EA-616 : AN´ALISE LINEAR DE SISTEMAS

EA-616 : ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS
Quarta Lista de Exercı́cios
1. Considere as seguintes equações caracterı́sticas de sistemas a tempo contı́nuo :
a) s4 + 2s3 + αs2 + βs + α = 0
b) s3 + 3s2 + 4s + (2 + α) = 0
c) s2 (s + 1)(s + 1/2) + α(s + β) = 0
Com o critério de Routh-Hurwitz, determine as respectivas regiões de estabilidade no espaço dos parâmetros.
2. Considere as seguintes equações caracterı́sticas de sistemas a tempo discreto :
a) z 2 + 2z + α = 0
b) z 3 + βz 2 + z + α = 0
Com o critério de Routh-Hurwitz, determine as respectivas regiões de estabilidade no espaço dos parâmetros.
3. Para o sistema a tempo contı́nuo dado na Figura 1
+
K
G(s)
−
Figure 1: Sistema de controle em malha fechada
estude sua estabilidade com o critério de Routh-Hurwitz, considerando K ≥ 0 e
a função de transferência G(s) dada por :
a) G(s) =
s+2
s+10
b) G(s) =
1
(s+2)2 (s+10)
c) G(s) =
(s+1)
s2 (s+10)
d) G(s) =
1
(s+2)(s2 +9)
4. Para um lı́quido incompressı́vel com densidade volumétrica de massa ρ, mostre
que a diferença de pressão entre dois pontos a e b, separados por uma distância
h, conforme indicado na Figura 2, é dada por pb −pa = ρgh, onde g é a aceleração
da gravidade.
a
h
b
ρ
Figure 2: Pressão entre dois pontos
5. Duas massas m1 = 1, 0 [kg] e m2 = 2, 0 [kg] estão ligadas por uma mola com
coeficiente de elasticidade κ = 10, 0 [N/m] e movimentam-se sobre um plano horizontal. Desconsiderando a existência de atrito, determine o modelo matemático
para o deslocamento de cada massa, em relação à sua respectiva posição de repouso, considerando que :
a) Em t = 0 uma delas é deslocada 0, 5 [m] da sua posição de repouso e é solta
com velocidade nula.
b) Em t = 0 ambas encontram-se em repouso e uma força de 20, 0 [N], paralela
ao plano, é aplicada em uma das massas.
6. Refaça o exercı́cio anterior considerando a existência de atrito viscoso entre as
duas massas e o ar com coeficiente b = 1, 5 [Ns/m].
7. Um cilindro de altura h, feito de um determinado material, encontra-se em um
tanque de grandes dimensões, que contém um certo lı́quido. Em equilı́brio, dois
terços da altura do cilindro permanece submersa. Pressiona-se o cilindro até que
sua face superior chegue ao nı́vel do lı́quido, quando então ele é solto. Verifica-se,
em seguida, um movimento oscilatório com perı́odo T = 10π [s]. Considerando
que a aceleração da gravidade é g = 9, 8 [m/s2 ], determine :
a) O modelo matemático para o movimento do centro de massa do cilindro
adotando, como origem do sistema de referência, a sua posição de equilı́brio.
b) A altura h do cilindro.
8. A Figura 3 mostra um tanque com seção circular de área A = 2, 0 [m2 ] cuja
vazão de entrada, inicialmente, é Qe = 70 [l/s]. Na sua parte√inferior, encontrase um orifı́cio que permite uma vazão modelada por Qs = κ h. Verifica-se que
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mantendo Qe constante, a vazão de saı́da Qs torna-se constante e a altura h
permanece inalterada em h = 1, 5 [m]. Aumentando ligeiramente, em t = 0,
a vazão de entrada de um valor constante ∆Qe , determine a equação diferencial linearizada, bem como sua condição inicial, que descreve o comportamento
dinâmico do incremento da vazão de saı́da ∆Qs (t).
