( )ij - igepp
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RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
MATRIZES E DETERMINANTES – LISTA 5
RESUMO TEÓRICO
a11
a21
...
a
n1
Matriz real
Sejam m 1 e n 1 dois números inteiros.
Uma matriz real de ordem m n é um conjunto de m n
números reais, distribuídos em m linhas e n colunas, formando
uma tabela que se indica em geral por
a11
a 21
...
a i1
i-ésima linha ...
a m1
a12 a13 ... a1 j ... a1n
a 22 a 23 ... a 2 j ... a 2 n
... ... ... ... ... ...
a i 2 a i3 ... a ij ... a in
... ... ... ... ... ...
a m 2 a m 3 ... a mj ... a mn
diago
nalsecundária
por A
t
(ou A’), é a matriz Ant m (bij ) , onde bij a ij ,
i 1,2,3,...,n e j 1,2,3,...,m .
m n
Em outras palavras, denominamos matriz transposta de A à
matriz n m cujas colunas coincidem ordenadamente com as
linhas de A.
Determinantes
Só se calcula determinante de uma matriz A se essa for
quadrada. Vamos às regras práticas:
Observações:
a ij
de uma matriz
mm é chamado elemento, entrada ou termo da matriz
A a ij
A. O termo a ij é o termo geral de A.
mm é uma matriz, então:
2. Se A a ij
A é chamada matriz quadrada de ordem n se, e somente
se, m n .
A é chamada matriz retangular se, e somente se, m n .
A é chamada matriz linha se, e somente se, m 1 e
matriz coluna se, e somente se, n 1 .
3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então definimos:
diagonal principal de A: é a seqüência de termos da
matriz A que apresentam mesmos índices, ou seja,
a ij / i j a11,a 22 ,a 33,...,a nn ;
diagonal secundária de A: é a seqüência de termos da matriz
Regras práticas para o cálculo dos determinantes
Como a definição de determinantes é de difícil compreensão
para o leitor, o uso de algumas regras práticas para o cálculo
dos determinantes de ordem n n N e n 2 é feito.
Determinante de ordem 2
a
1 a
1
2
d
e
t1
a
.
a
a
.
a
1
1
2
2
1
2
2
1
a
2
1a
2
2
Determinante de ordem 3 (Regra de Sarrus)
a
a
1
1a
1
2a
1
3
1
1a
1
2a
1
3a
1
1a
1
2
d
e
t
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1 2
2 2
3
21 22 23 21 22
a
3
1a
3
2a
3
3
3
1a
3
2a
3
3a
3
1a
3
2
a
A tais que a soma de seus índices é igual a n 1 , ou seja,
a1,n ,a 2,n 1,a 3,n 2 ,...,a n,1 .
diago
nalp
rincipal
mn
aij / i j n 1
a1n
a2n
...
ann
nn
Seja A a ij Mmn R . A matriz transposta de A, indicada
ou a ij
...
...
...
...
Matriz transposta
j-ésima coluna
1. Cada um dos números reais
a12
a22
...
an2
a11.a 22.a33 a12 .a 23.a31 a13.a 21.a32
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
a13.a 22.a 31 a11.a 23.a 32 a12.a 21.a 33.
1
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
Algumas propriedades dos determinantes
EXERCÍCIOS
nxn uma matriz real quadrada de ordem n,
Seja M a ij
n N * . Assim, valem as propriedades a seguir.
1. Indicar explicitamente os elementos da matriz
A a ij
3x3
tal que a ij 2i j .
Propriedades:
1) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de M
forem nulos, então det M 0 .
2) Se a matriz M tiver duas linhas iguais (ou duas colunas
iguais), então det M 0 .
3) Se a matriz M tiver duas linhas proporcionais (ou duas
colunas proporcionais), então det M 0 .
4) Seja N uma matriz obtida a partir de uma matriz M apenas
trocando de posição, entre si, duas linhas (ou duas colunas)
de M. Então det N det M .
5) Seja N uma matriz obtida a partir de uma matriz M apenas
multiplicando-se uma das linhas (ou uma das colunas) de
M por R . Então det N .det M .
6) Seja N uma matriz e R tal que N M . Então
det M n det M , onde n é a ordem da matriz M.
