Séries Numéricas e Séries de Taylor

UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – ÁREA II
CÁLCULO 3 - 1o¯ Semestre de 2009
Notas de curso: Séries Numéricas e Séries de Taylor
Professor: Sérgio Santa Cruz
Estas notas têm o objetivo de auxiliar o aluno no estudo dos tópicos da terceira unidade
do curso. Como uma fonte adicional de exercı́cios, e para um tratamento mais completo,
o aluno pode recorrer ao capı́tulo 11 do segundo volume de Cálculo de James Stewart.
I. POLINÔMIOS DE TAYLOR
Começamos nossa investigação com a seguinte questão:
Q. Dada uma função f (x), qual o polinômio de grau n (onde n ≥ 0 é um inteiro fixado) que melhor aproxima f perto de x = 0?
O aluno atento percebe que a resposta a esta pergunta depende da interpretação de
“melhor aproximação”. Reformulamos a pergunta de modo mais preciso a seguir.
Q. Dada uma função f (x), qual o polinômio Pn (x) de grau n que tem as mesmas derivadas
que f (x) na origem, até a ordem n?
Assim, de acordo com nosso ponto de vista, podemos chamar P1 (x) de melhor aproximação linear para f (x) perto de x = 0; P2 (x) é a melhor aproximação quadrática, e
assim por diante. Em geral, chamamos Pn (x) o polinômio de Taylor de grau n para f (x)
perto de x = 0.
Chame por um momento Pn = P . Então P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · an xn deve
satisfazer
P (0) = f (0), P 0 (0) = f 0 (0), · · · P (n) (0) = f (n) (0).
Aqui, adotamos a notação f (k) (x) para denotar a k-ésima derivada de f (x) - também
chamada de derivada de k-ésima ordem de f (x). Note que por convenção f (0) (x) = f (x).
Observe que para a questão acima fazer sentido, temos de supor que f admite derivadas
(na origem) até ordem n.
Agora, ao derivarmos P (x) k vezes (onde 0 ≤ k ≤ n), observamos que P (k) (x) é da
forma
k!ak + (termos em x, x2 , · · · xn−k ),
(verifique isto!) e assim P (k) (0) = k!ak .
Como devemos impor que P e f tenham as mesmas derivadas na origem, até ordem
n, obtemos que os coeficientes do polinômio Pn são dados por
f (k) (0)
,
ak =
k!
e assim o n-ésimo polinômio de Taylor é dado por
Pn (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x .
2!
n!
1
Em particular, quando n = 1, y = P1 (x) nada mais é que a equação da reta tangente
à curva y = f (x) no ponto (0, f (0)). O gráfico de y = P2 (x) pode ser interpretado como
a parábola que melhor aproxima o gráfico de y = f (x) perto do ponto (0, f (0)), e assim
por diante. Observe que, estritamente falando, Pn (x) pode ter grau ≤ n.
Exercı́cio. Se f (x) = cos(x), calcule P0 (x), P1 (x), P2 (x), P3 (x), P4 (x) e plote os gráficos
de cada um destes polinômios num mesmo sistema de eixos, juntamente com o gráfico de
f (x).
Depois de fazer este exercı́cio, o aluno provavelmente terá notado que, à medida
que n aumenta, o polinômio Pn (x) aproxima cada vez melhor o gráfico de cos x perto de
x = 0. Um dos nossos objetivos será tornar precisa uma tal afirmação, e até estimar o
erro da aproximação.
Exercı́cio. Prove que o polinômio de Taylor Pn (x) em torno de x = 0 para f (x) = ex é
xn
x2 x3
+
+ ··· .
2!
3!
n!
Exercı́cio. Calcule Pn (x) para: (a) f (x) = cos x; (b) f (x) = sen x.
Pn (x) = 1 + x +
Para cada um dos exemplos acima, gostarı́amos de provar a seguinte afirmação:
para cada x fixado, Pn (x) converge para f (x) quando n → ∞. A próxima etapa do
nosso estudo consiste em formalizar tal tipo de afirmação, para então investigar formas
de prová-la.
II. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Chamamos sequência (infinita) a uma coleção de números reais
a0 , a1 , a2 , · · · , an , · · ·
indexados pelos números inteiros n ≥ 0 (mas observe que também consideramos sequências
que têm como ı́ndice inicial n = 1, ou n = 2, etc). Denotamos esta sequência por {an } ou
(an ).
Dizemos que a sequência (an ) é convergente se existe um número real L de modo
que a seguinte propriedade vale:
Qualquer intervalo centrado em L contém todos os termos da sequência, exceto possivelmente um número finito deles.
Neste caso dizemos que (an ) converge para L, e que L é o limite da sequência;
escrevemos então lim an = L.
n→∞
Intuitivamente, os números an na reta “se acumulam” em torno do número L.
Exercı́cio. Prove, usando esta definição, que a sequência (an ) definida por an = n−1
converge para 0. Idem para an = n−p , onde p > 0.
Observe que as seqüências abaixo não convergem:
1, −1, 1, −1, . . . = ((−1)n );
2
1, 2, 3, 4, 5, . . . = (n).
Muitas vezes, os an são dados por uma expressão da forma an = f (n), onde f é uma
função definida para todos os números reais positivos. Por exemplo, se an = 1/n, então
podemos tomar f (x) = 1/x. Nem sempre reconhecemos os termos de uma sequência sob
esta forma, como no caso das sequências {(−1)n } e { nn!n }; no entanto, muitas vezes isto
é possı́vel, e então é útil observar o seguinte fato, relacionando limites de sequências a
limites no infinito de funções:
• Se lim f (x) = L, então lim f (n) = L
x→∞
n→∞
Isto é consequência direta das definições de limite para funções e para seq uências.
Exercı́cio. Calcule o limite das seguintes sequências:
an =
1
sen n
ln(n)
; an = n1/n ; an =
; an = (1 + 1/n)n ; an = p n
n
n
(no último item, p é um número positivo fixado.)
Exercı́cio. Prove que se a é um número real qualquer,
a n
lim 1 +
= ea .
n→∞
n
Como no caso de limites de funções, com muita frequência se calculam limites de
sequências a partir de limites já conhecidos, utilizando as propriedades do limite em
relação às operações elementares. Listamos abaixo estas propriedades; as demonstrações
serão omitidas.
Se lim an e lim bn existem, então
n→∞
n→∞
• lim (an + bn ) = lim an + lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
• lim (an bn ) = ( lim an )( lim bn )
n→∞
n→∞
n→∞
lim an
an
= n→∞
lim bn
n→∞ bn
n→∞
• Se lim bn 6= 0 então lim
n→∞
Sequências crescentes e decrescentes: No caso em que a sequência {an } é crescente, isto
é, an ≤ an+1 para todo n, temos o seguinte critério para convergência:
• Uma sequência crescente é convergente se e somente se ela é limitada superiormente.
