para estudos futuros, sugere-se melhorar esse trabalho
com uma análise mais detalhada, como por exemplo,
considerar um ambiente real com os possíveis efeitos de
propagação da onda eletromagnética ou a aplicação do
método FDTD em projetos que envolvam um ambiente
tridimensional em meio não ideal.
REFERÊNCIAS
Fonte: Acervo do Autor
IV.
CONCLUSÃO
Este trabalho apresentou um modelo para a
propagação de ondas eletromagnéticas na frequência de
700 MHz em um ambiente indoor. Para tal aplicação foi
utilizado o Método das Diferenças Finitas no Domínio do
Tempo que possibilita solucionar as equações diferencias
de Maxwell com base na expansão da série de Taylor de
2ª ordem, garantindo o deslocamento temporal e espacial
dos campos elétrico e magnético.
Foi aplicada ao estudo a condição de contorno
absorvente apresentada por Berenger (PML – Camada
Perfeitamente Casada), onde a condutividade elétrica e
magnética não é nula; ou seja, a PML tem função
absorver as ondas eletromagnéticas que chegam,
evitando a reflexão e alteração dos resultados.
Com essas ferramentas, foi possível simular a
propagação do campo elétrico e magnético em um
ambiente indoor vazio, no caso uma residência, com
dimensões de 10m x 10m.
Para o desenvolvimento do trabalho foram
consideradas situações ideais, sem reflexão, refração e
espalhamento.
No
entanto,
foram
inseridas
características dielétricas fictícias dos materiais
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