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NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
“CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’
PROFESSOR:Ardelino R Puhl
PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
1-A um teatro compareceram 519 homens e 385 mulheres. Quantas pessoas foram ao teatro?
2-Numa livraria havia 586 livros de poesia. Foram vendidos 283. Quantos livros ainda não foram
vendidos?
3-Luana tem 75 livros. Suzana tem o triplo dos livros de Luana. Quantos livros Susana têm?
4-Numa escola a diretora guardou 56 tubos de cola em 7 caixas. Quantos tubos ela guardou em cada
caixa, se em cada uma colocou a mesma quantidade?
5-Paula Ana e Marta são irmãs e todas elas ganham mesadas do pai, só que cada uma ganha um
valor diferente. Paula ganha R$ 70,00 por mês, Ana ganha R$ 60,00 e Maria R$ 50,00. Qual o total
que o pai das meninas precisa separar no mês para pagar as mesadas?
6-Fabrício tinha 320 reais para pagar as contas (117 reais de energia elétrica, 58 reais de água e 88
reais de telefone) e para fazer algumas compras. Quanto lhe restou para fazer as compras?
7-Na escola de Pedro há 8 classes de 35 alunos, 5 classes de 33 alunos e 12 classes de 30 alunos.
Qual é o total de alunos nessa escola?
8- Quarenta oito balas foram repartidas entre três crianças, Ana, Maria e João. Quantas balas cada
uma receberam?
9-Ana tinha 500 reais no banco. Na segunda-feira retirou 250 reais e na terça-feira fez um depósito
de 180 reais. Qual o valor do seu saldo?
10-Da mesada que ganhei R$ 180,50 gastei 32,80 no primeiro dia e 42,90 no segundo dia. Quanto
ainda possuo?
MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Introdução
As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais
corriqueiras do cotidiano:
 Qual a área desta sala?
 Qual a área desse apartamento?
 Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?
 Qual a área dessa quadra de futebol de sete?
 Qual a área pintada dessa parede?
Superfície e área
Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza,
portanto, um número.
METRO QUADRADO
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de
lado.
Unidade
Múltiplos
Submúltiplos
Fundamental
quilômetros hectômetro decâmetro
metro
decímetro centímetro milímetro
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado
quadrado quadrado
quadrado
2
2
2
2
2
2
km
hm
dam
m
dm
cm
mm2
1.000.000m2 10.000m2
100m2
1m2
0,01m2
0,0001m2 0,000001m2
O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2e o mm2
são utilizados para pequenas superfícies.
Exemplos:
1)Leia a seguinte medida: 12,56m2
km2
hm2
dam2
m2
12,
dm2
56
cm2
mm2
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a
uma unidade de área.
2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2
km2
hm2
dam2
1
m2
78,
dm2
30
cm2
mm2
dm2
70
cm2
mm2
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”
3)Leia a seguinte medida: 0,917 dam2
km2
hm2
dam2
0,
m2
91
Lê-se 9.170 decímetros quadrados.
Observe que:
a)1 pé = 12 polegadas
Pé
= 30,48 cm
Polegada
= 2,54 cm
Jarda
= 91,44 cm
Milha terrestre
= 1.609 m
Milha marítima
= 1.852 m
b) 1 jarda = 3 pés
MEDIDAS AGRÁRIAS
As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas,
etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um
submúltiplo, o centiare (ca).
Unidade
hectare (ha)
are (a)
centiare (ca)
agrária
Equivalência
100ª
1a
0,01a
de valor
Lembre-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície,
cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
2
2
 transformar2,36 m em mm .
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000
(100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)
2) Transforme 3,1416 m2 em cm2
(R: 31.416 cm2)
3) Transforme 2,14 m2 em dam2
(R: 0,0214 dam2)
4) Calcule 40m x 25m
(R: 1.000 m2)
MEDIDAS DE VOLUME
Introdução
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões:
comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular
medidas de metros cúbicos e volume.
Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida
correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Unidade
Múltiplos
Submúltiplos
Fundamental
quilômetro
hectômetro decâmetro
decímetro centímetro
milímetro
metro cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
cúbico
3
3
3
3
3
3
km
hm
dam
m
dm
cm
mm3
1.000.000
0,000000001
1.000.000.000m3
1.000m3
1m3
0,001m3 0,000001m3
3
m
m3
Leitura das medidas de volume
A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares.
Devemos utilizar porem, três algarismos em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar
incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3
km3
hm3
dam3
m3
75,
dm3
840
cm3
mm3
dm3
006
cm3
400
mm3
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3
km3
hm3
dam3
m3
0,
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada
unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
3
3
 Transformar2,45 m para dm .
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3
Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3
2) Transforme 180 hm3 em km3
3) Transforme 1 dm3 em dam3
(R: 8.132 hm3)
(R: 0,18 km3)
(R: 0,000001 dam3)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3
(R: 3,88 m3
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este
recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1litro = 1dm3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro
litro
decilitro centilitro mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1000l
100l
10l
1l
0,1l
0,01l
0,001l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações
1litro = 1dm3
1ml = 1cm3
1kl = 1m3
Leitura das medidas de capacidade

Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal
kl
hl
dal
L
2,
4
dl
7
Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".
