Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto

Capítulo 1
Sistemas de Coordenadas Lineares.
Valor Absoluto. Desigualdades
SISTEMA DE COORDENADAS LINEARES
Um sistema de coordenadas lineares é uma representação gráfica dos números reais como os pontos de uma reta.
Cada número corresponde a um, e apenas um, ponto; e cada ponto corresponde a um, e apenas um, número.
Para definir um sistema de coordenadas lineares em uma dada reta: (1) selecione qualquer ponto da reta como
a origem e faça esse ponto corresponder ao número 0; (2) escolha uma direção positiva na reta e indique essa direção com uma seta; (3) escolha uma distância fixada como unidade de medida. Se x é um número positivo, encontre
o ponto correspondente a x movendo uma distância de x unidades da origem na direção positiva. Se x é negativo,
encontre o ponto correspondente a x movendo uma distância de −x unidades da origem na direção negativa. (Por
exemplo, se x = −2, então −x = 2 e o ponto correspondente está a 2 unidades da origem na direção negativa.) Ver
Fig. 1-1.
Figura 1-1
O número especificado a um ponto por um sistema de coordenadas é chamado de coordenada desse ponto.
Frequentemente falaremos como se não houvesse distinção entre um ponto e sua coordenada. Logo, podemos nos
referir ao “ponto 3” em vez de “o ponto com coordenada 3”.
O valor absoluto ⱍxⱍ de um número é definido como se segue:
se x é zero ou um número positivo
se x é um número negativo
Por exemplo, ⱍ4ⱍ = 4, ⱍ−3ⱍ = −(−3) = 3 e ⱍ0ⱍ = 0. Note que, se x é um número negativo, então −x é positivo. Logo ⱍxⱍ ≥ 0
para todo x.
As propriedades a seguir valem para quaisquer números x e y.
(1.1) ⱍ−xⱍ = ⱍxⱍ
Quando x = 0, ⱍ−xⱍ = ⱍ−0ⱍ = ⱍ0ⱍ = ⱍxⱍ.
Quando x > 0, −x < 0 e ⱍ−xⱍ = −(−x) = x = ⱍxⱍ.
Quando x < 0, −x > 0 e ⱍ−xⱍ = −x = ⱍxⱍ.
(1.2) ⱍx − yⱍ = ⱍy − xⱍ
Isso segue de (1.1), uma vez que y − x = −(x − y).
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CÁLCULO
(1.3) ⱍxⱍ = c implica que x = ±c.
Por exemplo, se ⱍxⱍ = 2, então x = ±2. Para a demonstração, assuma que ⱍxⱍ = c.
Se x ≥ 0, x = ⱍxⱍ = c. Se x < 0, −x = ⱍxⱍ = c; então x = −(−x) = −c.
(1.4) ⱍxⱍ2 = x2
Se x ≥ 0, ⱍxⱍ = x e ⱍxⱍ2 = x2. Se x ≤ 0, ⱍxⱍ = −x e ⱍxⱍ2 = (−x)2 = x2.
(1.5) ⱍxyⱍ = ⱍxⱍ · ⱍyⱍ
Por (1.4), ⱍxyⱍ2 = (xy)2 = x2y2 = (ⱍxⱍ · ⱍyⱍ)2. Como valores absolutos são não negativos, tirando a raíz quadrada,
temos ⱍxyⱍ = ⱍxⱍ · ⱍyⱍ.
(1.6)
se y ≠ 0
Por (1.5), ⱍyⱍ
= ⱍxⱍ. Divida por ⱍyⱍ.
(1.7) ⱍxⱍ = ⱍyⱍ implica que x = ±y
Assuma que ⱍxⱍ = ⱍyⱍ; Se y = 0, ⱍxⱍ = ⱍ0ⱍ = 0 e (1.3) implica que x = 0. Se y ≠ 0, então por (1.6),
Portanto, por (1.3), x/y = ±1. Logo, x = ±y.
(1.8) Seja c ≥ 0. Então ⱍxⱍ ≤ c se, e somente se, −c ≤ x ≤ c. Ver Fig. 1-2.
Assuma que x ≥ 0. Então ⱍxⱍ = x. Além disso, como c ≥ 0, −c ≤ 0 ≤ x. Assim, ⱍxⱍ ≤ c se, a somente se, −c ≤ x
≤ c. Agora assuma que x < 0. Então ⱍxⱍ = −x. Também, x < 0 ≤ c. Além do mais, −x ≤ c se, e somente se, −c
≤ x. (Multiplicando ou dividindo uma desigualdade por um número negativo inverte a desigualdade.) Logo,
ⱍxⱍ ≤ c se, e somente se, −c ≤ x ≤ c.