7) Seja M a matriz transposta de M. Então det M det M .
t
t
1 4 7
6 14 8
2. Dadas A
, calcular:
, B
3
9
6
18 10 16
a) A B
B
b) 3A
2
3. (ESAF/MPU) A matriz S sij , de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes
A (a ij ) e
B (bij ) . Sabendo-se que a ij i 2 j2 e que bij i j , então
a razão entre os elementos s 22 e s12 da matriz S é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
4
2
6
4. Calcular:
1 1
1 5 2
a)
2 3
1 4 7 3 0
4 7
2
b) Se A
, calcule A .
2 3
5.
(ESAF/CGU)
Sejam
as
matrizes
1 4
A 2 6
3 3
e
1 3 4 5
B
e seja x ij o elemento genérico de uma
1 2 3 4
matriz X tal que X (A.B) t , isto é, a matriz X é a matriz
transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão
entre x 31 e x12 é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2
1/2
3
1/3
1
6. Calcule os seguintes determinantes:
a)
13 7
11 5
b)
3 1 7
2 1 3
5 4 2
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
2
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
7. (CESPE) Com relação à álgebra linear, julgue o item
abaixo.
Se uma matriz quadrada A = a ij tem dimensão 3 x 3 e é tal
que a ij 1, se i j e a ij i j, se i j , então o determinante
1 2 3
13. (ESAF/MPU) Considere as matrizes X 2 4 6 e
5 3 7
de A é um número estritamente positivo.
a 2 3
Y 2 b 6 onde os elementos a, b e c são números
5 3 c
2 1
8. Determine a matriz inversa de A
5 4
2 4
9. (ESAF/AFC) Considerando-se as matrizes A
e
3 1
1 1
B
, a soma dos elementos da diagonal principal da
1 2
matriz D, definida como o produto da matriz transposta de A
pela matriz inversa de B, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
c) 1010
d) 106
e) 103
10
2
1
2
10
naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto
das matrizes X e Y é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
a
abc
ab
a c
14. (ESAF/MPOG) A transposta de uma matriz qualquer é
aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se
que uma matriz quadrada de segunda ordem possui
determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua
matriz transposta é igual a:
10. Calcule os seguintes determinantes
a)
1 1
2 7
0 1
2 7
2
3
0
3
b)
2
1
3
1
3
1
1
0
4 10
0 5
3 15
0 5
2
1
0
1
3
1
3
0 1
0 2
0 1
0 4
c)
5
4
0
4
11. (ESAF/SEFAZ-SP) O determinante de uma matriz 3x3 é
igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1a linha por
2 e os três elementos da 2a coluna por -1, o determinante será:
a)
b)
c)
d)
e)
x 2
2x 2
2x
x2
4x 2
12. (ESAF/MPOG) Uma matriz X de quinta ordem possui
determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se
todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o
determinante da matriz B é igual a:
a) 106
b) 105
a)
b)
c)
d)
e)
-2
-1/2
4
8
10
15. (ESAF/AFC-STN) Considere duas matrizes quadradas de
terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira
colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à
segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o
3
determinante de A é igual a x , então o produto entre os
determinantes das matrizes A e B é igual a:
a) x
6
b) x
6
3
c) x
d) 1
e) 1
16. (ESAF/MPOG) O menor complementar de um elemento
genérico x ij de uma matriz X é o determinante que se obtém
suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se
localiza. Uma matriz Y yij , de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes A a ij e B bij . Sabendose que a ij i j
2
e que
bij i 2 , então o menor
complementar do elemento y 23 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
-8
-80
8
80
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
3
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
17. (ESAF/Receita Federal) Seja uma matriz quadrada 4 por
4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz
por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por
-3, o determinante da matriz fica:
a) Multiplicado por -1.
16
b) Multiplicado por
81
2
c) Multiplicado por
3
16
d) Multiplicado por
81
2
e) Multiplicado por
3
b 0
a a
5 b
0 6
a) - 60a.
b) 0.
c) 60a.
d) 20ba 2
e) a(b-60).
resultante da soma entre as matrizes A a ij e B bij , ou
SAB.