PERÍMETRO DE UM POLÍGONO
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.
cl
8
ml
PERÍMETRO DO RETÂNGULO
b - base ou comprimento
h - altura ou largura
Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)
PERÍMETRO DOS POLÍGONOS REGULARES
Triângulo equilátero
Quadrado
P = l+ l + l
P=3·l
P = l + l + l+ l
P=4·l
Pentágono
Hexágono
P=l+l+l+l+l
P=5·
P=l+l+l+l+l+l
P=6·l
l - medida do lado do polígono regular
P - perímetro do polígono regular
Para um polígono de n lados, temos:
P=n·l
COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA
Um pneu tem 40 cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu
corresponde na horizontal a quantos centímetros?
Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o
bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.
Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco
superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo
não experimental.
Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:
Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu
diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.
Assim:
O número 3,141592...corresponde em matemática à letra grega π (lê-se "pi"), que é a primeira lera
da palavra grega perímetro. Costuma-se considera π = 3,14.
Logo:
Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de
qualquer circunferência.
Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da
roda obtido experimentalmente.
C=2 r
C = 2. 3,14 · 20
C = 125,6 cm
3,141592...
CÁLCULO DE ÁREA EXEMPLOS
1-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
.A área do quadrado é de 400 cm2.
:
2-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste
terreno?
. A área deste terreno é de 125 m2.
3-A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm,
qual é a área deste triângulo?
A área deste triângulo é 12,25 cm2.
4-A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?
A área da lente da lupa é de 78,54 cm2.
Exercícios
5-Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?
6- Calcular a área e o perímetro das figuras a baixo;
b)b) b)
c c)
7,8m
a)
10,5m
8,6cm
c)
10m
m
8,6cm
7-Um terreno mede 20m por 65m. Calcule a área e o perímetro desse terreno.
8-Uma sala quadrangular mede 6m por 6m; pede-se:
a) Quantos metros quadrados de cerâmica vão para revestir essa sala?
b) Se o metro quadrado de cerâmica custa R$ 11, 20, quanto vou gastar?
9-Um atleta deu 10 voltas ao redor de uma pista circular, de 5 metros de raio. Quantos metros o
atleta andou?
10- um campo mede 110 metros por 90m. Pede-se:
a)Qual é a área desse campo?
b)Um atleta andouoito voltas e meia ao redor desse campo, quantos metros andou?
c)Quantas hectares tem esse campo?
11-A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área?
12-A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado?
13-Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste
terreno?
14-A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?
VOLUME E CAPACIDADE DE UM CUBO E DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
1-Um tanque de forma cúbica tem 2metros de aresta. Calcule o volume do tanque em metros
cúbicos
(utilizando a formula V= aresta x aresta x aresta )
V= 2x2x2 = 8m3 logo tem 8.000 litros
2-A piscina da casa de João possui o formato de um paralelepípedo e a capacidade deve ser
determinada através da multiplicação das três dimensões.
Veja:
comprimento x largura x profundidade
8 m x 5 m x 1,5 m = 60 m³ (sessenta metros cúbicos)
A medida de 1 m³ (metro cúbico) corresponde a 1000 litros. Portanto, 60 m³é igual à
capacidade de 60. 000 litros.
A piscina da casa de João tem a capacidade de 60. 000 litros de água.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores
dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
Passos, utilizadosna resolução de uma regra de três simples:
1º Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
30 Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área
para 1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2)
1,2
1,5
Energia (Wh)
400
X
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no mesmo sentido (para baixo) na
1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada
fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h)
400
480
Tempo (h)
3
X
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são
contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5
camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas
3
Preço (R$)
120
5
X
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20
dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe
fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia
8
5
Prazo para término (dias)
20
X
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
REGRA DE TRÊS COMPOSTA.
A regra de três compostas é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões
serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada
linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
125
Identificação dos tipos de relação:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto
a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos
serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens
8
Carrinhos
20
Dias
5
4
x
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é
diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3
pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse
muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois se colocam flechas
concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordante para as
inversamente proporcionais como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12dias
Exercícios complementares
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher
2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um
muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade
média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a
uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em
50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos
em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.
6) Um ingresso de show custa R$ 15,00, então, o custo de 06 bilhetes será ?
7) Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá
em 06 horas?
8) Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos deste
alimento.
9) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens
serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
10)Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros
poderão fazer 320 tortas?
11Certa quantidade de suco foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas.
Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma
quantidade de suco?
12)Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse
ônibus?
13)Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada
uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas,
quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?
14) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um
bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?
15) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas
2500 litros, qual o tempo necessário?
16) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar
quantos quilogramas?
17) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões
seriam necessários?
18) Uma doceira faz 300 docinhos em 90 minutos. Se ela dispuser de apenas 27 minutos, quantos
docinhos conseguirá fazer?
19) Um barco pesqueiro tem uma produção de 15 toneladas por viagem. Para uma produção de 90
toneladas, qual é o número necessário de viagens?
20) Uma vela com pavio de 10cm demora 45 minutos para queimar por inteiro. Para queimar 3 cm
desta vela, qual o tempo necessário?
21) Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho quantos
bonecos este artesão conseguiria produzir?
22)Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas
impressoras produziriam 2000 desses panfletos?
23)Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para
o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de
marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?