(1.9) Seja c ≥ 0. Logo, ⱍxⱍ < c se, e somente se, −c < x < c. Ver Fig. 1-2. O raciocínio aqui é semelhante àquele em
(1.8).
Figura 1-2
(1.10) −ⱍxⱍ ≤ x ≤ ⱍxⱍ
Se x ≥ 0, x = ⱍxⱍ. Se x < 0, ⱍxⱍ = −x e, portanto, x = −ⱍxⱍ.
(1.11) ⱍx + yⱍ ≤ ⱍxⱍ + ⱍyⱍ (desigualdade triangular)
De acordo com (1.8), −ⱍxⱍ ≤ x ≤ ⱍxⱍ e −ⱍyⱍ ≤ y ≤ ⱍyⱍ. Somando, obtemos −(ⱍxⱍ + ⱍyⱍ) ≤ x + y ≤ ⱍxⱍ + ⱍyⱍ. Logo,
ⱍx + yⱍ ≤ ⱍxⱍ + ⱍyⱍ, por (1.8). [Em (1.8), substitua c por ⱍxⱍ + ⱍyⱍ e x por x + y.]
Considere um sistema de coordenadas em uma reta. Sejam P1 e P2 pontos na reta com coordenadas x1 e x2. Ver
Fig. 1-3. Logo:
(1.12) ⱍx1 − x2ⱍ = P1P2 = distância entre P1 e P2.
Isso fica claro quando 0 < x1 < x2 ou x1 < x2 < 0. No caso em que x1 < 0 < x2 e se denotarmos a origem como
O, então P1P2 = P1O + OP2 = (−x1) + x2 = x2 − x1 = ⱍx2 − x1ⱍ = ⱍx1 − x2ⱍ.
Um caso especial de (1.12) ocorre quando P2 é a origem (e x2 = 0):
(1.13) ⱍx1ⱍ = distância entre P1 e a origem.
Figura 1-3
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CAPÍTULO 1 • SISTEMAS DE COORDENADAS LINEARES. VALOR ABSOLUTO. DESIGUALDADES
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INTERVALOS FINITOS
Seja a < b.
O intervalo aberto (a, b) é definido como o conjunto de todos os números entre a e b, ou seja, o conjunto de todos
os x tais que a < x < b. Usamos o termo intervalo aberto e a notação (a, b) para todos os pontos entre aqueles com as
coordenadas a e b em uma reta. Note que o intervalo aberto (a, b) não contém os pontos extremos a e b. Ver Fig.1-4.
O intervalo fechado [a, b] é definido como o conjunto de todos os números entre a e b, ou iguais a eles, isto é,
o conjunto de todos os x tais que a ≤ x ≤ b. Como no caso de intervalos abertos, estendemos a terminologia e a
notação para pontos. Note que o intervalo fechado [a, b] contém ambos os pontos extremos a e b. Ver Fig. 1-4;
Intervalo aberto
Intervalo fechado
Figura 1-4
Ao nos referirmos a um intervalo meio aberto, estamos falando de um intervalo aberto (a, b) que inclui um de
seus pontos extremos. Existem dois intervalos desse tipo: [a, b) é o conjunto de todos os x tais que a ≤ x < b, e (a,
b] é o conjunto de todos os x tais que a < x ≤ b.
INTERVALOS INFINITOS
Seja (a, ∞) a notação do conjunto de todos os x tais que a < x.
Seja [a, ∞) a notação do conjunto de todos os x tais que a ≤ x.
Seja (−∞, b) a notação do conjunto de todos os x tais que x < b.
Seja (−∞. b) a notação do conjunto de todos os x tais que x ≤ b.
DESIGUALDADES
Qualquer desigualdade, como 2x − 3 > 0 ou 5 < 3x + 10 ≤ 16, determina um intervalo. Resolver uma desigualdade
significa determinar o intervalo correspondente de números que satisfaçam a desigualdade.
Exemplo 1.1 Resolva 2x − 3 = 0.
(Somando 3)
(Dividindo por 2)
Logo, o intervalo correspondente é ( , ∞).
Exemplo 1.2 Resolva 5 < 3x + 10 ≤ 16.
(Subtraindo 10)
(Dividindo por 3)
Logo, o intervalo correspondente é (− , 2].
Exemplo 1.3 Resolva −2x + 3 < 7.
(Subtraindo 3)
(Dividindo por −2)
(Lembre que dividir a desigualdade por um número negativo a inverte.) Logo, o intervalo correspondente é (−2, ∞).
