RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

São
Caravaggio
SãoJerônimo
JerônimoEscritor
Escritor ––Caravaggio
FÍSICA MODERNA I
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
RADIAÇÃO
DE
CORPO NEGRO
“Consideramos,
porém – este é o ponto mais
importante de todo o cálculo
– que a energia dos
osciladores é a soma de um
número inteiro de partes
iguais” – Max Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
O que é a Física?
Física é uma palavra originária do grego φύσις (lê-se
“physiké”), e que significa natureza.
Antes do Século XIX a Física era conhecida como
Filosofia Natural, e estudava indistintamente o mundo
animado e o inanimado.
A partir do Século XIX começou a haver divisões de
interesse da Física, tais como a Mecânica, a Termodinâmica,
a Eletricidade e o Magnetismo.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Do que trata a Física?
A partir do Século XX, podemos dizer que Física é a
Ciência que estuda a natureza em seus aspectos mais gerais.
Como Ciência, a Física utiliza o Método Científico.
Para a formulação dos conceitos que regem os
fenômenos naturais a Física utiliza a Matemática como
linguagem.
A Física busca, primordialmente, identificar e conhecer
as leis básicas que regem o Universo.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Universo? Natureza? Mas, o que é a natureza? Como ela
pode ser entendida?
Vamos analisar o quadro abaixo e verificar quais são os
elementos básicos que constituem a natureza.
Quadro com
elementos da
natureza
NATUREZA
MATÉRIA
=
+
RADIAÇÃO
(LUZ)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Formas de se encontrar a matéria na natureza
Até agora o ser humano encontra a matéria em cinco
formas distintas na natureza.
SÓLIDO
LÍQUIDO
GÁS
MATÉRIA
CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN BEC
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
PLASMA
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Formas de encontrar a radiação na natureza
Já os vários tipos de radiação se distinguem entre si
entre outras coisas, pelas diferentes formas como elas são
produzidas.
RADIAÇÃO
(LUZ)
LUZ DE VELA
LUZ DO SOL
LÂMPADA
ELÉTRICA
LED – LIGHT
EMITTING DIODE
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Características da matéria
A matéria apresenta algumas características, às quais
vamos descrever sucintamente abaixo.
1) A matéria é localizável, isto é, observamo-la
concentrada em uma dada região do espaço.
2) A matéria é ponderável, isto é, a ela está associada
uma certa quantidade de massa.
3) A matéria tem comportamento corpuscular, isto é, ela
pode ser compreendida como sendo constituída por um
conjunto de partículas.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. INTRODUÇÃO
Características da radiação
Por sua vez, a radiação apresenta características
distintas daquelas da matéria, as quais apresentamos abaixo.
1) A radiação é não-localizável (distribuída), isto é, ela
não pode ser localizada pois está distribuída por todo o
espaço.
2) A radiação é imponderável, isto é, não é possível
associar uma quantidade de massa a ela.
3) A radiação tem comportamento ondulatório, isto é, ela
pode ser compreendida como sendo transportada por uma
onda.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Como a Física descrevia a matéria no final do Século XIX
A dinâmica da matéria era tratada pelas Leis de Newton.
Isaac Newton (1643-1727) apresentou as suas leis em seu
livro mais famoso, Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica, publicado em 1687.
Philosophae Naturalis
Principia
Mathematica –
Frontispício
Isaac Newton
(1643-1727)
Trecho do livro
Philosophae Naturalis
Principia Mathematica
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Fenômenos que as Leis de Newton conseguiram explicar
As Leis de Newton, particularmente a 2a Lei de Newton,
resultaram numa melhor compreensão da Mecânica Celeste,
da Mecânica dos Fluidos e da Termodinâmica.
r
r dp
F=
dt
Turbulência na decolagem
de um avião
Figura ilustrativa
do Sistema Solar
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Funcionamento de
um motor de
combustão interna
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Como a Física descrevia a radiação no final do Século XIX
A dinâmica da radiação era tratada pelas Equações de
Maxwell.
James Clerk Maxwell (1831-1879) apresentou suas
equações no livro A Treatise on Electricity and Magnetism,
publicado em 1873.
James Clerk Maxwell
(1831-1879)
A Treatise on Electricity
and Magnetism –
Frontispício
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Trecho do
livro A
Tratise on
Electricity
and
Magnetism
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Fenômenos que as Equações de Maxwell conseguiram
explicar
As Equações de Maxwell permitiram uma melhor
compreensão dos fenômenos da Eletricidade, do
Magnetismo e da Óptica.
r r
∇•D = ρ
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
Raios em uma
tempestade
Polos magnéticos
da Terra
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Dispersão da luz
branca por um
prisma
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
2. A FÍSICA NO FINAL DO SÉCULO XIX
Como explicar, por exemplo, dois fenômenos onde ocorre
interação entre radiação e matéria
1) Emissão de radiação por corpos aquecidos, a
Radiação de Corpo Negro.
2) Retirada de cargas elétricas de um corpo sob
iluminação, o Efeito Fotoelétrico.
Emissão de radiação
por um corpo aquecido
Retirada de cargas
elétricas de um corpo
sob iluminação
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equações de Maxwell: generalidades
As propriedades do campo de radiação estão associadas
ao comportamento do campo eletromagnético.
Por sua vez, o campo eletromagnético obedece às
chamadas Equações de Maxwell.
As Equações de Maxwell representam o formalismo
matemático de uma série de observações experimentais
realizadas durante o final do Século XVIII até o final do
Século XIX.
Vamos apresentar rapidamente as quatro Equações de
Maxwell, procurando relacionar a observação experimental
com o formalismo matemático.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Gauss para a Eletricidade
1) A Lei de Gauss da Eletricidade baseia-se no fato de
cargas elétricas atraírem-se ou repelirem-se entre si.
Como o diz o próprio nome, esta lei foi proposta por
Carl Friedrich Gauss (1777-1855), importante cientista
alemão.
Assinatura de Gauss
Carl Friedrich
Gauss (1777-1855)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Gauss em seu leito de
morte em 1855
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Coulomb
A observação experimental correspondente à Lei de
Gauss para a Eletricidade é devida a Charles Augustin de
Coulomb (1736-1806).
Coulomb
observou
que
corpos
eletrizados atraem-se ou repelem-se na razão
direta de suas quantidades de carga e na
razão inversa do quadrado de suas distâncias.
Esquema representativo
de forças elétricas
r
Q1 ⋅ Q2
F =K⋅
⋅ rˆ
2
d
Charles A. Coulomb
(1736-1806)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Linhas de campo elétrico ao redor de cargas elétricas
Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as
linhas de campo elétrico nas vizinhanças de cargas elétricas.
Em
cargas
positivas convencionase que as linhas de
campo elétrico “saem”
a partir da carga.
Linhas de campo elétrico para
carga positiva e negativa
Já em cargas negativas convenciona-se que as linhas de
campo elétrico “entram” a partir da carga.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Formalismo matemático da Lei de Gauss da Eletricidade
A Lei de Gauss da Eletricidade descreve o fenômeno da
existência da carga elétrica.
r
∫∫ D • nˆ ⋅ dS = Q = ∫∫∫ ρ ⋅ dV
S
Linhas de campo
elétrico entrando
e saindo de
superfícies
gaussianas
ρ: densidade de carga elétrica
Q: quantidade de carga dentro da gaussiana
V
⇓
Teorema da Divergência
⇓
r r
∇•D = ρ
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Gauss para o Magnetismo
2) Lei de Gauss para o Magnetismo: baseia-se no fato de
dipolos magnéticos (ímãs) atraírem-se ou repelirem-se entre
si.
Intensitas vis
Magneticae
Terrestris ad
mensuram
absolutam
revocata –
Frontispício
Cédula de $ 10 marcos
alemães em
homenagem a Gauss
Selo alemão em
homenagem a Gauss
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
De Magnete – William Gilbert
Um dos primeiros estudos sistemáticos com ímãs é o
livro De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de Magno
Magnete Tellure, escrito por William Gilbert (1544-1603).
De Magnete,
Magneticisque
Corporibus, et
de Magno
Magnete Tellure
– Frontispício
William Gilbert
(1544-1603)
Ilustração
retirada do livro
De Magnete
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Linhas de campo magnético em torno de ímãs
Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as
linhas de campo magnético nas vizinhanças dos polos de
ímãs.
Em ímãs convenciona-se
que as linhas de campo
magnético “saem” do polo norte
e “entram” no polo sul.
Linhas de campo magnético
nos polos de um ímã
Isto significa que as linhas
de campo magnético formam
uma superfície fechada.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Gauss para o Magnetismo: formalismo matemático
A Lei de Gauss para o Magnetismo descreve o
fenômeno da existência de dipolos magnéticos.
r
ˆ
B
•
n
⋅ dS = 0
∫∫
S
⇓
Linhas de campo
magnético
entrando e
saindo de
superfícies
gaussianas
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Teorema da Divergência
⇓
r r
∇•B = 0
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Indução de Faraday
3) A Lei de Indução de Faraday baseia-se no fato de que
surge corrente elétrica induzida quando um ímã é
aproximado ou se afasta de uma bobina.
Como o diz o próprio nome, esta lei foi
proposta por Michael Faraday (1791-1867),
importante cientista inglês.
Frase “holística”
de Faraday
Michael Faraday
(1791-1867)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Base experimental da Lei de Indução de Faraday
Em 1831 Faraday demonstrou o experimento da indução
usando a montagem mostrada abaixo.
Nesta montagem a bateria (à direita na figura) produz
corrente elétrica na bobina A.
Quando se move em relação à
bobina B, o campo magnético
produzido pela corrente elétrica
induz uma voltagem momentânea
na
bobina,
detectada
pelo
galvanômetro G.
Uma das montagens construídas por
Faraday para demonstrar a Lei de Indução
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A variação do fluxo magnético em uma bobina.
A ilustração animada abaixo mostra como se dá a
indução de corrente elétrica na espira quando variamos o
fluxo do campo magnético através dela.
O movimento do
ímã em direção à
espira,
com
a
consequente variação
do fluxo magnético, faz
com que uma corrente
elétrica seja induzida na
espira.
Animação ilustrativa da Lei de Indução
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Faraday: formalismo matemático
A Lei da Indução de Faraday descreve como criar
campos elétricos a partir de campos magnéticos variáveis.
r
r
r
∂B
∫C E • dl = − ∫∫S ∂t • nˆ ⋅ dS
⇓
Teorema de Stokes
⇓
Circulação de corrente
definindo uma superfície
aberta onde flui um campo
magnético
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Ampère
4) A Lei de Ampère-Maxwell descreve como agulhas
imantadas se defletem próximas de fios onde passam
correntes elétricas (Ampère).
Como o diz o próprio nome, esta lei foi
proposta por André-Marie Ampère (17751836), importante cientista francês.
André-Marie Ampère
(1775-1836)
Frase de Ampère
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Ampère-Maxwell: a contribuição de Maxwell
4) A Lei de Ampère-Maxwell também descreve como
correntes elétricas podem se transmitir de um fio condutor a
outro pelo vácuo (Maxwell).
James Clerk
Maxwell (1831-1879)
Frase de Maxwell
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Base experimental da Lei de Ampère
A observação experimental correspondente à Lei de
Ampère é devida a Hans Christian Oersted (1777-1851).
Em seu famoso experimento Oersted
observou a deflexão da agulha de uma
bússola quando esta se aproximava de um fio
de corrente elétrica.
Hans Oersted
(1777-1851)
Ilustrações do experimento de Oersted
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Base experimental da Lei de Maxwell
A observação experimental correspondente à Lei de
Maxwell é devida ao próprio James C. Maxwell (1777-1851).
Neste experimento, Maxwell observou que corrente
elétrica fluía através de um capacitor de placas paralelas,
apesar de não haver contato elétrico entre as placas.
Ilustrações do
experimento de
Maxwell feito com
capacitores
Fotografia de Maxwell
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
As linhas de campo magnético em um fio de corrente
Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as
linhas de campo magnético nas vizinhanças de um fio por
onde circula uma corrente elétrica.
O sentido do campo magnético é
convencionado a partir do uso da
chamada “regra da mão direita”.
Linhas de campo magnético de
um fio de corrente
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
As linhas de campo elétrico e magnético em um capacitor
Na forma como entendemos hoje, mostramos abaixo as
linhas de campo elétrico e magnético nas vizinhanças de um
capacitor de placas paralelas.
A corrente elétrica variável cria
um campo magnético também variável
no tempo.
Por sua vez, a variação do campo
magnético cria um campo elétrico
entre as placas do capacitor.
Linhas de campo elétrico e
magnético de um capacitor
Este campo elétrico transmite a
corrente de uma placa a outra.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Lei de Ampère-Maxwell: formalismo matemático
A Lei de Ampère-Maxwell descreve como criar campos
magnéticos a partir de correntes elétricas ou campos
elétricos variáveis.
Circulação que define
uma superfície aberta
por onde flui a
densidade de corrente e
o campo elétrico
r
r
r
 r ∂D 
∫C H • dl = ∫∫S  J + ∂t  • nˆ ⋅ dS = I
⇓
Teorema de Stokes
⇓
I : corrente elétrica
r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Relação constitutiva entre o vetor campo elétrico e o vetor
deslocamento elétrico
r
r
D =ε ⋅E
A constante ε é chamada
permissividade elétrica do meio.
No caso geral (meios não lineares) ε pode depender tanto
do tempo quanto das coordenadas espaciais.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Relação constitutiva entre o vetor campo magnético e o
vetor intensidade magnética
r
r
B = µ⋅H
A constante µ é chamada
permissividade magnética do meio.
No caso geral (meios não lineares) µ pode depender tanto
do tempo quanto das coordenadas espaciais.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equações de Maxwell para meios lineares
Em meios lineares (ε e µ constantes), as Equações de
Maxwell são escritas como abaixo.
r r ρ
∇•E =
ε
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
r
∂E
∇ × B = µ ⋅ J + µ ⋅ε ⋅
∂t
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equações de Maxwell para o vácuo
No vácuo não existem nem fontes de carga, nem fontes
de corrente elétrica.
Finalmente, temos que os valores das constantes ε e µ
como sendo ε = ε0 = 8,8542×10-12 F/m e µ = µ0 = 4π×10-7 H/m.
r r
∇•E = 0
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∂E
∇ × B = µ0 ⋅ ε 0 ⋅
∂t
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equações de Maxwell e a Equação da Onda
As Equações de Maxwell conduzem à Equação de Onda
para o campo eletromagnético.
r
2
r
∂ E
2
∇ E − µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 = 0
∂t
r
2
r
∂ B
2
∇ B − µ0 ⋅ ε 0 ⋅ 2 = 0
∂t
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
(
)
 2
∂2  r r
∇ − µ 0 ⋅ ε 0 ⋅ 2  E , B = 0
∂t 