24)Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para
torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de
letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas
ocupadas:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PORCENTAGEM:
Porcentagem: é muito utilizado no mercado financeiro, seja na hora de obter um desconto, calcular
o lucro na venda de um produto ou medir as taxas de juros. Na engenharia, por exemplo, a
porcentagem pode ser utilizada para definir o quanto já foi construído de um prédio. Em
Administração, pode ser usada para medir as quotas de participação dos sócios em um negócio. O
cálculo percentual nada mais é que a multiplicação de um valor qualquer pelo percentual desejado
edividido por cem Exemplos:
1-Carlos jogou fora 20% das 10 laranjas que ele tinha. Quantas laranjas foram para o lixo?
10 x 20/100= 2 laranjas
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa
percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Exercícios
1-Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores
ensinam Matemática nessa escola?
2-Na compra de um aparelho obteve desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Pagou-se
R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?
3-Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8%
dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez?
4-Calcule as porcentagens correspondentes:
a) 2% de 700 laranjas
b) 40% de 48 m
c) 38% de 200 Kg
d) 6% de 50 telhas
e) 37,6% de 200
f) 22,5% de 60
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor
apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de
20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.
Veja a tabela abaixo:
Fator de
Acréscimo ou Lucro
Multiplicação
10%
1,10
15%
1,15
20%
1,20
47%
1,47
67%
1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00
Desconto
10%
25%
34%
60%
90%
Fator de
Multiplicação
0,90
0,75
0,66
0,40
0,10
1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu
patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de
gratificação
(A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00(C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00
Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era
R$30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de
15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B.Qual o preço da bolsa
na loja B?
Resolução:
0,15 A = 30,00A = 200,00
B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00
Exercícios:
1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.
a) Um apartamento foi vendido por R$ 162.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do
corretor. Determine o valor da comissão.
2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?
3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o
valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, responda:
Quanto João vai pagar no total?
a)R$ 1575,00 b)R$ 1650,00 c)R$ 1725,00 d)R$ 1800,00 e)R$ 1875,00
4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o
vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou?
a)R$ 59,50
b)R$ 58,80 c) R$ 58,20 d)R$ 57,60
d)R$ 57,00 e)Nenhuma
5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse produto
sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um aumento de 50%.
Escolha a alternativa correta.
( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20.
( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1.
( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1
6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o resto no
Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul?
a)20%
b)25%
c)50%
d)60%
e)75%
7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900
famílias carentes. A prefeitura começou programar esse programa atendendo, no 1º mês 15% dessas
famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente
anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido do total de famílias.
a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55%
8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a
quantos por cento do meu salário?
9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?
10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200
km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu
carro?
11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos
por cento eu perdi desta quantia?
12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de
refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas
eu quebrei?
13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido
toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por
ter levado gelo a preço de frango?
14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a
possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de
fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?
15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi
obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guardaroupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?
16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi
ovalor pago em reais?
17- Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o
seupreço. Quanto ele passou a custar?
18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela,
apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?
19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após
certoperíodo, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim
opreço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor
(preçode tabela)?
20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a
taxapercentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um
número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com
número ímpar?
22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará por essa
caneta?
23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar 30%?
24- Qual a taxa porcentual de:
a) 3 sobre 5?
A taxa é de 60%
b) 10 sobre 20?
25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa
percentual de lucro?
26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de
17%?
27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%. Qual é o
novo valor dessa prestação?
28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.Qual a taxa de porcentagem dos alunos
aprovados e reprovados?
29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$ 440,00, qual a taxa
percentual de lucro?
30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro?
31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.Qual a taxa de
porcentagem das frutas estragadas?
32- Calcular as porcentagens:
a) 2,3% de R$ 128,00
b) 0,9% de R$ 680,00
c) 10% de R$ 688,90
d) 0,5% de R$ 1234,00
e) 12% de 980,00
CONCEITOS BÁSICOS
Capital
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como:
Principal Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se PresentValue (indicado
pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros
podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o
capital inicial emprestado ou aplicado.
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do
saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de
tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas
prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for
capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver
disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta
abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a
quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a
remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
QUANDO USAMOS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a
médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as
aplicaçõesfinanceiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa,
etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de
curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
Taxa de juros
A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado
período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do
período de tempo a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por
100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
OBS; A taxa ( i) e o tempo ( t) devem estar na mesma unidade
Exercícios
1) O dono de uma empresa resolveu dar um aumento de 5% para todos os funcionários. Qual o fator
que deve ser multiplicado pelos salários atuais para obter os novos salários?
2) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 460,00. Qual era o preço do
aparelho antes do aumento?
3)A partir de 1º de abril de 2006, o salário mínimo passou de R$ 300,00 para R$ 350,00. Qual o
percentual de aumento?
4) Observe a tabela abaixo: (Referência: Exames Supletivos –SEE/RJ 2004)
CANDIDATOS
NÚMERO DE VOTOS
A
6000
B
5000
C
5500
D
3500
E
4000
TOTAL DE VOTOS
24000
VÁLIDOS
Obs.: Os votos brancos e nulos foram descartados por não serem considerados válidos.
