1 SJI SJI SdJ I tx S t V t QI

Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
1
Corrente e Densidade de corrente
elétrica.
Começamos agora a estudar o movimento de
cargas elétricas. Exemplo de corrente elétrica: as pequenas
correntes nervosas que regulam nossas atividades
musculares, correntes nas casas, como a que passa pelo
bulbo de uma lâmpada, em um tubo evacuado de TV,
fluem elétrons. Partículas carregadas de ambos os sinais
fluem nos gases ionizados de lâmpadas fluorescentes, nas
baterias de rádios transistores e nas baterias de automóveis.
Correntes elétricas atravessam as baterias de calculadoras e
em chips de aparelhos elétricos (Microcomputadores, forno
de microondas, etc.).
Em escalas globais, partículas carregadas são
presas nos cinturões de radiação de Van Allen existentes na
atmosfera entre os pólos norte e sul. Em termos do sistema
planetário, enormes correntes de prótons, elétrons e íons
voam na direção oposta do Sol, conhecido como vento
solar. Em escala galáctica, raios cósmicos, que são prótons
altamente energéticos, fluem através da Via-Láctea.
Como a corrente consiste num movimento de
cargas, nem todo movimento de carga constitui uma
corrente elétrica. Referimos a uma corrente elétrica
passando através de uma superfície, quando cargas fluem
através dessa superfície. Exemplifiquemos dois exemplos:
1) Os elétrons de condução de um fio de cobre
isolado estão em movimento randômico a uma velocidade
da ordem de 106 m . Se passarmos um hipotético plano
s
através do fio, os elétrons de condução passam através dele
em ambas as direções, a razão de alguns bilhões por
segundo. Então não há um transporte de carga e
conseqüentemente não há corrente. Porém se conectar as
extremidades do fio em uma bateria, o movimento das
cargas se dará em uma direção, havendo assim corrente
elétrica.
2) O fluxo de água através de uma mangueira de
jardim representam a direção do fluxo das cargas positivas,
(os prótons na molécula de água) a razão de alguns milhões
de Coulomb por segundo. Não há transporte de cargas, pois
há um movimento paralelo de cargas elétricas negativas
(elétrons na molécula de água) de exata quantidade na
mesma direção.
Figura 1 – Sentido convencional da corrente elétrica
num circuito elétrico. O sentido real é o oposto, o do movimento
dos elétrons.
q
dq
;i
dt
t
Sobre condições de regime estacionário, a
corrente elétrica é a mesma em um fio condutor,
analisando diferentes seções transversais do fio. Isto
garante que a carga é conservada. A unidade do SI
para corrente elétrica é o Coulomb por segundo ou
Ampére (A):
1 A 1C
i
1s
A direção da corrente elétrica: Na figura
acima demos a direção da corrente elétrica como
sendo o movimento de cargas positivas, repelidas
pelo terminal positivo da bateria elétrica e atraídas
pelo seu terminal negativo. Este é o sentido
convencional histórico; o sentido real é o do
movimento das partículas negativas (elétrons), que é
contrário ao sentido convencional.
 Densidade de corrente elétrica – J
Na teoria de campos, estamos interessados
em eventos que ocorrem em um ponto e não em uma
região extensa. Então, devemos conceituar a
densidade de corrente J , medida em ampéres por
metro quadrado (A/m2).
O incremento de corrente ΔI que atravessa
uma superfície incremental ΔS, normal à densidade
de corrente é:
I
JN S
 
J S
 
J dS
I
I
 Definição de Corrente Elétrica:
S
Imagine um fio condutor isolado, em forma de
curva, como ilustrado abaixo. Não há campo elétrico
aplicado ao fio, conseqüentemente não há força elétrica
atuando nos elétrons de condução. Se inserimos uma
bateria, conectada às extremidades do fio, estabelecemos
um campo elétrico no interior do fio, exercendo força sobre
os elétrons de condução, estabelecendo assim uma corrente
elétrica.
A densidade de corrente pode ser comparada
à velocidade de uma densidade de carga volumétrica:
I
Q
t
v
I
V
t
v
v
S
x
t
S vx
Como vx representa a componente da
velocidade v, teremos:
1
1
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Jx
v
v x
Generalizando, teremos:

J
v

v
Observe que a carga em movimento constitui a
corrente, que também chamamos de J como densidade de
corrente de convecção.
2
metro quadrado: A m 2 . Para qualquer superfície, a
densidade de corrente se relaciona com a corrente
através da equação:
 
J . dA
i
Aqui o elemento de área dA é perpendicular
ao elemento de superfície de área dA.
Cálculo da velocidade: Os elétrons de
condução em um condutor de cobre possuem um
movimento randômico com velocidade da ordem de
106 m s . A direção do fluxo ou a velocidade da
correnteza (drift speed) dos elétrons de condução é
muito menor. A velocidade de correnteza da corrente
em um fio de casa, por exemplo, é caracterizada por
Figura 2 – Ilustração do movimento dos portadores de carga
positivo (sentido convencional (a)) e sentido real (b). Observe que J e E
possuem o mesmo sentido.
Assim, algumas vezes estamos interessados na
corrente i de um determinado condutor. Outras vezes
necessitamos determinar o movimento localizado de cargas
em algum ponto do condutor. Uma carga positiva
movimenta-se na direção do campo elétrico em um dado
ponto do condutor, originando um fluxo. Para descrever
esse fluxo, introduzimos o conceito de densidade de
corrente J, um vetor que possui o mesmo sentido do campo
elétrico.
i
-
+
v
uma velocidade da ordem de 10 3 m s . Estimaremos a
velocidade de correnteza de um fio com cargas
móveis. Na figura anterior denotamos esta velocidade
por vd. Assumimos por convenção que o movimento
das cargas é o movimento das cargas (portadores)
positivas. O número de portadores em um
comprimento L de um fio é n A L, onde n é o número
de portadores por unidade de volume e A área da
seção transversal do fio. A carga é dada por:
q ( nAL ) e
Esta carga passa pelo volume V em um
intervalo de tempo dado por:
t Lv
d
Substituindo
elétrica, teremos:
i
na
q
t
nALe
L
vd
de
corrente
nAev d
Resolvendo para vd e usando a definição de
densidade de corrente J teremos:
i
J
vd
nAe
+
ne
Estendendo para
 a forma vetorial, teremos:
J
d
v
E
definição
d
J

(ne)vd
O produto ne possui unidade no SI de
coulomb por metro cúbico C 3 . Observe que os
m
vetores J e v possuem a mesma direção.
Vemos que as cargas positivas possuem
velocidade na direção do campo elétrico e as cargas
negativas no sentido oposto. Se possuirmos uma corrente
elétrica distribuída uniformemente sobre a seção
transversal de um fio condutor, a densidade de corrente J é
uma constante para todos os pontos deste fio condutor e
vale:
J i
A
Aqui, A é a área da seção reta do condutor. A
unidade SI da densidade de corrente J é o ampére por
Exemplo - O fim de um fio de alumínio com
diâmetro de 2,5 mm está conectado a um fio de cobre
cujo diâmetro é de 1,8 mm. O fio formado carrega
uma corrente estacionária de 1,3 A. Qual a densidade
de corrente em cada fio?
Para isso calculemos a área da seção
transversal dos fios de alumínio e cobre e apliquemos
a definição da densidade de corrente:
2
2
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AAl
1 d2
4
J Al
i
AAl
ACu
1 d2
4
J Cu
i
ACu
1 ( 2, 5.10 3 ) 2
4
1,3
4,9110
.
1 (1, 8.10 3 ) 2
4
1,3
2,54.10
5,1.105 A
6
superfície fechada é representada por Qi, então a taxa
de decaimento é dQi/dt e o princípio da conservação
de cargas requer que:
4, 9110
. 6 m2
2 , 6.105 A
6
m2
26 A
cm2
2, 54.10 6 m2
m2
51 A
M
S
massa / m3 ) . Aqui,
massa / mol
é
a densidade do cobre e NA o número de avogadro. M é a
massa molar do cobre.
 
J dS
n
(6,02.1023mol 1 )(9,010
. 3 kg m3)
64.10 3 kg mol
8, 47.1028 eletrons
m3
5110
,. 5
28
(8,47.10 )(1,610
. 19 )
3, 8.10 5 m s 14 cm
h
Você pode perguntar: "Os elétrons se movem tão
vagarosamente, como a luz se acende logo que
imediatamente que acionamos o interruptor?". Esta
confusão é de não distinguirmos a velocidade da correnteza
dos elétrons e a velocidade a qual muda a configuração do
campo elétrico no fio. Esta velocidade é próxima a da luz.
Similarmente, quando você abre a torneira em uma
mangueira de jardim, se esta contiver água, imediatamente
sairá água na outra extremidade, devido à pressão, porém a
velocidade da correnteza é pequena.
vd
i
nAe
J
ne
 Continuidade de corrente
É importante relacionar o conceito de corrente
com a conservação da carga e a equação da continuidade.
O princípio da conservação da carga informa que as cargas
não podem ser criadas nem destruídas, embora quantidades
iguais de cargas positivas e negativas possam ser
simultaneamente criadas (por separação), perdidas ou
destruídas (pela recombinação).
A equação da continuidade segue este princípio
quando consideramos qualquer região limitada por uma
superfície fechada. A corrente através dessa superfície
fechada é:
 
J dS
I
S
Este fluxo para fora das cargas positivas e
negativas pode ser equilibrado pela diminuição das cargas
positivas (ou talvez, um aumento das cargas negativas)
dentro da superfície fechada. Se a carga dentro da
 
J dV
S
V
Como:
Qi
t
t
v
v
dV
v
t
v
3
dV
Comparando as relações, teremos:
 
J dV
V
v
V
Então:
NA
M
dQi
dt
O sinal negativo indica que a corrente está
fluindo para fora. Aplicando o Teorema de Gauss:
cm2
O número de elétrons por unidade de volume n é o
mesmo que o número de átomo por unidade de volume e é
encontrado por:
3
( atomos / m
atomos / mol
 
J dS
I
Exemplo No exemplo anterior, qual a velocidade
de correnteza dos elétrons de condução no fio de cobre?
n
NA
3
 
J
t
dV
v
t
Recordando a interpretação física da
divergência, esta equação indica que a corrente, ou
variação de carga com o tempo, que diverge de um
pequeno volume por unidade de volume, é igual à
taxa de diminuição de carga por unidade de volume
em cada ponto.
 Condutores
Os físicos hoje descrevem o comportamento
dos elétrons ao redor do núcleo atômico positivo em
termos da energia total do elétron em relação ao nível
zero de referência para um elétron a uma distância
infinita do núcleo. A energia total é dada pela soma
das energias cinética e potencial, e como energia deve
ser dada ao elétron para que este se afaste do núcleo,
a energia de cada elétron no átomo é uma quantidade
negativa. Embora este modelo possua algumas
limitações, é conveniente associarmos estes valores
de energia com as órbitas ao redor do núcleo; as
energias mais negativas correspondem às órbitas de
menor raio. De acordo com a teoria quântica, somente
certos níveis discretos de energia, ou estados de
energia, são permitidos em um dado átomo, e um
elétron deve, portanto, absorver ou emitir quantidades
discretas de energia, ou quanta, ao passar de um nível
a outro. Um átomo normal na temperatura de zero
absoluto possui um elétron ocupando cada um dos
níveis de energia mais baixos, começando a partir do
núcleo e continuando até que o suprimento de
elétrons se esgote.
Em um sólido cristalino, como um metal ou
um diamante, os átomos estão dispostos muito mais
3
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próximos, muito mais elétrons estão presentes e muito mais
níveis de energia permissíveis estão disponíveis por causa
das forças de interação entre os átomos. Verificamos que
os níveis de energia que podem ser atribuídos aos elétrons
são agrupados em largas faixas, ou bandas, cada banda
composta de inúmeros níveis discretos extremamente
próximos.
Na temperatura de zero absoluto, o sólido normal
também possui cada nível ocupado, começando com o
menor e continuando até que todos os elétrons estejam
situados. Os elétrons com os maiores (menos negativos)
níveis de energia, os elétrons de valência, estão situados na
banda de valência. Se forem permitidos maiores níveis de
energia na banda de valência, ou se a banda de valência se
une suavemente com a banda de condução, então uma
energia cinética adicional pode ser dada aos elétrons de
valência por um campo externo, resultando em um fluxo de
elétrons. O sólido é chamado um condutor metálico. A
banda de valência preenchida e a banda de condução não
preenchida para um condutor a O K estão esboçadas na
figura 3 (a).
Se, contudo, o elétron com o maior nível de
energia ocupar o nível do topo da banda de valência e
existir uma banda proibida (gap) entre a banda de valência
e a banda de condução, então o elétron não pode receber
energia adicional em pequenas quantidades e o material é
um isolante. Esta estrutura de bandas está indicada na
figura 3 (b). Note que, se uma quantidade de energia
relativamente grande puder ser transferida para o elétron,
ele pode ser suficientemente excitado para saltar a banda
proibida até a próxima banda onde a condução pode
facilmente ocorrer. Aqui o isolante é rompido.
Ocorre uma condição intermediária quando
somente uma pequena região proibida separa as duas
bandas, como ilustrado na figura 3 (c). Pequenas
quantidades de energia na forma de calor, luz ou um campo
elétrico podem aumentar a energia dos elétrons do topo da
banda preenchida e fornecer a base para condução. Estes
materiais são isolantes que dispõem de muitas propriedades
dos condutores e são chamados semicondutores.
Considerando um condutor, os elétrons livres
se movem pela atuação de um campo elétrico E,
Assim, um elétron de carga –e experimentará uma
força dada por:

F

e E
No espaço livre, o elétron aceleraria e
continuamente aumentaria sua velocidade (e energia);
no material cristalino, o progresso do elétron é
impedido pelas colisões contínuas com a rede de
estruturas cristalinas termicamente excitadas e uma
velocidade média constante é logo atingida. Esta
velocidade v, é denominada velocidade de deriva (do
inglês, drift) e é linearmente relacionada com a
intensidade de campo elétrico pela mobilidade do
elétron em um dado material. Designamos mobilidade
pelo símbolo , tal que:

vd
e

E
onde e é a mobilidade de um elétron e positiva por
definição. Note que a velocidade do elétron está em
uma direção oposta à direção de E. A equação
anterior também mostra que a mobilidade é medida
em unidades de metros quadrados por segundo por
volt; os valores típicos são 0,0012 para o alumínio,
0,0032 para o cobre e 0,0056 para a prata.
Para estes bons condutores, uma velocidade
de deriva de poucas polegadas por segundo é
suficiente para produzir um aumento de temperatura
apreciável e pode causar o derretimento do fio se o
calor não for rapidamente removido por condução
térmica ou radiação.
Podemos obter a relação

J
e
e

E
onde e é a densidade de carga do elétron livre, um
valor negativo. A densidade de carga total v, é zero,
pois quantidades iguais de cargas positivas e
negativas estão presentes no material neutro. O valor
negativo de e, e o sinal de menos levam a uma
densidade de corrente J que está na mesma direção da
intensidade de campo elétrico E.
Contudo, a relação entre J e E para um condutor
metálico é também especificada pela condutividade
 (sigma), onde  é medido em siemens por metro
(S/m).

J
Figura 3 – Ilustração das bandas de energia em três diferentes
materiais a oK. (a) O condutor não possui banda proibida entre as bandas
de valência e de condução. (b) O isolante possui uma grande banda
proibida. (c) o semicondutor possui uma pequena banda proibida.
4

E
Um siemens (l S) é a unidade básica de
condutância no SI e é definido como um ampére por
volt. Antigamente, a unidade de condutância era
chamada mho e simbolizada por um
invertido.
Assim como o siemens reverencia os irmãos
4
4
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Siemens&, a unidade inversa de resistência, que chamamos
de ohm (l Ohm é um volt por ampere), reverencia Georg
Simon Ohm, o físico alemão que primeiro descreveu a
relação tensão-corrente implícita. Chamamos esta equação
deforma pontual da lei de Ohm; em breve veremos uma
forma mais comum da lei de Ohm.
Primeiramente, contudo, é interessante observar a
condutividade de diversos condutores metálicos; os valores
típicos (em siemens por metro) são 3,82.107 para o
alumínio, 5,80.107 para o cobre e 6,17 107 para a prata.
Dados de outros condutores podem ser encontrados no
Apêndice C. Ao observarmos valores como estes, é apenas
natural considerarmos que estamos sendo apresentados a
valores constantes; isto é essencialmente verdade. Os
condutores metálicos obedecem à lei de Ohm muito
fielmente, e esta é uma relação linear; a condutividade é
constante sobre largas faixas de densidade de corrente e
intensidade de campo elétrico. A lei de Ohm e os
condutores metálicos são também descritos como
isotrópicos, ou tendo as mesmas propriedades em todas as
direções. Um material não isotrópico é chamado
anisotrópico. Mencionaremos tal material dentro de poucas
páginas.
Entretanto, a condutividade é uma função da temperatura.
A resistividade, que é o inverso da condutividade:
Figura 4 – Uniformidade de E e J num condutor.
5
a
Va b
 
E dl

E
b
a

dl
b
 
E lab
Vab
Va b
 
E lb a
El
 
J dS
I
1
JS
S
Re sistividade
Como
varia quase linearmente com a temperatura na região da
temperatura ambiente, e para o alumínio, o cobre e a prata
ela aumenta cerca de 0,4 por cento para um aumento de l K
na temperatura. Para diversos metais, a resistividade cai
abruptamente a zero na temperatura de poucos Kelvin; esta
propriedade é denominada supercondutividade. O cobre e a
prata não são supercondutores, embora o alumínio o seja
(para temperaturas abaixo de 1,14 K).
Se agora combinarmos (7) e (8), a condutividade
podem ser expressa em termos da densidade de carga e da
mobilidade do elétron por:
e
J
Supondo uniformidade no campo, podemos
escrever:
Este é o nome de família de dois irmãos alemães, KarI Wilhelm e
Wemer von Siemens, famosos inventores do século XIX. Kari se tomou
cidadão britânico e foi nomeado cavaleiro, tomando-se Sir William
Siemens.
I
S
I
S
E
l
S
Vab
l
Vab
I
Chamamos de resistência R:
l
R
R
e
Pela definição de mobilidade, é agora interessante
notar que uma temperatura mais elevada implica uma
maior vibração da rede cristalina, maior impedimento de
progresso dos elétrons para uma dada intensidade do
campo elétrico, menor velocidade de deriva, menor
mobilidade, menor condutividade, maior resistividade.
&
5