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Análise da Equação da Onda
A estrutura matemática da Equação de Onda Escalar é
mostrada abaixo.
1 ∂ Ψ
∇ Ψ− 2 ⋅ 2 =0
v ∂t
2
2
vOEM =
1
µ0 ⋅ ε 0
vOEM: velocidade da
onda eletromagnética
Na equação ao lado v é a
velocidade de propagação da onda.
Comparamos esta Equação de
Onda Escalar com a Equação de
Onda do campo eletromagnético e
concluímos que a velocidade da
onda eletromagnética vOEM está
associada às constantes ε0 e µ0.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Onda eletromagnética na velocidade da luz
Com os valores de ε0 e µ0 é possível calcular a velocidade
da onda eletromagnética.
vOEM =
1
= 2,9979 × 108
µ0 ⋅ ε 0
m/s
c=
1
µ0 ⋅ ε 0
O valor acima é muito próximo daquele
experimentalmente para a velocidade da luz c.
c = 2,9979 ×108
c: velocidade da luz
m/s
obtido
A conclusão deste fato é
que a luz comporta-se como
uma onda eletromagnética.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equação da Onda e a velocidade da luz
Escrevemos abaixo a Equação de Onda em termos da
velocidade da luz c, que é igual à velocidade do campo
eletromagnético.
r
2
r
1 ∂ E
2
∇ E− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t
r
2
r
1 ∂ B
2
∇ B− 2 ⋅ 2 =0
c ∂t
O operador matemático que
atua sobre o campo elétrico e
sobre o campo magnético é
chamado de d’alambertiano.
(
)
 2 1 ∂2  r r
∇ − 2 ⋅ 2  ⋅ E , B = 0
c ∂t 

Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Equações de Maxwell: a LUZ
...E “DEUS” DISSE
r r
∇•D = ρ
r r
∇•B = 0
r
r r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r r r ∂D
∇× H = J +
∂t
⇒
....E A LUZ FOI FEITA!!!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Tratamento simples da Equação de Onda: a Onda Plana
Vamos supor que exista uma expressão para o campo
elétrico que seja solução da equação de onda.
r
EP (x, t ) = εˆ ⋅ E p (x, t )
Isto significa que a parte espacial
do campo elétrico proposto depende
apenas da coordenada x (arbitrária), à
qual define a direção de propagação
do campo eletromagnético.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A solução matemática para a Onda Plana
Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de
Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.
r
E P ( x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ )
(
)
r
BP (x, t ) = iˆ × εˆ ⋅ B0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ )
k: número de onda
λ: comprimento de onda
ω: frequência angular da onda
ν: frequência da onda
T: período da onda
ϕ: fase da onda
k=
2 ⋅π
λ
1
B0 = ⋅ E0
c
2 ⋅π
ω=
= 2 ⋅ π ⋅ν
T
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Onda plana: representação geométrica
Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e
magnético da onda plana como mostrado abaixo.
Propagação de Onda
Eletromagnética Plana
c=
ω
k
= λ ⋅ν =
c = 2,9979×108 m/s: velocidade da luz no vácuo
r
λ E P (x, t ) = εˆ ⋅ E0 ⋅ cos(k ⋅ x − ω ⋅ t + ϕ )
T
(
r
1 ˆ r
BP = ⋅ i × E P
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Outro tratamento simples da Equação de Onda: a Onda
Esférica
Vamos supor que exista uma
r
expressão para o campo elétrico
que seja solução da equação de E E r , t = ˆ ⋅ E E r , t
onda como dada ao lado.
Isto significa que a parte espacial do campo elétrico
proposto depende apenas da coordenada r (radial), à qual
define a direção de propagação do campo eletromagnético.
( ) ε
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
( )
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A solução matemática para a Onda Esférica
Aplicamos esta proposta de solução nas Equações de
Maxwell e na Equação de Onda e obtemos a solução abaixo.
r
AE
ˆ
EE (r , t ) = ε ⋅
⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ )
r
1
AE = ⋅ AB
c
r
A
BE (r , t ) = (rˆ × εˆ ) ⋅ B ⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ )
r
k: número de onda
λ: comprimento de onda
ω: frequência angular da onda
ν: frequência da onda
T: período da onda
ϕ: fase da onda
k=
2 ⋅π
λ
2 ⋅π
ω=
= 2 ⋅ π ⋅ν
T
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Onda esférica: representação geométrica
Podemos visualizar a oscilação dos campos elétrico e
magnético da onda esférica como mostrado abaixo.
Propagação de Onda
Eletromagnética Esférica
(
r
r
r
AE
1
EE (r , t ) = εˆ ⋅
⋅ cos(k ⋅ r − ω ⋅ t + ϕ ) BE (r , t ) = ⋅ rˆ × EE
r
c
ω
λ
c
=
=
λ
⋅
ν
=
c = 2,9979×108 m/s: velocidade da luz no vácuo
k
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
T
)
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
O espectro eletromagnético
Abaixo mostramos imagens do espectro eletromagnético.
Imagens do
espectro
eletromagnético
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Produção de ondas eletromagnéticas
Heinrich Hertz (1857-1894) demonstrou de forma
experimental a existência da radiação eletromagnética
criando aparelhos emissores e detectores de ondas de rádio.
Busto de Hertz no campus da Universidade
de Karlsruhe. Tradução: Neste local
descobriu Heinrich Hertz as ondas
eletromagnéticas nos anos 1885 — 1889
Heinrich Rudolf Hertz
(1857-1894)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Produção e recepção de ondas eletromagnéticas
Oscilador de
Hertz: esquema
(ao lado) e
montagem
(abaixo)
Ao
lado
mostramos
o
esquema
e
montagem
do
Oscilador de Hertz.
Rádio receptor de ondas eletromagnéticas
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
O vetor de Poynting
Definimos o vetor de Poynting como abaixo.
r 1 r r
S=
⋅E×B
µ0
Calculamos a divergência do vetor de Poynting e
obtemos a equação abaixo.
r r ∂ 1

1
2 r
2 r
∇ • S +  ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) +
⋅ B (r , t ) = 0
∂t  2
2 ⋅ µ0

Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A Equação da Continuidade do campo eletromagnético
A partir daí, definimos a densidade de energia
associada ao campo eletromagnético.
u
r
1
1
2 r
2 r
u (r , t ) = ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) +
⋅ B (r , t )
2
2 ⋅ µ0
Obtemos então uma equação que tem a estrutura de
Equação da Continuidade, à qual expressa a Lei da
Conservação de Energia.
r r ∂
r
∇ • S + [u (r , t )] = 0
∂t
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Energia e densidade de energia
A
definição
de
densidade de energia u em
termos da energia U é
mostrada ao lado.
dU
u=
dV
[u ] = J / m3
SI
A partir da definição de densidade de energia do campo
eletromagnético, podemos concluir que este campo
armazena energia em seu interior.
 1

  1
2 r
2 r
U = ∫∫∫  ⋅ ε 0 ⋅ E (r , t ) + 
⋅ B (r , t ) ⋅ dV
2
  2 ⋅ µ0

V 
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Densidade de energia de onda eletromagnética plana e
onda eletromagnética esférica
Podemos
calcular
a
densidade de energia média
para uma onda eletromagnética
plana e obtemos a equação
mostrada ao lado.
Analogamente,
podemos
calcular
a
densidade
de
energia média para uma onda
eletromagnética esférica, e
obtemos a equação mostrada
ao lado.
1
2
u P = ⋅ ε 0 ⋅ E0
2
1
AE
uE = ⋅ ε 0 ⋅ 2
2
r
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Intensidade e intensidade média
Definimos intensidade de uma onda
como a razão entre a sua potência e a
área sobre a qual a onda incide.
2
d U
I=
dA ⋅ dt
1 dU
I= ⋅
A dt
Intensidade de uma onda
O campo eletromagnético ao incidir sobre uma superfície
provoca sobre ela uma dada intensidade, dada abaixo.
r
r
I (r , t ) = u (r , t ) ⋅ c
⇒
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
I = u ⋅c
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Intensidade e o vetor de Poynting
Tanto para uma onda eletromagnética plana, quanto para
uma onda eletromagnética esférica, associamos a
intensidade do campo eletromagnético ao vetor de Poynting.
I P,E
r
r
1 r
= S P,E =
⋅ EP , E × BP , E
µ0
[I ] = W / m
2
SI
1
Podemos obter expressões
I P = ⋅ c ⋅ ε 0 ⋅ E02
para a intensidade de uma onda
2
eletromagnética plana e para uma
2
1
A
onda eletromagnética esférica.
I E = ⋅ c ⋅ ε 0 ⋅ 2E
2
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
r
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Momento linear e densidade de momento linear
Embora não transporte massa, o campo eletromagnético
troca momento linear com qualquer corpo.
Para entendermos a origem do momento linear do campo
eletromagnético, consideremos uma distribuição de cargas
em movimento sobre a qual atua o campo elétrico e o
magnético produzidos pela própria distribuição.
Ao fazermos isso, obtemos a equação abaixo.
[ (
)]
r r
 
d  r 
 Pm +  ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV   = 0
dt 
V
 
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
A Conservação do Momento Linear
[ (
)]
r r
 