O percentual de votos do candidato vencedor foi: 25%,30%,32%,35%
Fórmula para calcular juros simples
1-Imagine que peguemos um empréstimo de R$ 1.000,00 para pagar em um mês, com taxa de
juros de 15% ao mês. Se o empréstimo for pago em um mês os juros serão simples, logo:
J = C.I. T. Logo J = juros ,C = capital = R$ 1000,00 , i = taxa de juros = 15% ao mês
t = tempo = 1 mês
2-Seu pai foi ao banco e pediu R$ 400,00 emprestados por três meses. O banco cobrou 5% de juros
(simples) ao mês. Quanto seu pai deve pagar ao final dos três meses?
5% de R$ 400,00 é: 400/100 X 5 = 20
Logo seu pai vai pagar R$ 20,00 por mês. Como são três meses eles deve pagar R$ 60,00 de juros.
"Então ele pega R$ 400,00 e paga só R$ 60,00?"
Não, ele irá pagar R$ 400,00 mais R$ 60,00 o que totaliza R$ 460,00.
3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros
simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?
Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses
J = C .i . t
J = 1200 .0,02 . 10
J = 240
Montante = Capital + juro
M = 1200 + 240 = 1440
4- Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
0.13 / 6 = 0.02167
logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
j = 1200 x 0.195 = 234
Exercícios de fixação.
1) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do
montante após 5 meses de aplicação? (Resposta R$ 609,50)
2) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um
montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? (R 4anos)
3) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um
trimestre? (RespR$ 2000,00)··
4) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para
que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00?( Resp 3% ao mês)
5) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no
final de 1 ano e 3 meses? (RespR$ 225,00)
6) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um
montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? (Resp5 meses)
7) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$
60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros?( Resp 1% ao
mês)
8) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de
24 meses. Qual foi esse capital? ( Resp R$ 220,00)
9) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com
taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004?
(RespR$ 4640,00)
10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de
juros simples, a taxa de 2% ao mês. (Resp50 meses)
11)Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses.
Determine os juros e o montante dessa aplicação.
12)Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um
montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado.
13)Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
14)Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125
dias.
JURO COMPOSTO
Fórmula para calcular juro composto M=C.( 1 + I )t. Logo:
M = montante
C = capital
I = taxa dividida por 100
T = tempo
Exemplo resolvido
1) Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ 100.000,00 financiado por um
banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele
perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante
(tudo que ele deve) ao final de 10 anos?
M = montante
C = capital inicial = 100.000,00
i = taxa de juros = 15% ao ano t = tempo = 10 anos
Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal mais juros) será de R$ 404.555,77, ou
seja, ele deve mais de 4 apartamentos.
2) Exemplo: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma
taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por
12 meses, qual será o montante final?
M = montante
C = capital inicial = R$ 1000,00
i = taxa de juros = 0,5% ao mês
t = tempo = 12 meses
Resposta: Ele ganhou a estratosférica quantia de R$ 61,68 para emprestar R$ 1.000,00, para o
banco, por 1 ano.
3-Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00, pelas seguintes taxas efetivas e prazos:
a) 4% a.m e 6 meses b) 8% at e 18 meses c) 12% aa e 18 meses
4-Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, de R$ 600,00, à taxa composta de 4%
ao mês.
Resolução:
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12
capitalizações.
C = R$ 600
i = 4% = 0,04
n = 12
M = C  (1 + i)n
M = 600  (1 + 0,04)12
M = 600  (1,04)12
M = 600 · 1,60103
M = R$ 960,62
5-O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos
juros compostos produzidos?
Resolução:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C  (1 + i)n
M = 500  (1,05)8
M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
6- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos
de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
Resolução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C  (1 + i)n
477,62 = C  (1,03)6
C = R$ 400,00
Exercícios
1-Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado
ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?
2-Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 3 meses, à
taxa de 3,5% ao mês.
3-Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos reais) com rendimento de 1% (um por
cento) de juros compostos ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três meses,
é:
4-Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de R$ 12.000,00 no regime de
juros compostos, com uma taxa de 1% ao mês, após três meses de aplicação.
a)R$ 12.305,75
b)R$ 12.276,54
c)R$ 12.363,61
d)R$ 12.234,98
e)R$ 12.291,72
5-João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses depois. Sabendo que a taxa de
juros composta cobrada pela instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o
empréstimo foi, em reais, de:
a)5100,00b)5.202,00
c)5.300,00
d)5.306,04
e)5.314,20
6-Antônio aplicou R$ 12.000,00 em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a juros
simples, a uma taxa de 1,5% ao mês. Após 8 meses, ele resgata todo o montante e o aplica
totalmente em um outro banco, durante um ano, a juros compostos, a uma taxa de 5% ao semestre.
No final da segunda aplicação, o valor do montante é de:
a) R$ 15.214,50
b) R$ 14.817,60
c) R$ 14.784,40
d) R$ 13.800,00
e) R$ 13.230,00
NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível
Exemplos:
a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)
Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,
-1, -2, -3,.........lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três
ou três negativo
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números
inteiros relativos, que será representado por Z.
Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}
Exercícios
1) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as
temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números
inteiros relativos:
a) 5° acima de zero = (R: +5 )b) 3° abaixo de zero = (Resposta -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9) d) 15° acima de zero = ( +15)
REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida,
assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma
unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.
_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
1) Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.
