Aula 14

Circuitos de 2ª ordem: RLC
Parte 1
Resposta natural de um circuito RLC
paralelo
Veja circuito RLC paralelo abaixo:
A tensão é a mesma e aplicando a soma de correntes que saem do nó superior
temos:
t
v 1
dv
+ ∫ vdτ + I 0 + C
=0
R L0
dt
Diferenciando uma vez em relação a t temos:
1 dv v
d 2v
+ +C 2 = 0
R dt L
dt
Dividindo por C temos:
d 2v
1 dv
v
+
+
=0
dt RC dt LC
A equação acima é uma equação diferencial de segunda ordem com
coeficientes constantes.
Solução geral da eq. diferencial de segunda
ordem
A abordagem clássica para resolver a eq. anterior é admitir que a solução seja
de forma exponencial, isto é, que a tensão seja na forma:
v=Aest
em que A e s são constantes desconhecidas.
Substituindo a expressão acima na equação diferencial temos:
Ae st ( s 2 +
s
1
+
)=0
RC LC
Assim para que seja solução, a expressão entre parênteses deve ser zero
(s 2 +
s
1
+
)=0
RC LC
A equação acima é denominada equação característica da eq. diferencial.
As duas raízes são:
ou:
em que: α é a frequência de Neper (rad/s) e ω0 é a frequência de
ressonância (rad/s)
Resposta natural- RLC paralelo
A resposta natural de um RLC paralelo é da forma:
s1t
v = A1e + A2 e
s 2t
Formas de resposta natural de um circuito
RLC paralelo
Observando as expressões das raízes da eq. característica vemos que
existe três resultados possíveis:
1.
Se ω02 < α2, ambas as raízes serão reais e distintas, nesse caso
a resposta é dita superamortecida;
2.
Se ω02 > α2 , ambas as raízes serão complexas e conjugado uma
da outra, nesse caso a resposta é dita subamortecida;
3.
Se ω02 =α2 , ambas as raízes serão reais e iguais e diz-se que a
resposta é criticamente amortecida.
O amortecimento afeta o modo como a resposta atinge o seu valor
final.
Resposta superamortecida
As raízes são reais e distintas. Os valores das constantes A1e A2 são
encontradas pelas condições iniciais, especificamente pelos valores
de v(0+) e dv(0+)/dt que, por sua vez, são determinados pela tensão
inicial no capacitor e pela corrente inicial no capacitor que depende
da corrente inicial do indutor.
v(0+) = A1 + A2
e
dv(0+)/dt = s1A1 + s2A2
dv(0+)/dt = iC(0+)/C
e
iC(0+)= -V0/R – I0
Vejamos o exemplo a seguir
Exemplo 1
Tendo o circuito ao lado, determine:
• A corrente inicial em cada ramo
• O valor inicial de dv/dt
• A expressão de v(t)
• O gráfico de v(t)
Sabendo que v(0+) = 12 V e iL(0+) = 30 mA
Solução:
A corrente no indutor mantém a corrente inicial de 30mA. O capacitor
mantém a tensão de 12 V inicialmente, assim:
iR = 12/200 = 60mA.
Logo: iC(0+) = -iL(0+) – iR(0+) = - 90 mA
Exemplo 1
dv(0+)/dt = iC(0+)/C = -90 10-3/ 0,2 10-6 = -450kV/s
As raízes da eq. característica são determinadas pelos valores de R, L
e C.
Como as raízes são reais e distintas, sabemos que a resposta é
superamortecida.
Exemplo 1
Logo:
12 = A1 + A2
e
-450 103 = -5000 A1 – 20000 A2
Resolvendo as duas eqs. temos:
A1 = - 14 V e A2 = 26 V
Substituindo esses valores na expressão de tensão temos:
v = (-14 e-5000t + 26e-20000t ) V, t≥0
Exemplo 1
O gráfico de v(t) é mostrado abaixo:
Resposta subamortecida
Por conveniência expressamos as raízes conforme abaixo:
Em que :
é a frequência amortecida.
Utilizando a identidade de Euler a resposta fica:
Substituindo A1 + A2 por B1 e j(A1-A2) por B2, temos:
Pela equação da resposta, observamos que ela é oscilatória com
frequência ωd. A amplitude da oscilação diminui exponencialmente.
A rapidez com que as oscilações diminuem é determinada por α
( fator de amortecimento ou coeficiente de amortecimento). Se não
houver amortecimento α = 0. Isso ocorre de R tende para o infinito.
Exemplo 2
Tendo o circuito abaixo e sabendo que V0=0 e I0=-12,25 mA.