Por sequência limitada superiormente entendemos uma sequência para a qual existe
uma constante M tal que an ≤ M para todo n. Se a sequência é crescente, o menor
de tais números M é precisamente o limite desta sequência - faça uma figura para se
convencer disto; a demonstração formal deste fato será omitida.
Temos um resultado análogo para sequências decrescentes (enuncie-o).
OBS. No livro de James Stewart há uma terminologia usada incorretamente, que
aproveitamos para corrigir: uma sequência é dita monótona se é crescente ou decrescente.
3
Assim, reformulamos os resultados anteriores como: “uma sequência monótona é convergente se e somente se é limitada.” Note também que em alguns textos chama-se (an ) de
sequência crescente se an < an+1 para todo n; aqui preferimos chamar tais sequências de
estritamente crescentes.
Exercı́cio. Dê exemplo de: (i) sequência limitada que não é convergente; (ii) sequência
crescente que não é convergente; (iii) sequência convergente que não é crescente nem decrescente. Por outro lado, justifique: toda sequência convergente é limitada.
q p
√
√ p √
Exercı́cio. Prove que a sequência 2, 2 2, 2 2 2, . . . é crescente e limitada superiormente, e portanto convergente.√A seguir, use o fato que os termos da sequência são
dados recursivamente por an+1 = 2an para calcular o limite da sequência. (Note que
para uma sequência convergente (an ) qualquer, lim an+1 = lim an .)
n→∞
n→∞
Séries numéricas.
Voltamos agora ao problema de aproximar uma função por seu polinômio de Taylor
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn . Para cada x fixado, nos perguntamos se a sequência
(sn ) = (Pn (x)) converge para f (x). Por sua vez, cada termo da sequência (sn ) pode ser
construı́do a partir da sequência bn = an xn : temos sn = b0 + b1 + . . . bn .
Isto P
motiva, mais geralmente, a seguinte definição: Dada uma sequência (bn ), escrevemos ∞
0 bn para denotar o limite das somas parciais sn = b0 + b1 + . . . bn . Portanto
∞
X
bn = lim sn .
n→∞
n=0
P∞
Caso este limite não
exista,
dizemos
que
0 bn diverge.
P
b
como
uma
série
infinita,
ou “soma infinita”. Sem dúvida
Nos referimos a ∞
0 n
isto é um abuso de notação: esta expressão é definida como um limite de somas (as somas
parciais), visto que não faz sentido somar uma quantidade infinita
P∞de números. O número
bn é chamado n−ésimo coeficiente ou n−ésimo termo da série 0 bn .
Usando esta nova terminologia, repomos nossa questão central da seguinte forma: a
série
∞
X
f (n) (0) n
x ,
n!
0
chamada série de Taylor de f (x) em torno de x = 0, converge para f (x)? Antes de
tratarmos do assunto especı́fico de séries de Taylor, consideraremos inicialmente as séries
numéricas gerais.
De importância fundamental no nosso estudo são as séries geométricas
∞
X
rn .
n=0
Aqui, r é um número real fixado. Para investigarmos a convergência desta série,
consideramos a n-ésima soma parcial sn = 1 + r + r2 + . . . rn . Como rsn = r + r2 + . . . +
rn + rn+1 , então subtraindo estas relações obtemos (para r 6= 1)
sn =
1 − rn+1
.
1−r
4
Usando esta fórmula, podemos concluir:
P∞
• Se |r| < 1, a série geométrica converge e
rn =
n=0
1
;
1−r
• Se |r| ≥ 1, a série geométrica diverge.
Propriedades elementares de séries convergentes. A partir do conhecimento de algumas séries convergentes, é possı́vel construir várias outras em vista das seguintes propriedades:
I. Se
P∞
n=0 an e
P∞
n=0 bn convergem, então
P∞
n=0 (an
+ bn ) também converge, e vale
∞
∞
∞
X
X
X
(an + bn ) =
an +
bn .
n=0
II. Se
P∞
n=0
n=0
n=0
an converge e c é uma constante, então
∞
X
can = c
n=0
∞
X
P∞
n=0
can converge e
an .
n=0
Vamos verificar
P∞propriedade; a verificação da segunda é deixada como exercı́cio.
P a primeira
a
e
Suponha que ∞
n
n=0 bn convergem. Se sn = a0 + . . . + an e tn = b0 + . . . bn são as
n=0
sequências de somas parciais destas séries, então por definição de convergência de séries,
∞
X
∞
X
an = lim sn ,
n→∞
n=0
Mas a n-ésima soma parcial da série
P∞
bn = lim tn .
n→∞
n=0
n=0 (an
+ bn ) é
un = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) + . . . + (an + bn ) = (a0 + a1 + . . . an ) + (b0 + b1 + . . . + bn ) = sn + tn ,
e assim
lim un = lim sn + lim tn ,
n→∞
isto é,
∞
X
n→∞
(an + bn ) =
n=0
∞
X
n=0
n→∞
an +
∞
X
bn
n=0
.
Uma condição
P necessária para a convergência de uma série. Observamos agora que para
uma série ∞
n=0 an ser convergente, é necessário que o termo geral convirja para zero.
P
• Se ∞
n=0 an converge, então limn→∞ an = 0.
P
De fato, podemos escrever o termo geral an como an = sn − sn−1 . Se ∞
n=0 an converge,
então por definição limn→∞ sn existe; chame este limite L. Então também temos limn→∞ sn−1 =
L, e portanto limn→∞ an = L − L = 0.
5
Note entretanto que a recı́proca do resultado que acabamos de provar não é verdadeira. A série harmônica
∞
X
1
n=0
n
fornece um exemplo de uma série divergente, apesar do termo geral convergir para zero.
(A divergência desta série será provada em aula.)
O resultado anterior é útil como uma condição suficiente para provar que uma série
diverge, pois podemos reformulá-lo como segue:
P
• Se limn→∞ an 6= 0, então ∞
n=0 an diverge.
Exercı́cio. Verifique que as seguintes séries divergem:
∞
X
n=0
1/n
n
;
∞
X
1
n sen .
n
n=0
Séries com termos positivos
P
Suponha agora que ∞
n=0 an é uma série com an ≥ 0 para todo n. Então a sequência
de
somas
parciais
s
=
a0 + a1 + . . . + an é crescente, e portanto a condição para que
n
P∞
n=0 an convirja é que a sequência de somas parciais seja limitada. Expressamos isto
mais informalmente do seguinte modo:
P
• Se an ≥ 0 para todo n, então ∞
n=0 an é convergente se e somente se é limitada.