-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor
deles.
a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4.
b) -4 menor -2 , porque -4 está à esquerda de -2.
c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4
d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1.
Exercícios
1) coloque os números em ordem crescente.
a) -9,-3,-7,+1,0
(Resposta -9,-7,-3,0,1)
b) 25,-3,-18,+15,+8,-9
(R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60)
e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO
1) Adição de números positivos
A soma de dois números positivos é um número positivo.
EXEMPLOS
a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9
Simplificando a maneira de escrever
a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9
2) Adição de números negativos
A soma de dois números negativos é um número negativo
Exemplos:
a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9
Simplificando a maneira de escrever
a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9
3) Adição de números com sinais diferentes
a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7
EXERCÍCIOS
1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule:
a) x + y = (Resposta: +11)
b) y + z = (R: -4)
c) x + z = (R: -3)
2) Calcule
a) 4 + 10 + 8 = (Resposta: 22)
b) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
c) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
d) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
e) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
f) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
g) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
h) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20
i) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
3) Calcule
a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) - 50 - (+7) - 43 = (Resposta -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:
10 parênteses ()
20 colchetes [ ]
30 chaves { }
EXERCICIOS
1° exemplo
8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5)=
8+7-1+3-1+5=
23 - 2 = 21
2° exemplo
10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6)]=
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 = 4
3° exemplo
-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]}
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 = - 11
Exercícios
Calcule o valor das seguintes expressões:
1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (Resposta: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (- 5 + 1) ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.
MULTIPLICAÇÃO
1) Efetue as multiplicações:
a) (+8). (+5) = (Resposta: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
e) (-3). (+9) = (R: -27)
b) (-8).(-5) = (R: 40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
f) (+3).(-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3). (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70) m) (-7). (-10) = (R: 70)
2) Efetue os produto
a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120)
b) (-1) . (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72)
e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3). (-4) = (R: +60)
DIVISÃO
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação
Observe:
a) (+12) : (+4) = (+3)
b) (-12) : (-4) = 3 c) (+12) : (-4) = (-3)
d) (-12) : (+4) = (-3),
1)Calcule o quocientes(divisões)
a) (-48): (+12) = (Resposta: -4)
c) (+60): (-12) = (R: -5)
e) (-28): (-14) = (R: 2)
b) (-32): (-16) = (R: 2)
d) (-64): (+16) = (R: -4)
f) (0): (+5) = (R: 0)
2) Resolver as expressões
b) -8 + 12: 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
POTENCIAÇÃO
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais,
podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:
A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.
• Base positiva
Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. Exemplo:
a)(+2)5 = (+2) . (+2). (+2). (+2). (+2) = 32
b) 30 = 1(toda base com expoente
zero, tem como potência 1).
• Base negativa
Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.
(-5)3 = (-5). (-5). (-5) = - 125
•Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro negativo e base não nula é igual à potência de base igual ao
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Assim:
Exemplos:
a)
b)
c)
1-Calcule as potências:
a) 23 b) 42 c) 54 d) 05 e) 16 f) 30
g) 40 h) 62 i) 241 j) 670l) 35m) 103
Base fracionária
RADICIAÇÃO
A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de
equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e
analisar suas propriedades. Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1,
chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yn = x. O símbolo utilizado para
representar a raiz enésima de x é
o índice.
e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é
Pela definição de radiciação, temos que: Exemplos:
Exemplo 1.
2- Determine as raízes:
a) √4 =
b) √25 =
e) √64 =
f) √81 =
i) √400 =
j) √121 =
3- Calcule:
a) √25 + √16 =
d) √100 - √81 + √4 =
c) √0 =
d) √25 =
g) √36 = h) √100 =
k) √169 =
l) √900 =
b) √9 + √49 =
e) √36 + √121 + √9 =
c) √1 + √0 =
f) √144 + √169 -√81 =
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b
números racionais e b ≠ zero, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a: b ou, ainda a/b.
LEITURA DE UMA FRAÇÃO
Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Exemplos:
1/2 um meio
2/5 dois quintos
1/4 um quarto
9/8 nove oitavos
1/7 um sétimo1/9 um nono
1/6 um sexto1/8 um oitavo
1/3 um terço
1/5 um quinto
4/9 quatro nonos
As decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos:
1/11 um onze avos
1/300 um trezentos avos
7/120 sete cento e vinte avos 4/13 quatro treze avos
5/19 cinco dezenove avos
6/220 seis duzentos e vinte avos
As que têm denominadores 10, 100, 1000, etc...
1/10 um décimo
1/100 um centésimo
1/1000 um milésimo
7/100 sete centésimos.
Exercícios
1- Calcule o quociente das divisões
a) 12/3 = (Resposta = 4)
b) 42/21 = (R = 2)
d) 100/10 = (R = 10)
e) 56/7 = (R = 8)
2) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6
a) Em quantas partes o todo foi dividido? (Resposta = 6)
b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R = 5)
c) 8/4 = (R = 2)
f) 64/8 = (R = 8 )
3) Escreva como se leem as seguintes frações:
a) 5/8 (Resposta = cinco oitavos)
b) 9/10 (R: nove décimos) c) 1/5 (R: um quinto)
d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos)
e) 7/1000 (R: sete milésimos)
f) 6/32 (R: seis trinta e doisavos)
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria: é aquela cujo numerador é menor que o denominador.