Determine:
a)
As raízes
b)
v e dv/dt em t=0+
c)
A expressão de v(t)
d)
O gráfico de v(t)
Solução
a)
Temos que ω02 > α2, logo a resposta é subamortecida.
b) A tensão inicial é zero, logo a corrente no resistor é zero e temos
que:
O valor inicial da derivada dv/dt é:
c) B1 = 0 e B2 = 98000/ωd = 100 V, temos portanto:
O gráfico de v(t) é mostrado abaixo:
Se no exemplo anterior R tende-se ao infinito a resposta seria:
v= 98sen1000t V, t≥0
A oscilação é sustentada
Em um sistema subamortecido a resposta oscila em torno do valor
final.
Em um sistema superamortecido, a resposta aproxima-se do valor final
sem oscilar.
Simulação no PSPICE
Resposta criticamente amortecida
Temos nesse caso ω02 =α2
s1=s2= - 1/(2RC)
A resposta é :
v = (A1 + A2) e-αt = A0e-αt
em que A0 = A1+ A2.
A equação acima não pode satisfazer as duas condições iniciais
independentes V0 e I0 com apenas uma cte arbitrária A0.
Logo a resposta tem a forma abaixo:
Raramente se encontra na prática sistemas criticamente amortecidos.
Exemplo 3
Tendo o circuito do exemplo anterior determine:
a)
b)
c)
R que resulta uma resposta de tensão criticamente amortecida
v(t)
O gráfico de v(t)
Solução
a)Temos que ω0 = 1000 e como ω0 = α, logo
α = 1000 = 1/(2RC)
R = 4000 Ω
b) Pela condições iniciais temos:
D2 = 0 e D1 = 98000 V/s
A expressão de v(t) é:
c) O gráfico de v(t) é:
Resposta a um degrau de um RLC paralelo
Tendo o circuito abaixo:
iL+ iC + iR = I
iL + C dv/dt + v/R = I (1)
v= L diL/dt
dv/dt = L d2iL/dt2
Logo:
iL + (L/R) diL/dt + (LC) d2iL/dt2 = I
Dividindo por LC por:
d2iL/dt2 + (1/RC) diL/dt + iL/LC = I/LC
Solução via abordagem direta
Já foi visto que para a resposta natural são três possíveis soluções
para v:
Substituindo em (1) temos:
A solução para uma equação diferencial de segunda com uma força
forçante constante é igual à resposta forçada mais uma função
resposta natural.
v = Vf + {função da mesma forma que a resposta natural}
i = If + {função da mesma forma que a resposta natural}
Exemplo 4
A energia inicial armazenada no circuito abaixo é zero. Em t=0, uma
fonte de corrente cc de 24 mA é aplicada ao circuito. R = 400
Ohms.
a)
b)
c)
d)
Qual é o valor inicial da corrente no indutor?
Qual o valor de diL/dt ?
Determine as raízes da eq. característica.
Determine a expressão numérica de iL quando t≥0.
Solução
a)
b)
c)
A corrente iL= 0.
A tensão inicial no capacitor é zero, logo diL(0+)/dt = 0.
Logo: ω02 < α2 , as raízes são reais e distintas. Assim:
d) A resposta portanto será:
Vamos encontrar A´1 e A´2:
Temos:
iL(0) = If + A´1 + A´2 = 0 e diL(0)/dt = s1 A´1 + s2 A´2 = 0
Resolvendo, temos:
A´1 = -32 mA e A´2 = 8 mA
A solução numérica para iL (t) é :
Exemplo 5
O resistor do circuito anterior é aumentado para 625 Ohms. Determine
iL ( t) para t≥0.
Solução: ω02 permanece o mesmo. O aumento de R diminui α para
3,2 x 104rad/s. Logo, ω02 > α2 e as raízes são complexas
conjugadas.
A resposta é subamortecida e é dada por:
Com α = 32000 rad/s, ωd = 24000 rad/s e If = 24mA.
Pelas condições iniciais determina-se B´1 e B´2 :
A solução numérica para iL(t) é:
Exemplo 6
O resistor do circuito anterior está ajustado agora para 500 Ohms.
Determine iL para t≥0.
Solução: ω02 permanece o mesmo e agora α torna-se 4 x 104 rad/s, o
que corresponde a amortecimento crítico. Logo a forma da resposta
é:
D´1 e D´2 são determinadas pelas condições iniciais.
A solução numérica para iL é :
O gráfico das três soluções pode ser visto abaixo:
Exercício
Para o circuito abaixo , R=500 Ohms, L = 0,64 H e C = 1µF e
I= -1 A. A tensão inicial no capacitor é 40 V e a corrente inicial no
indutor é 0,5 A. Determine:
a)
iR (0+)
b)
iC(0+)
c)
diL(0+)/dt
d)
as raízes
e)
iL(t) para t≥0
f)
v(t) para t≥0