R
S
l
S
Propriedades dos condutores e
Condições de Fronteira
Mais uma vez, devemos temporariamente nos
afastar das condições estáticas assumidas e variar o
tempo por alguns microssegundos para vermos o que
acontece quando uma distribuição de cargas é
repentinamente desbalanceada dentro de um material
condutor. Suponhamos, para efeito de argumento, que
repentinamente apareça um número de elétrons no
interior de um condutor. Os campos elétricos
estabelecidos por estes elétrons não são anulados por
quaisquer cargas positivas, e os elétrons, portanto,
começam a acelerar para longe um do outro. Isto
5
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continua até que os elétrons atinjam a superfície do
condutor ou até que um número igual de elétrons seja
injetado na superfície.
Aqui o progresso dos elétrons para fora é interrompido,
já que o material que envolve o condutor é um isolante que
não possui uma banda de condução conveniente. Nenhuma
carga pode permanecer dentro do condutor. Se isto
acontecesse, o campo elétrico resultante forçaria as cargas
para a superfície.
Assim, o resultado final dentro do condutor é uma
densidade de carga zero e uma densidade superficial de
carga que permanece na superfície externa. Esta é uma das
duas características de um bom condutor.
As outras características, estabelecidas para condições
estáticas nas qual nenhuma corrente deve fluir, seguem a
partir da lei de Ohm: a intensidade de campo elétrico
dentro do condutor é igual a zero. Fisicamente, vemos que
se um campo elétrico estivesse presente os elétrons de
condução se deslocariam e produziria uma corrente,
acarretando, assim, uma condição não-estática.
Resumindo para a eletrostática, nenhuma carga e
nenhum campo elétrico podem existir em qualquer ponto
dentro de um material condutor. Entretanto, a carga pode
aparecer na superfície como uma densidade superficial de
carga. Nossa próxima investigação diz respeito aos campos
externos ao condutor.
Desejamos relacionar estes campos externos à carga na
superfície do condutor. Este problema é um problema
simples e podemos tratar de sua solução primeiro com um
pouco de matemática.
Se a intensidade do campo elétrico externo for
decomposta em duas componentes, uma tangencial e outra
normal à superfície do condutor, a componente tangencial
é zero. Se não fosse, uma força tangencial seria aplicada
aos elementos de carga da superfície, resultando no seu
deslocamento e em condições não-estáticas. Como são
consideradas condições estáticas, a intensidade de campo
elétrico e a densidade de fluxo elétrico tangenciais são
zero.
A lei de Gauss responde nossas perguntas que dizem
respeito à componente normal. O fluxo elétrico que deixa
um pequeno incremento de superfície deve ser igual à
carga contida nesta superfície incremental. O fluxo não
pode penetrar no condutor, pois o campo total ali é zero.
Ele
deve
deixar
a
superfície
normalmente.
Quantitativamente, podemos dizer que a densidade de
fluxo elétrico em coulombs por metro quadrado que deixa
a superfície normalmente é igual à densidade superficial
de carga em coulombs por metro quadrado, ou:
DN = S.
Se
utilizarmos
alguns
dos
resultados
anteriormente obtidos para fazermos uma análise mais
cuidadosa (e incidentalmente introduzindo um método
geral que será usado mais tarde), podemos estabelecer a
fronteira condutor-espaço livre mostrando as componentes
tangencial e normal de D e E no lado do espaço livre da
6
fronteira. Ambos os campos são zero no condutor. O
campo tangencial pode ser determinado aplicando-se:
 
E dl
0 sobre o pequeno caminho fechado
abcda. A integral deve ser dividida em quatro partes.
Desenvolvendo, chegamos as condições de
Fronteira:
Componentes tangenciais:
Dt
Et
0
Componentes Normais:
DN
0
EN
S
Resumindo os princípios que aplicamos aos
condutores em campos eletrostáticos:
1. A intensidade do campo elétrico estático
dentro de um condutor é zero.
2. A intensidade do campo elétrico estático
na superfície de um condutor é, em qualquer ponto,
normal à superfície.
3. A superfície de um condutor é uma
superfície eqüipotencial.
Figura 5 – Um condutor, onde o campo elétrico é nulo
em seu interior,e normal em cada ponto de sua superfície.
6
6
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Materiais dielétricos
Embora tenhamos mencionado materiais isolantes
e dielétricos, ainda não fornecemos quaisquer relações
quantitativas nas quais eles estão envolvidos. Contudo, em
breve veremos que um dielétrico em um campo elétrico
pode ser visto como um arranjo de dipolos elétricos
microscópicos no espaço livre que são compostos por
cargas positivas e negativas cujos centros não são
coincidentes.
Estas não são cargas livres e não contribuem para o
processo de condução. Ao contrário, elas são ligadas por
forças atômicas e moleculares e podem apenas mudar
ligeiramente de posição em resposta aos campos externos.
Elas são chamadas cargas ligadas, em contraste com as
cargas livres que determinam condutividade. As cargas
ligadas podem ser tratadas como quaisquer outras fontes de
campo eletrostático. Se não desejarmos, portanto, não
precisamos introduzir a constante dielétrica como um novo
parâmetro ou lidar com permissividades diferentes da
permissividade do espaço livre; entretanto, a alternativa
seria considerar cada carga dentro de um pedaço de
material dielétrico. Este é um preço muito alto a ser pago
por usar nossas equações anteriores sem modificá-las, e
devemos, portanto, despender algum tempo estudando a
respeito de dielétricos de maneira qualitativa, introduzindo
a polarização P, a permissividade  e a permissividade
relativa R e desenvolvendo algumas relações quantitativas
envolvendo estas novas quantidades.
A característica comum de todos os dielétricos, sejam
eles sólidos, líquidos ou gasosos, em forma cristalina ou
não, é sua capacidade de armazenar energia elétrica. Este
armazenamento faz-se por um deslocamento das posições
relativas das cargas ligadas positivas e negativas internas
contra as forças normais atômicas e moleculares.
Este deslocamento contra a força restauradora é análogo
ao levantamento de um peso ou à compressão de uma mola
e representa a energia potencial. A fonte de energia é o
campo externo, e o movimento das cargas deslocadas
resulta talvez em uma corrente transitória através da bateria
que está produzindo o campo.
O mecanismo atual de deslocamento das cargas difere
em diversos materiais dielétricos. Algumas moléculas,
denominadas moléculas polares, têm um deslocamento
permanente entre os centros de gravidade das cargas
positivas e negativas, e cada par de cargas age com um
dipolo. Normalmente, os dipolos estão orientados de
maneira aleatória no interior do material e a ação do campo
externo alinha estas moléculas, até certo ponto, na mesma
direção. Um campo suficientemente forte pode até produzir
um deslocamento adicional entre as cargas positivas e
negativas.
Uma molécula apolar não possui arranjos de dipolo
mesmo depois que o campo é aplicado. As cargas positivas
e negativas deslocam-se em direções opostas contra sua
7
atração mútua e produzem um dipolo alinhado com o
campo elétrico.
Figura 6 – Moléculas com um momento de dipolo permanente,
mostrando sua orientação randômica na ausência de campo elétrico
externo (a) e orientando-se na presença deste em (b).
7
Figura 7 – Em um átomo, os centros da densidade de carga
positiva e negativa coincidem (a). Porém na presença de um campo
elétrico externo, não (b). Assim há a presença de um momento de
dipolo induzido.
Figura 8 – Em (a), num dielétrico, os círculos
representam átomos neutros. Em (b), na presença de um campo
elétrico externo E0. A orientação dos dipolos causam um campo
interno no material dielétrico E’ que no seu interior dará um campo
resultante E , soma dos vetores E0 e E’ (c).
Figura 9 – Orientação das moléculas polares (7.1) e
apolares (7,2).
(7.1)
(7.2)
7
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Definimos como momento de dipolo o valor:

Qd

p
Aqui, Q é a carga positiva das duas cargas ligadas
compondo o dipolo e d o vetor da carga negativa para a
carga positiva. A unidade é o Coulomb vezes o metro
(C.m).
Definimos a polarização P como sendo o
momento de dipolo por unidade de volume:

1 nv
P lim
pi
v 0
vi1
A unidades da polarização P é o coulomb por
metro quadrado (C/m2).
Sendo QT a carga total envolvida por uma
superfície S, como sendo a soma das cargas ligadas (Qb) e
cargas livres Q:
QT = Qb + Q
Onde:
 
P dS ; Qb
Qb
b
S
dV
V
e
 
E
dS ; QT
0
QT
T
Como
Q QT
dV
V
S
Qb
0

E
 
P dS
S
Onde
Q
v
dV
V
Definimos o vetor D, agora, quando um material
polarizável está presente, como:

D
 
E
P
0
Com o auxílio do teorema da divergência,
teremos:
 
P


E
0
 
D
b
T
v
Figura 10 – Cargas ligadas em um dielétrico, devido à
polarização deste em um campo elétrico.
8
Tabela I – Permissividade relativa e constante dielétrica
para alguns materiais.
Material
água (deionizada)
água (destilada )
Água (do mar)
Âmbar
Álcool etílico
Ar
Baquelita
Borracha
NaCl
CO2
TiO2
Esteatite
Ferrita (NiZn)
Gelo
Ge
Madeira (Seca)
Mica
Náylon
Neopreno
Neve
Óxido de Alumínio
Papel
Piranol
Plexiglas
Poliestireno
Polietileno
Polipropileno
Porcelana
Quartzo
SiO2
Si
Styrofoam
Teflon
Terra
TiBa
Vidro
Pyrex
R
1
80
2,7
25
1,0005
4,74
2,5 – 3
5,9
1,001
100
5,8
12,4
4,2
16
1,5 – 4
5,4
3,5
6,6
3,3
8,8
3
4,4
3,45
2,56
2,26
2,25
6
3,8
3,8
11,8
1,03
2,1
2,8
1200
4-7
4
’’/’
0
0,04
4
0,002
0,1
0,022
0,002
0,0001
0,0015
0,003
0,00025
0,05
8
0,01
0,0006
0,02
0,011
0,5
0,0006
0,008
0,0005
0,03
0,00005
0,0002
0,0003
0,014
0,00075
0,00075
0,0001
0,0003
0,05
0,013
0,002
0,0006
Tabela II – Condutividade para uma série de
condutores metálicos.
Material
Ag
Cu
Au
Al
W
Zi
Latão
Ni
Fe
Bronze
Solda
Aço carbono
Prata Germânica
Mn
Constantan
Ge
Aço sem estanho
Nicromo
 (S/m)
6,17.107
5,80.107
4,10.107
3,82.107
1,82.107
1,67.107
1,5.107
1,45.107
1,03.107
1.107
0,7.107
0,6.107
0,3.107
0,227.107
0,226.107
0,22.107
0,11.107
0,1.107
Material
Grafite
Si
Ferrita
H2O (mar)
Calcário
Argila
H2O
H2O(dest.)
Terra (areia)
Granito
Mármore
Baquelita
Porcelana
Diamante
Poliestireno
Quartzo
 (S/m)
7.104
2300
100
5
10-2
5.10-3
10-3
10-4
10-5
10-6
10-8
10-9
10-10
2.10-13
10-16
10-17
8
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Em materiais isotrópicos, os vetores E e P são
sempre paralelos, independentemente da orientação do
campo. Já em materiais anisotrópicos, como cristais
simples, a natureza periódica dos materiais cristalinos
fazem com que os momentos de dipolo estejam mais
facilmente ligados ao longo do eixo do cristal e não
necessariamente na direção do campo aplicado.
Em materiais ferroelétricos, a relação entre E e P
não é linear e apresenta efeitos de histerese; isto é, a
polarização produzida por uma dada intensidade do campo
elétrico depende do passado da amostra. São exemplos
deste tipo de dielétrico o titanato de bário, usado em
capacitores de cerâmica e o sal de Rochelle.
A relação linear entre E e P é dada por:

P
e

E
0
 
E dl

 
E P , teremos:


D
1 0E
e
Definimos outra grandeza adimensional, a
permissividade relativa ou constante dielétrica do material
como:
R = e +1
Assim:
R
 Condições de
dielétricos perfeitos:
2
 
D dS
0
S
DN1
DN 2
S
9
Como nenhuma carga livre está disponível
no interior de dielétricos perfeitos, somente cargas
ligadas:
DN1
DN1
D1 cos
Dt1
DN 2
D1sen
D2 cos
1
D1sen
D2 sen
Dt 2
2

E
Fronteira
1
Dt 2
Relações entre as componentes normais dos
meios (1) e (2):

0E
Sendo  a permissividade:
 = R 0
Teremos:

D
Dt1
Relações entre os ângulos 1 e 2:
Pode-se mostrar que:
0

D
Et 2
C
Aqui, e é uma grandeza adimensional denominada
susceptibilidade elétrica do material.
Como: D
Et1
0
9
1
1
2
2
D2sen
1
2
1
DN 2
2
Dividindo as duas relações:
para
tg
tg
materiais
1
1
2
2
As magnitudes dos
campos são dadas por:
Observe a
Figura 11 – Ilustração da fronteira ente dois meios com constantes
dielétricas 1 2.
D2
1
Meio dielétrico 1
DN2
1
2
D1 cos
2
sen2
2
1
1
1
ΔS
C
Et2
2
Et2
Meio dielétrico 2
DN2
2
E2
E1 sen
2
1
1
cos2
1
2
2
Relações entre as componentes tangenciais dos
meios (1) e (2):
9
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b) Se a velocidade da carga é 2.106 m/s em z
= 0,1 m, determine v nesse ponto.
André Marie AMPÉRE
Ampére, famoso físico francês, nasceu a 22 de
janeiro de 1775 e morreu a 10 de junho de 1836. Tornou-se
célebre, particularmente pelo contribuiu que deu para a
descoberta de Öersted (unidade de intensidade do campo
magnético), sobre o eletromagnetismo. Generalizando esta
descoberta reconheceu, em1820, que sem a intervenção de
magneto dois fios percorridos pela eletricidade atuam um
sobre o outro, e indicou, em 1822, o emprego da pilha para
transmissão dos despachos, descobrindo assim, o princípio
da telegrafia elétrica.
Os trabalhos desenvolvidos no campo da
matemática também lhe granjearam grande reputação.
Exemplos - Hayt
 Exemplo 1 – Dado o vetor densidade de
corrente:

J 10 2 zaˆ
4 cos2 aˆ A m2 :
(a) Determine a densidade de corrente em
P( = 3,  = 300, z = 2);
(b) Determine a corrente total que flui para fora da
faixa circular  = 3, 0 <  < 2 , 2 < z < 2,8.
(a)

J 10 32 2aˆ

J 180aˆ
(b)
I
10

J
v

v
106 0,11,5
2 106
J
v
v
15,81kC m2
(c) Se a densidade volumétrica de carga em z
= 0,15 m é 2000 C/m3, determine a velocidade da
carga nesse ponto.

J
v

v
10
106 0,151,5
2000
J
v
v
29.047 ms
 Exemplo 3 – Determine a magnitude da
densidade de corrente de uma amostra de prata para a
qual  = 6,17.107 S/m e μe = 0,0056m2/V se:
(a) a velocidade de deriva é 1,5μm/s.

J
4 3cos2 300 aˆ A m2
e
v

v
e
6,17 107
0,0056
e
e
9aˆ A m2
 
J dS
1,102 101 0
10
J 1,102 10 1,5 10 6 16,52kA m2
(b) A intensidade do campo elétrico é
1mV/m.
S
I
10
2
zaˆ
4 cos2 aˆ
J
d dzaˆ
E
J
6,17 107 10 3
61,7 mkA2
S
2.82
I
10
2 0
3
z2
zd dz 10 3
2
2.8
3
2
3257 ,2 A
(c) a amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
tendo uma tensão de 0,4 mV entre as faces opostas.
2
 Exemplo 2 – Uma densidade de corrente
é dada em coordenadas cilíndricas por:

J
10 6 z1,5aˆ z A m2 na região 0    20
 
2
μm; para   20 μm, J 0 A m .
I
106 z1,5aˆ z
0,4 10
2,5 10
3
3
9,87 MA
m2
J
I
S
0,5
2,5 10
3 2
80 mkA2
d d aˆ z
 Exemplo 4 – Um condutor de cobre de
0,6 in de diâmetro e comprimento 1200 ft. Suponha
que ele conduz uma corrente total de 50 A.
(a) Determine a resistência total do condutor.
d
R
S
I
6,17 10 7
(d) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado
conduzindo uma corrente total de 0,5 A.
(a) Determine a corrente total que atravessa a
superfície z = 0,1 m na direção az.
 
J dS
V
l
J
S
20
I
10 6 z1,5
2
d
0
0
2
I
6
2
2
0
1200 0,3048
5,8 10 7 4 0,6 0,0254
2
0,03
(b) Que densidade de corrente existe nele?
20
1,5
10 0,1
l
S
39,7mA
J
I
S
50
1,824 10
4
2,74 105 mA2
10
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
11
(c) Qual a diferença de tensão entre os terminais
do condutor?
J
V
l
V
1200 0,3048 2,74 105
5,8 10 7
lJ
1,729V
5
(d) Quanta potência é dissipada no fio?
P
RI
2
L = -40nC/m
z
 Exemplo 5 – Dado o campo Potencial no espaço
livre:
V 100senh5xsen5 y V
-1
E um ponto P(0,1; 0,2; 0,3), determine em P:
(a) V.
L = 40nC/m
V (0,1;0,2;0,3) 43,84 V

E

E

E

E

E

E
2
(2, 3, z)

V
V
aˆ x
x
V
aˆ y
y
1005cosh5xsen5 yaˆx 5senh5x cos5 yaˆ y
500cosh5xsen5 yaˆx senh5x cos5 yaˆ y
x = 4 (V =0)
6
7
(6, 3, z)
x
P(x, y, z)
5000,948aˆx 0,2815aˆ y
474aˆx 140,8aˆ y
Cálculo do campo:

EP

E1P
(c) |E|,

E
474
2
140,8
2
495V m
(d) |s|, se é sabido que P pertence à superfície do
condutor.
S
11
y
V (0,1;0,2;0,3) 100 senh(5.0,1)sen(5.0,2)
(b) E.
3
DN
0
E
aˆ

E2P
aˆ 1
L
2
0
1
x 6
1
x 6
4.38 nC m2
 Exemplo 6 – Um plano perfeitamente condutor
está localizado no espaço livre em x = 4 e uma linha de
cargas uniforme de 40 nC/m está situada ao longo da linha
x = 6, y = 3. Seja V = 0 no plano condutor. Em P(7, -1, 5),
determine:

E1P
2
y 3
x 6
1

E1
L
2
0
2
y 3
aˆ x
x 6
2
y 3
x 6
aˆ
2
2 x
x 6
y 3
2
2
y 3
2
2
y 3
x 6
2
2
y 3
2
aˆ y
Potencial:
P
(a) V.
V1P
V1x
(b) E.
 