Exemplos: 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo numerador é múltiplo do denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7·.
FRAÇÕES EQUIVALENTES
Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração 1/2 por
um mesmo numero natural diferente de zero.
Assim: 1/2, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2.
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?
Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu
2/4 da pizza.
A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo
os dois termos da fração por 2 e vamos obter 1/2.
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo
número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:
Exercícios
1-simplifique as frações:
a) 14/16 =b) 18/36 =c) 5/25 =d) 12/20 =e) 21/49 =
f) 4/32 =g) 11/33 =h) 9/27 =i) 20/35 =j) 12/30 =
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1° Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de
denominadores iguais
Conclusão:Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
c) 3/5 – 1/5 = 2/5
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
Exercícios
1) Efetue as adições
a) 3/6 + 2/6 = (Resposta: 5/6)
b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7)
d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10)
e) 5/6 + 1/6 = (R: 1)
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7)
f) 8/6 + 6/6 = (R: 7/3)
2) Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 = (Resposta: 2/9)
b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5)
c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3)
d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3)
e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3)
f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5)
3) Efetue as operações:
a) 5/4 + 3/4 – 1/4 = (Resposta 7/4)
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5)
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7)
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3)
e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8)
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2)
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5)
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7)
Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de
denominadores diferentes
conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos denominadores,
como exemplos têm:
a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ---2 . 3 = 6
b) 2/3 – 1/4 = 8/12 – 3/12 = 5/12
3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) 1/3 + 1/5 = (Resposta 8/15)
b) 3/4 + 1/2 = (R: 5/4)
c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12)
d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10)
e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6)
g) 1/2 + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14)
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R 3)
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30)
j) 1/3 + 5/6 + 3/4 = (R: 23/12)
k) 1/2 + 1/3 + 1/6 = (R: 1)
t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5)
f) 1/4 + 2/3 + 1/2 = (R: 17/12)
2) Efetue as subtrações
a) 5/4 – 1/2 = (Resposta 3/4)
b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35)
c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10)
d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6)
e) 4/3 – 1/2 = (R: 5/6)
f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12)
g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24)h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15)
MULTIPLICAÇÃO
Vamos calcular: 2/3 x 4/5 = 8/15
Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) 1/2 x 8/8 = (Resposta: 1/2)
c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21)
e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72)
g) 3/5 x 1/2 = (R: 3/10)
i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18)
b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35)
d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35)
f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15)
h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16)
j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35)
2) Efetue as multiplicações
a) 4/3 x 1/2 x 2/5 = (Resposta: 4/15)
b) 1/5 x 3/4 x 5/3 = (R: 1/4)
3) Efetuar
a) 2 x 5/3 = (Resposta: 10/3)
b) 3 x 2/5 = (R: 6/5)
c) 1/8 x 5 = (R: 5/8)
d) 6/7 x 3 = (R: 18/7)
e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21)
g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3)
f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 3/5)
h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5)
DIVISÃO
Vamos calcular 1/2: 1/6
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda
Assim: 1/2: 1/6 = 1/2 x 6/1 = 6/2 = 3
Exemplos:
a) 2/3: 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9: 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
c) 3/7: 4 = 3/7 x 1/4 = 3/28
Exercícios
1) Efetue as divisões
a) 3/4 : 2/5 = (Resposta: 15/8)
b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14)
c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15)
d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63)
e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10)
f) 7/8 : 3/4 = (R:7/6)
g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)h) 4/5 : 2/5 = (R: 2)
PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS
Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma:
10Encontrando o valor de uma unidade fracionária;
20 Obtendo o valor correspondente da fração solicitada.
Exemplo
Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas têm o meu irmão?
60 x 3/4 = 180/4 = 45
Resposta: O meu irmão tem 45 fichas
EXERCICIOS
1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800,00)
2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (R: 32)
3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça? (R:18 m)
4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o carro percorreu?
(R: 360 km)
5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4 . Quantos quilômetros já foram percorridos?
(R: 54 km)
6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginasestudou? (R: 200)
7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)
8) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200,00)
9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato.
Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)
10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade
desse reservatório? (R: 600 litros)
11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?
(R: 270 km)
12) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são
necessários para revestir toda a parede? (R: 200)
13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?(R:
210)
14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de
ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)
15) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?(R: 30 )
16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18)
17) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo?(R:
126,75)
RAZÕES
Introdução
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de
comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento de um
deles pelo outro. Assim:
(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a
2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente
ou a:b.
A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas
as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
1-Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
2-Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4:
1:4 ou
ou 0,25.
ELEMENTOS DE UMA PROPORÇÃO
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma
proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:


b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27
Extremos: 3 e 36
Aplicações da propriedade fundamental
Exemplos:
1-Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15
5 . x = 120
(aplicando a propriedade fundamental)
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
2-Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
3x = -19
(aplicando a propriedade fundamental)
x=
Logo, o valor de x é
.