O determinante da matriz X =
2 2
0 a
0 0
0 0
onde a e b são inteiros positivos tais que a >1 e b >1, é igual a
18. (ESAF/AFC) De forma generalizada, qualquer elemento
de uma matriz M pode ser representado por m ij, onde i
representa a linha e j a coluna em que esse elemento se
localiza. Uma matriz S sij , de terceira ordem, é a matriz
seja,
21. (ESAF/MPU)
Sabendo-se
que
a ij i 2 j2
e
que
bij i j , então a soma dos elementos da primeira linha da
2
1 1
22. (ESAF/MPU) Sabendo-se que a matriz A e que
0 1
n e n 1 então o determinante da matriz An A n 1
é igual a:
a) 1
b) -1
c) 0
d) n
e) n - 1
matriz S é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
23. (CESGRANRIO/Petrobrás) Considere as três matrizes
abaixo.
17
29
34
46
58
1
2 3
0
A ; B
;C
2
2 3
0
19.
(ESAF/ANA)
1 0
2
B a
b
c é:
4 a 2 b c
O
determinante
da
matriz
8
e) o produto de matrizes BA é igual a
8
24. (ACEP/BNB)
20. (ESAF/CGU) Genericamente, qualquer elemento de uma
matriz M pode ser representado por mij , onde "i" representa a
linha e "j" a coluna em que esse elemento se localiza. Uma
matriz X = xij , de terceira ordem, é a matriz resultante da
soma das matrizes A = ( aij ) e B=( bij ). Sabendo-se que
e que bij i j , então o produto dos elementos
x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Pode-se afirmar que
a) não é possível somar as matrizes B e C.
b) a matriz B é simétrica.
c) a matriz C é uma matriz identidade.
d) a matriz C é a inversa de B.
a) 0
b) 2b - c
c) a + b + c
d) 6 + a + b + c
e) 2bc + c - a
aij i2
1
1
2
Simbolizemos por P1 , P2 e P3
insumos
produzidos em três fábricas F1 , F2 e F3 . Na matriz M abaixo,
a entrada na i-ésima linha e na j-ésima coluna indica o custo
unitário em reais do produto Pj na fábrica Fi, onde i e j variam
no conjunto {1, 2, 3}:
0, 60 , 075 1, 20
M 0, 40 0, 45 0, 60
0, 80 0, 50 1, 00
A quantidade total de unidades dos insumos de modo que os
custos totais nas fábricas F1 , F2 e F3 sejam, respectivamente,
de R$ 360,00, R$ 200,00 e R$ 290,00 é de:
a) 150
b) 200
c) 400
d) 580
e) 850
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4
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
25. ( ESAF/MTE) Seja y um ângulo medido em graus tal que
0º y 180º com y 90º . Ao multiplicarmos a matriz
abaixo por a, sendo a 0, qual o determinante da matriz
resultante?
tgy
1
1
a
tgy
1
cos y sen y cos y
a 2 tg y
a sen y
0
a sen y
definida por a ij 3i 2j 1 , é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
4
4 1
27. (UFBA) Se P
2 3
transposta de P 2Q é:
a)
10 8
3 11
b)
2 12
5 5
c)
1 7
1 1
d)
2 8
5 5
e)
10 11
3 8
3 2
e Q
, a matriz
5 4
x y
4
C
e sendo 3A B C , então
3
z w
x y z w 11
x y z w 10
xyzw 0
x y z w 1
x y z w 11
matrizes
2 3 1
A
1 1 7
e
20
21
22
23
24
existe A B se, e somente se, n 4 e m 3 ;
existe AB se, e somente se, n 4 e m 3 ;
existe AB e BA se, e somente se, n 4 e m 3 ;
existem, iguais, A B e B A se, e somente se,
A B;
existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A B .
31. (UF VIÇOSA) Considere as matrizes:
6
x y
x
28. (FGV) Dadas as matrizes A
, B
e
z w
1 2w
a)
b)
c)
d)
e)
Considere as
30. (MACK) Se A é matriz 3 4 e B uma matriz n m, então:
26. A soma de todos os elementos da matriz A a ij , 2 2 ,
a)
b)
c)
d)
e)
(FGV)
1 3
B 0 4 . A soma dos elementos da primeira linha de A.B é:
2 2
a)
b)
c)
d)
e)
a) a cos y
b)
c)
d)
e)
29.
1)
A (aij), 3 4, definida por a ij i j ;
2)
B (bij), 4 3, definida por bij 2i j ;
3)
C (cij), C A B .