E1 dl
x 4
P
V1P
V1x
 
E1 dl
x 4
V1P
0
L
2
ln x 6
2
y 3
2 ( 7, 1,5)
( 4, y , z )
0
11
aˆ y
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
L
V1P

E1 (7, 1,5)
ln 17 ln 4
2
7 6
2
7 6
0
1 3

E1 (7, 1,5)
2
2
0
2
7 6
2
1 3
aˆ y

E2 (7, 1,5)
16
aˆ y
17
40 n 1
aˆ x
2 0 17
VP
2
1 3
aˆ x
1
aˆ x
17
L

E1 (7, 1,5)
aˆ
aˆ
L
2
0
2
16
aˆ y
17
2
x 2

E2
2
0
2
x 2
y 3
2
2
x 2
2
y 3
aˆ y
2
y 3
x 2
2
P
V2 x
y 3
2
aˆ y


E 2 dl
x 4
V2 P
L
V2 x
V2 P
2
2
2
ln 41 ln 4
2
ln 41 ln 4
y 3
2
ln 41 ln 4
y 3
2
L
2
1
aˆ x
41
16
aˆ y
41
40 n 1
aˆ x
2 0 41
16
aˆ y
41
L
2
0
2
1 3
2 32
V1P
12

E1P

E2P
1
16
1
16
aˆ x
aˆ y
720
aˆ x
aˆ y
17
17
41
41
1 1
16 16
720
aˆ x 720
aˆ y
17 41
17 41

EP 24,79aˆ x 396,67aˆ y CN
720
 Exemplo 7 – Usando os valores para as
mobilidades do elétron (0,12) e da lacuna (0,025)
para o silício a 300K, e assumindo que as densidades
de carga dos elétrons e das lacunas são 0,0029 C/m3 e
-0,0029 C/m3, respectivamente, determine:
(a) A componente da condutividade devida
às lacunas.
2
h
h
h
0,0029 0,025
h
7,25 10 5 S m
(b) A componente da condutividade devida
aos elétrons.
e
e
V2 P
ln 17 ln 4
ln 41 ln 4
e
e
0,0029 0,12
3,48 10 4 S m
(c) a condutividade.
y 3
y 3
0
VP
aˆ y
1
16
720
aˆ x
aˆ y
41
41
2
h
e
7,25 10
5
3,48 10
4
4,205 10 4 S m
0
L
2
7 2
2
0
VP
VP
y 3
0
L
V2 P
2 ( 7, 1,5)
( 4, y , z )
1 3
aˆ x
0
L
V2 P
y 3
2 32
0
L
0
2
ln x 2

EP

EP
2
y 3
aˆ x
2
Potencial:
V2 P
1 3

EP
2
y 3
aˆ x
2
x 2
L
2

E2 (7, 1,5)
x 2
2
7 2

E 2 (7, 1,5)
2
y 3
0

E2 (7, 1,5)
2
x 2
2
7 2
L

1
16
E1 (7, 1,5) 720
aˆ x
aˆ y
17
17

E2 P
41
720ln
17
633,85V
VP
0
L
2
2
y 3
12
L
2
VP
ln 41 ln 17
0
L
2
ln
0
41
17
2
 Exemplo 8 – Uma lâmina de um material
dielétrico tem uma constante dielétrica relativa de 3,8
e contém uma densidade de fluxo elétrico uniforme
de 8 nC/m2. Se o material é sem perdas, determine:
(a) E;
12
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

D

E
D
E
D
0 R
E

D1
8n
8,85 10 12 3,8
2
30

D1
237,88V m
13
2
50
702
91,1 nC m2
(e) 1;
(b) P;

 
D 0E P
 

P D 0E


P
e 0E
R
e
1
R

1) 0 E
P (
R
1) 0E
e
R
1
(f) P1.
P 3,8 1 8,85 10 238
P 5,89 mnC2

D1
P
P
pi
pi
i 1
1
V
1
V
5,89 1020m
30aˆx 50aˆ y 70aˆz nC m2 e determine:
(a) DN1;
Como a componente normal no plano z = 0 é a z,
teremos:
DN1
30aˆx 50aˆ y nC m2
(c) D t1;

Dt1

Dt1
(d) D1;
30

1 0 E1
 1 
E1
D1
1

1 0 D1
R1

P1

P1

P1

P1
1
D1
R1
R1
3,2 1 
D1
3,2

0,6875 D1
20,6aˆx 34,4aˆ y
48,1aˆz nC m2
 Exemplo 10 – Continue o exercício anterior,
determinando:
(a) DN2;
DN1
DN 2

DN2
70aˆz nC m2
(b) Dt2;
70 nC m2
(b) Dt1;
Como as componentes tangenciais no plano z = 0
são as x e y, teremos:

Dt1
R1
1
3
 Exemplo 9– Considere a região z < 0 composta
por um material dielétrico uniforme para o qual R = 3,2,
enquanto que a região z > 0 é caracterizada por R = 2,0.
Seja:

D1

E
R1
1 1

P1
1
pi
V
1
5,89 n
V 10 2 9
1
1;
R1
13

E
0 1
e1

P1
(c) o número médio de dipolos por metro cúbico
se o momento de dipolo médio é de 10-29C.m.
N

P1
e1
12
Dt1
D1
58,3
arcsen
91,1
0
39,8
1
1

P (
1
V
arcsen
1
2
50
2
58,3 nC m
2
Dt1
1
Dt 2
2
Dt 2
2
Dt1
1

Dt 2
R2

Dt1
R1

Dt 2
R2

Dt1
R1
13
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Dt 2

Dt2
2
3,2
Componentes Eletrônicos:
50aˆ y
Podemos
eletrônicos como:
18,75aˆx 31,25aˆ y nC m
2
(c) D2;

D2
30aˆ x

D2

Dt 2

DN2

P2

P2

P2
2 1
D2
2
9,38aˆx 15,63aˆ y
1.1 – Lineares: Capacitores, Resistores e
Indutores
arccos
1.2 – Não Lineares: Diodos.
35aˆz nC m
2. Componentes Ativos.
DN 2
A tensão de saída depende da de entrada e de
parâmetros internos do componente.
Citamos os transistores e as válvulas.
D2
70
arccos
78,91
0
2
14
2
(e) 2.
2
componentes
1. Componentes Eletrônicos Passivos.
Subdividem-se em:
R2
2
os
2. Componentes Ativos.
70aˆz nC m2
1
D2
R2
classificar
1. Componentes Passivos.
18,75aˆx 31,25aˆ y
(d) P2;
14
27,5
Capacitores:
Podemos armazenar energia potencial de
diversas formas: comprimindo um gás, em uma
mola comprimida, etc. Podemos também armazenar
energia potencial elétrica em um campo elétrico, e
um capacitor é um dispositivo para tal fim.
O capacitor é uma bateria portátil, operando
com uma determinada energia, que leva um grande
tempo para acumular energia, porém descarrega
rapidamente.
Capacitores são muito utilizados em
eletrônica e microeletrônica, atuando como
armazenadores de energia potencial. Eles são
elementos vitais em circuitos (transmissores e
receptores de aparelhos de rádio e TV).
(a)
(b)
Figura 10 – (a) Capacitores. (b) Definição de capacitor.
14
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
15
11.2 - (a) Capacitor plano e ligado a uma bateria.
Diagrama representativo do circuito (b).
Capacitância:
Capacitores são encontrados em muitas formas e
tamanhos diferentes. Os mais comuns são os capacitores
de placas paralelas, consistidos de duas placas paralelas
condutoras de área A separadas por uma distância d. O
símbolo utilizado para o capacitor
é baseado na
estrutura do capacitor de placas paralelas e é usado para
capacitores de quaisquer simetrias. Na região entre as
placas do capacitor, é preenchido por um dielétrico, um
material isolante como o óleo ou plástico. Quando não há
o preenchimento de material entre as placas, a
permissividade dielétrica é a mesma do vácuo:
0
15
8, 8510
. 12 ( SI )
Em 1837 Michael Faraday descobriu que quando
um capacitor é preenchido por um dielétrico, sua
capacitância aumenta por um fator k, chamado constante
dielétrica.
Quando um capacitor é carregado, suas placas
possuem sinais +Q e -Q, respectivamente. Referimos
então a um capacitor de carga elétrica Q. Devido as placas
serem condutoras, elas são superfícies equipotenciais:
Todos pontos sobre a placa estão em um mesmo
potencial. Há uma diferença de potencial elétrico entre as
duas placas. Simbolizamos esta diferença por V.
A carga Q e a diferença de potencial V em um
capacitor são proporcionais, onde a constante de
proporcionalidade é chamada de capacitância eletrostática
C:
Q C .V
A unidade SI da capacitância é o faraday (F) :
1 farad = 1 F = 1 coulomb por volt = 1 C/ V
Para se carregar um capacitor, precisamos
conectá-lo com uma bateria, conforme mostra o esquema
abaixo:
O capacitor permanece descarregado até conectá-lo
com a bateria B ligando a chave S, o que completa o
circuito. Com o passar do tempo as placas do
capacitor terão uma carga +Q e -Q, e estarão a uma
diferença de potencial V. Uma vez que esta
diferença de potencial é estabelecida entre as placas
do capacitor, a corrente cessa e o capacitor estará
completamente carregado.
Cálculos de capacitância:
a) Capacitor de placas paralelas:
Figura 12 – Capacitor de Placas Paralelas (a) e linhas
de força do campo elétrico (b).
Figura 11 – 11.1 - (a) Capacitor plano e efeitos de borda (b).
A diferença de potencial entre as placas é:
 
E dl
V
C
Q
; E. dA
V
C
E.L
Q
Q
0
0
EA
A
0 d
Se preenchido com um dielétrico de permissividade :
C
C
A
d
A
R 0 d
15
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16
capacitores por um capacitor equivalente que é um
capacitor que possui a mesma capacitância que o
circuito equivalente.
b) Capacitor cilíndrico:
Figura 13 – Capacitor cilíndrico.
1) Capacitores em paralelo:
Nesse esquema vemos um conjunto de
capacitores associados em paralelo a uma bateria.
Figura 15 – Associação de capacitores em paralelo.
Q
Q
Q
r
S a
E
V
1
+Q
C
2
Vab
2
2
3
r
ln rba
-
+
V
L
0 ln( rb )
r
a
Preenchido com dielétrico de permissividade :
:
L
r
ln( rb )
C 2
V
C
0
C
16
eq
C
V
3
C
1
V
0
s ra
-Q
Os terminais da bateria são ligados
diretamente às placas dos três capacitores. Como a
bateria mantém a diferença de potencial V entre os
terminais, ela aplica a mesma diferença de potencial
entre os terminais dos capacitores.Vemos que:
a
c) Capacitor Esférico:
Q1
Figura 14 – Capacitor esférico
C1V ; Q2
C2V ; Q3
Q
Q1 Q2
Q3
n
Q
V
Ceq
C3V
Ceq
C1 C2
C3
Ceq
Cj
j 1
Ou seja, em uma associação de capacitores
em paralelo, a capacitância equivalente é a soma das
capacitâncias. A carga total é a soma das cargas e a
ddp se mantém constante.
2) Capacitores em série.
2
S a
2
0
r
r
E
2
s a
r
Va b
0
C
4
A figura abaixo mostra 3 capacitores
conectados em série a uma bateria:
Figura 16 – Associação de capacitores em série.
V
rb ra
rb ra
1
2
C
1
-Q +Q
4
-
V
-Q +Q
C
eq
-Q +Q
+
V
Observamos
V1
Podemos ter em um circuito associação de
capacitores distinta, em algumas vezes pode substituir os
V
C
3
V
ra rb
rb ra
Associação de capacitores:
3
C
2
-Q +Q
ra rb
0 rb ra
Com dielétrico de permissividade :
C
V
Q
;V
C1 2
Q
;V
C2 3
que:
Q
C3
V
V1 V2 V3
n
1
C eq
1
C1
1
C2
1
C3
1
C eq
Cj
1
j 1
16
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Veja que, a carga total é a mesma em cada
capacitor e a ddp no capacitor equivalente é a soma de cada
ddp em cada capacitor de uma associação em série.
 Capacitores comuns
Apresenta-se com tolerâncias de 5 % ou 10 %.
Capacitores são freqüentemente classificados de acordo
com o material usados como dielétrico. Os seguintes tipos
de dielétricos são usados:
cerâmica (valores baixos até cerca de 1 μF)
o C0G ou NP0 - tipicamente de 4,7 pF a 0,047 uF,
5 %. Alta tolerância e performance de temperatura.
Maiores e mais caros
o X7R - tipicamente de 3300 pF a 0,33 uF, 10 %.
Bom para acoplamento não-crítico, aplicações com timer.
o Z5U - tipicamente de 0,01 uF a 2,2 uF, 20 %.
Bom para aplicações em bypass ou acoplamentos. Baixo
preço e tamanho pequeno.
poliestireno (geralmente na escala de picofarads)
poliéster (de aproximadamente 1 nF até 1000000 μF)
polipropilêno (baixa perda. alta tensão, resistente a
avarias)
tântalo (compacto, dispositivo de baixa tensão, de até
100 μF aproximadamente)
eletrolítico (de alta potência, compacto mas com
muita perda, na escala de 1 μF a 1000 μF)
Propriedades importantes dos capacitores, além de sua
capacitância, são a máxima tensão de trabalho e a
quantidade de energia perdida no dielétrico. Para
capacitores de alta potência a corrente máxima e a
Resistência em Série Equivalente (ESR) são considerações
posteriores. Um ESR típico para a maioria dos capacitores
está entre 0,0001 ohm e 0,01 ohm, valores baixos
preferidos para aplicações de correntes altas.
Já que capacitores têm ESRs tão baixos, eles têm a
capacidade de entregar correntes enormes em circuitos
curtos, o que pode ser perigoso. Por segurança, todos os
capacitores grandes deveriam ser descarregados antes do
manuseio. Isso é feito colocando-se um resistor pequeno de
1 ohm a 10 ohm nos terminais, isso é, criando um circuito
entre os terminais, passando pelo resistor.
Capacitores também podem ser fabricados em aparelhos de
circuitos integrados de semicondutores, usando linhas
metálicas e isolantes num substrato. Tais capacitores são
usados para armazenar sinais analógicos em filtros
chaveados por capacitores, e para armazenar dados digitais
em memória dinâmica de acesso aleatória (DRAM).
Diferentemente de capacitores discretos, porém, na maior
parte do processo de fabricação, tolerâncias precisas não
são possíveis (15 % a 20 % é considerado bom).
 Identificação do valor no capacitor cerâmico
Os capacitores cerâmicos, apresentam impressos no
próprio corpo, um conjunto de três algarismos e uma letra.
Para se obter o valor do capacitor, os dois primeiros
17
algarismos, representam os dois primeiros digitos do
valor do capacitor e o terceiro algarismo (algarismo
multiplicador), representa o número de zeros à direita,
a letra representa a tolerância (podendo ser
omitida)do capacitor (faixa de valores em que a
capacitância variará)para os capacitores cerâmicos até
10pF é expressa em pF os acima de 10pF é expressa
em porcentagem. O valor é expresso em pF. Por
exemplo um capacitor com 224F impresso no próprio
corpo, possuirá uma capacitância de 220000pF com
uma tolerância de +/- 1% (seu valor pode ser um
porcento a mais ou a menos desse valor).
17
 Aplicações
Capacitores são comumente usados em fontes de
energia onde elas suavizam a saída de uma onda
retificada completa ou meia onda.
Por passarem sinais de Corrente Alternada mas
bloquearem Corrente Contínua, capacitores são
freqüentemente usados para separar circuitos
Corrente alternada de corrente continua. Este método
é conhecido como acoplamento AC.
Capacitores também são usados na correção de
fator de potência. Tais capacitores freqüentemente
vêm como três capacitores conectados como uma
carga trifásica. Geralmente, os valores desses
capacitores não são dados pela sua capacitância, mas
pela sua potência reativa em var.
 História
A Jarra de Leyden, primeira forma de capacitor,
fora inventada na Universidade de Leyden, na
Holanda. Era uma jarra de vidro coberta com metal.
A cobertura interna era conectada a uma vareta que
saia da jarra e terminava numa bola de metal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Capacitor
 Energia Armazenada em um campo elétrico.
Imagine um capacitor descarregado e que
devemos transferir elétrons de uma placa à outra. O
campo elétrico na região entre as placas tende a se
opor à esta transferência. Devemos realizar
trabalho para que possamos acumular carga no
capacitor. Este trabalho para carregar um capacitor
está na forma de energia potencial elétrica U no
campo entre as placas.
O trabalho requerido para deixar o capacitor
carregado a uma carga Q é dado por:
dW V dQ
Q
dQ
C
17
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Depois da chave S fechar, os capacitores
terão a mesma ddp: V=1,79 V. A energia potencial
final será de:
Q
W
1
q dQ
C0
dW
Uf
Q2
2C
W
Pode-se encontrar as seguintes relações para a
energia potencial armazenada entre as placas de um
capacitor:
U
Q2
2C
1 CV 2
2
Também podemos encontrar a densidade de
energia u entre as placas do capacitor, dada pela razão da
energia armazenada e o volume:
U
Ad
u
C V2
2 Ad
Lembrando que para um capacitor de placas
0A
e o campo E é dado por: E=V/d,
d
paralelas, C
teremos:
1 E 2 (Densidade de Energia)
2 0
u
 Exemplo 11 - Um capacitor C1 de capacitância
3,55 mF é carregado com uma ddp de V0=6,3 V usando
uma bateria de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é
conectado a um capacitor C2 descarregado de capacitância
C2 = 8,95 mF como mostra a figura abaixo. Quando a
chave S é fechada, a carga de C1 flui para C2 até que
ambos os capacitores estejam a mesma diferença de
potencial V. Qual será esta ddp?
S
Q
0
C
2
A carga original q0 é agora parte dos 2
capacitores:
Q0 Q1 Q2 Mas q=CV. Então:
C1V
C2V
V
V0
C1
C1 C2
6, 3
3,55
3,55 8,95
1, 79V
 Exemplo 12 - No exemplo anterior, qual será a
energia potencial do sistema de 2 capacitores antes e
depois da chave S fechar ?
Inicialmente o capacitor C1está carregado e possui
uma energia potencial. Sua ddp é V0= 6,3 V. A energia
potencial inicial é:
Ui
1C V2
2 10
1C V2
2 1
1C V2
2 2
6 .1, 792
1 ( 3, 5510
.
2
6 .1, 792 )
8, 9510
.
2.10 5 J
1 ( 3, 5510
. 6 )(6, 32 ) 7, 04.10 5 J 70, 4 J
2
20 J
Observe que Ui > Uf , cerca de 72 %. Isto
não é uma violação ao princípio da consevação da
energia. A energia perdida aparece da forma de
energia térmica perdida pelos fios que fazem a
conexão dos capacitores.
Lembramos que quando um capacitor está
preenchido com um dielétrico, sua capacitância
aumenta de um fator k, denominado constante
dielétrica do material introduzido. Pode-se escrever:
C
C0
Onde C0 é a capacitância medida quando o
dispositivo (capacitor) não está preenchido por
nenhum dielétrico. A tabela a seguir ilustra valores
da constante dielétrica para alguns materiais:
Tabela III – Constante dielétrica relativa de alguns
materiais.
Material
Constante
dielétrica k = R
Ar (1 atm )
Papel
Óleo transformado
Porcelana
Silício
Água (20 C)
Germânio
1,00054
3,5
4,5
6,5
12
80,4
16
Para o vácuo, k=1,0
C
1
C1V0
18
 Exemplo 13 – Determine a permissividade
relativa do material dielétrico presente em um
capacitor de placas paralelas se:
(a) S = 0,12 m2, d = 80 μm, V0 = 12 V e o
capacitor contêm 1μJ de energia.
C
A
d
CV02
2WE 2 10
C
2
V02
122
C 13888 ,88 pF
A
dC
C
R 0
R
d
0A
6
WE
R
80 10 61,3888 10
8,85 10 1 2 0,12
8
1,046
18
18
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b) A densidade de energia armazenada é de 100
J/m2, V0 = 200 V, d = 45 μm.
CV02
2
WE
2WE
V02
C
2,25 10 7
8,85 10 12
R
0
1 2
A
d
2 45 10 6100
200 2
2dWE
V02 A
C
2,25 10
7 F
m
s
s
E
10
8,85 10
0
20 10 6
200 103
10
10 F
m