Observe que neste enunciado basta supor que an ≥ 0 para n suficientemente grande;
pois se an ≥ 0 para n ≥ N , então podemos escrever cada soma parcial sn (n ≥ N ) sob
a forma k + aN + aN +1 + . . . + an , onde k = a0 + . . . + aN −1 , e P
a convergência da série
original é equivalente à convergência da série de termos positivos ∞
n=N an . Em vários resultados que enunciaremos a seguir, que dizem respeito a convergência de séries, podemos
substituir uma frase do tipo “an satisfaz a propriedade P para todo n” por “an satisfaz
a propriedade P para todo n suficientemente grande.” Deixamos a cargo do aluno fazer
estas generalizações em cada caso.
Exemplo. A série
P∞
n=1
1/n2 é convergente.
Como os termos são positivos, basta ver que a soma é limitada. Para ver isto, agrupe os
termos da seguinte forma:
1 + 1/22 + (1/32 + 1/42 ) + (1/52 + 1/62 + 1/72 + 1/82 ) + (1/92 + . . . + 1/162 ) + . . . .
Como todos os termos em cada parêntesis são menores que o termo precedendo imediatamente
o parêntesis, vemos que esta soma é menor que
1 + 1/4 + 2.1/22 + 4.1/42 + 8.1/82 + . . . = 1/4 + 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 + . . . = 1/4 + 2 = 9/4;
na penúltima desigualdade usamos que a série geométrica para r = 1/2 vale 2. Assim, a série
P
2
de termos positivos ∞
n=1 1/n é limitada e conseqüentemente convergente.
Observe que este método de provar convergência é indireto: não nos indica o valor
da série, mas apenas uma estimativa superior (9/4 neste caso.)
6
P∞
OBS. O valor desta série foi calculado pela primeira vez por Euler:
n=1 1/n
2
= π 2 /6.
O teste da comparação. Podemos provar a convergência de uma série de termos positivos “comparando” com uma série convergente conhecida. Mais precisamente temos o
“teste da comparação”:
P
P∞
• Suponha que ∞
0 bn converge. Se 0 ≤ an ≤ bn para todo n, então
0 an converge.
Isto é uma consequência imediata do resultado anterior; pois como an ≤ bn , temos para as somas
P
parciais a0 + a1 + . . . + an ≤ b0 + b1 + . . . + bn e então ∞
0 an é uma série de termos positivos
P∞
P∞
limitada pelo número 0 bn ; portanto, 0 an converge.
Temos o seguinte resultado para verificar que uma série de termos positivos diverge:
P
P∞
• Suponha que ∞
0 an diverge. Se 0 ≤ an ≤ bn para todo n, então
0 bn diverge.
Isto claramente é equivalente ao teste da comparação enunciado acima.
Exercı́cio. Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes, e prove a
sua afirmação:
∞
X
arctg n
1
n4
;
∞
X
2
1
;
(ln n)2n
∞
X
2
∞
X
n1/n
;
(ln n)2n
1
1
;
(2n)!
∞
X
ln n
1
n3
;
∞
X
ln n
1
n
;
∞
X
1
√ .
n
1
Exercı́cio. Defina uma expansão decimal da forma
n. a1 a2 a3 · · ·
(onde n, ai são números inteiros e 0 ≤ ai ≤ 9) em termos de uma série, e prove que
esta série é convergente, por meio de comparação com uma série geométrica. Portanto a
expressão acima de fato define um número real.
Exercı́cio. (a) Prove que 0, 333 · · · = 1/3;
(b) Prove que 0, 999 · · · = 1;
(c) Expresse 2, 13271271271271 · · · como uma fração.
Convergência absoluta. O critério da comparação se aplica apenas para série de termos
positivos. Quando a série não é desta forma, muitas vezes (mas nem sempre!) podemos
reduzir o problema de convergência da série a um problema de convergência de séries de
termos positivos, em vista do resultado seguinte:
Teorema. Se
P∞
0
|an | converge, então
P∞
0
an converge.
P
P∞
P∞
Quando uma série ∞
0 an é tal que
0 |an | converge, dizemos que
0 an converge
absolutamente. Em vista desta definição, podemos reenunciar o teorema como se segue:
Teorema. Se
P∞
0
an é absolutamente convergente, , então
Demonstração. Observe que
0 ≤ an + |an | ≤ 2|an |.
7
P∞
0
an é convergente.
P
Assim, como por hipótese P ∞
da comparação para
0 |an | converge, temos pelo testeP
∞
séries com termos positivos que 0 (an +|an |) converge. Mas então ∞
0 an é convergente,
pois podemos expressar esta série como soma de duas séries convergentes:
∞
X
∞
∞
X
X
an =
(an + |an |) −
|an |.
0
0
0
Exercı́cio. Prove que as seguintes séries são convergentes:
∞
X
(−1)n+1
1
n2
;
∞
X
cos n
n2
1
;
∞
X
ln n + (−1)n+1 n
1
n3
Observamos, entretanto, que uma série pode convergir sem que convirja absolutaP (−1)n
converge, embora não convirja
mente. Mostraremos adiante, por exemplo, que ∞
1
n
absolutamente.
P∞
O teste da raiz. Um método importante para provar
0 an converge
P∞que uma série
absolutamente
consiste em tentar comparar a série 0 |an | com uma série geométrica
P∞ n
r
com
0
<
r < 1.
0
Em suma, se conseguirmos mostar que para uma certo r com 0 < r < 1,
|an | ≤ rn ,
P∞
então como aquela série geométrica converge, vemos pelo teste da comparação que
0 |an |
P∞
converge, isto é, 0 an converge absolutamente. De fato, basta que a desigualdade acima valha
P
para n suficientemente grande (pois como já observamos, verificar a convergência de ∞
0 |an | é
P∞
equivalente a verificar a convergência de k |an |.) Podemos reformular nossa conclusão do
seguinte modo:
1
• Se |an | n ≤ P
r para todo n suficientemente grande, onde r é uma constante positiva
< 1, então ∞
0 an converge absolutamente.
No entanto, este resultado é mais facilmente aplicado sob a seguinte forma, usualmente chamado “teste da raiz”:
1
Teorema. Suponha que L = lim |an | n existe. Então:
n→∞
P
(a) Se L < 1, a série P∞
0 an converge absolutamente (em particular, ela converge);
(b) Se L > 1, a série ∞
0 an diverge.
1
O item (a) é consequência do resultado enunciado anteriormente; de fato, se limn→∞ |an | n =
L < 1, e se r é qualquer número tal que L < r < 1, então a definição de limite implica que
1
|an | n < r para n suficientemente grande (por quê? justifique!) e então podemos usar o resultado
anterior.