Analisemos com cuidado d  r 
 Pm +  ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV   = 0
a equação ao lado.
dt 
V
 
Esta equação estabelece uma lei de conservação entre o
momento linear mecânico e uma grandeza associada ao
campo eletromagnético, a qual tem unidade de momento
linear.
A partir daí, definimos
o momento linear do
campo
eletromagnético
como mostrado ao lado.
[ (
)]
r r
r
pem = ∫∫∫ ε 0 ⋅ E × B ⋅ dV
V
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
O momento linear do campo eletromagnético
A partir da integral de volume obtida acima, podemos
definir também a grandeza densidade de momento linear do
campo eletromagnético.
r
r
pem = ∫∫∫ g em ⋅ dV
V
[ pm ] = kg ⋅ m / s
⇒
r r 1 r
r
g em = ε 0 ⋅ E × B = 2 ⋅ S
c
SI [ pem ] = J ⋅ s / m
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
SI
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Momento linear de onda eletromagnética plana e de onda
eletromagnética esférica
Podemos obter uma expressão para o momento linear de
uma onda eletromagnética plana.
r
1
g emP ( x, t ) = ⋅ u P ( x, t ) ⋅ iˆ
c
U
r
U ˆ
pemP = ⋅ i pemP =
c
c
Podemos obter também uma expressão análoga para o
momento linear de uma onda eletromagnética esférica.
r
1
g emE (r , t ) = ⋅ u E (r , t ) ⋅ rˆ
c
r
U
pemE = ⋅ rˆ
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
pemE
U
=
c
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Pressão
Definimos pressão a partir da equação mostrada abaixo.
r
F 1 dp
P= = ⋅
S S dt
Definição de pressão
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
[P] = N / m 2
SI
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Pressão de radiação
Ao incidir sobre uma superfície, o
campo eletromagnético troca momento
linear como mostrado na figura ao lado.
Esta variação no momento linear da
radiação implica que ela executa sobre a
parede uma pressão de radiação dada
pela equação mostrada abaixo.
r
r
2
PR (r , t ) = 2 ⋅ u (r , t ) ⋅ cos θ
[P] = J / m3
SI
Definição de pressão de radiação
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Brilhância
Definimos a grandeza brilhância
como sendo a quantidade de energia
irradiada em um ponto de uma cavidade
por unidade de ângulo sólido, por
unidade de volume, por um corpo
aquecido a uma temperatura T.
du n
B=
dΩ
No caso particular da radiação ser emitida de forma
isotrópica, a brilhância é dada pela equação abaixo.
Ângulo
sólido
u
u
B= =
Ω 4 ⋅π
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
3. PROPRIEDADES DO CAMPO DE RADIAÇÃO
Pressão de radiação de cavidade
Em uma cavidade em equilíbrio térmico com o meio, a
radiação eletromagnética também provoca uma pressão de
radiação sobre as suas paredes.
Neste caso, definimos a grandeza pressão de radiação de
cavidade, e obtemos para ela o resultado mostrado abaixo.
Pressão de
radiação de
cavidade
PRC
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
1
= ⋅u
3
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Radiação de corpo negro e radiação de cavidade
Abaixo mostramos alguns exemplos de corpos que
emitem radiação quando aquecidos em altas temperaturas.
Forno
elétrico
Mostramos
também
cavidades que representam
um bom modelo para a
radiação de corpo negro.
Metal em
forja
Estrela
Corpo Negro representado por
uma cavidade
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Definição dos termos para a radiação
Definimos radiância como sendo a quantidade de energia
irradiada pelo elemento de área que contém P, por unidade
de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma
temperatura T.
2
d U
R (P ) =
dS ⋅ dt
[R] = J / m 2 ⋅ s = W / m 2
Radiação emitida por um ponto
de uma superfície aquecida
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
SI
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Definição dos termos para a radiação
Seja agora a superfície S aquecida a uma temperatura T e
portanto emitindo radiação como mostrado na figura abaixo.
Neste caso, a radiância está
relacionada com a intensidade da
radiação como mostrado abaixo.
R (P ) = I ⋅ cos θ = u ⋅ c ⋅ cos θ
Radiação emitida por uma
superfície aquecida
Como podemos observar pela unidade desta grandeza, a
radiância, nada mais é do que a intensidade da radiação
emitida pela superfície S.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Radiância em termos da densidade de energia para a
radiação de cavidade
A partir da definição de brilhância feita anteriormente,
obtemos a relação entre a radiância R e a densidade de
energia u em uma cavidade.
1
RC = ⋅ u ⋅ c
4
Radiância de uma cavidade
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Características da radiação de corpo negro
Definimos radiação térmica como sendo a radiação
emitida por um corpo devido a sua temperatura.
A radiância R, como definida anteriormente depende, pelo
menos, da temperatura do corpo.
R = R(T )
Um corpo aquecido emite e absorve
radiação do meio que o cerca.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Radiância de
corpos aquecidos
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Radiância espectral em termos do comprimento de onda
Definimos radiância espectral Rλ (em termos do
comprimento de onda) tal que a quantidade Rλ·dλ represente
a taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é
irradiada, por unidade de área, nos comprimentos de onda
entre λ e λ+dλ.
dR
Rλ (λ ) =
dλ
[Rλ ] = W / m 2 ⋅ m = W / m 3
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
SI
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Radiância espectral em termos da frequência
Definimos radiância espectral Rν (em termos da
frequência) tal que a quantidade Rν·dν represente a taxa
temporal com que a energia de um corpo aquecido é
irradiada, por unidade de área, nas frequências entre ν e
ν+dν.
dR
Rν (ν ) =
dν
[Rν ] = W / m 2 ⋅ Hz = W ⋅ s / m 2
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
SI
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Relação entre as radiâncias espectrais Rλ e Rν
A radiância R(T) nada mais é do que a soma (integral) de
todas as diferenciais de radiâncias espectrais.
∞
∞
0
0
R(T ) = ∫ Rλ (λ ) ⋅ dλ = ∫ Rν (ν ) ⋅ dν
Desta forma, impondo a igualdade das diferenciais de
cada termo obtemos uma relação entre Rν(ν) e Rλ(λ).
Rλ (λ ) =
c
λ
2
⋅ Rν (ν ) =
ν
2
c
⋅ Rν (ν )
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
ν=
c
λ
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Densidades espectrais de energia uλ e uν
Analogamente, definimos a densidade espectral de
energia uλ(λ) em termos do comprimento de onda.
du
u λ (λ ) =
dλ
∞
⇒
u = ∫ uλ (λ ) ⋅ dλ
0
Da mesma forma, definimos a densidade espectral de
energia uν(ν) em termos da frequência.
du
uν (ν ) =
dν
∞
⇒
u = ∫ uν (ν ) ⋅ dν
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
0
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Propriedades das densidades espectrais de energia uλ e uν
As densidades espectrais de energia uν(ν) e uλ(λ) estão
relacionadas com as respectivas radiâncias espectrais Rν(ν) e
Rλ(λ) através das equações mostradas abaixo.
1
Rλ (λ ) = ⋅ uλ (λ ) ⋅ c
4
⇒
1
Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) ⋅ c
4
Por sua vez, as densidades
ν2
c
espectrais de energia uν(ν) e uλ(λ) uλ (λ ) = 2 ⋅ uν (ν ) = ⋅ uν (ν )
λ
c
estão relacionadas entre si através de
c
uma relação similar àquela para as
ν=
radiâncias espectrais Rν(ν) e Rλ(λ).
λ
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Emissão de radiação por corpos aquecidos
Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em
um espectro contínuo, com maior intensidade na região do
infravermelho (IR).
Corpos
aquecidos
emitindo
radiação
Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio
termodinâmico através de trocas de energia.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Algumas definições
Definimos a intensidade emissiva (e) de um corpo como
sendo a energia emitida por unidade de área e por unidade
de tempo.
Definimos a absorvidade ou absorbância
(a) como sendo a fração da energia incidente
sobre a superfície de um corpo que é
absorvida por ele.
A emissividade
de um corpo
A absorbância
de um corpo e
o seu processo
de medida
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Primeiros e antigos resultados experimentais
Em 1853 William Ritchie obteve o resultado abaixo,
usando um termômetro diferencial.
e1 e2
=
a1 a 2
Termômetro Diferencial de Leslie
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Conclusões e definições a partir do resultado de Ritchie
Vamos considerar a situação em que um corpo (por
exemplo o corpo 2 → N), absorva totalmente a radiação que
incide sobre ele, ou seja, aN = 1.
a2 = a N = 1
⇒
e1
eN =
a1
N é CORPO NEGRO
Como por definição temos que a1 < 1, então este fato
implica que eN > e1.
a1 < 1 ⇒ e N > e1
O corpo N (corpo negro) tem a maior absorbância e a
maior emissividade possível entre todos os corpos!!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A procura por uma lei para a dependência da emissividade
com a temperatura
Um dos primeiros cientistas a tratar quantitativamente da
emissão de radiação de corpos aquecidos foi Gustav Robert
Kirchoff (1824-1887).
Kirchoff foi um cientista versátil que
formulou a conhecida Lei dos Nós e das Malhas
(Leis de Kirchoff dos Circuitos Elétricos) em
1845, quando ainda era estudante.
Gustav Kirchoff
(1824-1887)
Em 1854 desenvolveu trabalhos de
espectroscopia na Universidade de Heidelberg
onde descobriu os elementos químicos Cs e Rb.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O trabalho de Kirchoff
A chamada Lei de Kirchhoff da Radiação Térmica declara
que “em equilíbrio térmico, a emissividade de um corpo (ou
superfície) é igual à sua absorbância”.
A partir desta formulação Kirchoff concluiu que a
emissividade de um corpo negro é uma função universal
independente da forma, tamanho e composição química do
corpo.
eN = eN (T )
Assim, a emissividade de
um
corpo
negro
deve
depender apenas da sua
temperatura.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O artigo de Kirchoff sobre a radiação térmica
Em 1859 Kirchoff propôs a lei de emissão de radiação
térmica comprovando-a em 1861.
Kirchoff publicou o artigo “Über
den
Zusammenhang
zwischen
Emission und Absorption von Licht
und Wärme” na revista Monatsberichte
der Akademie der Wissenchaften zu
Berlin, December, p. 783-787.
Ilustração de Kirchoff com o
seu espectroscópio
Em português o título deste artigo
é “Sobre a relação entre a emissão e a
absorção de luz e calor”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O trabalho de Tyndall
Em 1864 John Tyndall (1820-1893) realizou em
experimento envolvendo a radiação emitida por um fio de
platina em duas temperaturas diferentes.
Tyndall foi um dos precursores da ciência
hoje conhecida como climatologia.
John Tyndall
(1820-1893)
Arranjo experimental
desenvolvido por Tyndall
para medir a concentração
de CO2 na atmosfera
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Resultados numéricos obtidos por Tyndall
Tyndall foi um excelente experimentador, e graças a esta
capacidade foi capaz de medir a emissividade de um fio de
platina a duas temperaturas distintas.
T1 = 525 °C ⇒ T1 = 798 K
T2= 1200 °C ⇒ T2 = 1473 K
Tyndall obteve que a emissividade do
fio de platina a 1200 °C era 11,4 vezes a
emissividade do fio a 525 °C.
Fio de platina
e (T2 ) = 11, 4 ⋅ e (T1 )
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Resultados sistematizados por Stefan
Foi apenas em 1879 que Joseph Stefan (1835-1893)
sistematizou os dados de Tyndall e encontrou uma relação
direta entre a emissividade e a temperatura do corpo.
A descoberta desta lei permitiu que
Stefan estimasse a temperatura do Sol
como sendo em torno de 5.430 C.
Joseph Stefan
(1835-1893)
Placa na casa onde nasceu Stefan.
Tradução: Nesta casa nasceu o
físico Josef Stefan, em 24 de Março
de 1835, descobridor das leis da
radiação que levam o seu nome.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo de Stefan
A partir dos dados obtidos por Tyndall,
determinou a relação entre radiância e temperatura.
Stefan
Stefan inicia seu trabalho propondo uma relação de
potência entre a emissividade (radiância) e a temperatura,
como mostrado abaixo.
Proposta de Stefan
⇒
R(T ) = σ ⋅ T
Do ajuste de curvas da Física
Experimental Stefan determinou o valor
da constante n, aplicando o logaritmo
em ambos os lados da equação acima.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
n
R
log 2 
R1 

n=
T
log 2 
 T1 
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A determinação da lei de potência
Stefan usou então os dados de Tyndall, mostrados
novamente abaixo.
Dados de Tyndall
T1 = 525 °C ⇒ T1 = 798 K
R2/R1 = e2/e1 = 11,4
T2= 1200 °C ⇒ T2 = 1473 K
Stefan então determinou o valor para a constante n.
log(11,4)
n=
 1473  n = 4,00 ⇒
log