O elemento c32 é:
a)
b)
c)
d)
e)
7
4
2
0
2
32. (FUVEST) Considere as matrizes:
1)
A (aij), 4 7, definida por a ij i j ;
2)
B (bij), 7 9, definida por bij i ;
3)
C (cij), C AB .
O elemento c63
a)
b)
c)
d)
e)
é 112;
é 18;
é 9;
é 112;
não existe.
1 2
2 0
33. (CESGRANRIO) Se M
eN
, então
0
1
1 1
MN NM é:
a)
2 2
0 2
b)
0 0
0 0
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
5
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
c)
1 0
0 1
d)
0 1
1 0
d)
4 2
1 1
e)
1 1
1 1
e)
1 2
1 0
37.
(CESGRANRIO)
1 2
2
34. (PUC) Se A
, então A 2A 11I , onde
4 3
1 0
I
, é igual a:
0 1
a)
1 2
0 0
b)
1 0
0 0
c)
0 0
0 0
d)
0 1
0 0
e)
0 1
1 0
b)
3 4
4 5
c)
1 4
4 9
d)
3 4
4 5
e)
1
1
e B bij ,
quadradas de ordem 2 com a ij 3i 4j e bij 4i 3j . Se
1 0
0 1
b)
1 0
0 1
c)
0 1
1 0
2
1
0
1
6
38.
(MACK)
Dadas
as
matrizes
a b 1
A
1 1 a
e
a)
b)
c)
d)
e)
7 e 4;
7 e 3;
6 e 4;
6 e 3;
2 e 2.
é válida x;
é válida se x 0 ;
é válida se x 1 ;
é válida só para x 1 ;
não se verifica para nenhum valor de x.
2
40. (MACK) Se A e B são matrizes tais que A 1 e
x
a)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
36. (PUC) São dadas as matrizes A a ij
C A B , então C2 é igual a:
4 3
obtemos
. O produto dos elementos a e b da primeira
2 0
matriz é:
1 x
0 1
39. Dadas as matrizes A
e B
, podemos
1
1
1 x
verificar que a igualdade AB BA :
então a matriz (A t )2 é igual a:
3 4
4 5
1 a 2 3
b 2 1 0
1 1 0
3 4
t
B
tais que A.B
, então a e b valem,
0 1 0
2 1
respectivamente:
1 2
35. (UF UBERLÂNDIA) Se a matriz A é igual a
,
2 3
a)
Multiplicando
1
B 2 . Então a matriz Y A t .B será nula para:
1
a)
b)
c)
d)
e)
x0
x 1
x 2
x 3
x 4
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
6
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
41. (UNESP) Seja x um número real. Se as matrizes A, B e C
são escolhidas entre as listadas abaixo
1
2 1 0 1
(x 1) , 1 , ,
x x 0 x 0
e se AB C é uma matriz nula, então x é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
1 1
4
42. (FGV) Dadas as matrizes: A
e B . A
2 3
4
matriz X tal que X AX B tem como soma de seus
elementos o valor
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
0
4
4
1 3
x
43. (PUC) Se A
, uma matriz coluna X , tal
4
3
y
que AX 3X , é:
a)
b)
3
1
3
2
c)
0
1
d)
2
1
e)
1
3
45. (UE) Dada a matriz A a mn 22 , onde a mn 2n m , a
soma de todos os elementos que compõe a matriz A 2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
46. (UC SALVADOR) Se A e B são matrizes de tipo 2 3,
qual das seguintes operações não pode ser efetuada?
a)
b)
c)
AB
A t Bt
y 2x
d)
e)
Bt .A
A.B
47. (UF VIÇOSA) A matriz X, tal que AX B , onde
2
1 3
1 1
, é:
A
e B
1
2 1
2
3
a)
b)
c)
d)
0 1
3 1
44. (UC SALVADOR) Se A
, B
e
1
0
2 1
1 0
2
C
, então a matriz A B C é igual a:
1
2
a)
2 2
2 3
b)
4 1
3 1
c)
1 1
1 4
d)
3 1
3 0
e)
3 1
3 0
81
4
10
9
25
4
6
e)
1
X 1
3
0
X
1
1
X
0
1
X 1
3
1
X
0
0
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
0
1
3
1
3
1
3
1 2
48. (SANTA CASA) Sejam as matrizes A
,
3 1
x
2
B e C . A igualdade A B C é verdadeira se:
y
1
a)
b)
c)
d)
e)
xy2
x 2y
xy 0
y 2x
yx 2
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
7
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
x y 3 5 1 0
49. (PUC) Sabendo que
, o valor de
z w 1 2 0 1
yz é:
a)
b)
c)
d)
e)
6
5
1
5
6
p 1
2
50. Sejam as matrizes M
e T . Se M T é a
3 1
q
matriz nula 2 1 , então p q é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
12
15
16
18
n.r.a.