1
O item (b) segue do fato que, se L > 1, temos similarmente que |an | n > 1 para n suficientemente
grande, ou seja |an | > 1; em particular não pode ser verdade que limn→∞ an = 0, e portanto a
série diverge.
P∞ 1
P∞ 1Observe que o teorema não nos dá informação quando L = 1, como as séries 0 n e
0 n2 mostram: para ambas as séries, obtemos L = 1 (verifique isto), mas a primeira di1
verge e a segunda converge. O teorema também não dá nenhuma informação se lim |an | n
n→∞
8
não existir.
Exercı́cio. Use o teste da raiz para verificar se as seguintas séries convergem:
n
∞
∞
∞ X
X
X
(−2)n
(−2)n
3n − 5
;
;
n2
nn
7n − 8
1
1
1
O teste da razão. Outro teste muito importante, e muitas vezes mais facilmente aplicável
que o teste da raiz, é o teste da razão enunciado a seguir.
Teorema. Suponha que a série
P∞
0
an é tal que
L = lim |
n→∞
an+1
|
an
existe. Então:
(a) Se L < 1, a série converge (absolutamente);
(b) Se L > 1, a série diverge.
Como no teste da raiz, o caso L = 1 não nos dá nenhuma informação.
Demonstração do teste da razão.
(a) Suponha L < 1, e seja r um número satisfazendo L < r < 1. Para n suficientemente grande
|
< r, isto é, |an+1 | < r|an |. Por simplicidade suponha que isto vale para todo n
temos |a|an+1
n|
(senão,
P se isto vale a partir de n = k, observe que basta verificar a convergência ou divergência
de ∞
k an , e então podemos
P∞ reindexar os ı́ndices desta série: b0 = ak , b1 = ak+1 , . . . e aplicar o
argumento abaixo para 0 bn .) Portanto
|a1 | < r|a0 |,
|a2 | < r|a1 | < r2 |a0 |, . . . , |an | < rn |a0 |.
P∞ n
P∞ n
P
Assim, a série ∞
0 r (que é uma
0 r |a0 | = |a0 |
0 |an | pode ser comparada com a série
série geométrica convergente, já que tomamos r com 0 ≤ r < 1.) O teste da comparação agora
P
nos garante que ∞
0 |an | converge.
A demonstração do item (b) é similar àquela para o teste da raiz e será omitida.
Exercı́cio. Use o teste da razão para verificar se as seguintes séries são convergentes
ou divergentes:
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
X
n!
en
n2
an
nn
;
;
;
;
.
n
n
e
n!
2
n!
n!
0
0
0
0
0
No penúltimo item, a é uma constante qualquer. Você verificará que esta série
converge, qualquer que seja a constante a. Se lembrarmos agora que a série de Taylor
para ex em torno de x = 0 é dada por
∞
X
xn
n=0
n!
,
concluı́mos o seguinte: a série de Taylor de ex é convergente para todo x ∈ R. Observe
que não mostramos ainda, no entanto , que a soma da série é de fato igual a ex .
9
Ainda estudaremos, ao longo destas notas, outros testes de convergência para séries
numéricas: o teste para séries alternadas (teste de Leibniz), o teste da integral e o segundo teste da comparação. Porém, o que aprendemos até o momento já é suficiente para
analisarmos as séries de potências, um capı́tulo de suma importância em nosso estudo, e
em especial as séries de Taylor.
III. SÉRIES DE POTÊNCIAS
Uma série de potências é uma expressão da forma
∞
X
an x n ,
n=0
onde a0 , a1 , a2 , . . . são constantes. Por exemplo, a série de Taylor em torno da origem de
uma função f (x) é uma série de potências. A pergunta relevante aqui é a seguinte:
Q. Para que valores de x a série de potências
P∞
n=0
an xn converge?
É óbvio que a série converge quando x = 0; portanto é natural perguntar se a série
de potências converge para algum x 6= 0, e em caso afirmativo qual é o conjunto de todos
os tais números (a “região de convergência” da série.)
Por exemplo, já vimos que a série geométrica
∞
X
xn
n=0
converge para |x| < 1, e a série de Taylor de ex converge para todo x.
Exercı́cio.
Verifique para que valores de x as seguintes séries de potências convergem:
P
n
nx
;
(a) P∞
n=0
∞
n
(b) P n=0 x /n2 ;
n n
(c) P∞
n=0 n x ;
n!
(d) P ∞
n=0 x
∞
(e) n=0 (−1)n xn
(f) A série de Taylor para f (x) = cos x em torno da origem.
Sugestão: primeiro veja que informação podemos obter pelo teste da razão ou da
raiz; a seguir, examine separadamente a convergência para aqueles valores de x tais que
o teste usado não dá informação.
P
n
Teorema. Dada uma série de potências ∞
n=0 an x , uma das seguintes situações ocorre:
(a) A série de potências diverge para todo x 6= 0, ou
(b) A série de potências converge (absolutamente) para todo x, ou
(c) Existe uma número R > 0 tal que a série converge (absolutamente) para |x| < R e
diverge para |x| > R.
O número R é chamado raio de convergência e o intervalo (−R, R) é o intervalo
(aberto) de convergência da série de potências. No caso (a) pomos R = 0, e no caso (b)
10
R = ∞. Assim, o raio de convergência da série geométrica é R = 1, e o da série de Taylor
para ex é R = ∞. Note que no caso (c) acima, o conjunto de todos os pontos em que a
série converge pode ser da forma (−R, R), [−R, R), (−R, R] ou [−R, R].
Exercı́cio. Qual é o raio de convergência de cada série no exercı́cio anterior?
Diferenciação e integração de séries de potências. Se uma série
tem raio de convergência R > 0, podemos considerar a função
f (x) =
∞
X
P∞
n=0
an xn de potências
an xn para |x| < R.
n=0
O resultado a seguir (cuja demonstração técnica é omitida) nos diz que a derivada
de f (x) é obtida derivando a série termo a termo, e que a integral indefinida é obtida
integrando termo a termo.
P
n
Teorema. Suponha que a série de potências ∞
n=0 an x tem raio de convergência R > 0.
Então
!
∞
∞
X
d X
nan xn−1 para |x| < R.
an x n =
dx n=0
n=1
!
Z X
∞
∞
X an
an x n =
xn+1 + C para |x| < R.
n
+
1
n=0
n=0
Além disso, os raios de convergência das séries
∞
X
nan xn−1
e
n=1
∞
X
an n+1
x
n
+
1
n=0
são iguais a R.
Como uma consequência da diferenciação termo a termo, obtemos o seguinte fato:
se uma função é definida em um certo intervalo por uma série de potências, então os
coeficientes desta série de potências são unicamente determinados.