11,29
12
(a) um cabo coaxial de 1 ft de comprimento de 35
B/U, que possui um condutor interno de 0,1045 in de
diâmetro, um dielétrico de polietileno ( R = 2,26) e um
condutor externo de 0,680 de diâmetro interno.
C 2
C
L
ln(b a )
L
R 0 ln(b a )
2
C 2 2,26 8,85 10 12 ln(0,680,30
0,1045)
C
20,13 pF
(b) uma esfera condutora de raio 2,5 mm coberta
com uma camada de polietileno de 2mm de espessura,
envolvida por uma esfera condutora de 4,5 mm de raio.
ra rb
rb ra
C
4
C
4
C
4 2,26 8,85 10 12 44,,55 22 10
C 0,9 pF
ra rb
R 0 rb ra
3
(c) duas placas retangulares condutoras, 1 cm por
4 cm, de espessura desprezível, entre as quais há três
camadas de dielétricos de 1cm por 4 cm cada, de 0,1 mm
de espessura, tendo constantes dielétricas de 1,5, 2,5 e 6.
C
3 2
1,5 2,5 6
8,85 10 1 210 2 4 10
1,5 2,5 1,5 6 6 2,5
0,1 10 3
2
C 0,8108 3,54 10 11
28,7 pF
 Exemplo 15 – Um cilindro condutor com 1
cm de raio e no potencial de 20V é paralelo a um
plano condutor que tem potencial zero. O plano está 5
cm distante do eixo do cilindro. Se os condutores
estão mergulhados em um dielétrico perfeito para o
qual R = 4,5, determine:
(a) a capacitância por unidade de
comprimento entre o cilindro e o plano.
(b) Smax no cilindro.
Resistência Elétrica:
Exemplo 14 – Determine a capacitância de:
1
C
1 3
C
10
R
A
d
0
25423,7
(c) E = 200kV/m, S = 20μC/m2 e
d = 100 μm
E
1 2 3
C
19
1
1
1
C1 C2 C3
C1C2C3
C1C2 C1C3 C3C2
Se aplicarmos a mesma diferença de
potencial em extremidades de um pedaço de cobre e
em vidro, verificamos diferentes correntes. Essa
característica do condutor é denominada de
resistência elétrica. Determinamos a resistência
elétrica de um condutor entre dois pontos aplicando
uma diferença de potencial V entre esses pontos e
medimos a corrente i resultante. A resistência R é
dada por:
R V
I
A unidade SI de resistência elétrica é dada
pelo Volt por Ampére, denominada Ohm ( ).
1V .
1
1A
Um condutor cuja função em um circuito é
fornecer certa resistência à passagem de corrente é
denominado de resistor. Representamos um resistor
em um diagrama pelo símbolo .
Definimos a resistividade de um condutor
como a razão entre o campo elétrico aplicado ao
condutor e a densidade de corrente J:
E
J
A unidade de resistividade no SI é o volt por
metro (V/m) e também o Ohm vezes metro ( .m).
Propriedades físicas de alguns materiais
variam com a temperatura, e a resistividade também
se comporta dessa maneira. Para o cobre e alguns
metais em geral, a resistividade possui o seguinte
comportamento com a temperatura:
0
0
(T T0 )
19
19
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Aqui, T0 é uma temperatura de referência, em
geral é escolhida T0= 293K, é o chamado coeficiente de
resistividade.
A tabela abaixo ilustra alguns valores de
resistividade a temperatura ambiente (20 C) para alguns
materiais.
Tabela IV – Resistividade de alguns materiais.
Material
Resistividade
R( .m).
Coeficiente
de
resistividade
( K 1)
Metais Típicos
Cobre
1, 69.10 8
4 , 3.10 3
Alumínio
2, 75.10 8
4, 4.10 3
Tungstênio
5, 25.10 8
4 , 5.10 3
Ferro
9 , 68.10 8
6, 5.10 3
Platina
10, 6.10 8
Semicondutores
típicos
3, 9.10 3
Silício puro
2, 5.103
7010
. 3
Silício tipo p
8, 7.10 4
Silício tipo n
2 , 8.10 3
Isolantes
Típicos
1010 1014
1016
Vidro
Quartzo
20
A Lei de Ohm:
Dissemos que um resistor é um condutor
com uma específica resistência. Isto significa que ele
tem a mesma resistência se a magnitude e direção
(polaridade) de uma diferença de potencial aplicada
forem mudadas. Alguns resistores dependem dessa
diferença de potencial aplicada. Quando um resistor
não depende da ddp aplicada em seus terminais e o
comportamento gráfico de V em função da corrente
for uma reta, como mostra a figura abaixo, dizemos
que ele obedece à Lei de Ohm V=RI.
Observe que quanto maior a inclinação da
reta, tanto maior a resistência elétrica, pois R= tg .
Figura 17 –Comportamento Ôhmico (a) e resistência
em um condutor (b).
Podemos escrever também
 a relação:
E
.J
para um material dito isotrópico, ou seja, que não varia
suas propriedades elétricas com as diversas direções.
Se nós conhecemos a resistividade de uma
substância, podemos encontrar sua resistência. Seja A área
da seção reta de um condutor e L seu comprimento.
Podemos encontrar as seguintes relações entre o campo
elétrico e a densidade de corrente neste condutor:
E
V ;J
L
i
A
E
J
V
L
i
A
Lembrando que V/I é a resistência do material,
teremos:
R
L
A
Vemos que a resistência em um condutor é
inversamente proporcional à sua área de seção reta e
diretamente proporcional à resistividade e ao seu
comprimento.
Um dispositivo condutor obedece à Lei de
Ohm quando sua resistência é independente da
magnitude e polaridade do potencial elétrico aplicado.
Um material condutor obedece à Lei de Ohm quando
sua resistividade é independente da magnitude e
direção do campo elétrico aplicado.
O modelo utilizado para analisar o processo
de condução nos materiais condutores é o modelo do
elétron livre, no qual elétrons de condução são livres
para se mover no volume do material condutor.
Assume-se que durante esse movimento, os elétrons
não se colidem com os outros elétrons, mas só entre
os átomos do metal condutor.Os elétrons, de acordo
com a física clássica, possuem uma distribuição
Maxwelliana de velocidades, como as moléculas em
20
20
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
um gás. Nessa distribuição, a velocidade média do elétrons
é proporcional à raiz quadrada da temperatura absoluta . O
movimento dos elétrons é regido pelas leis da física
clássica, e não pelas leis da física quântica, cujo modelo é o
mais adequado atualmente.
Quando aplicamos um campo elétrico em um
metal, os elétrons modificam seu movimento randômico e
iniciam um movimento ordenado na direção oposta à do
campo elétrico aplicado, com uma velocidade de
correnteza vd . O movimento dos elétrons é uma
combinação entre as colisões com os átomos no metal e à
aceleração devido ao campo elétrico E. Quando
consideramos os elétrons livres, a única contribuição para a
velocidade de correnteza é devido ao campo elétrico
aplicado no metal.
Chamando de m a massa do elétron colocado em
um campo elétrico E, de acordo com a segunda lei de
Newton, ele terá aceleração dada por: a=F/m=eE/m .
Chamando o tempo entre duas colisões sucessivas de o
elétron possuirá uma velocidade de correnteza dada por:
eE
vd a
m
Combinando com a equação para a densidade de
corrente, teremos:
vd
J
ne
eE
m
E
m
e2 n
J
Energia e Potência em circuitos
elétricos:
Na figura abaixo ilustramos um dispositivo
qualquer (resistor, capacitor, etc.) conectado a uma
bateria que mantém uma ddp V em seus terminais,
causando um maior potencial no terminal a e um
menor no terminal b.
Figura 18 –Circuito envolvendo resistor.
21
Mantida a ddp nos terminais da bateria,
haverá um fluxo de corrente i no circuito e entre os
terminais a e b. Uma quantidade de carga dq se
moverá de a para b, sob uma ddp V. A energia
potencial decresce de uma quantidade: (de a para b V
diminui):
dU dq.V iVdt
Como definimos potência por:
P dU
dt
Comparando com E= J, teremos:
Então:
m
e2n
Observe que a resistividade em um metal não
depende do campo elétrico aplicado, obedecendo à Lei de
Ohm.
Exemplo 14 - Determine o tempo t entre as
colisões de um elétron e os átomos de cobre em um fio de
cobre.
P V .i
O princípio da conservação da energia nos
diz que o decréscimo de energia potencial é
acompanhado pela transferência de energia em
alguma outra forma. Essa é a potência associada a
essa transferência.
Podemos ainda encontrar as seguintes
relações:
P
Temos que:
m
e2 n
Tomando o valor de
da tabela teremos:
9,110
. 31kg
28
3
(8,47.10 m )(1,610
. 19 C)2 (1,69.10 8 .m)
2, 5.10 14 s
Exemplo 16 - Determine o caminho livre médio l
do elétron entre duas colisões.
Sabemos que :
vd
(1, 6.106 m s )( 2 , 5.10 14 s)
40nm
21
R.i 2
V2
R
Em um resistor, a passagem dos elétrons se
dá a velocidade de correnteza constante, mantendo
sua energia cinética média constante, aparecendo uma
perda de energia potencial elétrica como energia
térmica. Em escala microscópica há uma
transferência de energia devido a colisões entre os
elétrons e os átomos que formam a estrutura do
resistor, aumentando sua temperatura. A energia
mecânica transferida na forma de energia térmica é
dita dissipada.
Associação de Resistores:
Podemos associar resistores de duas
maneiras: em série e em paralelo. Em cada
associação, podemos encontrar a resistência
equivalente da associação, como ilustramos na figura
abaixo:
(a) Associação em paralelo: Nesse tipo de
associação, a ddp em cada resistor se mantém
constante, pois todo está conectado no mesmo fio. As
21
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
22
correntes somadas darão a corrente total i e a resistência
equivalente Req encontramos através de:
1
Re q
1
R1
1
R2
1
R3
n
1
Re q
j 1
1
Rj
V R1i1 R2i2 R3i3
i i1 i2 i3 (Lei dos nós).
i
i
i
1
R
1
2
R
2
R
eq
R
3
3
i
V
22
V
(b) Associação em série: Nesta associação, a
corrente que atravessa cada resistor é a mesma, e a ddp em
cada resistor, quando somadas, dá a ddp total V sobre a
resistencia equivalente Req.
V V1 V2 V3
n
Req
R1 R2
R3
Req
Rj
j 1
V
1
R
1
2
2
V
V
3
R
R
eq
3
R
i
i
V
V
Em ambos os casos temos: V
i . Req
 Potenciômetros:
As resistências variáveis são denominadas de
potenciômetros ou reostatos.
A seguir ilustramos alguns tipos encontrados:
Figura 19 –Potenciômetros.
22
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
23
As Leis de Kirchhoff( *)
As Regras de Kirchhoff são:
1. A soma das correntes em qualquer
junção de circuito é zero.
Figura 1 - Lei dos nós (a) e Lei das malhas (b).
i1
(a)
i
i2
2. A soma das diferenças potenciais ao
redor qualquer circuito fechado é zero.
23
(b)
r
a
b
R1
c
d
- +
+
I
i
R2
r
R4
h
R3
g
+
-
f
e
Tabela I – Tensão em componentes do circuito (b).
Diferença de
Componente Potencial de x á Valor
y
Resistor r2
Va-Vb
- r2.I
Vb-Vc
Gerador
Resistor R1
Vc-Vd
- R1.I
Resistor R2
Vd-Ve
- R2.I
Ve-Vf
Gerador
Resistor R3
Vf -Vg
- R3.I
Resistor R4
Vg -Vh
- R4.I
Resistor r1
Vh-Vi
- r1.I
V
-V
Gerador
i a
 Notação de sinais:
Sentido da análise Sentido da corrente I
Gerador e resistor:
 Biografia - Kirchhoff
( *)
Kirchhoff Nasceu em 12 de
março de 1824 em Königsberg, Prussia (hoje
Kaliningrad, Russia) e morreu em 17 de
outubro de 1887 em Berlin, Alemanha. Era
um estudante de Gauss. Ele ensinou em
Berlim em 1847 e Breslau. Em 1854 ele foi
designado a professor de físicas a
Heidelberg onde ele colaborou com Bunsen.
Foi um físico que fez contribuições
importantes à teoria de circuitos e
elasticidade. As leis de Kirchhoff,
anunciadas em 1854, permitem cálculo de
correntes, voltagens e resistências de
circuitos elétricos que estendem o trabalho
de Ohm. O trabalho dele em radiação de
corpo
negro
era
fundamental
no
desenvolvimento de teoria do quantum.
Kirchhoff foi o primeiro a explicar as
linhas escuras presentes no espectro do sol
23
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
icc
espectro como causa da absorção de
comprimentos de onda particulares. Isto começou
uma era nova em astronomia.
Em 1875 ele foi designado à cadeira de
físicas matemáticas em Berlim. Sua inaptidão o
levou a gastar muito tempo de sua em muletas ou
em uma cadeira de rodas. O melhor trabalho
conhecido são as quatro obra-prima de volume
Vorlesungen über mathematische Physik (187694).
+
r
U
r i
0
icc
r
Baterias são utilizadas em muitas aplicações:
carros, PCs, laptop, MP3 e telefones celulares. Uma
bateria possui essencialmente uma química capaz de
produzir elétrons. Reações químicas que produzem
elétrons são chamadas de reações eletroquímicas
Geradores, Receptores e Aparelhos de medida.
 A Bateria Básica:
 Geradores - Introdução:
Se você observou uma bateria, notou que ela
possui dois terminais. Um positivo do (+) e outro
terminal negativo (-). As células de Nas AA, ou de C
D extremidades da bateria são os terminais. Em uma
bateria de um carro, há duas peças que atuam como
terminais.
Os elétrons são coletados numa bateria no
terminal negativo. Se você conectar um fio no
terminal negativo para o positivo, fluirão elétrons do
terminal negativo para o terminal positivo tão rápido
quanto podem. Normalmente pode-se conectar algum
dispositivo à uma bateria, como uma lâmpada, uma
lanterna de automóvel, ou usando um fio em uma
bateria.
Dentro da própria bateria, uma reação
química produz elétrons. Uma velocidade dos
elétrons produzida por essa reação química
(resistência interna da bateria) controla quantos
elétrons podem fluir e entrar em seus terminais.
Elétrons fluem na bateria para fio e o fazem do
terminal negativo para o terminal positivo pela reação
química, que pode durar até um ano. Uma vez
conectado fio do, um inicia-se de química de reação.
Se uma quantidade de carga atravessa um resistor,
estabeleceu-se uma diferença de potencial entre seus
terminais. Para manter-se esse fluxo de carga constante, é
necessário conectar ao resistor um gerador , o qual possui
uma força eletromotriz (fem), que realiza trabalho sobre a
carga, mantendo-a constante sobre o resistor; analogamente
ao que acontece a uma bomba de água que faz com que o
escoamento de água em uma tubulação de irrigação seja
constante.
Um dispositivo que possui uma força eletromotriz
é uma bateria ; outro é o gerador elétrico. Células solares
são também dispositivos que possuem a fem.
i
- +
r
Equação do gerador (i,U):
U
-
24
r i
Figura 2U– Gráfico U vs. i para gerador.
40
35
30
Figura 3 – Ilustração do circuito de uma
25
bateria.
20
i
15
10
-
+ (i Convencional)
r
i (real:sentido dos elétrons)
5
2
4
6
Algumas retas características estão indicadas na
figura acima.
O valor de corrente pelo qual a tensão nos
terminais do gerador é nula, é denominado de corrente de
curto circuito (icc) e é a máxima corrente lançada por um
gerador num circuito.
8
I
 A Química da Bateria:
Se você quer saber como são as reações
químicas existentes numa bateria, é fácil realizar
experimentos na própria casa tentando obter
diferentes
combinações.
Para
fazer
esses
24
24
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
experimentos cuidadosamente, gastando cerca de R$10,00
- R$30 ,00 em uma casa de componentes eletrônicos.
Adquira um fio (1m) que para baixas voltagens e baixas
correntes (de 5 - 10 mA).
A primeira bateria foi criada por Alessandro Volta
em 1800. Para criá-la, ele montou um conjunto de finas
placas alternando camadas de zinco intercaladas por papel
embebido em água salgada e (prata), como mostra a figura.
Esse arranjo era conhecido como "pilha voltaica".
As camadas superiores e inferiores consistiam de metais
diferentes. Se você conectar os extremos, é possível medir
uma voltagem da pilha. Você pode aumentar o valor da
voltagem com o aumento do crescimento das camadas.
Você pode criar sua própria pilha voltaica usando
moedas e toalha de papel. Misture sal com água (tanto sal
quanto a água segurará) e empape a toalha de papel nesta
salmoura. Então crie uma pilha alternando moedas de
diferentes tamanhos. Veja que tipo de voltagem e corrente
produz a pilha.
Figura 4 – Ilustração de uma bateria alimentando
um motor (a) e estrutura interna de uma bateria (b)..
(a)
25
Outros metais para tentar incluem chapa de
alumínio e aço. Cada combinação metálica deveria
produzir uma voltagem ligeiramente diferente.
Nos 1800s, antes da invenção do gerador
elétrico (o gerador não foi inventado e foi
aperfeiçoado até os 1870s), a cela de Daniel (que
também é conhecida através de três outros nomes--a
"cela" de Crowfoot por causa da forma típica do
elétrodo de zinco, a "cela" de gravidade porque
gravidade mantém o dois sulfates separado, e uma
"cela molhada" ao invés da cela seca moderna
(porque usa líquidos para o eletrólito), era
extremamente comum para telégrafos operacionais e
doorbells. A cela de Daniell é uma cela molhada que
consiste em cobre e zincoe uma chapa de cobre e
sulfato de zinco.
Article by: J J O'Connor and E F Robertson
Baterias são utilizadas em muitas aplicações:
em carros, PCs, laptops, MP3 players e telefones
celulares. Uma bateria possui essencialmente uma
química capaz de produzir elétrons. Reações químicas
que produzem elétrons são chamadas de reações
eletroquímicas.
Figura 5 – Diagrama das camadas que
constituem a pilha
(b)
Esse arranjo era conhecido como “pilha
voltaica”. As camadas superiores e inferior
consistiam de metais diferentes. Se você conectar os
extremos, é possível medir a voltagem e a corrente na
pilha. Você pode aumentar a pilha aumentando assim
a voltagem com o crescimento das camadas.
Figura 6 – Diagrama das camadas de uma
pilha (a) e bateria ideal (b).
(a)
25
25
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(b)
 Reações de bateria
Provavelmente a bateria mais simples que você
pode criar é chamada uma bateria de zinco carbono.
Entendendo a reação química que entra em nesta bateria
você pode entender como baterias trabalham em geral.
Imagine que você tem um pote de ácido sulfúrico
(H2SO4). Colocando uma barra de zinco nisto, o ácido
começará a corroer o zinco imediatamente. Você verá gás
de hidrogênio borbulhando e forma no zinco, e a barra e
ácido começarão a aquecer. Está acontecendo:
As moléculas ácidas migram para cima com três
íons: dois íons de H+ e um íon SO4.
Os átomos de zinco na superfície da barra de zinco
perdem dois elétrones (2e-) se tornar íons de Zn++.
Os íons de Zn++ combinam com os SO4 íon para
criar ZnSO4 que dissolvam no ácido.
Os elétrons dos átomos de zinco combinam com
os íons de hidrogênio no ácido para criar moléculas de H 2
(hidrogênio gasoso). Nós vemos o hidrogênio subir como
gás como bolhas que formam na barra de zinco.
Se você agora introduzir uma barra de carbono no
ácido, o ácido não faz nada a isto. Mas se você conecta um
arame entre a barra de zinco e a barra de carbono, duas
mudanças ocorrem.
Os elétrons fluem pelo arame e combina com
hidrogênio na barra de carbono, assim gás de hidrogênio
começa a borbulhar a barra de carbono.
Há menos calor. Você pode dar potência a uma
lâmpada incandescente ou carga semelhante que usa os
elétrons que fluem pelo arame, e você pode medir uma
voltagem e corrente no arame. A energia do calor se
transforma em movimento dos elétrons.
Os elétrons vão se mover à barra de carbono porque há
mais facilidade em se combinar com hidrogênio. Há uma
voltagem característica na cela de 0.76 volts.
Eventualmente, a barra de zinco dissolve completamente os
íons de hidrogênio no ácido se acostumam e os estampa "
de bateria ".
Em qualquer bateria, o mesmo tipo de reação
eletroquímica acontece de forma que elétrons movam de
um lado para o outro. Os metais e o eletrólito usado
26
controlam a voltagem da bateria. Cada reação
diferente tem uma voltagem característica. Por
exemplo, aqui é o que acontece em uma cela da
bateria de conduzir ácido de um carro:
A cela tem um prato feito de
chumbo e outro prato feito de dióxido de chumbo,
com um eletrólito de ácido sulfúrico forte no que os
pratos são submergidos.
Chumbo combina com SO4 para
criar PbSO4 mais um elétron.
Condução de dióxido, íons de
hidrogênio e íons SO4 , mais elétrons do chumbo crie
PbSO4 e molhe no prato de dióxido de chumbo.
Como as descargas de bateria,
ambos os pratos constroem PbSO4 (conduza sulfato),
e água constrói no ácido. A voltagem característica é
de aproximadamente 2 volts por célula, assim
combinando seis células você adquire uma bateria
de12V.
 Tipos de Baterias:
Uma bateria de condução de ácido tem uma
característica agradável: a reação é completamente
reversível. Se você aplica corrente para a bateria à
voltagem certa, conduz a formação de dióxidos e
formam novamente nos pratos; assim você pode usar
de novo a bateria. Em uma bateria de zinco-carbono,
não há nenhum modo fácil para inverter a reação
porque não há nenhum modo fácil para voltar gás de
hidrogênio no eletrólito.
Baterias modernas usam uma variedade de
substâncias químicas para dar poder a as reações.
Baterias euímicas típicas incluem:
Bateria
de
"zinco-carbono”.
Também conhecido como uma bateria de carbono
padrão (standard). Os elétrodos são zinco e carbono,
com uma pasta ácida entre eles servindo como o
eletrólito.
Bateria alcalina - Pilhas Duracell e
baterias de Energizer em comum, os elétrodo são
zinco e manganês-óxido, com um eletrólito alcalino.
Bateria de Lithium (fotografia) - Lithium,
lithium-iodide e conduzir-iodide é usado em
máquinas fotográficas por causa da habilidade para
prover ondas de calor.
Bateria ácida - Uso em automóveis, os
elétrodo são feitos de chumbo e óxido como um
eletrólito ácido forte (recarregável).
Bateria de "níquel-cádmio” - Os elétrodos
são hidróxidos de níquel e cádmio, com hidróxido de
potássio como eletrólito (recarregável).
Bateria de metal de níquel - Esta bateria
está substituindo a de níquel-cádmio rapidamente
porque não sofre do efeito de memória que níquelcádmio fazem (recarregável).
26
26
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Bateria Lithium-íon - Com uma relação de
potência boa, é achada freqüentemente em computadores
laptop e telefones celulares. (recarregáveis).
Bateria de zinco - Esta bateria é de peso leve e
recarregável.
Bateria de óxido de "zinco-mercúrio” - Isto é
freqüentemente usado na ajuda para audição.
Bateria de “prata-zinco” - Usada em aplicações
aeronáuticas porque a relação de poder-para-peso é boa.
Bateria de “metal-cloreto” - Usada em veículos
elétricos.
 Potência Elétrica do gerador:
Arranjos ou associações de geradores.
Em quase qualquer dispositivo que usa
baterias, você não usa uma célula de cada vez. Você
regularmente as agrupa serialmente para formar
voltagens mais altas, ou em paralelo para formar
correntes mais altas. Em um arranjo consecutivo,
somam-se as voltagens. Em um arranjo paralelo,
somam as correntes. O diagrama seguinte mostra
estes dois arranjos.
Podemos associar geradores de duas formas:
em série e em paralelo.
Na associação em série de n geradores de
iguais força eletromotriz e e iguais resistência
onterna r, as forças eletromotrizes se somam e
também se somam suas resistências internas:
req nr
eq n
Se multiplicarmos por i a equação do gerador:
i r i2
U i
Denominamos de:
Potência Total: Também denominada de Potência
lançada :
Pl
Já na associação em paralelo de n geradores
iguais, , a fem do gerador equivalente é a mesma e a
resistência interna do gerador equivalente fica
dividida por n:
req r
eq
i
Potência dissipada: Potência dissipada por efeito
Joule na Bateria pela resistência interna.
Pd
n
r i2
Figura 7 – Associação em paralelo (a) e
série (b) de geradores. Tipos de pilhas (c). Circuitos
com mais de uma fonte (d)
(a)
Potência útil: Potencia aproveitada da bateria .
Pu
U i
i r i
2
A máxima potência útil ocorrerá quando:
dPu
di
0
2 r i
i
0
i
27
2 r
icc
2
Substituindo esse valor de corrente na expressão
da potência útil, teremos:
2
Pu max
(b)
4r
Os gráficos a seguir ilustram as
características da potência útil para uma bateria.
curvas
Figura 7 – Gráfico da Potência útil versus
corrente num gerador.
Pu
60
(c)
50
40
30
20
10
2
4
6
8
I
27
27
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
28
Exemplos de associações:
Nas figuras, encontre a corrente que circula
em cada malha:
Figura 8 – Tipos de associações entre
geradores:
(a)
(d) Quando duas fontes são conectadas entre si
num único circuito, a fonte que possui fem maior fornece
energia para a outra.
O arranjo anterior (a) é chamado de arranjo
paralelo. Se você assume que cada célula paralela também
produzirá 1.5 volts, mas a corrente será quatro vezes isso
de uma única cela. O arranjo inferior é chamado de arranjo
consecutivo. As quatro voltagens se somam para produzir 6
volts.
Esquematicamente teremos os seguintes circuitos:
Série:
Circuito equivalente:
28
(b)
Força eletromotriz equivalente:
N
eq
i
i 1
Resistência equivalente:
N
req
ri
i 1
(c)
Paralelo:
Circuito equivalente:
Força eletromotriz equivalente:
eq
Resistência equivalente:
req
r
n
28
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
29
(h)
(d)
(i) Qual a indicação do voltímetro?
29
(e)
(j) Procedimento experimental para medir a
corrente e a fem de um gerador.
(f)
(j)
(g)
(k)
29
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
30
(l)
(o)
30
(m)
(p)
(n)
30
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
31
(b)
(q)
31
Normalmente, quando você compra um pacote de
baterias, o pacote lhe contará a voltagem e avaliação de
corrente para a bateria. Por exemplo, uma máquina
fotográfica digital usa quatro baterias de níquel-cádmio que
estão avaliados em 1.25 volts e 500 milliampéres-horas
para cada célula.
Trabalho, Energia e fem:
Em um dispositivo com uma fem, tal como uma
bateria, há uma terminal carregado positivamente e um
terminal carregado negativamente. Na figura abaixo
representamos o sentido da corrente convencional em uma
bateria. Uma vez que as cargas entram no dispositivo, este
realiza trabalho sobre elas, forçando-as ao polo positivo e
fechando o ciclo. A energia que o dispositivo utiliza para
tal processo pode ser de origem química, como uma
bateria, ou mecânica, como em um gerador de Van de
Graaff. Pode ainda utilizar energia solar, como em células
solares.
Assumimos que a carga deva entrar no
dispositivo no terminal onde há o potencial mais
baixo, e deva deixá-lo no potencial maior. O
dispositivo deve realizar um trabalho dW no elemento
de carga dq, para força-lo a se mover. Definimos a
força eletromotriz e no dispositivo como sendo:
dW
dq
Em outras palavras, a força eletromotriz é o
trabalho por unidade de carga para que o dispositivo
mova a carga do mais baixo potencial ao maior.
A unidade do SI é o joule por coulomb ou o
volt (V).
Um dispositivo gerador ideal é aquela que
não apresenta resistência interna para mover a carga
de um terminal ao outro. A ddp entre os terminais é
igual a fem do dispositivo. Por exemplo, uma bateria
de fem 12 V tem ddp de 12V.
Um dispositivo gerador rea l, é aquele que
apresenta resistência interna para o movimento
interno da carga. A seguir representamos o gerador
ideal e o real.
Figura 10 – Geradores real e ideal.
(a) Gerador real.
Figura 9 – Fonte de tensão em circuito aberto (a)
e em curto-circuito (b).
(a)
(b) Gerador ideal.
31
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Nesses circuitos para analisar a corrente que
percorre a resistência, temos que obedecer às seguintes
regras:
1) A soma algébrica da mudança do potencial em
um caminho completo do circuito dever ser zero.
2) A corrente entrando pelo pólo negativo e saindo
pelo pólo positivo de um dispositivo (gerador ou resistor):
e > 0 ou V > 0 .
3) A corrente entrando pelo pólo positivo e saindo
pelo pólo negativo de um dispositivo ( gerador ou resistor):
e < 0 ou V < 0 .
4) A corrente entrando em um nó, se divide de tal
forma que a soma das partes que saem do nó é igual a que
chega.
Estas regras são denominadas:
32
Figura 12 – Geradores e tensão nos
terminais (a). Variação da tensão nos elementos de
um circuito (b).
(a)
(b)
32
Regras de Kirchhoff .
1. A soma das correntes que chegam a um nó é
igual à soma das correntes que saem do nó.
2. Partindo de um ponto em uma malha, a soma
das diferenças de potencial em cada componente da malha
até chegar ao mesmo ponto, é nula.
Considere um nó em que chega uma corrente i
como indica a figura abaixo:
Figura 11 – Lei dos nós.
A tensão entre os pontos a e b é dada por:
V
Multiplicando
chegamos a:
ri
por
i
a
relação
acima
Vi
i ri2
Pu Pt Pd
Nessa equação, Pu= V . i é a potência útil ,
Pt = e . i é a potência total e Pd ri2 é a potência
dissipada na resistência interna do gerador.
Definimos como o rendimento h do gerador,
a relação dada por:
Pu
Pt
Então:
i1 i3
i2 i4
Assim aplicando essas regras ao gerador ideal e
chamando de a o pólo positivo::
Va
iR Va
i
V
O rendimento é a relação entre a potência
elétrica lançada e a potência total.
Receptores:
R
Para o gerador real, teremos:
ir iR 0 i
r R
Esta também é chamada de Lei de Ohm-Pouillet.
Para representarmos o gerador entre dois pontos A
e B de um circuito, utilizamos o símbolo:
Leis de Kirchhoff: convenção de sinais.
Existem aparelhos capazes de receber
energia elétricas e transformá-las em outras formas
de energia que não sejam exclusivamente térmica.
Esses aparelhos denominam receptores e funcionam
quando estão ligados a um circuit, onde existem um
ou mais geradores.Como exemplos de receptores,
citamos os aparelhos domésticos como o
liquidificador,
batedeira
e
furadeira,
que
transformam energia elétrica em mecânica.
Acumuladores formados por placas de chumbo
dentro de um eletrólito , transformam energia
elétrica em energia química. Receptor elétrico é o
aparelho que transforma energia elétrica em outras
formas de energia que não sejam exclusivamente
térmica.
32
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Esquema do receptor: Como o receptor recebe
energia elétrica do circuito, as cargas elétricas que
constituem a corrente vão do potencial maior (pólo
positivo) ao potencial menor (pólo negativo). Todavia, um
receptor não poderá transformar toda a energia elétrica
recebida em energia útil, não elétrica. Uma parte dessa
energia dissipa-se na resistência interna r' de maneira
análoga ao que ocorre no gerador. Para os receptores mais
comuns em funcionamento verifica-se que a potência
elétrica útil do receptor é diretamente proporcional à
corrente que o atravessa. Se Pu é a potência elétrica útil
do receptor e i a corrente que o atravessa, temos:
Pu
'.i
'
Pu
i
Aqui, e' é a força contra eletromotriz (fcem ) ,
uma constante de proporcionalidade. Sua unidade no SI é
o volt (V). A equação do receptor e seu esquema é
mostrado a seguir:
A resistência interna de um amperímetro
ideal é nula para que toda a corrente elétrica passe
pelo amperímetro.
2) O Voltímetro : É o aparelho usado para
medir diferença de potencial Para encontrar a
diferença de potencial entre dois pontos em um
circuito ou em uma resistência, necessitamos colocar
o voltímetro em paralelo com a resistência.
A resistência interna de umvoltímetro ideal
é infinita, para que não passe corrente por ele.
33
3) O potenciômetro : O potenciômetro é um
aparelho que mede uma desconhecida força
eletromotriz ex comparando com uma fem padrão e
s.