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CÁLCULO
Problemas Resolvidos
1. Descreva e faça o diagrama dos intervalos a seguir, e escreva sua notação intervalar, (a) −3 < x < 5; (b) 2 ≤ x
≤ 6; (c) −4 < x ≤ 0; (d) x > 5; (e) x ≤ 2; (f) 3x − 4 ≤ 8; (g) 1 < 5 − 3x < 11.
(a) Todos os números maiores do que −3 e menores de 5; a notação do intervalo é (−3, 5):
(b) Todos os números iguais ou maiores do que 2 e menores ou iguais a 6; [2, 6]:
(c) Todos os números maiores do que −4 e menores ou iguais a 0; (−4, 0]:
(d) Todos os números maiores do que 5; (5, ∞)
(e) Todos os números menores ou iguais a 2; (−∞, 2];
(f) 3x − 4 ≤ 8 é equivalente a 3x ≤ 12 e, portanto, a x ≤ 4. Logo, temos (−∞, 4]:
(g)
(Subtraindo 5)
(Dividindo por −3; note a inversão das desigualdades)
Logo, obtemos (−2, ):
2. Descreva e faça o diagrama determinado pelas seguintes desigualdades, (a) ⱍxⱍ < 2; (b) ⱍxⱍ > 3; (c) ⱍx − 3ⱍ <
1; (d) ⱍx − 2ⱍ < δ onde δ > 0; (e) ⱍx + 2ⱍ ≤ 3; (f) 0 < ⱍx − 4ⱍ < δ onde δ > 0.
(a) Pela propriedade (1.9), isso é equivalente a −2 < x < 2, definindo o intervalo aberto (−2, 2).
(b) Pela propriedade (1.8), ⱍxⱍ ≤ 3 é equivalente a −3 ≤ x ≤ 3. Fazendo negações, ⱍxⱍ > 3 é equivalente a x < −3 ou x > 3,
o que define a união dos intervalos (−∞, −3) e (3, ∞).
(c) Pela propriedade (1.12), isso diz que a distância entre x e 3 é menor do que 1, o que é equivalente a 2 < x < 4. Isso
define o intervalo aberto (2, 4).
Podemos notar também que ⱍx − 3ⱍ < 1 é equivalente a −1 < x − 3 < 1. Somando 3, obtemos 2 < x < 4.
(d) Isso é equivalente a dizer que a distância entre x e 2 é menor do que δ, ou que 2 − δ < x < 2 + δ, o que define o
intervalo aberto (2 − δ, 2 + δ). Esse intervalo é chamado de vizinhança-δ de 2:
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CAPÍTULO 1 • SISTEMAS DE COORDENADAS LINEARES. VALOR ABSOLUTO. DESIGUALDADES
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(e) ⱍx + 2ⱍ < 3 é equivalente a −3 < x + 2 < 3. Subtraindo 2, obtemos −5 < x < 1, o que define o intervalo aberto (−5, 1):
(f) A desigualdade ⱍx − 4ⱍ < δ determina o intervalo 4 − δ < x < 4 + δ. A condição adicional 0 < ⱍx − 4ⱍ nos diz que x ≠
4. Logo, temos a união dos dois intervalos (4 − δ, 4) e (4, 4 + δ). O resultado é chamado de vizinhança−δ deletada
de 4:
3. Descreva e faça o diagrama dos intervalos determinados pelas seguintes desigualdades, (a) ⱍ5 − xⱍ ≤ 3; (b)
ⱍ2x − 3ⱍ < 5; (c) ⱍ1 − 4xⱍ < .
(a) Como ⱍ5 − xⱍ = ⱍx − 5ⱍ, temos ⱍx − 5ⱍ ≤ 3, o que é equivalente a −3 ≤ x − 5 ≤ 3. Somando 5, temos 2 ≤ x ≤ 8, o que
define o intervalo fechado [2, 8]:
(b) ⱍ2x − 3ⱍ < 5 é equivalente a −5 < 2x − 3 < 5. Somando 3, temos −2 < 2x < 8; então, dividindo por 2 temos que −1 <
x < 4, o que define o intervalo aberto (−1, 4):
(c) Como ⱍ1 − 4xⱍ = ⱍ4x − 1ⱍ, temos ⱍ4x − 1ⱍ < , o que é equivalente a − < 4x − 1 < . Somando 1, temos
Dividindo por 4, obtemos < x < , o que define o intervalo aberto (
):
< 4x < .
4. Resolva as desigualdades: (a) 18x − 3x2 > 0; (b) (x + 3)(x − 2)(x − 4) < 0; (c) (x + 1)2(x − 3) > 0, e faça o
diagrama das soluções.