Qe + ∆Qe
h
Qs + ∆Qs (t)
Figure 3: Vazão em um tanque
9. Um balão sobe com velocidade constante de 7, 2 [km/h], até alcançar a altitude
de 4, 2 [km] quando então pára. A temperatura ambiente Ta decresce com a
altitude a uma taxa de 5, 0 [o C/km]. Para sua medida usa-se um termômetro
acoplado ao balão, cujo modelo matemático é
τ Ṫm (t) + Tm (t) = Ta (t)
onde τ = 2, 0 [min], é a sua constante de tempo e Tm (t) é a temperatura medida. Sabe-se que a temperatura ambiente é 15, 0 [o C], a 1, 2 [km] de altitude.
Determine :
a) A leitura do termômetro em função do tempo.
b) A leitura do termômetro quando o balão se encontra a 1, 2 [km] de altura.
10. Um termômetro com constante de tempo τ = 0, 5 [min] encontra-se imerso em
um lı́quido com temperatura constante de 40 [o C].
a) Em t = 0 o termômetro é retirado daquele lı́quido e colocado em um banho
mantido à temperatura constante de 80 [o C]. Determine o tempo necessário
para que a temperatura lida neste termômetro seja 60 [o C].
b) Em t = 0 a temperatura do lı́quido de 40 [o C] começa a oscilar senoidalmente com freqüência de 10/π [ciclos/min] e amplitude de 20 [o C]. Determine a leitura do termômetro.
11. Como ilustrado na Figura 4, uma caixa de massa M é presa ao teto de uma sala,
através de uma mola e de um amortecedor. No seu interior encontra-se um outra
massa m, que é presa à primeira através de duas molas idênticas. Considerando
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dois referenciais inerciais para definir o deslocamento de cada massa, a partir
das suas respectivas posições de repouso, determine o modelo matemático que
fornece seus respectivos deslocamentos, após a ocorrência de um evento qualquer
que as tire das suas posições de equilı́brio.
K
b
k
m
M
k
Figure 4: Massa-mola-amortecedor
12. Como ilustrado na Figura 5, um cilindro de material sólido, imerso em um
lı́quido, desenvolve um movimento de rotação mantendo-se na vertical, devido à
queda de uma massa que está a ele ligada através de um fio inextensı́vel. Sendo
B o coeficiente de atrito viscoso rotacional entre o cilindro e o lı́quido, determine
a equação diferencial que descreve o comportamento dinâmico do deslocamento
angular do cilindro.
2r
J
m
B
Figure 5: Rotação com atrito
13. A lei de desintegração de um material radioativo é
Ṅ + λN = 0
onde, N (t) é a quantidade de material e λ é uma constante. Definindo meia vida
como sendo o tempo necessário para que a quantidade de material radioativo
seja reduzida pela metade, determine a constante de tempo τ := 1/λ de um
processo, sabendo-se que a meia vida do material envolvido é 72 [s].
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14. A Figura 6 mostra um cilindro delgado com momento de inércia J e coeficiente de
elasticidade torcional κ, em cujo eixo se exerce um torque externo T . O cilindro
está ligado a uma massa através de um fio rı́gido inextensı́vel. A massa, por
sua vez, está ligada ao solo através de um par mola-amortecedor. Determine o
modelo matemático do deslocamento da massa sob a influência do torque externo
T.
J
r
y
m
κ
T
k
b
Figure 6: Torque e translação
15. Refaça o exercı́cio anterior substituindo o fio rı́gido e inextensı́vel que une o
cilindro à massa por uma mola com coeficiente de elasticidade kr .
16. Uma roldana com momento de inércia J = 0, 07 [kgm2 ] e raio r = 0, 1 [m] acopla
duas massas m = 1, 0 [kg] e M = 2 [kg] através de um fio inextensı́vel. Durante
todo o movimento, a massa m permanece imersa em um lı́quido que produz um
atrito viscoso com coeficiente b = 10 [Ns/m]. Considerando que as dimensões
das massas podem ser desprezı́veis, determine :
J
r
x
m
b
y
M
Figure 7: Roldana e atrito
a) A equação que define o movimento circular da roldana.
b) O deslocamento angular da roldana, considerando que em t = 0 ela esteja
em repouso.