Teorema.
f (x) admite duas representações como séries de potências, f (x) =
PSe
∞
e f (x) = n=0 bn xn , então an = bn para todo n. De fato, temos
an =
P∞
n=0
an x n
f (n) (0)
.
n!
A demonstração é similar à que demos, no inı́cio das notas, para a determinação dos
coeficientes para polinômios de Taylor.
Vamos mostrar agora uma aplicação destes dois teoremas na determinação das séries
de Taylor de algumas funções básicas. Primeiro note que podemos interpretar a igualdade
1 + x + x2 + x 3 + . . . + xn + . . . =
11
1
1−x
para
|x| < 1
P
1
n
como o fato que a série de Taylor para f (x) = 1−x
em torno de x = 0 é ∞
n=0 x . Você
pode verificar isto calculando os coeficientes da série de Taylor em termos das derivadas
1
, mas é mais simples observar que como a série geométrica é uma série de potências
de 1−x
1
que é igual a 1−x
(no intervalo (−1, 1)), então pelo teorema anterior ela é necessariamente
1
.
a série de Taylor para 1−x
P
P∞
1
1
n n
n n
Segue que a série de Taylor para 1+x
é ∞
n=0 (−1) x e vale 1+x =
n=0 (−1) x
para | − x| < 1, isto é, |x| < 1. Similarmente, calculando esta expressão em x2 , vemos que
∞
X
1
=
(−1)n x2n para |x| < 1
1 + x2
n=0
(pois a condição |x2 | < 1 é equivalente a |x| < 1. )
Agora, se integrarmos termo a termo, obtemos
∞
X
(−1)n 2n+1
x3 x5 x7
x
=x−
+
−
+ ...
arctgx =
2n + 1
3
5
7
n=0
para |x| < 1.
(a constante de integração deve ser nula pois arctg 0 = 0.)
Note que não só calculamos a série de Taylor para arctgx, mas também provamos
que a série converge para a função no intervalo (−1, 1) (o intervalo de convergência da
série.) Compare isto com o que provamos até o momento para a série de Taylor de ex :
vimos que ela converge, mas não obtivemos ainda que a soma é igual a ex .
Atenção. Observe que, apesar da função arctgx estar definida para todo x, não temos
a igualdade desta função com sua série de Taylor para todo x; de fato, como o raio de
convergência da série de potências obtida é 1, a série diverge para |x| > 1 e a identidade
vale apenas para |x| < 1. Muita atenção ao manipular com séries de potências como
fizemos acima: em cada etapa, é necessário entender para que valores de x a identidade
considerada é válida.
Na verdade pode-se provar que a igualdade
x−
x3 x5 x7
+
−
+ . . . = arctgx
3
5
7
também vale para x = 1, −1. (Isto não é óbvio, e omitiremos a explicação.) Como
arctg 1 = π/4, obtemos a notável identidade
π
1 1 1
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
Exercı́cio. Raciocinando nas mesmas linhas, obtenha a série de Taylor para ln(1 + x) em
torno de x = 0. Qual é o raio de convergência R desta série? Prove, usando os teoremas
anteriores, que a série de Taylor para ln(1 + x) converge para esta função no intervalo
(−1, 1). Admitindo que a expansão também vale para x = 1 (o que é válido, mas não
será provado aqui), obtenha uma expressão para ln 2 como uma série numérica.
Exercı́cio. Calcule o valor das séries (para |x| < 1):
∞
∞
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
n X n2 − n X n2
nxn−1 ;
nxn ;
n(n − 1)xn ;
;
;
.
n
n
n
2
2
2
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
n=1
12
Exercı́cio. Calcule a série de Taylor em torno de x = 0 para as funções abaixo, assim como o raio de convergência da série:
Z x
ln(1 + x)
x3
2
e−t dt;
h(x) =
; f (x) = x arctgx;
g(x) =
.
p(x) =
1+x
x
0
(Com respeito a esta última função, que a princı́pio não está definida em x = 0, observe
que é natural defini-la aı́ pondo h(0) = 1; por quê?)
Séries de potências centradas em x = c. Mais geralmente, uma expressão da forma
∞
X
an (x − c)n
n=0
(onde c é uma constante) é chamada uma série de potências centrada em x = c. O
raio de convergência da série é o número R com a seguintes propriedade: a série converge
(absolutamente) para |x−c| < R e diverge para |x−c| > R. Portanto o intervalo (aberto)
de convergência agora é (c − R, c + R), isto é, o intervalo de raio R centrado em c.
Se f (x) é uma função infinitamente diferenciável, podemos definir sua série de Taylor
em torno de x = c de modo análgo ao que fizemos no caso c = 0:
∞
X
f (n) (c)
n=0
n!
(x − c)n
Para justificar esta definição, o aluno deve verificar a seguinte propriedade: a nésima soma parcial desta série é o polinômio de grau n que tem as mesmas derivadas em
x = c que f (x), até a ordem n. (Repita o procedimento usado na primeira seção.)
Assim como no caso c = 0, se uma função pode ser escrita como uma série de
potências centrada em x = c, então esta representação da função é única, isto é, a série
de potências considerada é necessariamente a série de Taylor da função em torno de x = c.
Exercı́cio. Seja a um número real fixado. Calcule a série de Taylor de: (i) f (x) = ex
1
em torno de x = a; (ii) f (x) = em torno de x = a, para a 6= 0. Qual é o intervalo de
x
convergência da série?
IV. APROXIMAÇÕES DE TAYLOR
Dada uma função f (x), nos perguntamos se sua série de Taylor em torno de x = c
coincide, no seu intervalo de convergência, com a função f .
f (x) =
∞
X
f (n) (c)
n=0
n!
(x − c)n ?
P
(k)
Escrevendo Pn (x) = nk=0 f k!(c) (x − c)k (o n-ésimo polinômio de Taylor para f (x)
em torno de x = c), definimos o resto de ordem n como Rn = f (x) − Pn (x). Portanto,
f (x) = Pn (x) + Rn (x).
13
Para provar que a série de Taylor centrada em x = c de f (x) converge para f (x)
num intervalo |x − c| < R, temos de provar que para cada x neste intervalo a sequência
Pn (x) converge para f (x), e isto a equivalente a provar que
lim Rn (x) = 0 para |x − c| < R.
n→∞
Vamos procurar desenvolver métodos para tratar esta questão, dando estimativas
para o resto. O seguinte resultado é bastante importante: ele expressa o resto por meio de
uma integral. Aqui, supomos que f é uma função que admite derivadas de todas as ordens.