(a) Faça 18x − 3x2 = 3x(6 − x) = 0, obtendo x = 0 e x = 6. Precisamos determinar o sinal de 18x − 3x2 em cada um dos
intervalos x < 0, 0 < x < 6 e x > 6, para determinar onde 18x − 3x2 > 0. Note que é negativo quando x < 0 (uma vez
que x é negativo e 6 − x é positivo). Transforma-se em positivo quando passamos da esquerda para a direita através
do 0 (uma vez que x muda de sinal, mas 6 − x continua positivo), e se torna negativo quando passamos pelo 6 (uma
vez que x continua positivo, mas 6 − x muda para negativo). Logo, é positivo somente quando 0 < x < 6.
(b) Os pontos cruciais são x = −3, x = 2 e x = 4. Note que (x + 3)(x − 2)(x − 4) é negativo para x < −3 (uma vez que cada
um dos fatores é negativo) e que o sinal muda quando se passa através de cada um dos pontos cruciais. Logo, é
negativo para x < −3 e para 2 < x < 4:
(c) Note que (x + 1) é sempre positivo (exceto quando x = −1, onde é 0). Logo, (x + 1)2 (x − 3) > 0 somente quando
x − 3 > 0, isto é, para x > 3:
5. Resolva ⱍ3x − 7ⱍ = 8.
Segundo (1.3), ⱍ3x − 7ⱍ = 8 se, e somente se, 3x − 7 = ±8. Assim, precisamos resolver 3x − 7 = 8 e 3x − 7 = −8. Então,
temos x = 5 ou x = − .
6. Resolva
.
Caso 1: x + 3 > 0. Multiplique por x + 3 para obter 2x + 1 > 3x + 9, o que se reduz a −8 > x. Contudo, uma vez que
x + 3 > 0, é preciso que x > −3. Logo, esse caso implica em solução nenhuma.
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CÁLCULO
Caso 2: x + 3 < 0. Multiplique por x + 3 para obter 2x + 1 < 3x + 9. (Observe que a desigualdade se inverte, uma vez
que é multiplicada por um número negativo.) Isso implica que −8 < x. Como x + 3 < 0, temos x < −3. Logo, as únicas
soluções são −8 < x < −3.
7. Resolva
.
A desigualdade dada é equivalente a −5 < 2 − 3 < 5. Some 3 para obter −2 < 2/x < 8, e divida por 2 para ter −1 < 1/x < 4.
Caso 1: x > 0. Multiplique por x para obter −x < 1 < 4x. Então x > e x > −1; essas duas desigualdades são equivalentes
ax> .
Caso 2: x < 0. Multiplique por x para obter −x > 1 > 4x. (Observe que as desigualdades foram invertidas, uma vez que
as multiplicamos pelo número negativo x.) Então x < e x < −1. Essas duas desigualdades são equivalentes a x < −1.
Logo, as soluções são x > ou x < −1, a união dos dois intervalos infinitos ( , ∞) e (−∞, −1).
8. Resolva ⱍ2x − 5ⱍ ≥ 3.
Resolvamos primeiramente a negação ⱍ2x − 5ⱍ < 3. Esta última é equivalente a −3 < 2x − 5 < 3. Some 5 para obter 2 <
2x < 8, e divida por 2 para obter 1 < x < 4. Uma vez que essa é a solução para a negação, a desigualdade original tem
como solução x ≤ 1 ou x ≥ 4.
9. Resolva: x2 < 3x + 10.
(Subtraia 3x + 10)
Os números cruciais são −2 e 5. (x − 5)(x + 2) > 0 quando x < −2 (uma vez que ambos x − 5 e x + 2 são negativos); a
expressão se torna negativa quando passamos por −2 (uma vez que x + 2 muda o sinal); então se torna positiva quando
passamos pelo 5 (uma vez que x − 5 muda o sinal). Portanto, as soluções são − 2 < x < 5.
Problemas Complementares
10. Descreva e faça o diagrama do conjunto determinado em cada uma das condições a seguir:
(a) −5 < x < 0
(b) x ≤ 0
(c) −2 ≤ x < 3
(d) x ≥ 1
(e) ⱍxⱍ < 3
(f) ⱍxⱍ ≥ 5
(g) ⱍx − 2ⱍ<
(h) ⱍx − 3ⱍ > 1
(i) 0 > ⱍx − 2ⱍ < 1
(j) 0 < ⱍx + 3ⱍ<
(k) ⱍx − 2ⱍ ≥ 1.