 798 
Fórmula de Stefan
R(T ) = σ ⋅ T
4
σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4
⇒ constante de StefanBoltzmann
Posteriormente, Stefan determinou o valor da constante σ
obtendo o valor de 5,67×10-8 W/m2⋅K4.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O artigo de Stefan
Stefan escreveu o artigo “Über die Beziehung swischen
der Wärmstrahlung und der Temperatur” na revista Wiener
Berichte, volume 79, pg. 391-428.
Em português o título de artigo é
“Sobre a relação entre calor e
temperatura”.
Busto de Stefan
Instituto Josef
Stefan em Ljubljana
- Slovênia
Selo austríaco
comemorativo aos 100
anos de Stefan
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Primeiros resultados para a radiância espectral Rλ
Os primeiros bons resultados experimentais do espectro
de emissão de um corpo aquecido foram obtidos no
Physicalisch-Technische Reichsanstall, atual Max Planck
Institute.
Physicalisch-Technische
Reichsantall em
fotografias de 1913 e de
2012, além do seu brasão
Laboratório de Lummer onde foram
feitas medidas da radiação de corpo negro
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Primeiras curvas para a radiância espectral Rλ
Ao
lado
mostramos
resultados
experimentais obtidos por Otto Lummer
(1860-1925) e Ernst Pringsheim (1859-1917)
em 1899.
Este
resultado
foi
obtido
Physicalisch-Technische Reichsanstall.
Otto Lummer
(1860-1925)
Espectro de corpo negro obtido
por Lummer e Pringsheim
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Ernst
Pringsheim
(1859-1917)
no
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Principais medidas de curvas para a radiância espectral Rλ
Colaboradores importantes deste laboratório foram
Heinrich Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (18571927).
Foram deles as principais medidas
com as quais Max Planck comparou seu
modelo teórico.
Heinrich Rubens
(1865-1922)
Ferdinand
Kurlbaum
(1857-1927)
Equipamento original usado
por Rubens e Kurlbaum
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Lei de Deslocamento de Wien
É possível obter um resultado numérico muito importante
a partir das curvas para Rλ(λ).
Este resultado é conhecido como Lei de Deslocamento
de Wien.
A Lei de Deslocamento de Wien foi verificada
experimentalmente inúmeras vezes.
A confirmação mais cuidadosa desta lei foi
obtida por Friedrich Paschen (1865-1947) em 1899.
Friedrich Paschen
(1865-1947)
Lei de Deslocamento
de Wien
⇒
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
λMAX ⋅ T = b
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Determinação da constante b
Abaixo mostramos uma comparação
entre o resultado obtido por Lummer e
Pringsheim com aquele obtido a partir de
medidas atuais mais precisas.
λMAX ⋅ T = b
bL&P = 2,94×10-3 m⋅K
bA = 2,89×10-3 m⋅K
Em cerca de 115 anos houve uma
melhora de cerca de 2% na precisão
deste resultado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro
Para obtermos resultados teóricos para a emissão de
radiação, construímos um modelo para a Radiação de Corpo
Negro.
Este modelo deve ser tal que o ente que representa o
Corpo Negro absorva toda radiação que incide sobre ele, ou
seja, aN = 1.
CORPO
NEGRO É O
ORIFÍCIO!!
CORPO
NEGRO É A
CAVIDADE!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
As considerações de Boltzmann para a radiação térmica
Em 1884, Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906)
demonstrou rigorosamente a relação obtida por Stefan.
Boltzmann partiu do princípio que o corpo negro é
modelado como sendo uma cavidade.
Boltzmann considerou ainda a radiação como
sendo uma máquina térmica, sujeita às leis da
Termodinâmica.
Ludwig Boltzmann
(1844-1906)
Assim, Boltzmann pôde usar o resultado
obtido para a pressão de radiação dentro da
cavidade como sendo a pressão de radiação
do corpo negro.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Modelo para a emissão de radiação de um corpo negro
Boltzmann demonstrou o resultado
Stefan
usando
apenas
obtido
por
argumentos da Termodinâmica, aliados com
a Teoria Eletromagnética de Maxwell.
R(T ) = σ ⋅ T
Túmulo de
Boltzmann em Viena
4
σ = 5,67×
×10-8 W/m2 ⋅K4
Boltzmann considerou que a radiação é
composta de “partículas”, à semelhança de
um gás ideal.
Com isto, Boltzmann pôde tratar a radiação como um
sistema de partículas não-interagentes entre si.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A aplicação da 1a Lei da Termodinâmica
Assim, Boltzmann impôs que a cavidade estava em
equilíbrio termodinâmico com o meio, trocando calor com
ele, a uma mesma temperatura T.
Desta forma, Boltzmann pôde aplicar a 1a Lei da
Termodinâmica à cavidade.
dU = ∂Q − ∂W
U: energia interna da cavidade
Q: quantidade de calor dentro da cavidade
W: trabalho mecânico realizado pela radiação
Devemos nos lembrar que a cavidade representa o corpo
negro, logo as propriedades da radiação de cavidade são as
propriedades da radiação de corpo negro.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A aplicação da 2a Lei da Termodinâmica
Boltzmann também aplicou a 2a Lei da Termodinâmica à
cavidade.
∂Q = T ⋅ dS
Q: quantidade de calor dentro da cavidade
T: temperatura da cavidade
S: entropia da radiação presente na cavidade
Boltzmann usou também a relação entre trabalho
mecânico e pressão.
∂W = P ⋅ dV
P: pressão que a radiação provoca nas
paredes da cavidade
W: trabalho mecânico realizado pela radiação
V: volume da cavidade
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia interna da radiação na cavidade
A combinação da 1a e da 2a Lei da Termodinâmica mais a
definição de trabalho mecânico levam à equação mostrada
abaixo.
T ⋅ dS = P ⋅ dV + dU
Relação de escala entre
energia e volume
U (V , T ) = u (T ) ⋅ V
Nesta equação está implícita
a hipótese de Boltzmann que a
radiação contida na cavidade é
proveniente de um corpo negro
a uma dada temperatura T.
Boltzmann usou o fato que a energia
interna U é uma função de estado e
pôde então escrever a equação ao lado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A pressão de radiação da cavidade
Para escrever esta última equação, reproduzida abaixo,
Boltzmann usou o fato já conhecido que a densidade de
energia u depende apenas da temperatura, isto é, u = u(T).
U (V , T ) = u (T ) ⋅ V
1
P = ⋅u
3
u (T ) = γ ⋅ T
4
Por fim, Boltzmann levou em
conta a pressão de radiação em uma
cavidade que contém a radiação.
Após
alguma
manipulação
matemática, Boltzmann finalmente
chegou ao resultado final entre
densidade
de
energia
u
e
temperatura T, mostrado ao lado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A Equação de Stefan-Boltzmann
Para obter a relação entre radiância e temperatura
usamos o fato que a densidade de energia e a radiância são
proporcionais, como já visto anteriormente.
c
R (T ) = u (T ) ⋅
4
⇒
R (T ) =
γ ⋅c
4
⋅T
4
Definimos então a constante de Stefan-Boltzmann σ em
termos desta constante de integração γ.
σ=
γ ⋅c
4
⇒
R(T ) = σ ⋅ T
4
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
σ = 5,67×10-8 W/m2 ⋅K4
⇒ constante de StefanBoltzmann
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A entropia do campo de radiação
A partir do resultado entre densidade de energia e
temperatura Boltzmann pôde calcular a entropia do campo de
radiação.
Após alguma manipulação
matemática, Boltzmann obteve
então o resultado mostrado ao
lado.
16 ⋅ σ 3
S (V , T ) =
T ⋅V
3
Radiação
eletromagnética
em uma cavidade
Manifestantes “contra” a
2a Lei da Termodinâmica
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O artigo de Boltzmann
Boltzmann publicou estes resultados no artigo
“Ableitung des Stefan’schen Gesetzes betreffend die
Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus
na
revista
der
elektromagnetischen
Lichttheorie”
Wiedmannsche Annalen der Physik, volume 22, pg. 291-294.
Frase de Boltzmann
Em português o título
deste artigo é “Derivação da
Lei de Stefan relacionada com
a dependência da radiação de
calor e da temperatura com a
teoria eletromagnética da luz”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Os estudos de Wien sobre a radiação térmica
De 1893 a 1896 Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Wien
(1864-1928) se dedicou a estudos teóricos e empíricos para
obter uma expressão para a densidade espectral de em
energia uν(ν,T).
Prêmio Nobel de
Física de 1911 –
“pelas descobertas
das leis de irradiação
do calor”
Wilhelm Wien
(1864-1928)
Medalha concedida aos
agraciados com o Prêmio
Nobel de Física
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
As hipóteses de Wien no artigo de 1893
Wien considerou o Efeito Doppler que sofre uma radiação
ao incidir sobre uma parede espelhada em movimento.
Wien simulou o movimento
de um pistão dentro do cilindro,
atribuindo á radiação uma
característica mecânica.
Esquema da reflexão de raios de luz no
interior de uma esfera que se contrai
Wien considerou o corpo
negro como sendo modelado
por uma esfera oca que que se
contrai uniformemente a uma
velocidade v = dr/dt.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O Efeito Doppler aplicado à radiação de cavidade
Wien, a seguir, generalizou o raciocínio de Boltzmann,
aplicando a Termodinâmica à radiação contida em cada
intervalo de frequência entre ν e ν + dν.
Após
um
cálculo
exaustivo, Wien então
obteve uma equação que
relaciona a densidade
espectral de energia em
termos de uma função
desconhecida f(ν/T).
Esquema do Efeito Doppler
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Wien
A expressão obtida por Wien é mostrado abaixo.
ν 
uν (ν ) = ν ⋅ f  
T 
3
O problema é quer nem os
princípios e relações básicas
da Termodinâmica, nem do
Eletromagnetismo permitem
determinar a forma funcional
da função f(ν/T).
Embora a derivação da fórmula de Wien fosse calcada em
uma hipótese ad hoc, seu resultado teve o mérito
incontestável de reproduzir corretamente a Lei do
Deslocamento de Wien, além da Lei de Stefan-Boltzmann.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann
Vamos inicialmente mostrar que a fórmula de Wien
conduz à Lei de Stefan-Boltzmann.
Faremos isto sem precisar conhecer a forma funcional da
função f(ν/T).
Para isto basta integrar a função uν(ν) em todo o espectro
de frequências, além de no processo de integração fazer uma
mudança de variáveis adequada.
∞
c
R(T ) = ⋅ ∫ uν (ν , T ) ⋅ dν
4 0
ν 
uν (ν , T ) = ν ⋅ f   ⇒
T 
3
R(T ) = σ ⋅ T
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
4
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A expressão para uλ (λ
λ,T)
Também podemos mostrar que que a fórmula de Wien
conduz à Lei de Deslocamento de Wien.
Para esta demonstração é necessário escrever a fórmula
de Wien em termos do comprimento de onda da radiação ao
invés da frequência.
Para obter este resultado, usamos a relação direta
existente entre uν(ν) e uλ(λ).
uλ (λ ) =
c
λ
2
⋅ uν (ν )
ν=
c
λ
⇒
u λ (λ , T ) =
1
λ
5
⋅ g (λ ⋅ T )
Na equação acima a função g(λ⋅T) também tem sua forma
funcional desconhecida.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Wien e a Lei de Deslocamento de Wien
A origem do nome “lei de deslocamento” deve-se ao fato
de que o comprimento de onda no qual a densidade
espectral de energia é máxima, se “desloca” tal que ele é
inversamente proporcional à temperatura.
Este resultado pode ser deduzida a partir da relação uλ(λ).
u λ (λ , T ) =
duλ (λ )
dλ
1
λ
5
⋅ g (λ ⋅ T )
λ = λMAX
⇒
=0
λMAX ⋅ T = b
O valor da constante b depende, obviamente da forma da
função g(λ⋅T), que na fórmula de Wien é desconhecida.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O problema a ser resolvido: determinar g(λ,T)
Abaixo estão as curvas experimentais a serem
modeladas, bem como as expressões matemáticas
conhecidas associadas a elas.
ν MAX
T
λMAX ⋅ T = b
=a
RλMAX ∝ T 5
Espectro em frequência
RνMAX ∝ T
3
Espectro em comprimento de onda
Os comportamentos de νMAX, λMAX, RνMAX e RλMAX com a
temperatura, todos são explicados pela fórmula de Wien.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A procura da função uν(ν
ν,T)
A fórmula de Wien não explicita a função uν(ν,T).
Desta forma, a fórmula de Wien apenas serve como guia
para a determinação exata da função uν(ν,T).
Com isso, torna-se necessário construir um modelo
teórico com base em primeiros princípios.
Estes primeiros princípios devem ser
Termodinâmica e as Equações de Maxwell.
as
leis da
Por outro lado, como já vimos, com a fórmula de Wien ao
menos é possível demonstrar a Lei de Deslocamento de Wien
e a Lei de Stefan-Boltzmann.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Resultados do Modelo Empírico de Wien (artigo de 1893)
Assim, as fórmulas abaixo todas elas são obtidas sem
que seja necessário conhecer a forma funcional de f(ν/T).
ν MAX
T
= a RνMAX ∝ T
3
λMAX ⋅ T = b
RλMAX ∝ T
5
R(T ) = σ ⋅ T
4
Para determinar a forma funcional de f(ν/T) Wien fez
então uma conjectura.
Uma conjectura é uma ideia, fórmula ou frase, a qual não
foi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou ideias
com fundamento não verificado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A conjectura de Wien expressa no artigo de 1896
A Conjectura de Wien: a densidade espectral de energia
deve ser do tipo daquela proposta por Maxwell para a
distribuição de velocidades de moléculas de um gás.
Abaixo transcrevemos as próprias palavras de Wien.
“ ...uma visão atualmente aceita é que as cargas elétricas
das moléculas podem excitar ondas eletromagnéticas ... e
como o comprimento de onda λ da radiação emitida por uma
dada molécula é uma função da velocidade v, esta velocidade
também é uma função de λ”.
Esta conjectura permitiu que a forma funcional de f(ν/T)
fosse proporcional a exp(-β⋅ν/T), onde β é uma constante.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A conjectura de Wien e a forma funcional de f (,T)
Assim, a Conjectura de Wien permitiu que ele formulasse
a seguinte proposta para uν(ν) mostrada abaixo.
ν

uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ 
T

3
Na equação ao
lado, α e β são
constantes a serem
determinadas.
Wien usou então as relações entre uν(ν) e uλ(λ) para obter
a expressão para uλ(λ) e obteve o resultado mostrado abaixo.
uλ (λ ) =
c
λ
2
⋅ uν (ν )
ν=
c
λ
⇒
 β ⋅c 
u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp −

λ
 λ ⋅T 
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
4
1
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
As limitações do Modelo Empírico de Wien
A equação obtida por Wien não é correta para todo o
espectro de frequências.
A equação proposta por Wien concorda muito bem para
altas frequências, mas é ruim para baixas frequências.
Isto é observado como os resultados
apresentados na figura ao lado.
ν

uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ 
T

3
Espectro em frequência
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Ainda as limitações do Modelo Empírico de Wien
Da mesma forma, a equação correspondente uλ(λ)
concorda muito bem para comprimentos de onda pequenos,
mas é ruim para comprimentos de onda elevados.
Isto
também
é
observado
como
os
resultados apresentados na
figura ao lado.
 β ⋅c 
u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp −

λ
 λ ⋅T 
4
1
Espectro em comprimento de onda
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo das constantes α e β
É possível calcular valores para as constantes α e β em
termos de b (Lei de Deslocamento de Wien) e σ (constante de
Stefan-Boltzmann), além da velocidade da luz c.
Para isto impomos as condições que envolvem cada uma
destas leis, como mostrado abaixo.
∞
∫ Rν (ν )⋅ dν = σ ⋅ T
o
duλ (λ )
dλ
4
3
ν

4
⋅
α
⋅
c
=
σ
⋅
β
uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅  ⇒ 2
T

3
 β ⋅c 
4
 ⇒
= 0 u λ (λ ) = α ⋅ c ⋅ 5 ⋅ exp −
λ
 λ ⋅T 
1
λ = λMAX
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
5⋅b
β=
c
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O valor das constantes α e β
A partir destas expressões, calculamos então as
constantes em termos de σ, b e c e obtemos as relações
abaixo.
1250 ⋅ σ ⋅ b
α=
5
3⋅ c
4
5⋅b
β=
c
b = 2,89×10-3 m⋅K
σ = 5,67×10-8 W/m2⋅K4
c = 2,9979×108 m/s
Com os valores das constantes b, σ e c mostradas acima,
os valores calculados de α e β são apresentados abaixo.
α = 6,81×10 −58
kg ⋅ s 2 / m
β = 4,82 ×10
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
−11
K ⋅s
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O primeiro trabalho de Wien
Em 1893 Wien publicou o artigo “Ein neue Beziehung der
Strahlung schwarzer Körper zum zweiten Hauptsatz der
Wärmertheorie” na revista Königlich Preussische Akademie
der Wissenschaften de 09 de Fevereiro, pg. 55-62.
Em português o título deste
artigo é “Uma nova relação da
radiação de corpo negro em termos
de dois conjuntos principais da
teoria do calor”.
Wien com os filhos Gerda, Hildegard e
Karl em fotografia de 1910
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O segundo trabalho de Wien
Já em 1894 Wien publicou o artigo “Temperatur und
Entropie der Strahlung” na revista Wiedmannsche Annalen
der Physik, volume 52, pg. 132-165.
Em português o título deste artigo é “Temperatura e
entropia da radiação”.
Ilustração de Wien
com frase elogiosa
de Max von Laue
Wien com a esposa Luise e os filhos Gerda, Karl,
Waltraut e Hildegard em fotografia de 1919
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O terceiro trabalho de Wien
Por fim em 1896 Wien publicou o artigo “Über die
Energievertheilung im Emissionsspektrum eines schwarzen
Körpers” na revista Wiedmannsche Annalen der Physik,
volume 58, pg. 662-669.
Selo sueco
em
homenagem
aos 100
anos do
Prêmio
Nobel de
Wien
Em português o
título deste artigo é
“Sobre a distribuição
de
energia
no
espectro de emissão
de um corpo negro”.
Selo sueco em comemoração
ao Prêmio Nobel de Wien
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Os estudos de Sir Rayleigh sobre a radiação térmica
No final do Século XIX o físico inglês John William Strutt
(1842-1919) tomou conhecimento dos resultados de Wien.
Strutt herdou o título de Barão de Rayleigh após a morte
de seu pai em 1873 e a partir desta data passou a ser
conhecido como Lord Rayleigh.
Prêmio Nobel de Física de 1904
– “pelas investigações sobre as
densidades dos gases e pela
descoberta do Argônio”
John Strutt – Lord Rayleigh
(1842-1919)
Medalha concedida aos agraciados
com o Prêmio Nobel de Física
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A crítica de Lord Rayleigh à Lei de Wien
Em seu trabalho sobre o tema da radiação térmica Lord
Rayleigh comentou a necessidade de se determinar a forma
correta da função g(λ⋅
λ⋅T),
já que equação proposta por Wien é
λ⋅
“pouco mais do que uma conjectura”.
Além disso, Lord Rayleigh afirmou que “esta lei parece
ser de difícil aceitação, especialmente a implicação que à
medida que a temperatura aumenta, a radiação para um dado
comprimento de onda se aproxima de um limite”.
Lord Rayleigh sugeriu então uma “modificação na lei de
Wien, a qual parece ser mais provável, a priori”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O uso do Teorema da Equipartição da Energia
Por outro lado, Lord Rayleigh indicou que “Especulação
sobre este assunto é impedida pelas dificuldades que
decorrem do Teorema da Equipartição da Energia a partir da
Estatística de Maxwell-Boltzmann”.
Este teorema, baseado na Estatística de MaxwellBoltzmann, implicitamente admite que qualquer modo de
vibração é igualmente favorecido no que diz respeito à sua
contribuição para a energia total do sistema.
Quando falava em “modos de vibração” Lord Rayleigh se
referia aos modos de oscilação do campo eletromagnético de
radiação dentro de uma cavidade (corpo negro).
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Os modos normais de oscilação do campo de radiação
Lord Rayleigh deixa claro em seu trabalho que, embora a
Estatística de Maxwell-Boltzmann falhe ao ser aplicada para
todas as frequências, ela parece ser aplicável para modos
mais graves, isto é, aqueles correspondentes a baixas
frequências.
A partir destas considerações, Lord Rayleigh admitiu que
a Radiação de Corpo Negro pôde ser tratada como radiação
de cavidade.
Nestas condições, o campo eletromagnético responsável
pela emissão de radiação pôde ser tratado a partir de seus
modos normais de vibração (ou modos de oscilação).
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Os limites da proposta de Rayleigh
Ao utilizar o Teorema da Equipartição da Energia e a
Estatística de Maxwell-Boltzmann Lord Rayleigh chegou ao
resultado no qual a densidade espectral de energia uλ era
proporcional a λ-4, que ele entendia ser adequado para altos
valores de comprimento de onda.
Nas conclusões de seu trabalho Lord Rayleigh
reconheceu que o resultado obtido por ele não se adequava à
fórmula de Wien.
Para contornar esta dificuldade Lord Rayleigh indicou
que a lei completa da radiação devia ser o produto de seu
resultado (∝ λ-4) pela exponencial exp(- β/λ⋅T)!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A contribuição de Jeans
Ao longo do desenvolvimento de seu modelo, Lord
Rayleigh cometeu um pequeno erro de natureza geométrica.
Este erro foi observado em 1905 pelo físico inglês James
Hopwood Jeans (1877-1946).
Por causa desta correção, a teoria
clássica da radiação de corpo negro é
conhecida como Modelo de Rayleigh-Jeans.
James Jeans
(1877-1946)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Frase de
Jeans
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
As hipóteses do Modelo Clássico de Rayleigh-Jeans
A hipótese fundamental deste modelo é que o campo de
radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo
negro que o emite.
Com esta hipótese, Lord Rayleigh considerou a troca de
energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os
modos de oscilação do campo eletromagnético existentes
dentro da cavidade (corpo negro).
Desta forma, Lord Rayleigh pôde aplicar o Teorema da
Equipartição da Energia ao problema da radiação de corpo
negro.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O Teorema da Equipartição da Energia
Vamos relembrar o
Equipartição da Energia.
enunciado
do
Teorema
da
Teorema da Equipartição de Energia
Em um sistema termodinâmico em equilíbrio térmico a
uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles
contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia
elementar kB⋅T.
Lembremos que a constante de Boltzmann admite o valor
kB = 1,38×10-23 J/K.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia total do campo de radiação
Desta forma, a energia total contida no campo de
radiação com frequência entre ν e ν + ∆ν é dada abaixo.
∆U = k B ⋅ T ⋅ ∆n
Nesta equação ∆n é o número
de modos normais de oscilação
(graus de liberdade) do campo de
radiação com frequência entre ν e
ν + ∆ν.
Aqui é importante lembrar que ν é uma variável contínua,
ao passo que n expressa uma quantidade discreta!!!
O problema então passa a ser construir um modelo para
o cálculo de ∆n.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O campo de radiação dentro da cavidade
Para este cálculo, Lord Rayleigh considerou a radiação
de corpo negro como sendo o campo eletromagnético dentro
de uma cavidade a uma dada temperatura T.
Lord Rayleigh levou em conta
ainda que a cavidade era feita com
material condutor.
Desta forma, o campo elétrico
na superfície da cavidade deve ser
nulo!!!
Cavidade cúbica de aresta a e volume a3
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A cavidade cúbica
Por simplicidade de cálculo, consideramos a forma
geométrica mais simples para a cavidade.
Desta forma, a cavidade tem
uma forma de um cubo de
aresta a, e assim o seu volume é
V = a3 .
O campo eletromagnético
dentro da cavidade, além da
equação
de
onda,
deve
obedecer também condições de
contorno adequadas.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A Equação de Onda para o campo de radiação na cavidade
Vamos voltar a escrever a equação de onda para o campo
eletromagnético.
r
1
2
∇ E− 2
c
r
1
2
∇ B− 2
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
r
2
∂ E
⋅ 2 =0
∂t
r
2
∂ B
⋅ 2 =0
∂t
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
As condições de contorno para o campo de radiação
Lembremos que as paredes da cavidade cúbica são de
material condutor, o que implica em condições de contorno
adequadas.
Estas condições são tais que o campo elétrico e
magnético são nulos nas paredes da cavidade.
r
r
E (0, y, z , t ) = E (a, y, z, t ) = 0
r
r
B (0, y, z , t ) = B(a, y, z , t ) = 0
r
r
E (x,0, z , t ) = E ( x, a, z , t ) = 0
r
r
B(x,0, z , t ) = B(x, a, z , t ) = 0
r
r
E ( x, y,0, t ) = E (x, y, a, t ) = 0
r
r
B(x, y,0, t ) = B( x, y, a, t ) = 0
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Ondas eletromagnéticas harmônicas no tempo
Vamos considerar que a onda eletromagnética seja
composta de ondas harmônicas no tempo, de frequência ν.
Assim, tanto o campo elétrico
quanto o campo magnético devem
ser expressos como abaixo.
r
r
− i⋅ω ⋅t
E ( x, y , z , t ) = E ( x, y , z ) ⋅ e
r
r
B( x, y, z , t ) = B(x, y, z ) ⋅ e −i⋅ω ⋅t
r r
E⊥B
ω = 2 ⋅ π ⋅ν
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A Equação de Helmholtz
Substituímos esta proposta de solução na equação de
onda e encontramos a chamada Equação de Helmholtz.
r
r
2
∇ E ( x, y , z ) + k ⋅ E ( x, y , z ) = 0
r
r
2
2
∇ B ( x, y , z ) + k ⋅ B ( x, y , z ) = 0
2
k=
ω
c
A constante k
(número de onda)
satisfaz a condição
expressa ao lado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A solução da Equação de Helmholtz
A solução da Equação de Helmholtz para o campo
elétrico no caso de uma cavidade cúbica de paredes
condutoras é dada abaixo.
 ny ⋅ π 
 nx ⋅ π 
 n ⋅π 
E x ( x, y, z ) = E0 x ⋅ sin
⋅ x  ⋅ cos
⋅ y  ⋅ cos z ⋅ z 
 a