Teorema de Taylor. Temos
f (x) = f (c) + f 0 (c)(x − c) +
f 00 (c)
f (n) (c)
(x − c)2 + . . . +
(x − c)n + Rn (x),
2!
n!
onde
Z
x
Rn (x) =
c
f (n+1) (t)
(x − t)n dt.
n!
Ou seja, f (x) = Pn (x) + Rn (x), onde Rn (x) é dado pela expressão acima (chamada
fórmula integral do resto.)
A demonstração deste fato é obtida através de repetido uso de integração por partes; iniciamos observando, pelo teorema fundamental do cálculo, que
Z x
f 0 (t) dt.
f (x) − f (c) =
c
Integramos por partes pondo u = f 0 (t), dv = 1 dt; porém tomamos v = t − x = −(x − t)
em vez de v = t, e obtemos assim a igualdade expressa no teorema para n = 1. Integrando
por partes novamente, obtemos a fórmula com n = 2, e assim sucessivamente. O aluno deverá
completar os detalhes.
A importância do teorema de Taylor está no fato que a expressão obtida para o
resto nos permite muitas vezes estimar este resto. Vamos ilustrar isto para a expansão
da função f (x) = ex em torno de x = 0
Exemplo. Seja f (x) = ex , c = 0. Então como f (n+1) (t) = et , temos
Z x t
e
Rn (x) =
(x − t)n dt.
0 n!
Suponha por simplicidade que x > 0 (o caso x < 0 será omitido; procure completar
o argumento neste caso). Como o integrando é positivo, temos Rn (x) > 0; além disso,
como et ≤ ex para t ≤ x, temos
Z x x
Z x
e
(x − t)n
n
x
Rn (x) ≤
(x − t) dt = e
dt;
n!
0 n!
0
calculando esta última integral, obtemos
0 ≤ Rn (x) ≤
14
ex xn+1
.
(n + 1)!
Agora observe o seguinte limite: para qualquer x,
xn
= 0.
n→∞ n!
lim
n
(De fato, xn! é o termo geral da série de Taylor de ex , cuja convergência você provou, para todo
x, em uma exercı́cio anterior; agora use o fato que se uma série é convergente, seu termo geral
tem limite nulo.)
Voltando à desigualdade para o resto, usando o limite acima e o teorema do confronto
para limites, obtemos limn→∞ Rn (x) = 0. Assim provamos:
ex = 1 + x +
xn
x2
+ ...
+ ...
2!
n!
para todo x :
A série de Taylor de ex em torno de 0 converge para ex para todo número real x.
Observe ainda que, dado n, somos capazes de estimar o erro ao aproximar ex por
Pn (x). Por exemplo: temos, pondo x = 1, a fórmula
∞
X
1
e=
.
n!
0
Se agora tomamos uma soma parcial
sn = 1 + 1 +
1
1
1
+ + ... ,
2! 3!
n!
temos, pela desigualdade acima para o resto, 0 < e − sn <
e
(n+1)!
<
3
.
(n+1)!
Exercı́cio. (Use uma calculadora - mas apenas para fazer somas, multiplicações e divisões...) Calcule e com um erro menor que 10−7 .
Usando como modelo nosso estudo de ex acima, faça os exercı́cios seguintes:
Exercı́cio. Prove que para as seguintes funções f (x) a série de Taylor em torno de
x = 0 converge para f (x): (a) f (x) = cos x; (b) f (x) = sen x.
Exercı́cio. Obtenha uma cota superior para o maior erro possı́vel do polinômio de
Taylor de grau n (em torno de x = 0) que aproxima cos x no intervalo [0, 1].
Exercı́cio. Qual é o grau do polinômio de Taylor que você precisa para calcular cos 1
com precisão de quatro casas decimais? E com seis casas decimais?
Séries alternadas. Uma série é dita alternada se seus termos são alternadamente positivos
e negativos. Portanto uma série alternada pode ser da forma
b0 − b1 + b2 − b3 + . . . onde bn ≥ 0 para todo n,
ou da forma
−c0 + c1 − c2 + c3 + . . . onde cn ≥ 0 para todo n.
15
No que segue, vamos supor que a série é do primeiro tipo; note que o termo geral da
série é an = (−1)n bn . Obviamente, uma série do segundo tipo é o negativo de uma série
do primeiro tipo.
Observe que várias das séries de Taylor que você calculou são alternadas: as séries
para cos x, sen x são alternadas para todo x, enquanto que a série para ex é alternada
apenas para x negativo; a série de arctg x é alternada (mas convergente apenas para
|x| ≤ 1), etc.
Teorema (Teste de Leibniz). Suponha que uma série alternada
∞
X
(−1)n bn
(bn ≥ 0)
0
satisfaz :
(i) bn ≥ bn+1 para todo n (ou para n suficientemente grande);
(ii) limn→∞ bn = 0.
Então a série converge.
Exemplo. A série
∞
X
(−1)n
0
1 1 1 1
1
= 1 − + − + − ...
n+1
2 3 4 5
cumpre os requisitos deste teorema, portanto converge. Observe que temos então um
exemplo de uma série que é convergente mas não é absolutamente convergente, tendo em
vista que a série harmônica diverge.
A demonstração do teorema se baseia no fato que as somas parciais de ordem ı́mpar s1 , s3 , s5 , . . .
formam uma sequência crescente e limitada superiormente, enquanto as somas parciais de ordem par s0 , s2 , s4 . . . formam uma sequência decrescente e limitada inferiormente. De fato, para
verificar a segunda afirmação, por exemplo, observe que s2n+2 −s2n = −b2n+1 +b2n+2 ≤ 0, tendo
em vista que os bn formam uma sequência decrescente, por hipótese. Logo s2(n+1) ≤ s2n . Além
disso, observe que
s2n = (b0 − b1 ) + (b2 − b3 ) + . . . (b2n−2 − b2n−1 ) + b2n ≥ 0 + 0 + . . . + 0 + 0 = 0;
assim, {s2n } é decrescente e limitada inferiormente (por 0, por exemplo). Similarmente, as somas
parciais s2n+1 formam uma sequência crescente limitada superiormente (por b0 , por exemplo).
Ambas as sequências acima portanto convergem, digamos para limites L1 e L2 . Como todos
os somas parciais do tipo s2n+1 estão à esquerda das somas parciais do tipo s2n (por quê?),
devemos ter s2n+1 ≤ L1 ≤ L2 ≤ s2n . Mas a diferença entre s2n e s2n+1 tende a zero, pois
s2n+1 − s2n = −b2n+1 → 0 (pela hipótese do teorema); assim, como 0 ≤ L2 − L1 ≤ s2n − s2n+1 ,
devemos ter L2 = L1 . Portanto a sequência sn converge para L = L1 = L2 , isto é, a série
P∞
n
CQD.
0 (−1) bn converge.