51.
(UFPR)
Dada
a
equação
matricial
x 2 0 1 4 8
, o valor do produto xyz é igual a:
1 3 2 3 y z
a)
b)
c)
d)
e)
80
150
120
60
32
b)
x 3y
2x 4y
c)
x 3y
2x 4y
d)
e)
x 4y
3y 2x
[2xy]
1
1 1 2
0 ,calcular A.B.
55. (UFPA) Seja A
e
B
2
1
1
1
1
a)
1
b)
1
1
c)
1
1
d)
0 1 2
2 1 1
e)
0 1 2
2 1 1
0 1
0 0
56. (FATEC) Dadas as matrizes A
e B
,
0
0
0 1
conclui-se que a matriz:
6
x 8
y
7 16
52. (UFBA) M
, N
e P
10 y
12 x 4
23 13
3
2
são matrizes que satisfazem a igualdade M N P ; logo,
2
3
y x é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
3 0
2 1
57. (PUC) Dadas as matrizes A
e B
,
1 4
1 0
então AB BA é igual a:
e)
6
4
2
3
7
10
53. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A, B e C
são, respectivamente, 3 r , 3 s e 2 t . Se a matriz
(A B) C é de ordem 3 4 , então r s t é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
6
8
10
12
14
1 3 x
54. (ABC) Ache D
.
2 4 y
a)
AB é nula;
A 2 é nula;
A B é nula;
BA é não nula;
B2 é nula.
a)
0 0
0 0
b)
1 7
9 1
c)
3 1
2 7
d)
1 0
0 1
e)
2 3
5 0
x 3y
2x 4y
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
8
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
58. (CESPE) São matrizes respectivamente oposta e
1 6 7
transposta de
:
4 0 2
a)
b)
c)
d)
e)
1
4
1
6
7
6 7
e
0 2
4
1
0 e
4
2
4 0 2
;
1 6 7
6 7
;
0 2
1
1 6 7
e 6
4 0 2 7
2 0 4 1 7
e
7 6 1 4 2
7 2 2 7
6 0 e 0 6 .
1 4 4 1
4
0 ;
2
6
;
0
62. (UDF) Se A é uma matriz do tipo 2 3 e AB é do tipo
2 5 , então B é uma matriz do tipo:
a)
b)
c)
d)
25
3 3
53
3 5
63.
(CESGRANRIO)
a)
1 5
4 2
b)
1 4
5 2
c)
2 4
5 1
d)
1 5
4 2
e)
5 1
4 2
a b
1 1 0 0
60. (UFT) Se
2.
, os valores de a,
c 1
2 d 0 0
b, c e d, nessa ordem, são:
a)
b)
c)
d)
1
;
2
1
2 , 2, 4 e ;
2
2 , 2, 4 e 2;
2, 2 , 4 e 2 .
1 , 1, 2 e
61. (UFT) Seja A uma matriz de ordem m n e B uma matriz
de ordem r s . Para que o produto A B exista é necessário
que:
a)
b)
c)
d)
mr
nr
ms
n s e mr
sistema
2x 3y 1
x y 2
tem
representação matricial:
a)
2 1 x 1
1 3 y 2
b)
2 1 x 2
3 1 y 1
c)
2 1 2 x
3 1 1 y
d)
2 3 2 x
1 1 1 y
e)
2 3 x 1
1 1 y 2
59. (CESPE) A matriz oposta da matriz 2 2 , definida por
a ij i 2j, i j
é:
a ij i 2j, i j
O
64. (FC CHAGAS) A matriz transposta da matriz quadrada
A a ij de ordem 2 com a ij i j 2 , 1 i 2 , 1 j 2 , é:
a)
b)
c)
2 4
4 6
3
4
3
3
4
6
4
6
d)
3 3
6 4
e)
2 3
4 6
1 2 1
2 1
t
65. (MACK) Sendo A
, B
e A a
0 1 2
1 0
matriz transposta de A, então o valor de A t .B é:
a)
b)
c)
3
2
0
2
3
0
2
3
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
9
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
d)
e)
0
2
3
1
2
1
2
1
1
0
1
2
70. (MACKENZIE) O valor de um determinante é 42. Se
dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira
coluna por 3, o valor do novo determinante será:
a) 2
b) 14
c) 18
d) 21
e) 42
2 3 a 4
66. (PUC) Se
, então a matriz
1 5 b 11
é:
a)
1
2
b)
1
4
c)
1
2
d)
10
11
e)
4
11
a
b
a) 6
b) 2
c) 3
d) 5
e) 4
72. (UFGO) Qual o valor de um determinante de quarta
ordem, sabendo-se que multiplicando duas de suas linhas por 3
e dividindo suas colunas por 2 obtém-se o número 27?