 a

 a

 ny ⋅ π 
 n ⋅π 
 n ⋅π 
E y ( x, y, z ) = E0 y ⋅ cos x ⋅ x  ⋅ sin
⋅ y  ⋅ cos z ⋅ z 
 a

 a

 a

 ny ⋅π 
 nx ⋅ π 
 n ⋅π 
E z ( x, y, z ) = E0 z ⋅ cos
⋅ x  ⋅ cos
⋅ y  ⋅ sin z ⋅ z 
 a

 a

 a

Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O espaço de variáveis discretas
Nas equações acima, temos ainda que nx, ny e nz são
números inteiros positivos e não nulos.
Após alguma manipulação obtemos
relacionando estes números nx, ny e nz.
Trata-se da equação de
uma “esfera” nas variáveis
discretas nx, ny e nz.
uma
equação
4⋅a
2
n + n + n = 2 ⋅ν
c
2
2
x
2
y
2
z
O número de modos ∆n é diretamente proporcional ao
“volume” de uma “casca esférica” no espaço das variáveis
discretas nx, ny e nz.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A casca esférica no espaço de variáveis discretas
Para ser preciso, o número de modos ∆n é proporcional
ao volume desta “casca esférica” contida no octante
positivo.
Isto ocorre pois números nx, ny e
nz são números inteiros e positivos.
Após
alguma
manipulação,
obtemos a relação abaixo.
Espaço
de
variáveis
nx, ny e nz
3
a
2
∆n' = 4 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ν ⋅ ∆ν
c
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O número de modos de oscilação do campo de radiação
Entra aqui a contribuição dada por Jeans em 1905 e
ignorada por Lord Rayleigh em 1900.
Jeans considerou que o campo eletromagnético tem dois
estados de polarização possíveis.
Desta forma, o número de estados calculado por Lord
Rayleigh deve ser multiplicado por dois.
∆n = 2 ⋅ ∆n'
3
⇒
a
2
∆n = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ν ⋅ ∆ν
c
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo da energia da radiação na cavidade
Após o cálculo do número de modos de oscilação do
campo eletromagnético ∆n com frequências entre ν e ν + dν,
podemos então determinar a energia do campo de radiação
∆U.
Lembremos que no modelo clássico proposto por Lord
Rayleigh a energia do campo de radiação é diretamente
proporcional a ∆n.
∆U = k B ⋅ T ⋅ ∆n
3
⇒
a
2
∆U = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν ⋅ ∆ν
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A passagem para o contínuo de frequências
Como a frequência do campo eletromagnético é uma
variável contínua, podemos obter a energia do campo de
radiação dU com frequências entre ν e ν + dν fazendo a troca
da diferença ∆U pela diferencial dU.
a3
dU = 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν
c
Com o resultado ao lado,
determinamos
então
a
densidade de energia do
campo de radiação du na
cavidade cúbica.
1
1
a3
8 ⋅π
2
du = ⋅ dU = 3 ⋅ 8 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν ⇒ du =
⋅
k
⋅
T
⋅
ν
⋅ dν
B
3
V
a
c
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo da radiância espectral
Com este resultado, determinamos então a densidade
espectral de energia do campo de radiação uν.
8 ⋅π
du = 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2 ⋅ dν
c
⇒
du 8 ⋅ π
uν =
= 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν 2
dν
c
Por fim, para poder comparar com os resultados
experimentais, calculamos a radiância espectral do campo de
radiação Rν.
c
Rν = ⋅ uν
4
⇒
2 ⋅π
2
Rν (ν ) = 2 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν
c
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A comparação com os resultados experimentais
Vamos agora fazer a comparação entre o resultado
teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas
argumentos clássicos com os resultados calculados para
Rν(ν) a partir dos resultados experimentais de Rλ(λ).
2 ⋅π
2
Rν (ν ) = 2 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν
c
Comparação entre o resultado sugerido
por Lord Rayleigh e os resultados
calculados para a radiância espectral
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Mais comparação com os resultados experimentais
Podemos também fazer a comparação entre o resultado
teórico sugerido por Lord Rayleigh usando apenas
argumentos clássicos com os resultados experimentais para
Rλ(λ).
Rλ (λ ) =
c
λ
2
⋅ Rν (ν )
Rλ (λ ) = 2 ⋅ π ⋅ c ⋅ k B ⋅ T ⋅
1
λ4
Comparação entre o resultado sugerido por
Lord Rayleigh e os resultados experimentais
para a radiância espectral
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A catástrofe do ultravioleta
Para evidenciar ainda mais a falha no resultado obtido
por Lord Rayleigh vamos calcular a energia total do campo
eletromagnético contido na cavidade.
∞
U = a 3 ⋅ ∫ uν ⋅ dν
0
∞
3
8
⋅
⋅
a
π
2
U = a3 ⋅
⋅
k
⋅
T
⋅
ν
⋅ dν
B
3
∫
c
0
U →∞
Ao aparecimento deste absurdo e
impossível infinito no resultado, dá-se o
nome de catástrofe do ultravioleta.
É importante frisar que o absurdo da
catástrofe
do
ultravioleta
era
do
conhecimento de Lord Rayleigh.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O artigo de Lord Rayleigh
Os resultados de Lord Rayleigh foram publicados em
1900 no artigo “Remarks upon the law of complete radiation”
na revista Philosophical Magazine, volume 49, pg. 539-540.
Em português o título deste artigo é “Apontamentos
sobre a lei da radiação completa”.
Fotografia de Lord Rayleigh
e William Ramsay em 1894
Selo sueco de 1964 em comemoração aos
60 anos do Prêmio Nobel de Lord
Rayleigh
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A necessidade de um novo modelo
O quadro abaixo mostra a situação encontrada por Max
Planck quando ele resolveu atacar o problema da radiação de
corpo negro a partir dos primeiros princípios da Física.
CATÁSTROFE DO
ULTRAVIOLETA
NECESSIDADE DE UM
NOVO MODELO PARA
DESCREVER AS TROCAS
DE ENERGIA ENTRE A
RADIAÇÃO E A MATÉRIA
⇒
MODELO CLÁSSICO É
INADEQUADO
⇓
⇐
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
FALHA AO USAR O
TEOREMA DA
EQUIPARTIÇÃO DA
ENERGIA
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
1. Introdução
2. A Física no Final do Século XIX
3. Propriedades do Campo de Radiação
a. As Equações de Maxwell e a Equação de Onda
b. Ações Mecânicas do Campo de Radiação
4. A Radiação de Corpo Negro
a. Resultados Experimentais
b. Modelos Teóricos
- A Demonstração de Boltzmann
- Modelo de Wien
- Modelo de Rayleigh-Jeans
- Modelo de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Um pouco de história
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) era professor
na Universidade Friedrich Wilhelm em Berlim no ano de 1900,
sucedendo a Gustav Kirchoff na cadeira de Física Teórica.
Prêmio Nobel de Física de 1918
– “por trabalhos no
desenvolvimento da Física e pela
descoberta dos quanta de
energia”
Max Planck
(1858-1947)
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Medalha concedida aos
agraciados com o Prêmio
Nobel de Física
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A importância do contato entre teóricos e experimentais
Por residir em Berlim, Planck tinha contato permanente
com
os
pesquisadores
do
Physicalisch-Technische
Reichsanstall, tais como Lummer, Pringsheim, Rubens e
Kurlbaum, já citados anteriormente.
Ao longo do ano de 1900, de Fevereiro a
Outubro, estes cientistas haviam obtido uma
curva experimental para a radiação emitida por
um corpo negro.
Espectro de
corpo negro
Como já vimos, estes resultados
contradiziam o modelo teórico
apresentado por Wien em 1896.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Um problema que exige uma abordagem multidisciplinar
Planck decidiu então abordar o problema da radiação de
corpo negro, já que havia um desafio em obter um modelo
teórico que explicasse o resultado experimental.
Em Outubro de 1900, Planck encontrou uma fórmula que
fornecia um excelente ajuste a todos os resultados
experimentais conhecidos.
Nos três meses seguintes, Planck
justificativa teórica para a sua fórmula.
buscou
uma
Para chegar ao resultado final, Planck utilizou
argumentos da Teoria Eletromagnética, da Termodinâmica e
da recém fundada Mecânica Estatística.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A emissão de radiação por osciladores radiantes
Como vemos, Planck procurou por um modelo teórico
que levasse em conta todos as grandes teorias existentes na
sua época.
Por desenvolver seu modelo no mesmo ano, Planck, ao
que parece, não conhecia ou não deu importância aos
resultados obtidos por Lord Rayleigh.
Planck considerou que o emissor de radiação eram as
cargas elétricas presentes na superfície do corpo negro.
Assim, estas cargas elétricas comportavam-se como
osciladores radiantes.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Os osciladores radiantes e a entropia
Segundo Planck, as cargas elétricas oscilavam excitadas
pela temperatura do corpo aquecido.
Desta forma, para Planck era muito importante utilizar os
conceitos da Teoria Eletromagnética.
Por sua vez, Planck dominava como poucos os conceitos
da Termodinâmica.
Ele percebeu que o conceito de entropia deveria
desempenhar um papel importante no processo de troca de
energia entre o corpo negro aquecido (matéria) e a radiação.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O primeiro artigo: correção da fórmula de Wien
Por fim, como havia um número muito grande de
osciladores presentes na matéria, Planck considerou
importante usar os conceitos da Mecânica Estatística.
No artigo “Sobre um aperfeiçoamento da fórmula de
Wien” de 1900, Planck mostrou que a fórmula de Wien não
era válida para todas as frequências emitidas pelo corpo
negro.
Como sabemos, a fórmula de Wien é apenas
aproximadamente correta como caso limite de grandes
frequências.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Osciladores carregados em movimento harmônico simples
Como vimos, Planck partiu do princípio que a radiação
emitida por um corpo aquecido era proveniente das cargas
das paredes da cavidade, aceleradas pela temperatura.
Planck considerou a situação mais simples, na qual as
cargas aceleradas executam um movimento harmônico
simples com frequência ν.
Estas cargas em movimento harmônico simples
constituem-se nos já denominados osciladores carregados.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O Teorema de Planck e o equilíbrio termodinâmico
Em primeiro lugar Planck procurou escrever uma
expressão para a densidade de energia espectral uν do
campo eletromagnético em termos da energia média do
oscilador.
Para isto, Planck considerou que os osciladores das
paredes das cavidades estavam em equilíbrio termodinâmico
com a radiação eletromagnética estabelecida em seu interior.
Assim, a perda de energia de cada oscilador seria
compensada pela absorção da energia da radiação.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Larmor
Para alcançar seu objetivo, Planck utilizou o resultado
obtido pelo físico irlandês Joseph Larmor (1857-1942).
Em 1897 Larmor calculou a potência
média emitida por uma carga q em
qualquer movimento acelerado com
aceleração a.
O resultado obtido por Larmor é
mostrado abaixo.
Joseph Larmor
(1857-1942)
q2
2
P=
⋅a
3
6 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ c
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O Teorema de Planck
Para obter o teorema que leva o seu nome em 1899
Planck impôs o equilíbrio termodinâmico entre osciladores e
radiação e obteve a equação mostrada abaixo.
8 ⋅π 2
uν = 3 ⋅ν ⋅ U
c
Esta expressão mostra que a densidade espectral de
energia da radiação é determinada a partir do cálculo da
energia média de um único oscilador.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo da energia média do oscilador
O problema a ser resolvido é então calcular a energia
média deste oscilador.
Com este cálculo, determina-se facilmente a expressão
para a densidade espectral de energia uν(ν).
O Teorema de Planck é um resultado geral e portanto
pode também ser usado para calcular uν(ν) segundo a
abordagem clássica.
Para isto, basta calcular a energia média segundo o
método clássico (Estatística de Maxwell-Boltzmann).
Sabemos que neste caso, o resultado final para a energia
média é o conhecido Teorema da Equipartição da Energia.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo clássico da energia média do oscilador
Pelo Teorema da Equipartição
da Energia, usando a Estatística
de Maxwell-Boltzmann, obtemos a
energia média do oscilador como
mostrado ao lado.
U = kB ⋅T
Assim, a aplicação deste resultado clássico no Teorema
de Planck fornece o resultado obtido por Rayleig-Jeans.
8 ⋅π
2
uν (ν ) = 3 ⋅ k B ⋅ T ⋅ν
c
Equação para a densidade espectral de
energia obtida pelo modelo clássico de
Rayleigh-Jeans, que sabemos não
descrever corretamente o fenômeno da
radiação de corpo negro
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A entropia de um único oscilador e sua energia média
Planck, por sua vez, preferiu realizar uma abordagem
termodinâmica para o cálculo da energia média dos
osciladores.
1
 ds 