O resultado seguinte nos dá uma maneira simples de estimar o resto da aproximação
de certas séries alternadas por meio de suas somas parciais.
Estimativa do resto para série alternadas. Considere
uma série alternada satisP∞
fazendo as hipóteses do teorema anterior. Então, se 0 (−1)n bn = L, temos a seguinte
16
estimativa para o resto Rn = L − sn da aproximação de L pela n-ésima soma parcial sn :
|Rn | ≤ bn+1 .
Suponha, por exemplo, que n é par. Então, como observamos antes, sn+1 ≤ L ≤ sn , e portanto
|Rn | = |sn − L| ≤ |sn − sn+1 | = bn+1 . O caso n ı́mpar é similar.
Exemplo. Estime e−1 com erro inferior a 10−3 .
Solução. Expressando a igualdade de ex com sua série de Taylor para x = −1, obtemos
e
−1
=
∞
X
(−1)n
n!
0
=1−1+
1
1
1
− + − ....
2! 3! 4!
Observe que se trata de uma série alternada com bn =
de Leibniz são satisfeitas (verifique!). Temos
b7 =
1
,
n!
e que as hipóteses do teste
1
1
1
=
<
= 0, 0002.
7!
5040
5000
Assim, a diferença entre e−1 e s6 é menor, em valor absoluto, que 0, 0002:
|e−1 − s6 | ≤ b7 < 0, 0002.
Calculando s6 , temos
s6 =
1
1
1
1 1
− +
−
+
= 0, 3680 . . . ;
2 6 24 120 720
assim, este é o valor aproximado para e−1 com erro menor que 0, 0002 (em particular,
menor que 10−3 ).
Exercı́cio. Calcule ln(3/2) com erro inferior a 0, 01 (sugestão: considere a série de
Taylor para ln(1 + x) que você calculou anteriormente.)
R1
2
Exemplo. Calcule 0 e−x dx com erro menor que 0, 001.
Solução. Usando a expansão de Taylor de ex calculada em −x2 , obtemos
2
e−x = 1 −
x2n
x2 x4 x6
+
−
+ . . . + (−1)n
+ ...
1!
2!
3!
n!
Esta expansão é válida para todo x (por quê?)
Integrando termo a termo, obtemos
Z x
x3
x5
x7
x2n+1
2
e−t dt = x −
+
−
+ . . . + (−1)n
+ ....
3.1! 5.2! 7.3!
(2n + 1).n!
0
Pondo x = 1, obtemos
Z 1
1
1
1
(−1)n
2
e−t dt = 1 −
+
−
+ ... +
+ ....
3.1! 5.2! 7.3!
(2n + 1).n!
0
Esta é uma série alternada com
bn =
1
.
(2n + 1)(n!)
17
Como 0 < bn < n1 , claramente temos limn→∞ bn = 0; além disso, como (2n + 3).(n +
1)! > (2n + 1).n!, temos bn+1 < bn . Assim, as hipóteses do teorema para séries
R 1 alternadas
2
são todas satisfeitas, e podemos concluir que o erro da aproximação de 0 e−x dx pela
n-ésima soma parcial da série acima é menor que bn+1 .
Portanto, se consideramos a soma parcial para n = 6, por exemplo:
1
1
1
1
+
−
+
= 0, 7475 . . .
3.1! 5.2! 7.3! 9.4!
1
1
temos que o erro é menor que 11.5!
= 1320
< 0, 001, como desejamos.
R1
2
(Observe que podemos concluir, por exemplo, que a expansão decimal de 0 e−x dx
R1
2
começa com 0, 74 . . .; isto é, este é o valor de 0 e−x dx com precisão de duas casas decimais.)
1−
Exercı́cio. Calcule
R1
0
sen (x2 ) dx com precisão de três casas decimais.
A série binomial.
Concluiremos nossas notas com um exemplo muito importante: a série binomial, descoberta por I. Newton. De fato, estamos aqui revertendo a ordem histórica: originalmente, a série binomial foi descoberta por Newton sem fazer uso da série de Taylor (então
desconhecida). De certa forma, foi o estudo da série binomial uma das motivações de
Newton no desenvolvimento do cálculo, daı́ sua importância histórica.
Com o nosso conhecimento de séries de Taylor, porém, obteremos um caminho mais
rápido e simples que o de Newton para expandir a função
(1 + x)k
em série de potências. Aqui, não estamos supondo que k é uma inteiro positivo! O argumento a seguir funciona para qualquer valor real de k (podendo ser inclusive negativo.)
Teorema. Seja k um número real. A série de Taylor para f (x) = (1 + x)k em torno de
x = 0 (chamada série binomial) é
1+
∞
X
k(k − 1) . . . (k − n + 1)
n!
n=1
xn ;
seu raio de convergência é R = 1, e a série de Taylor converge para f (x) no intervalo
(−1, 1).
Observe que quando k é um inteiro positivo, podemos escrever o n-ésimo coeficiente da série
acima como
k!
= kn .
(k − n)!n!
Neste caso, os termos da série são todos nulos para n > k,e a igualdade de (1 + x)k com sua
série de Taylor nada mais é do que a fórmula do binômio de Newton aprendida na escola.
Note que se definirmos, motivados pelo caso que acabamos de discutir,
k
n
=
k(k − 1) . . . (k − n + 1)
n!
18
para n ≥ 1;
k
0
=1
qualquer queP
seja aconstante real k, então a série binomial do teorema pode ser escrita
k
n
sob a forma ∞
n x .
0
Para verificarmos o teorema, primeiro calculamos as derivadas de f (x):
f (n) (x) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)(1 + x)k−n .
Obtemos então para os coeficientes da série de Taylor:
f (n) (0)
k(k − 1) . . . (k − n + 1)
an =
=
.
n!
n!
Assim, obtemos a fórmula para a série de Taylor dada no enunciado do teorema.
Para calcular o raio de convergência, usaremos o teste da razão. Observe que o termo geral
xn+1
da série é an xn , logo para aplicarmos este teste temos de estudar o limite de | an+1
|=
an xn
| an+1
x|.
Temos
an
|an+1 |
|k(k − 1) . . . (k − n)|
n!
|k − n|
|x| =
|x| =
|x|;
|an |
(n + 1)!
|k(k − 1) . . . (k − n + 1)|
n+1
Como k é uma constante, vemos que o limite desta expressão quando n → ∞ é
L = |x|. O teste da razão nos diz que a série converge se L < 1 e diverge se L > 1; ou
seja: a série binomial converge para |x| < 1 e diverge para |x| > 1. A convergência da
série nos casos em que o teste não dá informação, ou seja, para x = 1 e x = −1, depende
do valor de k e não será tratada aqui.