i
V
' ri
33
Carga e descarga no Capacitor:
No circuito da figura:
Podemos utilizar para carregar ou
descarregar o capacitor, conforme as posições das
chaves (1) e (2).
As potências útil, total e dissipada do receptor são
deduzidas de maneira análogas ao do gerador.
Aparelhos de medida elétrica:
Muitos instrumentos de medida elétrica envolvem
circuitos que podem ser analizados por métodos que
discutiremos:
1) O Amperímetro : O instrumento usado para se
medir corrente é o amperímetro. Para medir a corrente em
uma resistência, colocamos o amperímetro em série com
essa resistência.
Figura 13 – Montagens com amperímetro e
voltímetros.
Figura 20 – Circuito utilizado para experimento de
carga e descarga num capacitor.
33
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Processo de carga:
Coloca-se as chaves nas posições (1) e (3):
a) Uma vez ligada a chave, então teremos:
R I
Q
E
C
dQ
dt
; E cte)
(I
I
I
I0
ln
I (t ) I0 e
Q(t ) Q0
VC (t )
Q
E t RC
e
R
t
RC
Q(t )
C
VC (t )
E e
t
RC
t
RC
E e
VR (t )
R I (t )
VR (t )
E e
t
RC
No gráfico a seguir indicamos a curva de
carga e descarga. Note o comportamento assintótico
quando t
.A
(a) Corrente na carga e descarga do capacitor.
0
E t RC t
e
t 0
R
Q (t ) E C 1 e
t
RC
A tensão no capacitor, no processo de
carga, será dada por:
VC
E
R
I0
t
E
e RC dt
R
Q 0
Q(t )
C
0
t
dQ
Q(t )
1)
dt ;
A tensão no resistor será dada por:
Equação da carga:
dQ
dt
t / RC
t / RC
por:
t
RC
t
RC
VR (t )
RCI0 (e
I 0e
(Equação da carga no capacitor)
Observe que a tensão no Capacitor é dada
será dada por:
R I (t )
dQ
Q(t ) E C e
(Equação da Corrente)
A tensão no resistor no processo de carga
VR (t )
dQ I (t )dt
t
Q0
1
dt
RC
1
dt
RC
0
I0
Q
dQ
I
dt
dI 1 dQ dE
dt C dt dt
dI
1 dQ
0
dt R C dt
t
dI
I
Equação da carga:
R
dI
I
34
VC (t )
E (1 e
t
RC
(b) Tensão na resistência e no Capacitor durante o
processo de carga.
)
Na descarga: Dedução da corrente:
Colocam-se as chaves nas posições (2) e (4).
Teremos:
UC U R
Q
C
0
RI
1 dQ
C dt
I
1
I
C
dI
R
dt
dI
I
1
dt
RC
Então:
ln
I
I0
1
t
RC
I I0 e
t
RC
dI
dt
t
dI
I
I0
R
1
dt
RC
0
Figura 21- Carga e descarga num capacitor.
Em laboratório, foram utilizados um capacitor de
capacitância C = 47 F e um resistor de resistência 238 k . O
valor de tempo ao qual a carga cai a 1/e de seu valor inicial Q0 é
denominado constante de tempo ( = R.C = 11.19s).
34
34
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Efeitos da Corrente Elétrica:
A passagem de corrente elétrica através de
condutores acarreta diferentes efeitos, dependendo da
natureza do condutor e da intensidade de corrente. É
comum dizer-se que a corrente elétrica tem quatro efeitos
principais: fisiológico, térmico (ou Joule), químico e
magnético.
O efeito fisiológico corresponde à passagem de
corrente elétrica por organismos vivos. A corrente elétrica
age diretamente no sistema nervoso, provocando
contrações musculares; quando isto ocorre, dizemos que
houve um choque elétrico. O pior caso de choque é aquele
que se origina quando uma corrente elétrica entra pela
mão de uma pessoa e sai pela outra. Nesse caso,
atravessando o tórax de ponta a ponta ela tem grande
chance de afetar o coração e a respiração. O valor mínimo
de intensidade de corrente que se pode perceber pela
sensação de cócegas ou formigamento leve é 1mA.
Entretanto, com uma corrente de intensidade 10 mA, a
pessoa já perde o controle dos músculos, sendo difícil
abrir a mão e livrar-se do contato. O valor mortal está
compreendido entre 10 mA até 3 A, aproximadamente.
Nestes valores, a corrente, atravessando o tórax, atinge o
coração com intensidade suficiente para modificar seu
ritmo. Modificando o ritmo o coração para de bombear
sangue através do corpo e a morte pode ocorrer em
frações de minutos. Se a intensidade for ainda mais alta, a
corrente pode paralisar completamente o coração. Este se
contrai o mais possível e mantém-se assim enquanto
passar a corrente. Interrompida a corrente, geralmente o
coração relaxo e pode começar a bater novamente, como
se nada tivesse acontecido. Todavia, paralisando o
coração, paralisa-se também a corrente sanguínea, e uma
pequena interrupção dessa circulação pode provocar
danos cerebrais irreversíveis.
Os efeitos térmicos, conhecidos como efeito
Joule, é causado pelo choque de elétrons livres contra os
átomos dos condutores. Ao receberem energia, os átomos
vibram mais intensamente. Quanto maior for a vibração
dos átomos, maior será a temperatura do condutor. Nestas
condições observa-se, externamente, o aquecimento do
condutor. Esse efeito é muito aplicado nos aquecedores
em geral, como o secador de cabelos.
O efeito químico corresponde a certas reações
químicas que ocorrem quando a corrente elétrica atravessa
as soluções eletrolíticas. É muito aplicado, por exemplo,
no recobrimento de metais, (niquelação, cromação,
prateação, etc.).
O efeito magnético é aquele que origina um
campo magnético na região em torno da corrente. A
constatação de um campo magnético, em determinada
região, é feita pelo desvio da agulha magnética (ímã), de
um aparelho denominada bússola. Em 1820, um fato
importante conectou os fenômenos magnéticos e elétricos.
35
Hans Christian Oersted (1777-1851), físico
dinamarquês, realizou experiências sobre a ação da
corrente elétrica sobre uma agulha magnética: a
primeira observação do efeito magnético da corrente
elétrica. Os fenômenos magnéticos não constituem,
portanto, fenômenos isolados; eles têm relação
íntima com os fenômenos elétricos.
35
Georg Simon Ohm veio de uma família
protestante. Seu pai, Johann Wolfgang Ohm, era um
serralheiro enquanto sua mãe, Maria Elizabeth Beck,
era a filha de um alfaiate. Embora seus pais não
tinham sido formalmente educados, o pai de Ohm era
um homem bastante notável que tinha se educado
para um nível alto e pode dar aos filhos uma
educação excelente pelos seus próprios ensinos. Das
sete crianças nascidas a Johann e Maria Ohm
sobreviveram só três, Georg Simon, o irmão Martin
que tornou-se um matemático famoso, e a monja
Elizabeth Barbara.
Quando eles eram as crianças, Georg Simon
e Martin foram ensinados pelo pai que os trouxe para
um padrão alto em matemática, físicas, química e
filosofia. Isto estava em contraste totalmente à
educação escolar deles. Georg Simon entrou em
Ginásio de Erlangen aos onze anos e lá recebeu pouco
de treinamento científico.
A realização notável de Johann Wolfgang
Ohm, um homem completamente autodidáta, pode
dar para seus filhos uma educação matemática e
científica.
Em 1805 Ohm entrou na Universidade de
Erlangen. Ohm foi (ou mais com precisão, foi
enviado) para a Suíça onde, ele levou um posto como
um professor de matemática em uma escola em
Gottstadt em 1806.
Karl Christian von Langsdorf deixou a
Universidade de Erlangen em cedo 1809 levar um
posto na Universidade de Heidelberg e Ohm teria
gostado de ter ido com ele para Heidelberg reiniciar
seus estudos matemáticos. Porém, Langsdorf
aconselhou Ohm para continuar os estudos de
matemática, aconselhando Ohm a ler os trabalhos de
Euler, Laplace e Lacroix. Bastante relutantemente
Ohm levou o conselho dele mas ele deixou o posto de
ensino dele em Gottstadt Nydau em março de 1809 ao
se tornar um tutor privado em Neuchâtel. Durante
dois anos ele levou a cabo seus deveres como um
35
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
tutor enquanto seguiu o conselho de Langsdorf e continuou
o estudo privado em matemática. Então em abril de 1811
ele voltou para a Universidade de Erlangen.
Por seus estudos privados recebeu um doutorado
de Erlangen em 25 de outubro de 1811 e imediatamente
uniu o pessoal como um conferencista de matemática. O
governo Bávaro lhe ofereceu um posto como professor de
matemáticas e físicas em Bamberg e ocupou lá o posto em
janeiro de 1813.
Esta não era a carreira próspera enfrentada por
Ohm e ele decidiu que ele teria que mostrar que ele era
preço muito mais que um professor em uma escola pobre.
Trabalhou em um livro elementar no ensino de geometria
enquanto permanecia desesperadamente infeliz em seu
trabalho. O governo Bávaro o enviou então para uma
escola em Bamberg para ajudar com o ensino de
matemática.
Em 11 de setembro de 1817 Ohm recebeu uma
oferta do posto de professor de matemáticas e físicas no
Ginásio Jesuítico de Cologne. Esta era uma escola melhor
que qualquer aquele Ohm tinha ensinado previamente e
teve um laboratório de física equipado. Como ele tinha
feito tanto para da vida dele, Ohm continuou os estudos
privados lendo os textos dos matemáticos franceses
Lagrange, Legendre, Laplace, Biot e Poisson. Ele passou a
ler os trabalhos de Fourier e Fresnel começou o próprio
trabalho experimental dele no laboratório de físicas escolar
depois que ele tivesse aprendido a descoberta de Oersted
do eletromagnetismo em 1820. No princípio as
experiências foram administradas para o próprio benefício
educacional.
Depois de um tempo, mudou a atitude para o
trabalho experimental e começou a trabalhar
sistematicamente para a publicação dos seus resultados.
De fato ele já tinha se convencido da verdade do
que nós chamamos hoje " isto é a lei " de Ohm a relação
que a corrente pela maioria dos materiais é diretamente
proporcional à diferença potencial aplicou pelo material.
Em dois documentos importantes em 1826, Ohm
deu uma descrição matemática de condução em modelo de
circuitos no estudo de Fourier de condução de calor. Estes
documentos continuam a dedução de Ohm de resultados de
evidência experimental e, particularmente pelo segundo,
ele pôde propor leis que foram um modo longo para
explicar resultados de outros que trabalham em
eletricidade. O segundo papel é certamente o primeiro
passo em uma teoria inclusiva que Ohm pôde ceder o livro
famoso publicado no ano seguinte.
36
sentindo estava ferido, ele decidiu permanecer em
Berlim e, em 1828 de março, ele formalmente
resignado a posição dele em Cologne. Trabalhou
temporariamente como matemático em escolas de
Berlim.
Em 1845 ele se tornou um sócio da
Academia Bávara.
Eletricidade não era o único tópico no qual
Ohm empreendeu pesquisa, e não o único tópico no
qual ele terminou em controvérsia. Em 1843 ele
declarou o princípio fundamental de acústica
fisiológica, teve a ver com o modo em qual ouve tons
de combinação. Porém totalmente não foram
justificadas as suposições que ele fez na derivação
matemática dele e isto resultou em uma disputa
amarga com o físico August Seebeck. Ele teve
sucesso desacreditando a hipótese de Ohm e Ohm
teve que reconhecer o erro dele. Veja [10] para
detalhes da disputa entre Ohm e Seebeck.
Em 1849 Ohm levou um posto em Munich
como curador do gabinete físico da Academia Bávara
e começou a dissertar na Universidade de Munich. Só
em 1852, dois anos antes da morte dele, fez Ohm
alcance a ambição vitalícia dele de ser designada à
cadeira de físicas na Universidade de Munich.
Adaptado de Artigo por: J J O'Connor e E F
Robertson
 Conte Alessandro Volta nasceu em Como,
Itália, em uma família nobre. O físico italiano
Alessandro Giuseppe Antônio Anastasio Volta era o
inventor da pilha de voltaic, a primeira bateria
elétrica. Em 1775 ele inventou o electrophorus, um
dispositivo que, uma vez eletricamente carregado por
tido sido esfregado, poderia transferir carga elétrica
para outros objetos. Entre 1776 e 1778, descobriu
Volta o gás de metano isolado.
O que é agora conhecido como a lei de Ohm aparece no
livro famoso Kette, bearbeitet de mathematisch (1827) em
qual ele deu a teoria completa de eletricidade. O livro
começa com o fundo matemático necessário para uma
compreensão do resto do trabalho.
Embora o trabalho de Ohm influenciou a teoria
fortemente, foi recebido com pouco entusiasmo. Ohm está
36
36
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Luigi Galvani (1737-1798)
O anatomista italiano e médico Luigi Galvani foi
o primeiro a investigar o fenômeno do que veio ser
chamado "bioelectrogenesis" experimentalmente. Em uma
série de experiências iniciadas por volta de 1780, Galvani
trabalhou na Universidade de Bolonha e achou que a
corrente elétrica gerada por uma garrafa de Leyden ou um
gerador de eletricidade estático giratório causaria a
contração dos músculos na perna de uma rã e muitos outros
animais, ou aplicando a carga elétrica para o músculo ou
para o nervo.
As experiências notáveis de Galvani ajudaram estabelecer
a base para o estudo biológico de neurofisiologia e
neurologia. A troca de paradigma estava completa: nervos
não eram tubos de água ou canais, como Descartes e os
contemporâneos dele haviam pensado, mas condutores
elétricos.
Informação dentro do sistema nervoso é levada
por eletricidade gerada diretamente pelo tecido orgânico.
Como o resultado das demonstrações experimentais de
Luigi Galvani e seus seguidores, foi desvelada a natureza
elétrica da função nervo-músculo. Porém, uma prova direta
só poderia ser feita quando os cientistas poderiam medir ou
descobrir as correntes elétricas naturais geradas nas celas
nervosas e musculares. Galvani não teve a tecnologia para
medir estas correntes, porque elas eram muito pequenas.
Luigi Galvani foi designado em Anatomia na
Universidade em 1762. A habilidade dele como um
cirurgião o ganhou a Cadeira de Obstetrícias logo no
Instituto de Ciências das quais ele era se tornar o presidente
em 1772. As investigações na estrutura orgânicas animal o
estabeleceram como um dos fundadores de eletrotecnologia moderno ao término do décimo oitavo século,
ao lado de seus contemporâneos dele Henry Cavendish,
Benjamim Franklin e Alessandro Volta. Ele foi o primeiro
a descobrir a ação fisiológica da eletricidade. As
experiências subseqüentes fazendo os músculos expostos e
nervos de um contrato de rã quando conectou a um
condutor bimetálico, demonstrou a existência de forças
bioelétricas em tecido animal.
Isto deu lugar a uma discordância entre Galvani e
Volta em cima da explicação do fenômeno sobre o qual
cada era em parte certa. O trabalho não obstante
instrumental em Volta principal gerou a invenção da
primeira bateria elétrica. Galvani segurou a Cadeira
durante 33 anos, mas foi despedido em 1797 seguindo a
ocupação do país pelo exército napoleônico. Sendo um
homem de integridade, ele recusou levar o juramento de
submissão requerido pelo invasor. Ele morreu o ano
seguinte.
Galvanização é o nome derivado de Luigi
Galvani, e era uma vez usado como o nome para a
administração de choques elétricos, originada da indução
de Galvani do estremeção nas pernas de rã cortada, pela
geração acidental de eletricidade. Agora sensação arcaica é
37
a origem do significado de galvanizou quando
descrevia alguém que se mexe sob ação súbita,
abrupta.
Em 20 de março de 1800, ocorreu uma das maiores
inovações nas experiências de eletricidade. Uma
discordância profissional, em cima dos resultados de
uma experiência entre Luigi Galvani e Alessandro
Volta. Volta foi conduzido a provar que quando
certos metais e substâncias químicas entram em
contato entre si podem produzir uma corrente
elétrica. Arranjou vários pares de discos de prata e de
zinco separados por papel empapado em água de sal e
uma corrente elétrica foram produzida. Volta tinha
produzido a primeira bateria.
37
37
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Aparelhos de medições:
Amperímetros, Ohmímetros e Voltímetros.
São aparelhos para medir corrente, resistência
elétrica e diferença de potencial, respectivamente.