3-Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Equações de primeiro grau(com uma variável)
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:é toda equação do tipo ax+b = 0
Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois
ladosax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palabra incógnita significa " desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º
membro, e o que sucede 2º membro
Quaisquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma
ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Exercícios de Equações de 1º Grau
1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
X + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
2- Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
X = 20/4
X=5
3- Resolva as equações a seguir:
a)18x – 43 = 65
b) 23x – 16 = 14 –17x
c) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x – 5)/10 + (1 – 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) – x2 = 5x2
PROBLEMAS DO PRIMEIRO GRAU
1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto
que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
A) R$ 20,00
B) R$ 20,50
C) R$ 22,00
D) R$ 22,50
2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 90
3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa
dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo
da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele
percorreu após o café?
A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0
4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.O número de carros é igual a 4
vezes o de moto.Qual é o número de carros e de motos presentes no estacionamento?
5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total de lápis é
63.Quantos lápis tem cada um?
6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se
que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes maior do que
a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros, quantos metros tem a peça
menor?
8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a
idade de cada um?
9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?
10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Em diversas situações problemáticas empregamos letras em substituição aos números. Estas
substituições nos permitem estabelecer fórmulas pelas quais podemos resolver, com facilidade, uma
infinidade de problemas. Exemplos:
Se chamarmos de n certo número, podemos escrever:
a)O dobro de n será : 2 x n = 2n
b) O triplo de n será : 3 x n = 3n
TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO
É o produto de números reais indicados por letras e números.
São exemplos de termos algébricos:
COEFICIENTES DE UM TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO
Coeficiente Numérico de um termo algébrico: é a parte numérica que antecede a parte
literal.Coeficiente Literal de um termo algébrico: é a parte literal formada pelas variáveis e seus
respectivos expoentes. Pode, também, ser chamado simplesmentede parte literal.Nos exemplos
anteriores, teremos:
GRAU DE UM MONÔMIO
Grau de um Termo Algébrico ou Monômio Racional é a soma dos expoentes das variáveis desse
monômio. Exemplos:
1) O monômio 3x2y3 é do 5º grau já que a soma dos expoentes de x e y é 2 + 3 = 5
2) O monômio - 7mn2p5 é do 8º grau já que a soma dos expoentes de m, n e p é 1 + 2 + 5 = 8
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Consideremos as seguintes situações:
O triplo de um número é adicionado ao dobro de outro número. Se chamarmos cada um desses
números de a e b, podemos escrever: 3a + 2b. Essa expressão algébrica é formada por 2 termos
algébricos unidos pelo sinal de adição.
A diferença entre o quadrado de um número e seu dobro é adicionada a3
Expressões algébricas é toda expressão que indica termos algébricos
1-Uma Expressão Algébrica será um monômio quando apresentar apenas 1 termo algébrico
2-Uma Expressão Algébrica será um polinômio quando apresentar 2 ou mais termos algébricos
3-Quando um polinômio apresentar apenas 2 termos algébricos ele será um binômio.
4-Quando um polinômio apresentar apenas 3 termos algébricos ele será um trinômio.
5-Um polinômio será racional inteiro quando apresentar apenas termos algébricos racionais inteiros.
6-Um polinômio será racional fracionário quando apresentar, pelo menos, 1 termo algébrico
racional fracionário.
7-Um polinômio será irracional quando apresentar pelo menos 1 termo algébrico irracional.
REDUÇÃO DE TERMOS ALGÉBRICOS SEMELHANTES
Quando uma expressão algébrica apresentar termos algébricos semelhantes é necessário reduzir, ou
seja, efetuar a adição algébrica entre eles.
Veja outros exemplos:
Expressões algébricas – possuem números e letras ou apenas letras
Valor numérico de uma expressão algébrica
Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:
1º) Substituir as letras por números reais dados.
2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:
Potenciação
Divisão e multiplicação
Adição e subtração
Observação: Utilize parênteses quando substituirmos letras por números negativos.
Exemplo: Calcular o valor numérico de 2 x + 3 y para x = 5 e y = – 5.
Solução: Vamos trocar x por 5 e y por – 5.
2 x + 3 y = 2.5 + 3.( – 5 )
2 x + 3 y = 10 + ( – 15)
2 x + 3 y = 10 – 15
2x+3y=–5
1- Calcule o valor numérico das expressões.
a)
b)
c)
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Frações algébricas utilizam o mesmo processo do cálculo das frações numéricas, admitindo
O cálculo dê-se sempre que o denominador não seja nulo, ou seja, diferente de zero.
Simplificação de frações algébricas:
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração mais simples equivalente. Para simplificar uma
fração, fatoramos o numerador e o denominador.
Exs:
M.M.C de polinômios:
Para calcularmos o m.m.c de polinômios, basta igualá-lo ao produto dos fatores comuns e não
comuns cada um deles com o maior expoente.
Exemplos:
»
e
m.m.c =
e
» m.m.c = (a+b)(a-b)
Não é possível fatorar nenhum dos polinômios, logo o m.m.c será o produto deles
e
»
e
m.m.c =
Adição e subtração de frações algébrica:
Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.
Ex:
Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e
em seguida, somar ou subtrair os numeradores.
Ex:
Adição e subtração de frações algébrica:
Quando as frações possuem o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores.
Ex:
Quando as frações possuem denominadores diferentes, basta reduzi-las ao mesmo denominador e
em seguida, somar ou subtrair os numeradores.
Ex:
Multiplicação e divisão de frações algébricas
Para multiplicar ou dividir frações algébricas, usamos o mesmo processo das frações numéricas.