67. (MACK) A é uma matriz m n e B é uma matriz m p . A
afirmação falsa é:
a)
A B existe se, e somente se, n p .
b)
c)
A t A implica m n ( A transposta de A).
A.B existe se, e somente se, n p .
d)
A t B existe se, e somente se, n p .
t
e)
t
71. (VIÇOSA) A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e
B c A , sendo c um número real não nulo. Se o
determinante de A é 3 e o determinante da transposta de B é
81, então o valor de c é:
A B sempre existe.
a) 243/16
b) 18
c) 6
d) 48
e) 27
73. (CESPE/SEDU-ES) O Imposto sobre a Propriedade de
Veículos Automotores (IPVA), de competência dos estados
e do Distrito Federal, foi instituído em substituição à Taxa
Rodoviária Única (TRU), cobrada anualmente no
licenciamento dos veículos. A tabela abaixo mostra,
hipoteticamente, valores do IPVA, a serem pagos em 2008,
para alguns veículos de acordo com ano de fabricação e
marca.
2
68. (PUC) Dadas as matrizes X 2 2 2 e Y 2 , o
2
determinante da matriz produto X Y vale:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 12
69. (VUNESP) Se o determinante de uma matriz quadrada A,
de ordem 3, é 5, então o determinante da matriz 4A é igual a:
a) 320
b) 100
c) 60
d) 15
e) 5
Considere a matriz M, 4 × 4, em que o elemento da
iésima linha e j-ésima coluna é o valor do IPVA a ser
recolhido pelo proprietário do veículo de marca Ai
fabricado no ano 200j.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
1 Considere que a despesa de uma empresa com o pagamento
de IPVA de seus veículos no ano de 2008 é igual a R$
1.270,36 e que ela possua 2 veículos da marca A2 , um
fabricado em 2002 e o outro, em 2003. Nessa situação, é
possível que essa empresa possua mais de um veículo de
marca A3 .
IGEPP – RACIOCÍNIO LÓGICO – ÁLGEBRA LINEAR (MATRIZES E DETERMINANTES) – LISTA 5
10
RACIOCÍNIO LÓGICO - Zé Carlos
2 Considere que todos os veículos de uma empresa são da
marca A4 : 2 fabricados em 2002, 1 em 2003 e 3 em 2004.
Nessa situação, o valor da despesa dessa empresa com o IPVA
de seus veículos, no ano de 2008, corresponde ao elemento
a4,1 obtido ao se multiplicar a matriz M pela transposta da
matriz [0 2 1 3].
GABARITO
1 0 1
1
5 4 3
1. 3 2
5 18 15
6 5 17
2. a)
e b)
15
19
22
18 22 10
3. D
5 14
e b)
14 13
4. a)
5. A
1 3
6. 5 9
7 11
7. E
4 1
5 2
8. A 1
9. B
10. a) 0 b) 0 c) 0
11. C
12. D
13. A
14. D
15. B
16. C
17. E
18. D
19. A
30 49
14 23
30. C
31. C
32. E
33. A
34. C
35. A
36. B
37. C
38. A
39. E
40. E
41. A
42. B
43. B
44. D
45. C
46. E
47. C
48. C
49. D
50. D
51. C
52. B
53. B
54. A
55. A
56. B
57. B
58. C
59. D
60. B
61. B
62. D
63. E
64. C
65. B
66. A
67. C
68. E
69. A
70. C
71. C
72. D
73. C C
20. D
21. A
22. C
23. E
24. C
25. D
26. C
27. B
28. B
29. E
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