Amperímetro:
Para medir corrente elétrica que passa por um
resistor (R2 na figura abaixo), liga-se o amperímetro (entre
os pontos a e b da figura abaixo) em série com o resistor. A
resistência interna do amperímetro deve ser pequena, para
que não altere a grandeza da medida. Um amperímetro
ideal tem resistência interna nula.

38
1. Galvanômetro:
O galvanômetro é o componente principal de
um voltímetro ou amperímetro. Esse instrumento
possui sensibilidade a pequenas correntes que o
atravessam.
Um galvanômetro típico de um laboratório
de ensino possui uma bobina móvel em torno de um
eixo, no campo magnético de um ímã permanente.
Quando a bobina é atravessada pela corrente, o
campo magnético exerce sobre ela um torque que
provoca sua rotação. Como há um ponteiro acoplado
à bobina indicando sua rotação sobre uma escala,. A
figura abaixo ilustra a estrutura interna de um
galvanômetro.
Voltímetro:
Para medir a diferença de potencial em um resistor
(R1, na figura abaixo), usa-se um voltímetro ligado em
paralelo com o resistor, entre os pontos c e d indicados na
figura. Um voltímetro ideal deve possuir resistência infinita
para que não perturbe a medida no circuito.
Figura 22 – Circuito utilizando voltímetro e amperímetro (a) e
aparelhos (b).
(a)
Figura 23 – Esquema de um galvanômetro.
Dependendo o que queremos medir,
podemos utilizar o galvanômetro como um
amperímetro ou voltímetro.
Para utilizarmos o galvanômetro como um
amperímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma
resistência de pequeno valor, denominada shunt (Rs) ,
onde a maior parte da corrente passa por essa
derivação.
Figura 24 – Circuito que utiliza um galvanômetro.
i
G rg
ig
(b) Alguns multímetros analógicos e digitais:
is
Rs
rg Rs
Assim: R i r i
s s
g
g
i
rg
rg
Rs
Rs
i
i
rg
Rs
Rs
ig
1 ig
Para utilizarmos o galvanômetro como um
voltímetro, devemos ligá-lo em paralelo com uma
resistência de grande valor, denominada de
resistência multiplicadora (Rm).
38
38
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Figura 25 – Circuito que utiliza um galvanômetro e resistência
multiplicadora..
G rg
ig
Rm
Vg
Vm
Assim: U Vg Vm Rm rg ig
Pode-se usar um galvanômetro em série com uma
bateria e um resistor Rs para termos um ohmímetro
simples:
39
 Osciloscópios:
Osciloscópios são instrumentos de medidas
de tensão pela aplicação das diferenças de potencial
em suas entradas verticais ou horizontais. A tensão é
proporcional ao deslocamento na tela do osciloscópio.
O princípio de funcionamento consiste na interação
de um feixe de elétrons com campo elétrico no
interior de um tubo de raios catódicos. Uma grade (3)
é colocada a um potencial superior do potencial do
filamento (Ug > Uf). Assim há a extração de elétrons
do filamento (1). A figura abaixo ilustra a estrutura
interna de um osciloscópio.
Figura 26 – Circuito que utiliza um galvanômetro e resistência
Figura 28 – Esquema interno de um osciloscópio.
shunt.
Rs
a
G rg
ig
b
Quando a e b estão em curto, Rs é determinada de
modo que a corrente que passa pelo galvanômetro
proporciona uma deflexão no ponteiro que cobre a escala
completa. Deflexão nula indica uma resistência infinita
entre os terminais. Quando os terminais estiverem ligados
por uma resistência desconhecida R, a corrente que passa
pelo galvanômetro depende dessa resistência e pode ser
ajustada de modo a dar a leitura direta de R.
Deve-se tomar cuidado pois não podemos medir a
resistência de um amperímetro sensível usando um
ohmímetro, pois este proporciona uma corrente que passa
por uma resistência desconhecida.

Ponte de Wheatstone:
Componentes:
Na figura, ajusta-se o valor da resistência Rs de
maneira que os potenciais nos pontos a e b sejam os
mesmos. Assim, não há diferença de potencial entre os
pontos a e b. Portanto, pode-se determinar uma resistência
desconhecida Rx por:
Figura 27 – Circuito que utiliza uma montagem de ponte de
Wheatstone.
Rx R2
Rs R1
Rx
R2
Rs
R1
(1) Filamento.
(2)
Cilindro de Venelt: Controle do
número de elétrons incidentes pelo ajuste da
polaridade.
(3) Grade.
(4) Ajuste.
(5) Placa horizontal.
(6) Placa vertical.
(7) Brilho.
(8) Focalização.
(9) Ajuste do potenciômetro.
(10) Ajuste do potenciômetro.
(11) Sistema de varredura.
(12) Amplificação e Atenuação horizontal.
(13) Amplificação e atenuação vertical.
(14) Entrada horizontal.
(15) Entrada Vertical.
39
39
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Diodos
Exemplo de um resistor não Ôhmico é um diodo
semicondutor de junção pn, que consiste de dois materiais
semicondutores, tipo p e tipo n, como descrevemos na
seção anterior.
Esse material possui as seguintes características,
onde representamos os átomos receptores, imóveis no
lado p por
: e as lacunas ou buracos por
. Já os
átomos doadores, tipo n, com facilidade em doar elétrons,
representamos por e os elétrons próximos por .
Figura 29 – Junção p-n.
e- TIPO P
b
Potencial -
+ da Junção TIPO N
JUNÇÂO PN
0
doadores ionizados +
(1)
- Receptores ionizados
DISTRIBUIÇÃO DE LACUNAS E ELÉTRONS LIVRES
+ Lacuunas
0
elétrons (2)
(densidade de carga)
(1)+(2)
carga líquida
+
-
x
 
E dS
 
E
S
E (Campo Elétrico)
x
E
dx

E

V
V ( Potencial)
V
 
E dl
x
40
Quando forma-se a junção, os elétrons livres
na região tipo N se difundem através da junção e
preenchem as lacunas próximas à junção, na região
P. As lacunas difundem-se através da junção desde a
região P até a região N e capturam elétrons livres
próximo à junção na região N.
Quando um elétron abandona o átomo
doador na região N e se move dentro da região P, os
átomos possuem menos elétrons que os necessários à
neutralização da carga positiva de um núcleo e se
carrega (ioniza-se). Tem uma carga positiva extra
igual à carga negativa do elétron que perdeu.
Similarmente quando uma lacuna abandona
o átomo receptor na região P, o átomo toma uma
carga negativa, porque a lacuna foi preenchida com
um elétron, e o átomo possui um elétron a mais que
o necessário para neutralizar a carga do seu núcleo.
Esses átomos carregados, ou íons são fixos
na rede cristalina não podem se mover. Então se
forma uma região de carga fixa em ambos os lados
da junção. Sobre o lado N da junção existe uma
região de íons carregados negativamente e sobre o
lado p da junção há uma camada de íons com cargas
negativas. Observe que (na figura anterior) aparece
uma barreira de íons negativos no lado p da junção
Essa barreira negativa repele os elétrons na
vizinhança da junção e evita a infiltração de maior
número de elétrons do lado n até o lado p do cristal.
Similarmente, no lado N há a formação de íons
positivos e evita a difusão de lacunas adicionais
através da junção, do material P ao material N.
As duas zonas de átomos ionizados formam
uma barreira para qualquer outra difusão através da
junção, pois as cargas na junção forçam os
portadores majoritários a afastar-se dela. Esta
barreira é conhecida como zona de depleção ou zona
de barreira, ou potencial de barreira.
A carga dos átomos de impureza é
distribuída na junção PN como ilustramos na figura
anterior, curva (1). Na região P, os receptores
ionizados têm carga negativa e na região N, os
átomos doadores ionizados têm carga positiva. Na
junção PN a carga é zero. Porém, na região P há
lacunas que contém carga positiva e na região N há
elétrons que contém carga negativa. Essa
distribuição é mostrada na curva (2). O potencial da
junção atua nas lacunas, separando-as da mesma, na
região P, e aos elétrons, afastando-os da junção na
região N, de modo que as cargas na região P e N se
separam. Então a inclinação da curva (2) é mais
gradual que a da curva (1). A carga na junção é zero,
porém o aumento de cada lado é mais suave que na
curva (1). Penetrando mais na região P as cargas
tornam-se positivas devido às lacunas e penetrando
no interior do lado N co cristal as cargas tornam-se
negativas devido aos elétrons.
40
40
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
A carga sobre o cristal na região P é igual à
diferença entre a carga dos átomos receptores ionizados e
a carga das lacunas. A carga no cristal na região N é igual
a diferença entre a carga dos átomos doadores ionizados e
elétrons. Essas cargas se anulam, exceto na região
circunvizinha à junção, Indicamos na figura
correspondente à carga líquida ((1)+(2)).
Na área próxima à da junção, há carga negativa na
região P e carga positiva na região N. Como
estabelecemos anteriormente, estas atuam como uma
barreira para evitar a posterior difusão de lacunas da
região P à região N e a difusão de elétrons da região N à
região P. Este potencial de barreira constitui uma
diferença de potencial através da junção e é da ordem de
poucos décimos de volts e é denominado de potencial
aparente e é representado por uma pequena bateria como
ilustra a figura, com o terminal negativo conectado ao
material P e o terminal positivo conectado ao material N.
Tal potencial de barreira é semelhante à placa cátodo de
um diodo de vácuo. Se a placa torna-se positiva em
relação ao cátodo aquecido o diodo conduzirá corrente. Se
aplaca é negativa em relação ao cátodo o diodo bloqueiará
a circulação da corrente.
Assim, quando conectamos um diodo retificador a
uma bateria, a corrente para uma polaridade da bateria é
muito pequena, enquanto que para outra, a corrente é
grande, conforme indicamos no comportamento da
corrente em função da ddp a seguir.
41
Abaixo ilustramos para T1 = 100K
(Vermelho), T2 = 300K (Azul), e T3 = 500K (Verde).
Figura 31 – Corrente em um diodo para diferentes
temperaturas.
I