 =
 dU V T
Ele levou em conta a
relação entre a entropia s de
um único oscilador e a sua
energia média, mantido o
volume
da
cavidade
constante.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O uso da fórmula de Wien
Planck tomou como base o modelo empírico de Wien,
que ele sabia que apresentava bom comportamento para
altas frequências mas ruim para baixas frequências.
Como vimos, segundo
Wien a densidade espectral
de energia é dada pela
equação mostrada ao lado.
Após
algum
cálculo,
Planck chegou ao resultado
mostrado ao lado.
ν

uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ 
T

3
2
d s
1
cte
=−
=−
2
dU
β ⋅ν ⋅U
U
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Lembrança: a fórmula de Wien não fornece a resposta
correta para o problema da radiação de corpo negro
Planck sabia que a
equação mostrada ao lado
NÃO descreve corretamente
a radiação de corpo negro,
pois ela é obtida a partir do
modelo de Wien.
Comparação entre o
resultado proposto
por Wien e os
resultados
calculados para a
radiância espectral
2
d s
1
cte
=−
=−
2
dU
β ⋅ν ⋅U
U
Como sabemos, a fórmula
de Wien apresenta bom
comportamento para altas
frequências mas é ruim para
baixas frequências.
O que fez então Planck?
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A alteração proposta por Planck
Planck propôs uma pequena alteração nesta expressão,
considerando que isto poderia levar ao resultado esperado.
2
2
d s
cte
=
−
2
dU
U
d s
A
=
−
2
U ⋅ (B + U )
dU
Cálculo de Planck utilizando a
equação baseada no Modelo de Wien
Correção feita por Planck, procurando
“encontrar” a solução para o problema
É provável que a alteração proposta por Planck tenha
sido fruto de um exaustivo trabalho em busca da resposta
correta ao problema da radiação de corpo negro.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo da energia média dos osciladores a partir da
correção proposta por Planck
Planck partiu então desta última expressão e percorreu o
caminho inverso para determinar a energia média, e após
alguma manipulação obteve a equação mostrada abaixo.
B
U =
  B  
exp A ⋅ T  − 1
 
 
As constantes A e B devem
ser determinadas a partir dos
resultados experimentais.
Neste caso os resultados experimentais são a Lei de
Stefan-Boltzmann e a Lei de Deslocamento de Wien.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O cálculo corrigido da densidade de energia espectral
De posse desta expressão, Planck voltou ao seu teorema
e calculou a densidade espectral de energia obtendo a
equação mostrada abaixo.
8 ⋅ π ⋅ν 2
B
⋅
uν (ν ) =
3
c
  B  
exp A ⋅ T  − 1
 
 
Mas, e as constantes A e B?
Como Planck as determinou?
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A determinação da constante B
Para determinar a constante B Planck seguiu o
argumento de Wien (correto!!!) segundo o qual a densidade
espectral de energia deve obedecer a fórmula de Wien.
ν 
uν (ν ) = ν ⋅ f  
T 
3
8 ⋅ π ⋅ν 2
uν (ν ) =
⋅
3
c
B
 B 
exp
 −1
 A ⋅T 
Ao comparar as duas expressões acima, Planck observou
que para satisfazer a fórmula de Wien, necessariamente a
constante B deve ser proporcional à frequência.
B ∝ν
⇒
B = c1 ⋅ν
c1 e A são constantes a serem determinadas pelo
ajuste com a curva experimental
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O ajuste da curva proposta com os dados do experimento
Com isto, Planck obteve a expressão para a densidade de
espectral de energia mostrada abaixo, bem como a equação
para a radiância espectral Rν(ν).
8 ⋅ π ⋅ c1
ν3
⋅
uν (ν ) =
3
c
  c1 ⋅ν
exp A ⋅ T
 
 
 − 1
 
2 ⋅ π ⋅ c1
c
ν3
⋅
Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) =
2
4
c
  c1 ⋅ν  
exp A ⋅ T  − 1
 
 
Este resultado ajusta-se
completamente com os dados
obtidos
experimentalmente,
dependendo apenas dos valores
das constantes c1 e A!!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O primeiro artigo de Planck
Em 1900 Planck publicou o artigo “Über eine
Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung” na revista
Verhandlungen der Deutschen Physikalishen Gesellschaff,
volume 2, pg. 202-204.
Em português o título deste artigo é
“Sobre um aperfeiçoamento da equação
de Wien para o espectro”.
Frase de Planck
Selo alemão de 1952 em
homenagem a Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A síntese do artigo de Planck
Citamos abaixo as palavras de Planck em seu artigo.
“Como demonstrado por exemplos numéricos, tal
fórmula se ajusta muito bem aos dados experimentais
existentes (com valores convenientes das constantes c1 e A).
Gostaria então de chamar a nossa atenção para essa
fórmula que considero a mais simples possível, além da de
Wien, sob o ponto de vista da teoria eletromagnética da
radiação”.
8 ⋅ π ⋅ c1
ν3
uν (ν ) =
⋅
3
c
  c1 ⋅ν  
exp A ⋅ T  − 1
 
 
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
Espectros da
Fórmula de Planck
em termos da
frequência
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O empirismo da fórmula obtida por Planck
A fórmula obtida pelo ajuste de curvas ainda é EMPÍRICA,
isto é, NÃO existe um modelo físico que a justifique.
8 ⋅ π ⋅ c1
ν3
uν (ν ) =
⋅
3
c
  c1 ⋅ν  
exp A ⋅ T  − 1
 
 
⇒
FÓRMULA
EMPÍRICA
⇒
Precisa de uma
teoria que a
justifique!!!
O próprio Planck não ficou totalmente satisfeito com a
“dedução” da fórmula acima, pois ele sabia que tal equação
carecia de fundamentação física.
Assim, Planck procurou (e encontrou em alguns
meses!!!) por um modelo que justificasse a equação
encontrada empiricamente.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A busca pelo modelo físico na Mecânica Estatística
Na busca pelo conteúdo físico para sua fórmula, Planck
se deu conta que a entropia dos osciladores teria que ser
determinada por argumentos probabilísticos.
Para tal, Planck utilizou-se dos conceitos da Mecânica
Estatística, recém desenvolvida por Boltzmann.
Planck
aplicou
a
análise
combinatória
de
Boltzmann,
dividindo a energia total U de um
conjunto de N osciladores idênticos
e distinguíveis, obtendo a equação
mostrada ao lado.
U
U =
N
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O número de estados possíveis com N osciladores em M
células
Por outro lado, Planck admitiu que
poderiam existir M células indistinguíveis
tal que a energia E de um único oscilador
seja dada pela equação ao lado.
U
E=
M
Desta forma, Planck distribuiu os N osciladores pelas M
células e calculou o número total de estados possíveis G
desta distribuição, obtendo o resultado mostrado abaixo.
(
N + M − 1)! (N + M )!
≅
G=
M !⋅(N − 1)!
M !⋅N !
A aproximação feita na
equação de G é porque N e M
são muito maiores do que 1.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A entropia total do conjunto de osciladores
Pela Mecânica Estatística, a
entropia de um sistema está
associada ao número de estados
possíveis G existentes dentro dele
através da famosa expressão
proposta por Boltzmann, mostrada
ao lado.
Assim, a entropia do
sistema de N osciladores
distribuídos por M células
é dada pela equação
mostrada ao lado.
S = k B ⋅ ln G
 ( N + M )!
S = k B ⋅ ln 

 M !⋅( N )! 
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia média do conjunto de osciladores
Planck, após uma exaustiva manipulação chegou ao
resultado para a energia média do conjunto de osciladores
mostrado abaixo.
U =
E
  E  
 − 1
exp
k
⋅
T
B

 