Fatorando os termos da fração e simplificar os fatores comuns.
Exs:
Potenciação de frações algébricas
Utilizamos o mesmo processo das frações numéricas.
Exs:
PRODUTOS NOTÁVEIS
Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos
notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.
Quadrado da soma de dois termos
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
= a² + ab+ ab + b²
= a² + 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
Exemplos:
1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²
2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
Exercícios
1) Calcular:
a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)
b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²) h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
Quadrado da diferença de dois termos
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
a² - ab- ab + b²
a² - 2ab + b²
Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²
1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²
2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²
Exercícios
1) Calcule
a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)
b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)
c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)
e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)
f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)
h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²
conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²
Exemplos :
1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y). (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²
EQUAÇÕES DE 2º GRAU
Definições
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c
IR e
Exemplo:
2
 x - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
2
 6x - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
2
 7x - x = 0
é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
2
 x - 36 = 0
é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma
equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.
a é sempre o coeficiente de x²;
b é sempre o coeficiente de x,
c é o coeficiente ou termo independente.
Equações completas e Incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:
a)x² - 9x + 20 = 0 e
b) -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são
iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0
(b = 0)

x² - 10x = 0
(c = 0)

4x² = 0
(b = c = 0)
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação
, em que a, b, c
IR e
a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).
, desenvolveremos passo a passo
Discriminante
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para
, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para
, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para
, a equação não tem raízes reais.
Resoluções equações completas
1) 3x²-7x+2=0
A=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
e
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
=4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
(delta).
Substituindo na fórmula de Bhaskara:
» x=2
Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
)
3) 5x²-6x+5=0
A=5 b=-6c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui
nenhuma raiz real.
Logo:
» vazio
Equações incompletas
1º caso: b= 0 Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9=0 » x²= 9 » x=
» x=
2º caso: c= 0Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=( 0,9)
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Crescente
Observação: A característica do gráfico é uma parábola
Decrescente
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU
1-A soma de um número com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (Resposta:9 e-10)
2- A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero.
(R: 3 e -4)
3- O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)
4- A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número.
(R:10 e -8)
5- O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse
número?
6-Resolver as equações do segundo grau;
a) x2 – 7x + 1 0 = 0
b) x(x + 1) = 30
7-Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x2 + 55 = 0
c) x2 - 6x = 0d) x2 - 10x + 25 =
8-Determinar o valor do delta(∆):
a) x2 - x - 20 = 0b) x2 - 3x -4 = 0 c) x2 - 8x + 7 = 0
9-Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?
10-Determine os zeros das seguintes funções e teste os resultados:
a) – x2 – 4x – 5 = 0
b) – x2 – 2x + 6 = 0
c) - x2+ 2x = 0
d) - x2 -7x + 10 = 0
11- Complete os coeficientes.
a) x2 – 4x – 3 a = ____ b =____ c =____
b)x2 – 9
a = ____ b =____ c =____
c) – 4x2 + 2x – 3
2
a = ____b =____c =____
d) x + 7xa = ____b =____c =____
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Considere a fração:
que seu denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por
equivalente:
Observe que a fração equivalente
, obtendo uma fração
possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração com
denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu
denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma
expressão com radical, denominado fator nacionalizante, de modo a obter uma nova fração
equivalente com denominador sem radical.
Principais casos de racionalização:
1º Caso:O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:
Exercícios
1- Racionalizar os denominadores:
a)3b) 4
√3√ 5
c) 4
√8
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Catetos e Hipotenusa
Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de
catetos.
Observe a figura:
Hipotenusa:
Catetos:
e
TEOREMA DE PITÁGORAS
a2 = b2 + c2
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões
trigonométricas:Seno, Cosseno e Tangente.
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15
1-Calcula o valor de x no triângulo retângulo
2-Calcular a distância percorrida pelo berlinde
Resposta 265 cm = 2,65 m
3-Use o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x
x
21
28
4- O valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:
a) 15b) 16c) 30d) 9e) 12
5-Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A trigonometria possui diversas aplicações no cotidiano, abrange áreas relacionadas à Astronomia,
Física, Geometria, Navegação entre outras.No triângulo retângulo existem algumas importantes
relações, uma delas é o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “Asoma dos quadrados
doscatetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Essa relação é muito importante na geometria,
atende inúmeras situações envolvendo medidas.
As relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo admitem três casos: seno,cosseno e
tangente.
Vamos determinar as relações de acordo com o triângulo BAC com lados medindo a, b e c.
seno B = b/a
cosseno B = c/a
tangente B = b/c
sen C = c/a
cosseno C = b/a
tangente C = c/b
Exercícios
1-Nos triângulos das figuras abaixo calcular: tg Â, tg Ê, tg Ô:
2- Determinar seno, cosseno e tangente do ângulo A
3-Qual é a altura de um poste, se foi afastado 30 metros da sua base e enxergado o topo do poste
sob um ângulo de 300 use tangente de 300 = 0,58.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS
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•
•
•
•
•
•
Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo 2013.
Santo André Luis Pereira
Mendes, Denise
Carrochano, Maria Clara.
Fernandes, Maria Lídia Bueno.
Catelli, Roberto Júnior.
Giansanti, Roberto
Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna.
Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD.
Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50, 60, 70 e 80 série) Editora do Brasil. S/A.