I0
1000
41
800
600
400
200
0
-0.1
0
Variação
Figura 30 – Corrente em um diodo.
I0
A
0.1
0.2
da
0.3
0.4
0.5
corrente
nA
Lembrando que pode-se controlar o número
de elétrons livres n ou de buracos p, inserindo-se
átomos dopantes na rede cristalina do material
semicondutor, como mostramos anteriormente:
Tipo
Doadores
n
A equação da corrente é dada, no caso mais geral,
por:
I
I0 e
qV
kT
1
Onde: k: Constante de Boltzmann.
k
1,38 10
23 J
K
ou k
8,62 10
T: Temperatura Absoluta (em Kelvin).
5 eV
K
Aceitadores
p
Dopantes
Átomos
Com 5 elétrons na
última
camada:
P,As, Sb
Com 3 elétrons na
última
camada:
B,Ga, In
Função
Aumenta n e
reduz p
Aumenta p e
reduz n
Na região próxima à da junção pn, há a
difusão de elétrons para o lado p e buracos para o
lado n, originando uma região de carga espacial.
O lado n acumula carga líquida positiva e o
lado p acumula carga líquida negativa, produzindo
um campo elétrico através da junção pn, balanceando
o efeito da difusão e impedindo que mais elétrons ou
buracos atravessem a junção.
A região de carga espacial da qual os
elétrons escapam depende da profundidade de
41
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
penetração do campo no semicondutor e é chamada
camada de depleção.
e-
42
b+
p
n
(a) Polarização Reversa na junção:
(Reverse Bias)
(b) Polarização direta na junção:
(Foward Bias)
+V -
42
Uma importante aplicação desta propriedade
do um diodo é em circuitos retificadores, onde se
obtém a partir de um sinal alternado (AC) que tem
média nula, um sinal de corrente contínua (DC).
Retificador de meia onda: ilustrado abaixo:
(a) Polarização reversa na junção: (Back-bias)
Há extração de elétrons do lado n e buracos do lado
p, fazendo com que a região de carga espacial alargue-se e
a corrente circulante seja nula.
b+
ep
 Retificador de onda completa:
n
- V +
(b) Polarização direta na junção:
Nesse caso, os elétrons são extraídos do lado p,
aumentando a concentração de buraco e se difundem
através da junção se recombinando com elétrons do lado n.
O Campo aplicado favorece a condução pela junção.
A tensão de saída no osciloscópio será a
indicada acima.
42
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Podemos utilizar também uma ponte de diodos
para retificar o sinal:
43
mantendo a corrente fluindo na carga até que o diodo
conduza novamente.
V
V
V0
43
t
No semi-ciclo positivo os diodos D2 e D4
conduzem e D1 e D3 cortam. No semi-ciclo negativo os
diodos D2 e D4 cortam e D1 e D3 conduzem. (Observação:
D1 , D2 (acima) e D3 D4 (abaixo) no sentido horário).
A tensão medida no osciloscópio fornecerá:
A carga perdida será dada por:
q
IL T
No capacitor, a variação de voltagem é dada
por:
V
IL T
(Para meia onda).
C
q
C
IL T
(Para onda completa).
2 C
VDC
Como I L
, substituindo na equação
R
V
acima:
V
VDC T
R C
VDC T
V
T
VDC
A ondulação de saída é denominada de
“ripple” e é dada por:
 Retificador com filtro:
r
V
T
VDC
V
VDC
(Meia onda).
T
(Onda completa).
2
Como para V V0 cos(2 ft) e f = 60Hz
r
teremos T = 1/f 0.0166s
Se utilizarmos C = 1
teremos:
R C
r
T
F e R = 100 k
105 10
6
10
1
0.0166
0.166 16,67%
10 1
Quando o diodo conduz, o capacitor se carrega até
V0 e quando o diodo corta o sinal o capacitor se
descarregará com uma constante de tempo:
= R.C,
43
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 LED – Light Emission diode
O diodo emissor de luz opera pelo princípio da
junção pn descrita anteriormente. A figura abaixo ilustra
um circuito que utiliza um LED.
Quando o elétron na base da banda de condução
cai para um buraco no topo da banda de valência em um
semicondutor, uma energia Eg, denominada gap
característica do semicondutor, é liberada. Esta energia
pode ser transformada em vibração na rede do material
semicondutor (comum em semicondutores de silício) ou
liberada na forma de radiação eletromagnética, na região
do visível, o que acontece em materiais semicondutores de
Arseneto de Gálio e fósforo.
A energia Eg se relaciona com o comprimento de
onda da radiação liberada pela equação:
c
f
hc
Eg
Em um LED típico, que consiste de uma junção
pn de As-Ga-P possui Eg=1,9 eV. O comprimento de onda
da luz emitida será:
hc
Eg
6.61 10
34
Js3,0 10 8
1,9eV 1,6 10
19 J
eV
m
s
650 nm
Esse comprimento de onda corresponde à cor
vermelha, maioria dos LEDs comerciais.
Outra aplicação do LED consiste em conectar o
final da junção pn em um cristal devidamente polido, em
um determinado plano de junção que atua como um Laser
Esse dispositivo é denominado de diodo laser. A figura
abaixo ilustra esse componente, desenvolvido na AT&T
Bell Laboratories.
44
 O Efeito Piezelétrico:
Em alguns cristais, como as moléculas
polares (quartzo, topázio), uma tensão mecânica
aplicada a eles provoca a polarização das moléculas.
O efeito denomina-se efeito piezelétrico. A
polarização do cristal sob tensão provoca uma
diferença de potencial entre suas faces que pode ser
aproveitada para gerar corrente elétrica. Os cristais
piezelétricos são utilizados em transdutores como
microfones, captadores fonográficos e dispositivos
detetores de vibrações, que convertem deformações
mecânicas em sinais elétricos. O efeito piezelétrico
invertido: uma tensão aplicada em certos materiais
provoca deformação mecânica, é utilizado em fones
de ouvido, microscópios de varredura e em muitos
outros dispositivos.
Como a freqüência natural de vibração do
quartzo está compreendida na região das
radiofreqüências, e sua curva de ressonância é muito
aguda, o cristal de quartzo é muito utilizado para
estabilizar osciladores de radiofreqüência e controlar
relógios muito exatos.
O efeito piezoelétrico foi descoberto por
Pierre e Jacques Curie em 1880 e consiste na
variação das dimensões físicas de certos materiais
sujeitos a campos elétricos.
O contrário também ocorre, ou seja, a
aplicação de pressões. Por exemplo, pressões
acústicas que causam variações nas dimensões de
materiais piezoelétricos provocam o aparecimento de
campos elétricos neles. Um outro método de gerar
movimentos ultra-sônicos é pela passagem de
eletricidade sobre metais especiais, criando vibrações
e produzindo calor intenso durante o uso. Este efeito
é chamado de magnetoestritivo
O efeito piezoelétrico poderá ser utilizado
em atuadores
(converte eletricidade em energia mecânica)
e em transdutores (converte energia mecânica em
energia elétrica). Isto permite a construção de chaves
e controles, indicadores diretos de voltagens e uma
série de outros sensores. A conversão direta de
eletricidade em energia mecânica pode ser utilizada
para a criação de "músculos metálicos" que darão
movimento a pequenos robôs ou mesmo a próteses
humanas. Mas as aplicações possíveis do material
passam ainda por válvulas microscópicas, ótica
adptativa e materiais inteligentes capazes de alterar
seu formato conforme a necessidade. O efeito de
transdução pode ser utilizado, por exemplo, em
sensores que disparam o "air-bag" dos automóveis.
44
44
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Transístores
Transistores são elementos de circuito de três
terminais, onde se aplica um sinal de baixa potência entre
dois desses para controlar outro sinal de alta potência
entre os outros dois terminais. A figura abaixo mostra a
corrente que passa pelos terminais DS controlada pelo
potencial em G.
45
Com o aparecimento da difusão de
portadores nas junções, produzem-se barreiras de
potencial entre emissor e base e base e coletor.
Transistor de efeito de campo:
(MOSFET)
(Metal-Oxide-Semiconductor
Field-Effect Transistor)
O dispositivo é controlado por um campo
elétrico, diferentemente do modelo anterior que é
controlado pela difusão de portadores.
45
John Bardeen e Walter Houser Brattain receberam
o prêmio Nobel de Física em 1950 pela descoberta do
efeito transístor. A figura abaixo ilustra o primeiro
construído.
Observe que a fonte S e a base G são
aterradas e o potencial VD é aplicado no terminal de
dreno D. A magnitude do ganho da corrente é
controlada pelo potencial VGs.
 Circuitos Integrados:
Há vários tipos de transistores de acordo com sua
construção e características para cada aplicação existente.
Classificamos como:
Transistor de junção bipolar:
(BJJ)
São construídos com semicondutores Ge ou Si, da
forma npn ou pnp.
Transistor pnp
emissor
p
base
coletor
p
ie
Um circuito integrado (o microchip) é um
aparelhinho com um circuito eletrônico completo,
funcionando com transistores, resistências e suas
interconexões, fabricado em uma peça de material
semicondutor, como o silício, germânio ou arseneto
de gálio, folheados em wafers de 8 ou 12 camadas.
Alguns circuitos integrados são usados como
memória (as RAMs, ROMs, EPROMs); outros são
utilizados como processadores - realizando funções
lógicas e matemáticas em um computador.
Alguns CIs, transistores, diodos e LED
(Light emission diode).
ic
e c
ib
b
n
Transistor npn
ie
n
n
ic
e c
ib
b
p
45
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori


Código de cores em resistências:
46
Exemplos - Tipler
 Exemplo 25.1 – Os pontos A, B, C e D são
os vértices de um quadrado de lado a. (a) Calcular o
trabalho necessário para colocar uma carga positiva q
em cada vértice do quadrado, vindo as cargas do
infinito. (b) Mostrar que a equação:
U
n
1
2
qi Vi
i 1
dá, na realidade, este trabalho.
46
 Solução:
(a) Colocando a primeira carga em A, o trabalho é
nulo:
WA
0
Traga-se a segunda carga do infinito até B. O
trabalho efetuado é:
WB
q VA
em que VA é o potencial em B da primeira carga A
no primeiro vértice:
WB
q VA
q
k q
a
WB
k q2
a
A terceira parcela do trabalho é:
WC
q VC
em que VC é o potencial em C devido à carga q em
em A, à distância
distância a:
WC
q VC
WC
2 a , e devido à carga q em B, à
WC
k q
2 a
q
k q2
2
a
k q
a
k q2
2 a
A quarta parcela do trabalho WD corresponde
ao trabalho de colocar a quarta carga no ponto D:
WD
WD
q
WD
q VD
k q
a
k q k q
a
2 a
2
2
k q
k q
2
a
2 a
O trabalho total será:
46
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
WT
WA WB WC WD
k q2
4
a
WT
WT
(b)
WT
WT
U
Pela Lei de Gauss:
4
1
2
U
WT
Er 2
(a)
C
0
V
V1 V2
dV
r2
r1
V
k q
a
k q
a
2
k q2
a
k q
2a
V1 V2
A
10 2
8.85 pF
d
10 3
C 88.5 pF
(b) Q C V 1.06nC
r2
V
V1 V2
r1
V
V
V1 V2
2
47
1
L
Q
2 L
Q
2 L
Q
C
V
2 L 0
C
r
ln 2
r1
0
Q
dr
r
r2
0
1
dr
r
r1
V1 V2
ln
0
r2
r1
 Exemplo 25.4 – Um capacitor de placas
paralelas quadradas, com 14 cm de lado e separadas
por 2 mm é ligado a uma bateria e carregado até 12
V. A bateria é então desligada do capacitor e a
separação entre as placas é aumentada para 3.5 mm.
(a) Qual a carga do capacitor?
(b) Que energia eletrostática está inicialmente
no capacitor?
(c) De quanto se altera a energia quando a
separação entre as placas é modificada?

Solução:
(a) C
Solução:
Q
V
 
E dl
Er dr
r2
Solução:
dV
0
Q
r
r1
i 1
C
0
1
2 L
Er
0
 Exemplo 25.3 – Determinar a expressão da
capacitância de um capacitor cilíndrico constituído por dois
condutores de comprimento L. Um dos cilindros possui
raio r1 e o outro, coaxial ao primeiro, tem o raio interno r2,
sendo r1 < r2 << L.

Q
r L
qi Vi
4
Qint
S
k q2
2
2 a
k q2
2
a
 Exemplo 25.2 – Um capacitor de placas planas e
paralelas tem as placas quadradas com o lado de 10 cm
separadas por 1 mm.
(a) Calcule a capacitância do capacitor.
(b) Se o capacitor foi carregado a 12 V, que
quantidade de carga foi transferida de uma para outra
carga?

 
E
 dS
4
1
4 q
2
47
C
0
Q
Q C V
V
A
0.142
8.85 pF
d
0.002
C 86.7 pF
47
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Q C V
Q 86.7 pF 12
Q 1.04nC
1
1
(b) U
QV U
1.04nC 12
2
2
U 6.24nJ
V V
(c) V E d
E
d d
d
3.5
V
V
V
12
d
2
V 21V
1
1
U
QV
U
1.04nC 21
2
2
U 10.92nJ
U U U
U 10.92nJ 6.24nJ
U 4.68nJ
2
C
 Exemplo 25.6 – Os capacitores do exemplo
anterior são removidos da bateria e desconectados
cuidadosamente um do outro de forma a permanecer
com as respectivas cargas (a). Eles são ligados no
circuito indicado (b). Encontre carga e a diferença de
potencial em cada um deles.
48

0
Solução:
Q
Ceq
L
r
ln 2
r1
C1 C2
Q Q1 Q2
 Exemplo 25.5 – Um capacitor de 2 F e outro de
4 F estão ligados em série aos terminais de uma bateria de
18 V. Calcular a carga e a diferença de potencial em cada
um deles.
48
Q
Ceq V
2
4
Q 24
Ceq V
Q1 C1 V
Q2 C2 V
Ceq
24
Q
Ceq
V
V
Q1 2 8
Q2 4 8
6 F
Q 48 C
48
6
8V
Q1 16 C
Q2 24 C
 Exemplo 25.7 – (a) Calcular a capacitância
equivalente do circuito com três capacitores
esquematizados. (b) Calcular a carga e a diferença de
potencial em cada um deles quando o circuito for
ligado a uma bateria de 6V.

Solução:
Q
1
Ceq
1
Ceq
1
C1
2
4
Ceq V
1
C2
1
4
3
1
Ceq
4
Ceq
1
2
1
4
4
F
3
4
F 18
3
Q 24 C
24 C
V1
V1 12V
2 F
24 C
V2
V2 6V
4 F

Q
V1
V2
Q1
C1
Q2
C2
Solução:
Q
Ceq
1
Ceq
C1 C2
1
C1
1
C2
Q Ceq V
Ceq V
2
4
1
6
1
3
2
6V
Ceq
1 2
6
6 F
Ceq
2 F
Q 12 C
48
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Q 12 C
V3
C3 3 F
Q
12 C
V2,4
Ceq ,1 6 F
C
V3
V2,4
C0
49
C 2 22.1pF
C 44.2 pF
4V
2V
49
Q2
C2 V2,4
Q2
2 F 2V
Q2
4 C
Q4
C4 V2,4
Q4
4 F 2V
Q2
8 C
(c) Entre a nova capacitância C, a carga
inicial Q e a nova diferença de potencial V teremos a
relação:
 Exemplo 25.8 – As placas de um capacitor são
quadradas, de 10 cm de lado, e estão separadas por 4 mm.
Uma chapa de dielétrico, com a constante dielétrica 2, tem
a mesma área que as placas.
(a) Qual a capacitância do capacitor sem o
dielétrico?
(b) Qual a capacitância com o dielétrico enchendo
completamente o espaço entre as placas?
(c) Qual a capacitância se uma placa de dielétrico,
com espessura de 3 mm for inserida no espaço de 4 mm
entre as placas?

Q
V
C
Solução:
A diferença de potencial V no capacitor é a
soma da diferença de potencial no capacitor vazio
Vvazio com a diferença de potencial no dielétrico
Vdielétrico:
V Vvazio Vdielétrico
V
1
4
Ev
d Ed
3
4
d
O campo elétrico no espaço vazio é igual ao
campo elétrico inicial E0:
Ev
Q
E0
0
A
O campo elétrico no dielétrico fica
reduzido pelo fator :
(a) Sem o dielétrico, a capacitância é dada por:
2
C0
0
C0
A
0.1
8.85 pF
d
0.004
22.1pF
(b) Quando o capacitor está cheio com o dielétrico
de constante dielétrica , sua capacitância aumenta pelo
fator .
E0
Ed
Ed
Q
0
A
Sabendo que a diferença de potencial inicial é:
V0
E0 d
E0
E0 14 d
V
V
E0 d
1
4
3
4
V
3
4
d
E0 d
3
4
A capacitância será:
49
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Q
V
C
Q
C
3
E0 d
Q
C
E0 d

4
V
4
Q
C
3
U2
3
V0
4
0
4
C
Q
3 V0
4
C
3
C0
 Exemplo 25.9 – Dois capacitores de placas
planas e paralelas, cada qual com a capacitância C1 = C2 =
2 F, estão ligados em paralelo a uma bateria de 12 V.
Calcular
(a) A carga em cada capacitor.
(b) A energia em cada capacitor.
Os capacitores são então desligados da bateria e
uma chapa de dielétrico com = 2.5 é inserida entre as
placas do capacitor C2. Calcular, então,
(c) a diferença de potencial em cada capacitor,
(d) a carga em cada capacitor e
(e) a energia em cada capacitor.

C V
2
U
2
2U
122
2
U
144 J
QTot
Ceq
C1 C2
Ceq
C1
C1
2 F 2.5 2 F
QTot
48
V
Ceq
7
C
7 F
V
6.86V
Q1 C1 V
Q2 C2 V
1
U1
C1 V 2
2
Solução:
Q1 C1 V
Q2 C2 V
1
U1
C1 V 2
2
1
U2
C2 V 2
2
U U1 U2
Q1 24 C
Q2 60 C
U1 144 J
U2
360 J
U 504 J
 Exemplo 25.10 – Um átomo de hidrogênio
consiste em um núcleo com um próton de carga +e e
um elétron de carga –e. A distribuição de carga no
átomo é esfericamente simétrica e o átomo não é
polar. Considere um modelo em que o átomo de
hidrogênio consiste em uma carga positiva pontual no
centro de uma nuvem de distribuição de carga de raio
R e carga total –e. Mostre que quando um átomo é
colocado em um campo elétrico externo uniforme E ,
o momento de dipolo induzido é proporcional a E,
isto é: p
E , onde α é chamado de
polarizabilidade.
U 288 J
V
Ceq
V
2
U
UTotal
C
Q C V
12
Q 24 C
2
 Exemplo 25.10 – Encontre
(a) A carga em cada capacitor.
(b) A energia total armazenada em cada
capacitor do exemplo anterior se um dielétrico é
inserido entre as placas de um capacitor.enquanto a
bateria ainda está desconectada.

Solução:
Q
1
1
C2 V 2 U2
5 6.862 U2 118 J
2
2
U U1 U2 U 47.1 J 118 J
U 165 J

4 2
22.1pF
2 3
C 35.4 pF
C
50
Q1 2 6.86 Q1 13.7 C
Q2 5 6.86 Q2 34.3 C
1
U1
2 6.862 U1 47.1 J
2

Solução:
p e L
  1
 E dA Qint
S
0
50
50
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
4
 Exemplo 26.2 – Num acelerador de
partículas, uma corrente de 0.5 mA é fruto do
movimento de prótons de 5 MeV num feixe cujo raio
é 1.5 mm. (a) Calcular a densidade numérica dos
prótons no feixe. (b) Se o feixe atinge um alvo,
quantos prótons colidem com este alvo em 1 s?
1
Qint
4 L2 0
0
4
e
L3
Qint
L3
4
3
R3
3
L3
Qint
e 3
R
1
L3
Qint
E
e 3
4 L2 0
R
0
L
E
e
3
4
0 R
4
3
Qint
E
1
L2
E 4
1
L2
Qint
4
L
E
E

e
E

Q
t
n q A vd
vd
I
n q A
na
8.93 cmg 3
na
na
8.47 1022 átomos
cm3
q
vd
vd
8.47 10
A
I
n q A
v
22 átomos
cm3
vd
NA
m
M
6.02 1023 átomos
mol
g
63.5 mol
8.47 1028 átomos
m3

Ni
19
1.6 10 C
5 m
s
3.1 107 1.6 10
19
3
1.5 10
3 2
prótons
m3
Exemplo 26.3 – Um fio de nichrome
10
6
m tem um raio de 0.65 mm. Qual o
comprimento necessário para se obter uma resistência
de 2 Ω ?
I
na e
1
2 8 10 13
1.67 10 27
m
v 3.1 107
s
0.5 10
n 1.43 1013
2
3.54 10
I
vd q A
n
e
r
n q A vd
I
vd q A
K 5MeV 5 106 1.6 10 19 J
K 5MeV 8 10 13 J
1
2 K
K
m v2
v
2
m
na
na
Q
t
n
A densidade numérica de elétrons livres será igual
a densidade de átomos para m elétron livre por átomo:
n
n q A vd
Solução:
I
Solução:
I
Q
t
 Exemplo 26.2 – Num acelerador de
partículas, uma corrente de 0.5 mA é fruto do
movimento de prótons de 5 MeV num feixe cujo raio
é 1.5 mm. (a) Calcular a densidade numérica dos
prótons no feixe. (b) Se o feixe atinge um alvo,
quantos prótons colidem com este alvo em 1 s?
 Exemplo 26.1 – Um fio condutor típico, de
experiências de laboratório, é de cobre e tem o raio de
0.815 mm. Calcular a velocidade de migração dos elétrons
neste condutor percorrido por uma corrente de 1 A.
Admitir que haja um elétron livre por átomo.

Solução:
I
R3 E
0
51
r2

4
8.15 10 m
2
Solução:
R
l
l
R A
l
A
R
r2
51
51
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
2
l
0.65 10
10
2
3
6
l 2.65m
 Exemplo 26.4 – Calcular a resistência, por
unidade de comprimento, de um fio de cobre 14.

(d) a potência proporcionada pelo resistor externo.
(e) a potência dissipada pela resistência interna da
bateria.
(f) se a bateria for de 150 A.h, que energia pode
reter?
 Solução:
(a) a corrente,
I
Solução:
l
A
R
l
R r
Va Vb
A
I
0.5 A
1.7 10 8
m
1.7 10
8
2.08 10
3
r I Va Vb 6 1 0.5
Va Vb 5.5V
2
Para o fio de cobre 14: A = 2.08 mm
R
l
6
11 1
I
(b) a voltagem,
R
Cu14
52
52
(c) a potência proporcionada por essa fonte de
fem.
P
I
P 6 0.5
P 3W
(d) a potência proporcionada pelo resistor
externo.
2
P
R
8.17 10 3
l
m
R I2
P 11 0.52
P
2.75W
(e) a potência dissipada pela resistência interna da
bateria.
r I2
P
 Exemplo 26.5 – Admitindo que o campo elétrico
seja uniforme, determinar seu módulo no fio de cobre
calibre 14 mencionado no exemplo anterior quando
percorrido por uma corrente de 1.3 A.
P 1 0.52
P
0.25W
(f) se a bateria for de 150 A.h, que energia pode
reter?
W
Q
W 150 A h 3600
C
6V
A h
W 3.24MJ

Solução:
E
V
E
 Exemplo 26.8 – Dada uma bateria de fem
conhecida e resistência interna r, que valor deve ter a
resistência de um resistor ligado em série com a
bateria para que o efeito Joule no resistor seja
máximo ?
V
l
R I
R I
l
R
E I
1.3 8.17 10
l
V
E 1.06 10 2
m

 Exemplo 26.6 – Um resistor de 12 é percorrido
por uma corrente de 3 A. Calcular a potência dissipada
nesse resistor.

