Capítulo 11 – Rotações e Momento Angular Corpo Rígido Um

Capítulo 11 – Rotações e Momento Angular
Corpo Rígido
Um corpo rígido é um corpo ideal indeformável de tal forma que a distância entre 2 pontos
quaisquer do corpo não muda nunca.
Um corpo rígido pode realizar 2 movimentos: translação e rotação em torno de um eixo
(enunciado pela primeira vez por Chasles -1830) .
A rotação em torno de um eixo faz que com o movimento de um ponto não pertencente ao eixo
seja um movimento circular.
Um corpo rígido tem 6 graus de liberdade: 3 de translação e 3 de rotação. Senão vejamos.
Para fixar a posição de um ponto A do corpo rígido precisamos de 3 coordenadas espaciais; um
segundo ponto B do corpo rígido, a uma distância r de A, estará sobre uma esfera de raio r –
podemos localizar B com 2 ângulos (latitude e longitude); um terceiro ponto qualquer C do
corpo rígido será obtido por uma rotação em torno do eixo AB...logo bastam 3 coordenadas de
posição (translação) e 3 ângulos de rotação.
Outra maneira de ver os 6 graus de liberdade é lembrar que a posição de qualquer ponto
pertencente ao corpo rígido pode ser determinada conhecendo-se o vetor posição de 3 pontos A,
B e C, não colineares, o que nos daria 9 coordenadas, mas como temos 3 equações de vínculo –
distâncias AB, BC e AC, sobram 6 coordenadas.
O Produto Vetorial
Sejam
e
dois vetores quaisquer. Definimos um novo vetor
como o produto vetorial de
e
onde a direção de é perpendicular ao plano que contém simultaneamente os vetores e
(veja figura), o sentido de é dado pela regra do saca-rolha (convenção) e o módulo de é
dado por
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Por conseguinte,
é igual à área do paralelogramo formado no plano de
Como o sentido de rotação de
para
é oposto ao de
e .
para , teremos
O produto vetorial é, portanto, anti-comutativo. Repare que
O produto vetorial é distributivo
Em coordenadas cartesianas,
e
, logo teremos
Rotação
Construímos o vetor de rotação
com convenção da regra do saca-rolha
Consideremos um ponto P na secção transversal xy de um corpo rígido que gira de um ângulo
infinitesimal
em torno do eixo Oz (perpendicular ao plano transversal xy). O vetor
deslocamento infinitesimal
pode ser escrito
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Se o vetor
não estiver no plano (veja figura abaixo), ainda a expressão
continuará valendo, já que
,
Para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo qualquer, o vetor velocidade só tem
componente tangencial
onde o vetor velocidade angular
tem direção de
Alternativamente, poderíamos pensar
e módulo
como um círculo orientado em vez de uma flecha
É importante lembrar que a regra do saca-rolha é uma convenção.
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Um vetor qualquer troca de sinal quando o sistema de coordenadas sofre a ação de uma
transformação de paridade na qual:
.
Para um vetor polar , ou simplesmente vetor, essa transformação leva
importantes de vetores polares são:
Para um vetor axial
. Exemplos
, etc.
, ou simplesmente pseudo-vetor, essa transformação leva
.
Exemplos importantes de vetores axiais são:
, etc. Na definição do vetor velocidade
angular, sob a ação da transformação de paridade, temos
O movimento mais geral de um corpo rígido poderá sempre ser descrito por um movimento de
translação e um de rotação, de modo que o vetor velocidade instantânea
um corpo rígido á dado por
de um ponto P de
onde é a velocidade instantânea de translação do ponto P e
é a componente tangencial
da velocidade em torno de um eixo de rotação instantâneo com a direção e sentido de . Esse
eixo de rotação instantâneo pode, em geral, mudar de direção a cada instante t.
Torque
A cinemática unidimensional e a cinemática das rotações (que em torno de um eixo, é
unidimensional, pois só tem um grau de liberdade de rotação θ em torno desse eixo) têm as
seguintes correspondências:
Já a dinâmica unidimensional conduz ao trabalho infinitesimal
Portanto, o trabalho infinitesimal de uma rotação infinitesimal
deve ser
onde é chamado de Torque.
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Vejamos o trabalho infinitesimal de uma força para girar uma haste rígida em torno de uma
extremidade fixa
Como a componente longitudinal
não realiza trabalho (pois não tem deslocamento),
podemos analisar somente a componente perpendicular
. Para ângulos pequenos
teremos
, logo,
portanto,
De maneira geral, podemos escrever o vetor torque em relação ao ponto O
O torque é então, em módulo, igual à força perpendicular vezes o “braço” r.
A dimensão do torque τ é a mesma de energia 1 joule = 1 N. m
Para a força central
o torque é sempre nulo pois
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Momento Angular
Na analogia entre dinâmica unidimensional e rotação em torno de um eixo temos
Mas, como
onde
é o vetor momento angularem relação ao ponto O
e
Observe que tanto
ponto.
quanto
dependem do ponto O, portanto, é preciso sempre especificar esse
Uma situação importante é aquela em que o torque se anula
Exemplos:
1) Partícula Livre
Se uma partícula livre de massa m e velocidade v se move numa direção que está a uma
distância b do ponto O, então
b é o parâmetro de impacto definido em colisões.
