Introdução

Introdução
Matemática Discreta
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Disciplina
❏ Aulas:
Segunda-feira e terça-feira: 8:00 até 9:50
❏ Avaliações: listas de exercícios e três provas;
❏ Livros disponíveis na biblioteca (primeira parte do
conteúdos será baseada nos livros de Gersting e Garcia
et al).
Conteúdos
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Introdução;
Lógica Proposicional e de primeira ordem;
Conjuntos;
Relações;
Sequências e somas;
Indução e recursão;
Análise Combinatória;
Elementos da teoria dos números.
Matemática Discreta
• É o estudo das estruturas algébricas discretas, em vez
de contínuas;
• Os objetos estudados em matemática discreta (números
inteiros, grafos, afirmações lógicas, etc) não variam
suavemente, mas tem valores distintos separados
(discrete);
• A matemática discreta tem sido caracterizada como o
ramo da matemática que lida com conjuntos contáveis.
• É o estudo matemático baseado em conjuntos contáveis,
finitos ou infinitos (ex: números naturais x reais).
Matemática Discreta x Computação
Segundo Diretrizes Curriculares do MEC,
“A matemática, para a área de computação, deve ser vista como
uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos
computacionais. Os modelos formais permitem definir suas propriedades e
dimensionar suas instâncias, dadas suas condições de contorno. (...)
Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao
discreto, a matemática discreta é fortemente empregada.”
Qualquer sistema computacional possui limitações finitas
como, por exemplo, tamanho de memória, arredondamento,
etc.
Contínuo x Discreto
Contínuo x Discreto
Contínuo:
• álgebra linear e geometria analítica (fase 2);
• cálculo diferencial e integral (fase 3);
Discreto:
• Aritmética básica em computadores;
• Programação;
• Estrutura de dados;
• Grafos;
• Inteligência artificial;
• Cálculo numérico (fase 4);
• Simulação (pesquisa científica), etc.
Outros Exemplos
Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008
Outros Exemplos
Imagens digitais
Outros Exemplos
Mapas (exemplo de grafo)
Outros Exemplos
Simulação computacional (elementos finitos)
Reforçando o entendimento
1) Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 com 𝑥 ∈ ℕ, então o conjunto
de valores de f é finito ou infinito? Este conjunto é
contável? Essa função é contínua?
2) Agora, no exemplo 1 considere 𝑥 ∈ ℝ. Responda as
mesmas perguntas.
Lógica
• A lógica matemática é a base pra qualquer estudo em
computação, em particular, para o estudo da matemática
discreta;
• Para desenvolver qualquer algoritmo e
consequentemente, qualquer software computacional,
são necessários conhecimentos básicos de lógica.
• Por isso, nosso primeiro tópico da disciplina será a lógica
formal.
Lógica
Em uma palestra no Simpósio Brasileiro de Engenharia de
Software, David Parnas, importante pesquisador
internacional e um dos pioneiros da engenharia de software
afirmou,
“O maior avanço da engenharia de software nos últimos dez
anos foram os provadores de teoremas.”
Exemplos de problemas: Pitágoras, Báskara, caminho até o
IFSC, tese de doutorado, etc.
Problema dos dois exércitos
Considere um campo de batalha com o seguinte cenário:
Problema dos dois exércitos
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O exército Azul está em maior número que o Branco, porém dividido
em dois;
• Cada metade do exército Azul está em menor número;
• Objetivo do Azul: coordenar ataque em conjunto ao exército Branco;
• O general do Azul 1 envia seu melhor soldado para entregar a seguinte
mensagem para o Azul 2:
“Vamos atacar conjuntamente o exército Branco amanhã às 6hs.”
Obs: ambos generais tem os relógios perfeitamente sincronizados e a
única forma de comunicação entre os generais é o mensageiro.
•
O soldado entrega a mensagem pro general do Azul 2, que concorda
com o ataque, após isso, o soldado retorna até o Azul 1 e confirma com
seu general o ataque no dia seguinte.
• Sabendo disso, o que houve no dia seguinte?
Para pensar:
(CESPE 2014) Determine a negação da proposição “Lívia é
estudiosa e Marcos decora”.
a) Lívia é estudiosa ou Marcos decora
b) Lívia não é estudiosa e Marcos não decora.
c) Lívia não é estudiosa ou Marcos decora.
d) Lívia não é estudiosa ou Marcos não decora.
e) Marcos não decora e Lívia é estudiosa.
Para pensar:
ALTERNATIVA D
Para uma conjunção ser FALSA, basta que
apenas UMA das proposições que a forma também seja.
Logo, para negar uma conjunção basta que uma OU
OUTRA proposição seja falsa.