P
Solução:
2
3
R
R r
P
dP
dR
2
R r
2
2
R R r
2
2
1
R R r
3
Resolvendo:
R
r
Solução:
R I2
P 12 32
P 108W
 Exemplo 26.7 – Uma bateria de fem igual a 6 V e
resistência interna de 1 está ligada a um resistor de 11 .
Calcular:
(a) a corrente,
(b) a voltagem,
(c) a potência proporcionada por essa fonte de fem.
 Exemplo 26.9 – Uma diferença de potencial
de 12 V é impressa ao circuito de 2 resistores, de 4
e de 6
ligados em paralelo. Calcular (a) a
resistência equivalente, (b) a corrente no circuito, (c)
52
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
a corrente em cada resistor, (d) a potência dissipada em
cada resistor e (e) a potência debitada pela bateria.

 Exemplo 26.10 – Um resistor de 4 e outro
de 6
estão ligados a uma bateria de 12 V. e
resistência interna desprezível. Calcular (a) a
resistência equivalente, (b) a corrente no circuito, (c)
a queda de potencial em cada resistor, (d) a potência
dissipada em cada resistor e (e) a potência total
dissipada.
Solução:
(a) Resistência equivalente: paralelo:
1
Req
1
Req
1
R1
1
R2
6 4
24
1
Req
Req
1
Req
10
24
1
4
53
1
6
Req
24
10

2.4
Solução:
(a) Resistência equivalente: série:
Req
R1 R2
(b) Corrente no circuito:
V
Req I
12
2.4
I
I
I
Req
V
Req
V1
R1 I1
12
4
I1
V2
R2 I 2
12
6
I2
V
I1
I2
I2
R1 I12
V
R1
12
10
I
P1
P2
R2 I
P2
P2
V1
V2
V
R2
V2
P1
2A
4 32
P2
R1 I12
P1
P1
5.76W
R2 I 22
P2
4 1.22
6 1.22
P2 8.64W
6 2
(e) A potência debitada na bateria será:
2
Pb 12 5
60W
Observe que:
P1 P2
7.2V
(d) A potência em cada um será:
Pb Vb I
Pb
(e) A potência debitada na bateria será:
Pb
I 1.2 A
R1 I V1 4 1.2
V1 4.8V
R2 I V2 6 1.2
3A
24W
Pb Vb I
V
Req
(c) A tensão em cada resistor: como estão em
série, a corrente é a mesma em cada um:
P1 36W
2
2
I
5A
I1
4 6
10
Req I
(d) A potência em cada um será:
P1
Req
(b) Corrente no circuito:
(c) A corrente em cada resistor: como estão em
paralelo, a tensão é a mesma em cada um:
Pb
53
60W 36W 24W
Pb 12 1.2
14.4W
Observe que:
Pb
P1 P2
14.4W 5.76W 8.64W
 Exemplo 26.11 – No circuito esquematizado
da figura, calcular (a) a resistência equivalente, (b) a
corrente debitada pela fonte de fem (c) a queda de
potencial em cada resistor e (d) a corrente em cada
resistor.
53
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Req
Solução:
(a) Resistência equivalente: série:
Rp
R3
R1 R2
R1 R2
Req
R3
12 6
2
12 6
72
Req
2
18
Req 6
Req
Req I
I
18
6
R3 I
I
V
Req
I1
V2
I2
12
12
R2 I 2
12
6
54
R3
a tensão ficará:
V
6V
R1 I1
V
I1
R1
8
Reqi
3A
23
R1 I1
R1 R2
R1 R2
Req
Reqi R3
Req
R2 I2 V1
V1
R3
Reqi
(d) A corrente em cada resistor:
V2
Rp
4 12
5
4 12
48
Reqi
5
16
Req 3 5
(c) A tensão em cada resistor: como nos resistores
R1 = 12
e R2 = 6
estão em paralelo, a tensão é a
V 12V
mesma em cada um: V Rp I 4 3
V3
Reqi
i
I
Na resistência R3 = 2
 Solução:
No Ramo inferior:
Reqi
(b) Corrente no circuito:
V
54
R3
8 24
8 24
Req 6
Req
 Exemplo 26.13 – As fems e as resistências dos
elementos do circuito esquematizado estão
assinaladas em cada um deles. Calcular (a) o
potencial nos pontos a até g, admitindo que o
potencial do ponto f seja nulo. (b) Fazer o balanço de
energia no circuito.
I1 1A
I2
I2
V
R2
2A
 Exemplo 26.12 – Calcular a resistência
equivalente da associação de resistores indicada:
 Solução:
(a) A corrente no circuito será dada pela Lei de
Ohm generalizada:
54
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Ri
12 4
8
5 5 4 1 1 16
I
a bateria carregada tenha uma fem de 1 = 12 V e a
outra a fem de
2 = 11 V, e que as resistências
internas sejam r1 = r2 = 0.02 . A resistência interna
dos condutores de carga é R = 0.01 . Qual será a
corrente de carga? (c) Qual será a corrente se a
ligação nas baterias for feita erroneamente?
i
I
I
0.5 A
Potencial em cada ponto do circuito:
Vg
Va
Vf
Vg
1
0 12 12V
I r1 12 0.5 1 11.5V
Vb Va I R1
Vc Vb I R2
Vd Vc 2
Ve Vd I r2
Vf
Ve
I R3
11.5 0.5 5 9V
9 0.5 5 6.5V
6.5 4 2.5V
2.5 0.5 1 2V
1
55
2 0.5 4 0V
(b) Cálculo da potência debitada pela fonte
P1
55
I
P1
P1
6W
1:
 Solução:
(a) Esquema da ligação acima.
(b)
Leis de Kirchhoff:
12 0.5
Potência dissipada pelos resistores:
PR
R1 I 2
PR
R2 I 2
R3 I 2
r1 I 2
r2 I 2
5 5 4 1 1 0.52
PR
4W
Cálculo da potência consumida na carga da
bateria2:
P2
2
I
P2
P1
2W
4 0.5
I
I
1
2
R r1 r2
12 11
1
0.02 0.02 0.01 0.05
I
20 A
(c) A regra das malhas, de Kirchhoff, dará:
I
I
1
2
R r1 r2
12 11
23
0.02 0.02 0.01 0.05
Carinha, você vai explodir
espalhando ácido em tudo...cuidado!!!
I
460 A
a
bateria,
 Exemplo 26.14 – Uma bateria de um automóvel,
em plena carga, é ligada por dois condutores de grosso
calibre (cabos de “chupeta”) a outra bateria descarregada.
(a) Que terminal da bateria sem carga deve ser ligado ao
terminal positivo da bateria carregada? (b) Admitamos que
55
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

56
Esquema da “chupeta”: Faça direito se não
explode!!!
56
Pilha elétrica alcalina
56
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
57
 Exemplo 26.15 – (a) Calcular a corrente em cada
parte do circuito esquematizado. (b) Calcular a energia
dissipada em 3 s no resistor de 4 .
 Solução:
(a) Cálculo da resistência equivalente de 3
6
 Solução:
(a) Lei dos nós:
I
I1
:
1
Req
I2
1
R1
Malha abcdefa:
12 2 I2 5 3 I1 I 2
7 3 I1 5 I2
e
R1 R2
R1 R2
Req
3 6 18
3 6 9
Req
0
1
R2
Req
2
0
Malha abefa:
12 4 I1 3 I1 I2
12 7 I1 3 I2
0
0
Resolvendo o sistema:
I I1 I 2
7 3 I1 5 I 2 0
12 7 I1 3 I 2 0
Lei dos nós:
I
Teremos:
I
I2
I1
P
18 12 I 3 I1 0
2 I I1 3
Regra das malhas na Malha bcdeb:
será:
3 I I1
R1 I12
P 4 1.52
P 9W
P t W
W 27J
21 2 I I1
5 I 11 I1
6 I1
0
21
Resolvendo o sistema:
(c) A energia liberada será:
W
I2
Malha abefa:
2A
0.5 A
1.5 A
(b) A potência no resistor de 4
I1
I I1 I 2
2 I I1 3
93
5 I 11 I1
 Exemplo 26.16 – (a) Calcular a corrente em cada
ramo do circuito esquematizado. Completar o diagrama
com os sentidos e valores das correntes em cada ramo. (b)
Atribuir o potencial V = 0 no ponto c e identificar os
potenciais dos pontos a até f.
21
Teremos:
I 2A
I2 3A
I1
de 3
1A
Cálculo da queda de potencial nos resistores
e 6 em paralelo :
V
I I1 Req
6V
57
57
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
58
Corrente em cada um dos resistores paralelos:
IR
3
IR
6
V
R3
V
R6
IR
3
IR
6
6
3
6
6
IR
3
2A
IR
6
1A
(b) Identificando no circuito os valores das
correntes e trocando o sentido adequadamente:
(a) A carga inicial é dada por:
Q0
CV
Q0
Q0
4 F
24V
96 C
(b) A corrente inicial é igual ao quociente
entre a voltagem inicial e a resistência:
V0
24
I0
R
200
I0 0.12A
I0
(c) A constante de tempo é:
R C
800 s
58
200 4 F
0.8ms
(d) para t = 4 ms:
t
Q t
Q0 e
Q t
Q t
Vd
Ve
Vc 21 0 21 21 Vd 21V
Vd 3 2A 21 6 15 Ve 15V
Vf
Va
Vf
Vb Va 2
Ve
15V
18 15 18 33
Va
12A 33 24 9
33V
Vb 9V
 Exemplo 26.17 – Um capacitor de 4 F é
carregado a 24 V e depois ligado a um resistor de 200 .
Calcular:
(a) a carga inicial no capacitor.
(b) a corrente inicial no resistor de 200 .
(c) a constante de tempo do circuito.
(d) a carga no capacitor depois de 4 ms.

4ms
4ms
96 C e
4 ms
0.8 ms
0.647 C
 Exemplo 26.18 – Uma bateria de 6 V e
resistência interna insignificante é usada para carregar
um capacitor de 2 F através de um resistor de 100
. Calcular:
(a) a corrente inicial,
(b) a carga final no capacitor e
(c) o tempo necessário para a carga atingir 90%
de seu valor final.

Solução:
(a) Cálculo da corrente inicial:
I0
Solução:
6
R
100
I0 0.06A
I0
(b) Carga final:
Qf
C
Qf
Qf
(c) Q t
2 F
6V
12 C
C
1 e
t
RC
t
Q t
Qf
1 e
t
0.9 Q f
Qf
1 e
58
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
t
0.9 1 e
t
e
1 0.9
t
e
0.1
I0
59
3A
(b) Depois de um grande intervalo de tempo, o
capacitor estará completamente carregado e não há
mais fluxo de cargas. A regra da malhas aplicada à
malha da esquerda, abefa dará:
t
ln e
t
ln e
t
t
t
ln 0.1
ln10
59
1 ln10
ln10
R C ln10
t 100 2 F 2.5
t 460 s
12 4 I f
If
8I f
0
1A
 Exemplo 26.19 – O capacitor no circuito está
inicialmente descarregado. Calcular a corrente através da
bateria
(a) imediatamente depois de a chave ser fechada.
(b) um grande intervalo de tempo depois de a chave
ser fechada.
 Solução:
(a) Como o capacitor está inicialmente
descarregado, o potencial nos pontos d e c são iguais logo
depois de a chave ser fechada. Logo, não há corrente inicial
através do resistor de 8 , entre b e e, nesse instante. A
regra das malhas aplicada à malha abcdefa dará:
12 4 I 0
0
59
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Exercícios:
1) Um eletrômetro é um aparelho que é usado para
medir carga estática. Um a carga desconhecida é colocada
nas placas de um capacitor e a diferença de potencial é
medida. Qual o mínimo de carga que pode ser medida por
um eletrômetro de capacitância 50 pF e voltagem 0,15 V ?
2) Dois objetos metálicos, de cargas +70pC e 70pC estão sobre uma diferença de potencial de +20V.
a) Qual a capacitância do sistema?
b) Qual a ddp se as cargas forem de +200 pC e 200pC sem a capacitância mudar?
60
8) Suponha que as duas superfícies esféricas
de um capacitor esférico possua uma o dobro da área
da outra. Encontrar sua capacitância.
9) Quantos capacitores de 1,00 mF devem
ser conectados em paralelo para armazenar uma carga
de 1,00 C com uma ddp de 110 V sob os capacitores?
10) Na figura, encontre a
equivalente da associação. Assuma que
C1=10,0 F,
capacitância
C2= 5,0 F e C3= 4,0 F
60
C
1
C
2
V
3) O capacitor da figura têm capacitância de 25 m
F e está inicialmente descarregado. A bateria o mantém a
uma ddp de 120 V. Depois da chave se fechar por um
grande tempo, qual a carga no capacitor?
11) Cada um dos capacitores na figura
abaixo possuem uma capacitância de 25,0 F. Uma
diferença de potencial de 4200 V é aplicada quando a
chave é conectada. Quantos coulombs de carga
atravessam o medidor A?
C
+
C
3
1)
Se a ddp V for de 120 V, qual a carga em
cada capacitor ?
S
-
A
S
4200 V
C
C
C
V
4) Um capacitor de placas paralelas circulares
possui 8,2 cm de raio e separação 1,3 mm.
a) Calcule sua capacitância.
b) Qual a carga que aparece nas placas quando
uma ddp de 120 V é aplicada no capacitor?
12) Quanto de energia é armazenada em 1
metro cúbico de ar devido a um campo elétrico de
intensidade 150 V/m ?
5) Dispomos de duas placas de metal de 1m2 de
13) Que capacitância é necessária para
armazenar uma energia de 10 kW-h a uma ddp de
1000V?
área e fabricamos com elas um capacitor plano de 1,00 F.
Qual deve ser a separação entre as placas?
6) As placas do catodo de um tubo de diodo a
vácuo sào da forma de dois cilíndros concêntricos com o
catodo sendo o cilindro central. O diâmetro do catodo é de
1,6 mm e o cilindro externo possui diâmetro de 18 mm.
Ambos possuem o comprimento de 2,4cm. Calcule a
capacitância do diodo.
7) Uma gota esférica de mercúrio de raio R tem
capacitância dada por C 4 0 RSe duas destas gotas
combinam para formar uma terceira gota maior, qual a
capacitância da terceira gota?
14) Dois capacitores de 2 F e 4 F de
capacitância são conectados em paralelo sob uma ddp
de 300 V. Calcule a energia total armazenada nos
capacitores.
15) Um capacitor de placas paralelas possui
capacitância de 7,4 pF quando há ar em seu interior.
Preenchido por um dielétrico, sua capacitância vai
para 7,4 mF. Encontre o valor da constante dielétrica.
16) Uma corrente de 5 A existe em um
resistor de 10 por 10 min.
a) Qual a carga elétrica nesse intervalo de
tempo ?
60
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
b) Quantos elétrons passam pela seção transversal
desse resistor nesse intervalo de tempo?
c) Encontre a ddp.
17) A corrente elétrica típica em um terminal de
vídeo é de 200 A. Quantos elétrons atravessam a cada
segundo?
18) A cinta de um gerador de Van de Graaff
possui 50 cm de largura e velocidade de 30 m/s. A cinta
carrega carga para a esfera a uma razão correspondente a
100 A. Encontre a densidade superficial de carga na cinta.
19) Uma corrente é estabelecida em um tubo de
descarga de gás quando uma suficiente e alta voltagem são
aplicadas através dos dois eletrodos do tubo. O gás ionizase e elétrons se movem para o terminal positivo enquanto
os íons positivos vão em direção ao terminal negativo.
Qual a magnitude e direção da corrente em um tubo de
descarga de hidrogênio no qual há 3,1.1018 elétrons e
1, 1.1018 prótons se movendo em uma seção de área
transversal do tubo ?
20) Uma junção pn é formada quando dois
diferentes materiais semicondutores na forma de cilindros
idênticos de raio 0,165 mm são conectados. Cerca de
3, 5.1015 elétrons por segundo atravessam a junção do lado
. 15 buracos (um buraco
n para o lado p, enquanto 2, 2510
atua como se fosse uma partícula de carga +e) atravessam
do lado p para o lado n.
n
p
Qual a corrente total e a densidade de corrente?
21) Um resistor possui área de seção transversal
corrente
é
de
1, 4.103 A2 .
J
m
61
Encontre
a
resistividade do fio.
25) Um bloco retangular de área de seção
transversal 3, 50cm2 possui comprimento de 15,8 cm
e resistência 935
O material pelo qual o bloco é
constituído possui
(elétrons de
5, 3310
. 22 eletrons
3
m
condução). Uma diferença de potencial de 35,8 V é
aplicada entre seus terminais.
a) Qual a corrente sobre o bloco?
b) Se a densidade de corrente é uniforme,
qual seu valor?
c) Qual a velocidade de escoamento
(correnteza) dos elétrons de condução?
d) Qual o campo elétrico no bloco?
61
26) Um estudante possui um rádio de 9,0 V e
7,0 W. Ligado das 9:00 PM às 2:00 AM, quanta
carga atravessou-o?
27) Um certo tubo de raio X opera a uma
corrente de 7,0 mA e uma ddp de 80 kV. Qual a
potência dissipada, em watts?
28) Energia térmica é produzida por um
resistor a uma razão de 100 W quando uma corrente
de 3,00 A o atravessa. Qual sua resistência ?
29) Um resistor desconhecido é conectado
aos terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência
dissipada pelo resistor é 0,540 W. Quando o resistor é
conectado entre os terminais de uma bateria de 1,5 V
, qual a potência dissipada por ele?
30) Encontre a resistência equivalente entre
os pontos A e B nos casos abaixo.
igual a 56, 0cm 2 . Qual a resistência se este resistor for um
fio de 10 km de comprimento? A resistividade deste fio é
a)
3, 00.10 7 .m .
22) Um fio condutor possui diâmetro de 1 mm, 2
m de comprimento e resistência elétrica de 50 mW.
Encontre sua resistividade.
180 
A
100 
50
B
90 
23) Um fio de uma liga níquel-cromo-ferro, possui
1, 0mm 2
comprimento 1 m e área de seção transversal de
.
Se uma corrente de 4 A o atravessa quando submetido a
uma diferença de potencial de 2V, encontre a
condutividade do fio. (Obs.: =1/ ).
24) Quando aplicamos uma ddp de 115 V em um
fio de raio 0,3 mm e comprimento 10 m, a densidade de
b)
A
50 

150
B
61
Física III – Leis de Kirchhoff. Componentes Eletrônicos e Dielétricos – CAPÍTULO IV - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
62
c)


40 
A
200 
80
B
50 
80 
40

220 V
120
d)
+5q
-2q
d
-3q
d
40 
A
300 
6 80
B
80 
160
d
P
d
120
+3q
e)
300
A
300 
40 
6 80
B
160
d
-2q
d
-5q
21) Se a Terra possui uma densidade de
carga superficial de 1,0 elétrons por metro quadrado,
(assumindo aproximação) qual seria o potencial
elétrico da Terra? E o campo elétrico da Terra na sua
superfície?
80 
22) Os elétrons tendem a se mover em
regiões de alto ou baixo potencial?
120
31) No circuito abaixo determine:
a) A corrente que atravessa os resistores.
b) A ddp em cada resistor:
A)
150 

50
120 V
B)
62
62