2) Forças Centrais
Como para forças centrais
direção e sentido.
, o vetor momento angular
se conserva em módulo,
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Essa conservação está relacionada diretamente à 2ª. Lei de Kepler que diz que o raio vetor que
liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
Na figura abaixo temos a área infinitesimal varrida num tempo infinitesimal
Logo,
Como L é constante, a chamada velocidade areolar,
, também será constante. Isso demonstra
a 2ª. lei de Kepler. Isso explica porque no periélio um planeta se move mais rapidamente do que
no afélio (
).
3) Disco puxado por um fio
Considere um corpo de massa m que desliza sem atrito numa mesa horizontal preso a
uma corda (sem massa) que passa por um orifício O puxado verticalmente por uma
força F, se movendo com velocidade v
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Para que o corpo realize um movimento circular de raio r, é necessário que a força F externa
aplicada seja igual à força centrípeta
. Como essa força é central, o vetor momento
angular L se conserva.
Na figura, L é perpendicular ao plano e aponta para cima.
Seu módulo é
onde introduzimos o momento de inércia do corpo em relação a ponto O.
Vemos que se diminuirmos r aumentamos v.
Na analogia
ou seja, o momento de inércia faz o papel da massa.
Momento de Angular de um sistema de partículas
Seja um sistema de N partículas de massas
, vetor posição
e velocidade
,
Então o vetor momento angular total do sistema no referencial de laboratório será
O momento angular do sistema no referencial do CM será
mas,
e
, onde
e
são os vetores posição e velocidade do CM
medidos no referencial de laboratório. Lembrando que
;
;
e substituindo essas relações em (2), teremos
ou seja, o momento angular do sistema medido no laboratório é igual ao momento angular
medido no CM mais o momento angular do CM.
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Por exemplo, se imaginarmos um referencial de laboratório fixo no Sol, o momento angular da
Terra nesse referencial será a soma vetorial do momento angular de sua rotação em torno do
CM (dia), , mais o movimento de rotação em torno do Sol (ano),
ao plano da órbita elíptica).
Os vetores
e
(vetor perpendicular
não são paralelos e formam entre si um ângulo de 23,5o.
Torque de um Sistema de Partículas
Referencial Inercial de Laboratório
Lembramos que para o vetor momento linear de um sistema de partículas temos
Para o torque de um sistema de N partículas teremos
Num referencial inercial vale a 2ª. Lei de Newton
onde
é a força externa sobre a partícula i e
são as forças internas que as N-1
partículas fazem sobre i. Substituindo (3) em (2)
mas
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logo,
pois, da 3ª. Lei,
como
, teremos
Note que se houverem forças externas então o CM tem aceleração
dada por
. Neste caso, a passagem em que utilizamos a 2ª. Lei estará incorreto.
Numa situação como essa (com
) , o melhor é utilizar o referencial do CM.
Neste caso,
como
Como
Uma vez que
Substituindo
, independente de
ser igual zero ou não
, então o 2º. termo é nulo e
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Exemplo: Suponha um haltere composto por 2 corpos de massa
ligados por uma barra de
massa desprezível e comprimento . Suponha que duas forças constantes (com módulos
diferentes
, e sentidos opostos) e sempre perpendiculares à barra atuam sobre esses
corpos. O CM está no meio da barra.
O CM executa um movimento uniformemente acelerado (em relação a um referencial inercial),
o vetor torque no CM,
, está mostrado na figura e as 2 massas executam um movimento
circular uniformemente acelerado.
Supondo
, a aceleração do CM será
, o torque tem módulo
Os vetores momentos angulares
têm a mesma direção e sentido do vetor
torque, logo podemos escrever
. Como
então
, donde
Um importante caso é quando
Conjugado cujo torque é simplesmente
, neste caso temos o chamado Binário ou
.
Observação: Se a força externa total é zero então o valor do torque é o mesmo independente da
origem O
Seja
pois,
a nova origem e
o vetor posição que liga
para
.
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Simetrias e Leis de Conservação
Suponha um sistema de N partículas com vetores posição
também dependente explicitamente de t, isto é,
e que a energia potencial U seja
então
1) Invariância por translação temporal
Conservação de Energia Mecânica
De (1)
mas
logo
2) Invariância por translação espacial
Seja
invariância dU=0
Como
Conservação de Momento Linear Total
e façamos todo o sistema transladar espacialmente de
. Então a
é qualquer então
3) Invariância por rotação (isotropia espacial)
Conservação de Momento Angular
Total
Seja
e façamos todo o sistema rodar infinitesimalmente de um ângulo
, de sorte que o vetor posição
se desloca
então a invariância dU=0
como no produto misto vale a propriedade cíclica
como vale para qualquer
então
então
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