A demonstração de que a série binomial de fato converge para (1 + x)k para |x| < 1
será omitida; a estimativa do resto pela fórmula integral é mais técnica que aquela feita
para ex nas notas.
Exercı́cio. Expanda (8 + x)1/3 em série de potências. Então use-a para calcular (8, 2)1/3
com erro menor que 0, 0001.
Exemplo. Como Newton calculava... Newton fez uso extensivo da série binomial; a
partir desta série ele calculou expansões para diversas funções. Vamos exemplificar o
método de Newton calculando a série de Taylor de f (x) = arcsenx (−1 < x < 1) em
torno de x = 0.
Primeiro notamos que
f 0 (x) = √
1
= (1 − x2 )−1/2 ,
2
1−x
que é uma função da forma estudada anteriormente com k = −1/2, mas calculada em
−x2 .
P
2 n
Assim, f 0 (x) pode ser expandida numa série da forma ∞
0 an (−x ) , onde a0 = 1
e, para n ≥ 1,
an =
(−1/2)(−1/2 − 1)(−1/2 − 2) . . . (−1/2 − n + 1)
,
n!
ou seja
an =
(−1/2)(−3/2)(−5/2) . . . ((−2n + 1)/2)(−1)n
.
n!
19
Esta expansão é válida para | − x2 | < 1, isto é, para |x| < 1. Como (−x2 )n =
(−1) x , obtemos
n 2n
(1 − x2 )−1/2 = 1 +
∞
X
1.3.5 . . . (2n − 1)
n!2n
n=1
x2n
para |x| < 1.
Agora, observando que
Z
arcsenx =
x
(1 − t2 )−1/2 dt,
0
e integrando termo a termo a expressão acima, obtemos
arcsenx = x +
∞
X
1.3.5 . . . (2n − 1)
n=1
n!2n (2n + 1)
x2n+1
para |x| < 1.
Os primeiro termos desta expansão são:
arcsenx = x +
x3
3
15 7
+ x5 +
x + ...
6
40
336
Observe que a partir desta fórmula, podemos obter as derivadas de qualquer ordem
para arcsenx em x = 0. Por exemplo, comparando o sétimo coeficiente da série acima
com a expressão geral dos coeficientes dados pela expansão de Taylor, obtemos que se
f (x) = arcsen x, então
15
f (7) (0)
=
,
7!
336
e portanto f (7) (0) = 15.7!
.
336
Exercı́cio. Calcule a série de Taylor de f (x) =
para calcular f (10) (0).
√
1 + x2 em torno de x = 0. Use-a
V. TESTES ADICIONAIS DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIES NUMÉRICAS
Temos ainda os seguintes testes adicionais para verificar a convergência ou divergência de
séries numéricas de termos positivos.
O teste da integral
• Se f : [k, ∞) → R é uma função
P∞ contı́nua positiva e decrescente, então pondo
an = f (n),R temos que a série
n=k an é convergente se e somente se a integral
∞
imprópria k f (x) dx é convergente.
Exercı́cio. Seja p > 0. (i) Prove que
(ii) Investigue a convergência de
∞
X
n=1
∞
X
1
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
p
n
n=1
1
na dependência de p.
n(ln n)p
20
O teste da integral pode ser explicado por meio de um argumento geométrico; o aluno
deve acompanhar o argumento a seguir por meio de figuras. Suponha que no enunciado k = 1,
para fixar as idéias. Segue do fato que f é decrescente que o retângulo sobre o intervalo [n, n + 1]
de altura an+1 = f (n + 1) está situado abaixo do gráfico de f . Comparando áreas, temos
Rn
a2 + a3 + · · · an ≤ 1 f (x) dx. Similarmente, o retângulo sobre o intervalo [n, n + 1] de altura
Rn
an = f (n) está situado acima do gráfico de f , e portanto a1 + a2 + · · · an−1 ≥ 1 f (x) dx. Se
R∞
P
mostra que as somas parciais de ∞
n=1 an são limi1 f (x) dx converge, a primeira desigualdade
R∞
tadas superiormente (pelo número a1 + 1 f (x) dx, por exemplo) e portanto a série de termos
R∞
P
outro lado, se 1 f (x) dx diverge, a segunda desigualdade
positivos ∞
n=1 an é convergente. Por
P
P∞
mostra que as somas parciais de n=1 an tendem a ∞ quando n → ∞, e portanto ∞
n=1 an
diverge.
P∞
EstimativaPdo erro. Suponha agora que
n=1 an é convergente e aproximamos o seu
∞
valor s = n=1 an por uma soma parcial sn = a1 + a2 + · · · an ; queremos estimar o erro
Rn = |s − sn | de tal aproximação. Sob as mesmas hipóteses exigidas no teste da integral,
temos:
R∞
• Rn ≤ n f (x) dx.
Justificativa: Argumentando de modo similar à demonstração do teste da integral, observe (comR∞
parando áreas) que Rn = an+1 + an+2 + · · · ≤ n f (x) dx.
Exemplo. RAo aproximarmos
∞
1
ultrapassa 10 x14 dx = 3000
.
P∞
1
1 n4
por 1 +
1
24
+
1
34
+ ··· +
1
,
104
o erro cometido não
O “segundo teste da comparação”
P∞
P∞
P
• Sejam ∞
0 bn converge.
0 bn séries de termos positivos. Suponha que
0 an e
P∞
an
Se lim
= c para algum número real c, então 0 an converge.
n→∞ bn
A justificativa é baseada no fato que, como abnn está próximo de c para n grande, então se tomarmos um número M maior que c seguirá que para n suficientemente grande abnn < M , ou seja
an < M bn . O resultado agora segue do teste da comparação usual.
an
bn
= c e c 6= 0, então lim
= 1/c e podemos concluir,
n→∞ bn
P∞ n→∞ an
P
pelo resultado anterior, que a convergência de 0 an implica na convergência de ∞
0 bn .
Assim:
P
P∞
an
• Se ∞
lim
= c para algum número
0 an e
0 bn são séries de termos positivos e n→∞
bn
c 6= 0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
∞
∞
X
X
n+3
1
√
Exercı́cio. Verifique se a série converge: (i)
; (ii)
sen( ). Em cada
3
7
2
n
n −n
n=2
n=1
caso, perceba primeiro que não é claro como usar o (primeiro) teste da comparação;
você então deve procurar uma série de termos positivos, cuja convergência ou divergência
já seja conhecida, que possa ser comparada com a série dada no sentido do segundo
teste da comparação. Por exemplo, para a série (i) deve ser útil comparar com a série
∞
∞
X
X
n
1
√
=
. Complete o argumento.
3
4/3
7
n
n
n=2
n=2
Note ainda que se lim
21