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17. Considere o seguinte sistema dinâmico não linear de segunda ordem
ÿ(t) = ey(t) u(t) − 2
a) Determine a sua representação de estado.
b) Determine qual deve ser a entrada constante uo de tal forma que o ponto
de operação seja definido por yo = ln(2).
c) Determine a representação de estado do modelo linearizado, válido na vizinhança do ponto de operação obtido no item anterior.
18. A Figura 8 mostra um modelo simplificado para o movimento vertical de uma
roda de um veı́culo, que está acoplada à suspensão composta por uma mola e
um amortecedor. Para estes dispositivos, adota-se os valores numéricos κ/m =
100 [N/mkg] e b/m = 6 [Ns/mkg]. A referência y foi determinada com a roda
parada e com sua massa em equilı́brio sobre a suspensão. Como indicado, durante todo o movimento horizontal, com velocidade constante v = 10 [m/s],
o sistema permanece na vertical e está, por hipótese, isento de qualquer tipo
de atrito. Inicialmente, o veı́culo se desloca por muito tempo em um terreno plano. Em t = 0, por convenção, ele entra em uma estrada com perfil
e(x) = 0, 25 sen(10x) [m]. Determine :
m
y
v
κ
e
b
x=0
x
Figure 8: Roda e suspensão
a) O modelo matemático válido para t ≥ 0, bem como as condições iniciais
y(0) e ẏ(0).
b) Em regime permanente, a amplitude da oscilação sofrida pela roda.
c) Em regime permanente, a freqüência ωe em que ocorre o maior valor para
a relação R = a/A, onde a representa a amplitude de oscilação sofrida pela
roda, correspondente ao perfil e(x) = Asen(ωe x) [m].
19. A Figura 9 mostra um sistema mecânico que oscila em um ambiente desprovido
de atrito. O perfil do corpo com momento de inércia J, em relação ao centro de
rotação, é bastante irregular. Em t = 0, o sistema se encontra em repouso e a
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massa m é impulsionada para a direita com velocidade v, fazendo com que ela
se movimente com um deslocamento oscilatório de amplitude a. Determine :
κ
x
r
r
m
J
Figure 9: Momento de inércia
a) A equação do movimento da massa m, bem como as condições iniciais x(0)
e ẋ(0).
b) A solução geral da equação diferencial linear, obtida no item anterior.
c) O momento de inércia J, sendo conhecidos os valores de κ, r, m, v e a.
20. O produto nacional bruto de um paı́s p(k), em um determinado instante k ∈
N pode ser obtido como sendo p(k) = c(k) + i(k) + g(k), onde c(k), i(k) e
g(k) representam respectivamente o consumo interno, o investimento e os gastos
realizados pelo governo. Considere que o consumo interno no perı́odo k + 1 é
uma fração α do produto nacional bruto do perı́odo anterior e que o investimento
no perı́odo k + 1 é uma fração β do que deixou de ser consumido entre dois
perı́odos consecutivos, ou seja, c(k + 1) − c(k). Determine o modelo matemático
da evolução do produto nacional bruto, como conseqüência da ação do governo
feita através dos seus gastos. Considerando p(0) = 1, 0 e p(1) = 1, 1 unidades
monetárias e α = β = 0, 5 determine a evolução temporal do produto interno
bruto p(k) para todo k ∈ N, correspondente à implementação de uma polı́tica
de gastos governamentais constante g(k) = 0, 25 unidades monetárias para todo
k ∈ N.
21. Uma pessoa toma emprestado, no mês k = 0, um valor de E = 100 unidades
monetárias. O valor da dı́vida no mês seguinte D(k + 1) é determinado pela
adição de juros de q = 10 %, sobre o saldo existente no mês atual, apurado
imediatamente após que o pagamento mensal P (k) tenha sido efetuado. A pessoa
deseja saldar a dı́vida em N = 12 parcelas mensais que começam a ser pagas
no mês k = 1 e são decrescentes segundo uma progressão geométrica com razão
r > 0. Determine o valor da primeira parcela e o montante total pago a tı́tulo
de juros para r = 1/2, r = 1 e r = 2.
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