Problema alternativo para a aula prática nº 6

Problema alternativo ao problema 1 da aula prática nº 6
António Sarmento
2 de Novembro de 2010
Um jacto de ar bidimensional estacionário incide com um ângulo α sobre uma placa plana,
conforme representado na figura anexa. Numa secção não perturbada pela presença da placa,
onde as linhas de corrente ainda são rectilíneas e paralelas umas às outras, a velocidade do
fluido é V e a espessura do jacto bidimensional é h. Admitindo que o jacto de ar é
completamente deflectido pela placa, sendo as linhas de corrente paralelas à placa nas
secções a e b, onde a espessura do jacto é, respectivamente a e b, que o ar exterior está em
repouso e à pressão atmosférica e que o atrito é desprezável, determine:
a)
b)
c)
d)
e)
A velocidade do fluido em a e b,
A força tangencial sobre a placa,
A força normal sobre a placa,
As espessuras a e b do jacto bidimensional nas secções de saída,
A posição do centro de pressões sobre a placa.
h
V
y
b
a
x
Resposta.
Coloca-se a origem na intersecção da linha média do jacto não perturbado com a placa, o eixo
y perpendicular à placa e o eixo x alinhado com a placa, conforme mostrado na figura.
A velocidade em b é determinada aplicando a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de
corrente que passe nas secções h e b. Como as linhas de corrente são rectas nestas secções, as
forças transversais ao movimento do fluido têm resultante nula, o que significa que o peso do
fluido é compensado pela sua impulsão, ou seja, que a distribuição de pressão é hidrostática.
Sendo também hidrostática a distribuição de pressão na atmosférica em repouso, resulta que
(𝑝 + 𝜌𝑔𝑦)ℎ = (𝑝 + 𝜌𝑔𝑦)𝑏 , de onde a equação de Bernoulli mostra que a energia cinética, e
portanto a velocidade, é idêntica em h e b, isto é Vb=V. O mesmo raciocínio pode ser aplicado à
saída a, dando que Va=Vb=V.
Uma vez que se despreza o atrito, não há tensões de corte e, portanto, as forças tangenciais
sobre a placa são nulas (o fluido actua na placa apenas através das forças de superfície,
pressão, o que origina forças normais à placa, e tensão de corte).
A força normal à placa é calculada através do balanço de quantidade de movimento na
direcção perpendicular à placa, isto é, segundo x. Sendo o escoamento estacionário, as forças
aplicadas ao volume de controlo são iguais ao saldo de quantidade de movimento na direcção
⃗⃗⃗ 𝑛⃗)𝑑𝑠. Definindo a superfície de
perpendicular à placa (isto é segundo x): 𝐹𝑉𝐶𝑦 = ∬𝑆𝐶 𝜌𝑣(𝑉.
controlo como contendo a secção de entrada h, as secções de saída a e b e uma superfície
impermeável que as ligue pelo exterior do jacto, e atendendo que o escoamento pode ser
considerado uniforme nas secções de entrada e de saída, vem 𝐹𝑉𝐶𝑦 = 𝜌𝑉 2 ℎ sin 𝛼 pois a
velocidade nas secções de saída é puramente horizontal. Sabendo que a força normal sobre a
placa é a força de reacção, vem 𝐹𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 = −𝜌𝑉 2 ℎ sin 𝛼.
As espessuras das secções a e b requerem duas equações, uma das quais é a de balanço de
massa (como o fluido é incompressível e o volume de controlo indeformável o caudal volúmico
que atravessa a secção h é igual ao que atravessa as secções de saída a e b. Dado que as
velocidades nestas três secções são iguais vem ℎ = 𝑎 + 𝑏. A segunda equação é a de balanço
de quantidade de movimento linear segundo x, sabendo nós que a força tangencial à placa, e
portanto sobre o volume de controlo, é nula. Vem assim 𝐹𝑉𝐶𝑥 = 𝜌𝑉 2 (𝑏 − 𝑎 − ℎ cos 𝛼) = 0,
donde a solução obtém-se da resolução do sistema de equações encontradas acima, obtendoℎ
ℎ
se 𝑎 = 2 (1 − cos 𝛼) e 𝑏 = 2 (1 + cos 𝛼).
Para encontrar a posição xCP do centro de pressões temos que fazer um balanço à quantidade
de movimento angular do fluido em torno do eixo z. Para escoamento estacionário, o
momento aplicado ao volume de controlo em torno do eixo dos z é dado pelo balanço de
quantidade de movimento angular em torno do eixo dos z. No que se segue toma-se o sentido
de rotação dos ponteiros do relógio como positivo. Para escoamento unidimensional, o caudal
⃗ ) , sendo o sinal positivo
de movimento angular em torno do eixo dos z é dado por ±𝑚̇(𝑟 × 𝑉
𝑧
⃗ ) = − 𝑎 𝑉,
tomado nas secções de saída e o sinal negativo na de entrada e (𝑟 × 𝑉
𝑧
2
⃗) =
(𝑟 × 𝑉
𝑧
𝑏
𝑏
𝑉
2
⃗ ) = 0. Vem assim 𝐿𝑉𝐶 =
e (𝑟 × 𝑉
𝑧
𝑧
ℎ
1
𝜌𝑉 2 (𝑏2
2
−𝑎
2)
=
𝑎
1
2
𝜌𝑉 ℎ cos 𝛼,
2
o que
está correcto, pois o fluido adquire quantidade de movimento na direcção dos ponteiros do
relógio ente a secção h e as de saída. O momento aplicado pela força sobre o volume de
controlo é por sua vez dado por −𝑥𝐶𝑃 (𝜌𝑉 2 ℎ cos 𝛼), sendo o termo entre parêntesis a força
vertical sobre o volume de controlo calculada acima. Igualando−𝑥𝐶𝑃 (𝜌𝑉 2 ℎ cos 𝛼) e 𝐿𝑉𝐶𝑧 =
1
𝜌𝑉 2 ℎ cos 𝛼
2
ℎ
vem que 𝑥𝐶𝑃 = − 2 cot 𝛼, o que mostra que o centro de pressões está à
esquerda da origem (que não é onde está o ponto de estagnação), excepto quando o jacto
incide perpendicularmente à placa, caso em que o centro de pressões, a origem e o ponto de
estagnação coincidem.