Resp. (e) −3 < x < 3; (f) x ≥ 5 ou x ≥ −5; (g) < x < ; (h) x > −2 ou x < −4; (i) x ≠ 0 e 1 < x < 3;
(j) − < x <
; (k) x ≥ 3 ou x ≤ 1
11. Descreva e faça o diagrama do conjunto determinado em cada uma das condições a seguir:
(a) ⱍ3x − 7ⱍ < 2
(b) ⱍ4x − 1ⱍ ≥ 1
(c)
(d)
(e)
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CAPÍTULO 1 • SISTEMAS DE COORDENADAS LINEARES. VALOR ABSOLUTO. DESIGUALDADES
(f)
Resp. (a)
(f)
; (b)
ou x ≤ 0; (c) −6 ≤ x ≤ 18; (d)
ou
; (e) x > 0 ou x < −1 ou
;
ou
12. Descreva e faça o diagrama do conjunto determinado em cada uma das condições a seguir:
(a) x(x − 5) < 0
(b) (x − 2)(x − 6) > 0
(c) (x + 1)(x − 2) < 0
(d) x(x − 2)(x + 3) > 0
(e) (x + 2)(x + 3)(x + 4) < 0
(f) (x − 1)(x + 1)(x + 3) > 0
(g) (x − 1) (x + 4) < 0
2
2
(h) (x − 3)(x + 5)(x − 4) < 0
3
(i) (x − 2) > 0
3
(j) (x + 1) < 0
(k) (x − 2) (x + 1) < 0
3
3
4
(l) (x − 1) (x + 1) < 0
(m) (3x − 1)(2x + 3) > 0
(n) (x − 4) (2x − 3) < 0
Resp. (a) 0 < x < 5; (b) x > 6 ou x < 2; (c) −1 < x < 2; (d) x > 2 ou −3 < x < 0; (e) −3 < x < −2 ou x < −4;
(f) x > 2 ou −1 < x < 1 ou x < −3; (g) x > −4 e x ≠ 1; (h) −5 < x < 3; (i) x > 2; (j) x < −1;
(k) −1 < x < 2; (l) x < 1 e x ≠ −1; (m)
ou
; (n)
13. Descreva e faça o diagrama do conjunto determinado em cada uma das condições a seguir:
(a) x2 < 4
2
(b) x ≥ 9
2
(c) (x − 2) ≤ 16
2
(d) (2x + 1) > 1
2
(e) x + 3x − 4 > 0
2
(f) x + 6x + 8 ≤ 0
2
(g) x < 5x + 14
2
(h) 2x > x + 6
2
(i) 6x + 13x < 5
3
2
(j) x + 3x > 10x
Resp. (a) −2 < x < 2; (b) x ≥ 3 ou x ≤ −3; (c) −2 ≤ x ≤ 6; (d) x > 0 ou x < −1; (e) x > 1 ou x < −4; (f) −4 ≤ x ≤ −2;
; (i)
; (j) −5 < x < 0 ou x > 2
(g) −2 < x < 7; (h) x > 2 ou
14. Resolva:
Resp. (a) −5 < x < 6; (b) x > 0 ou x < −1; (c) x > −2; (d)
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; (e) x < 0 ou
; (f) x ≤ −4 ou x ≥ −1
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CÁLCULO
15. Resolva:
(a) ⱍ4x − 5ⱍ = 3
(b) ⱍx + 6ⱍ = 2
(c) ⱍ3x − 4ⱍ = ⱍ2x + 1ⱍ
(d) ⱍx + 1ⱍ = ⱍx + 2ⱍ
(e) ⱍx + 1ⱍ = 3x − 1
(f) ⱍx + 1ⱍ < ⱍ3x − 1ⱍ
(g) ⱍ3x − 4ⱍ ≥ ⱍ2x + 1ⱍ
Resp. (a) x = 2 ou
(g) x ≥ 5 ou
; (b) x = −4 ou x = −8; (c) x = 5 ou
; (d)
; (e) x = 1; (f) x > 1 ou x < 0;
16. Prove que:
(a) ⱍx ⱍ = ⱍxⱍ ;
2
2
n
n
(b) ⱍx ⱍ = ⱍxⱍ para todo n inteiro;
(c)
;
(d) ⱍx − yⱍ ≤ ⱍxⱍ + ⱍyⱍ;
(e) ⱍx − yⱍ ≥ ⱍⱍxⱍ − ⱍyⱍⱍ
[Sugestão: Em (e), prove que ⱍx − yⱍ ≥ ⱍxⱍ − ⱍyⱍ e ⱍx − yⱍ ≥ ⱍyⱍ − ⱍxⱍ.]
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