Lembremos que E é a energia de um único oscilador!!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia de um único oscilador proporcional à frequência
Planck propôs então que a energia de um único oscilador
E fosse proporcional à frequência ν.
E = h ⋅ν
U =
⇒
h é uma constante a ser
determinada (constante de Planck)
Esta proposição de Planck
argumentos (corretos!!!) de Wien.
é
h ⋅ν
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
coerente
com
os
Lembremos que, segundo Wien, a fórmula para a
densidade de energia espectral deve ser proporcional a
ν3⋅f(ν/T).
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A densidade espectral de energia e a radiância espectral
Depois de calcular a energia média dos osciladores,
Planck utilizou o seu teorema e determinou a densidade
espectral de energia.
8 ⋅ π ⋅ν
uν =
⋅U
3
c
2
8 ⋅π ⋅ h
ν3
⋅
⇒ uν (ν ) =
3
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
ν3
2 ⋅π ⋅ h ⋅
c
⋅
Rν (ν ) = ⋅ uν (ν ) =
2
4
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O problema da interação da radiação com a matéria
Porém, após chegar com sucesso ao resultado correto
para o espectro de radiação de um corpo negro, uma questão
ainda precisou ser respondida por Planck.
Qual comportamento deve ter a interação da radiação
com a matéria para que um oscilador com energia h⋅ν
produza uma energia média do conjunto de osciladores dada
abaixo?
U =
h ⋅ν
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
Como se dão as trocas de energia
entre o corpo negro e a radiação
emitida por ele, tal que esta seja a
energia média dos osciladores?
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Uma outra estatística para tratar osciladores carregados
Planck sabia que o conjunto de osciladores NÃO
obedecia à Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann.
A Estatística Clássica de Maxwell-Boltzmann, baseada
numa distribuição contínua da energia dos osciladores, dava
como resultado final a fórmula de Rayleigh-Jeans.
Como sabemos a fórmula de Rayleigh-Jeans não está de
acordo com os resultados experimentais.
Desta forma, não restou outra alternativa a Planck senão
admitir que a interação entre o campo de radiação e o corpo
aquecido se dava através de trocas de energias discretas
(não contínuas)!!!
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Trocas discretas de energia entre radiação e matéria
Assim, Planck formulou o modelo físico que dá suporte a
toda sua teoria e explica completamente o problema da
radiação de corpo negro.
O modelo de Planck está baseado no postulado
fundamental de que a troca de energia entre os osciladores e
o campo de radiação NÃO é uma grandeza contínua.
Assim, as trocas de energia só podem se dar através de
valores discretos e múltiplos de uma quantidade elementar.
Einstein, em 1905, denominou esta quantidade elementar
de QUANTUM DE ENERGIA.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O quantum de energia
Como as trocas de energia se dão de forma discreta,
nesta situação a energia dos osciladores U também admite
apenas valores discretos, múltiplos do QUANTUM DE
ENERGIA.
Assim, Planck propôs que a energia U dos osciladores
obedecesse a equação abaixo.
U = Un
U n = n ⋅U 0
n é um número inteiro
U0 é o QUANTUM DE ENERGIA
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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Trocas de energia discretas e a fórmula de Planck
Como logo veremos, a proposição de Planck leva ao
resultado esperado para a densidade espectral de energia
para a radiação de corpo negro.
8 ⋅ π ⋅ν 2
uν =
⋅U
3
c
U =
U = n ⋅U 0
U 0 = h ⋅ν
h ⋅ν
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
8⋅π ⋅ h
ν3
⋅
uν (ν ) =
3
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
Lembramos que a proposição de Planck é
que as trocas de energia entre a matéria
(osciladores!!!) e a radiação são quantizadas.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Planck e os resultados experimentais
O resultado teórico obtido por Planck para a densidade
espectral de energia está completamente de acordo com os
dados experimentais medidos por Lummer e Pringsheim.
8 ⋅π ⋅ h
ν3
c
uν (ν ) =
⋅
3
(
)
R
ν
=
⋅ uν (ν )
c
  h ⋅ν   ν
4
 − 1
exp
  kB ⋅T  
Rλ =
Rλ (λ ) =
c
λ
2 ⋅π ⋅ h ⋅ c2
λ5
2
⋅
ν3
2 ⋅π ⋅ h ⋅
Rν (ν ) =
⋅
c2
  h ⋅ν  
 − 1
exp
k
⋅
T
  B  
⋅ Rν
1
  h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
Espectro de corpo
negro obtido por
Lummer e Pringsheim
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Comparação entre os modelos estudados
Partindo da fórmula de Planck, que é aquela que traduz
com exatidão os resultados experimentais, podemos fazer
uma comparação entre todos os modelos estudados.
Com esta equação podemos estudar as situações limites
para baixas frequências (comprimentos de onda elevados) e
altas frequências (comprimentos de onda baixos).
Ao trabalhar com estas situações limites, iremos concluir
que a fórmula de Wien e a fórmula de Rayleigh-Jeans são
casos particulares da fórmula de Planck.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Wien como caso particular da fórmula de
Planck para altas frequências
Para altas frequências, temos que h⋅ν >> kB⋅T.
Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de
Planck, obtemos a fórmula de Wien.
ν3
8 ⋅π ⋅ h
uν (ν ) =
⋅
3
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
h ⋅ν >> k B ⋅ T
⇒
Fórmula de Planck
 h ⋅ν 
8 ⋅π ⋅ h 3

uν (ν ) =
⋅ν ⋅ exp −
3
c
 kB ⋅T 
Fórmula de Wien
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A fórmula de Rayleigh-Jeans como caso particular da
fórmula de Planck para baixas frequências
Para baixas frequências, temos que h⋅ν << kB⋅T.
Ao levarmos em conta esta aproximação na fórmula de
Planck, obtemos a fórmula de Rayleigh-Jeans.
8 ⋅π ⋅ h
ν3
Fórmula de Planck
⋅
uν (ν ) =
c3
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
h ⋅ν << k B ⋅ T
⇒
8 ⋅π ⋅ kB ⋅T 2
uν (ν ) =
⋅ν
3
c
Fórmula de Rayleigh-Jeans
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Determinação das constantes α e β em termos de h e kB
De posse da fórmula de Wien obtida a partir da
aproximação para altas frequências, podemos exprimir as
constantes α e β em termos de h e kB.
ν
 h ⋅ν 

8 ⋅π ⋅ h 3
3
 uν (ν ) = α ⋅ν ⋅ exp − β ⋅ 
uν (ν ) =
⋅ν ⋅ exp −
3
c
T

 kB ⋅T 
8 ⋅π ⋅ h
α=
3
c
h
β=
kB
α = 6,18×10-58 kg⋅s2/m
β = 4,80×10-11 K⋅s
α = 6,81×10-58 kg⋅s2/m
β = 4,82×10-11 K⋅s
É fácil observar que
tratam-se
das
mesmas
expressões
com
as
constantes α e β como
dadas ao lado.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Comparação gráfica entre as três fórmulas
Todos estes resultados podem ser sintetizados no gráfico
abaixo.
 h ⋅ν 
8 ⋅π ⋅ h 3
 W
uν (ν ) =
⋅ν ⋅ exp −
3
c
 kB ⋅T 
8 ⋅π ⋅ kB ⋅T 2
uν (ν ) =
⋅ν
3
c
Espectros dos três modelos
em termos da frequência
8⋅π ⋅ h
ν3
uν (ν ) =
⋅
3
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
R-J
P
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Resultados em termos do comprimento de onda
Podemos exprimir os resultados em termos do
comprimento de onda, bastando para isto usar a relação
entre uλ e uν.
Para valores de baixos comprimentos de onda, temos
que h⋅c/λ >> kB⋅T.
uλ =
c
λ
2
⋅ uν
⇒
8 ⋅π ⋅ h
ν3
uν (ν ) =
⋅
3
c
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
u λ (λ ) =
8 ⋅π ⋅ h ⋅ c
λ5

h⋅c 

⋅ exp −
 λ ⋅ kB ⋅T 
Fórmula de Wien
Fórmula de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Resultados em termos do comprimento de onda
Já para valores de altos comprimentos de onda, temos
que h⋅c/λ << kB⋅T.
uλ =
uν (ν ) =
c
λ
2
⋅ uν
⇒
uλ (λ ) = 8 ⋅ π ⋅ k B ⋅ T ⋅
λ
4
Fórmula de Rayleigh-Jeans
ν
8 ⋅π ⋅ h
⋅
c3
  h ⋅ν  
 − 1
exp
  k B ⋅ T   Fórmula de Planck
3
1
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Comparação gráfica entre estas três fórmulas
Estes resultados podem ser sintetizados no gráfico
abaixo.
u λ (λ ) =
8⋅π ⋅ h ⋅ c
λ5

h⋅c 

⋅ exp −
 λ ⋅ kB ⋅T 
uλ (λ ) = 8 ⋅ π ⋅ k B ⋅ T ⋅
u λ (λ ) =
Espectros dos três modelos em
termos do comprimento de onda
8 ⋅π ⋅ h ⋅ c
λ5
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
⋅
W
1
λ
4
R-J
1
  h⋅c  
 − 1
exp
λ
⋅
k
⋅
T
B
 
 
P
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A determinação do valor da constante de Planck...
Em seu artigo de 1901 Planck determinou o valor da
constante h, que hoje leva o nome de constante de Planck.
Para isto, Planck utilizou a Lei de Stefan-Boltzmann, uma
vez que a constante de Stefan-Boltzmann σ era conhecida.
Vamos seguir os passos dados por Planck e perceber
que além de h ele também determinou kB com precisão.
∞
R = ∫ Rν (ν ) ⋅ dν = σ ⋅ T 4
0
2 ⋅π ⋅ h ⋅
ν3
Rν (ν ) =
⋅
c2
  h ⋅ν  
 − 1
exp
k
⋅
T
  B  
 2 ⋅π ⋅ k
h = 
2
 15 ⋅ c ⋅ σ
5
⇒
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
4
B



1/ 3
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
...e da constante de Boltzmann
Para o cálculo de h Planck precisava saber o valor de kB,
além da constante de Stefan-Boltzmann σ e da velocidade da
luz c.
Uma relação entre a constante de Boltzmann kB e a
constante de Planck h é obtida usando a Lei de
Deslocamento de Wien.
duλ (λ )
dλ
u λ (λ ) =
λ = λMAX
8 ⋅π ⋅ h ⋅ c
λ5
⋅
=0
b = λMAX ⋅ T
1
  h⋅c  
 − 1
exp
  λ ⋅ kB ⋅T  
⇒
b: constante obtida da
Lei de Deslocamento de
Wien
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
h
b
= 4,97 ⋅
kB
c
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Valores numéricos para h e kB
Após alguma manipulação
equações mostradas abaixo.
matemática, obtemos as
b ⋅σ
b ⋅σ
h = 14,9 ⋅ 2
k B = 3,00 ⋅
c
c
3
4
b = 2,89×10-3 m⋅K
σ = 5,67×10-8 W/m2⋅K4
c = 2,9979×108 m/s
Abaixo mostramos os valores de h e kB obtidos por
Planck com os dados de sua época, além dos valores atuais
destas grandezas.
kBP = 1,35×10-23 J/K
hP = 6,55×10-34 J⋅s
kB = 1,38×10-23 J/K
h = 6,62×10-34 J⋅s
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O segundo artigo de Planck
Para a justificativa teórica de seu modelo, em 1901
Planck publicou o artigo “Über das Gesetz der
Energieverteilung im Normalspektrum” na revista Annalen
der Physik, volume 4, pg. 553-563.
Em português o título deste
artigo é “Sobre a lei de distribuição
de energia no espectro normal”.
Moeda de 1947 no valor de $
2,00 em homenagem a Planck
Frase de Max Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Einstein calcula a energia média dos osciladores
Admitindo a proposta de Planck da existência do
QUANTUM DE ENERGIA, Einstein realizou em 1907 o cálculo
da energia média dos osciladores.
Nesse ano Einstein defendeu o modelo da quantização da
energia destes osciladores, independente de sua interação
com o campo de radiação.
Ele fez este cálculo para explicar o comportamento do
calor específico dos sólidos.
Einstein então pôde calcular o peso estatístico (função de
partição) a partir do conceito das energias discretas.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A Estatística de Bose-Einstein
Como a energia dos osciladores é uma grandeza discreta,
o cálculo da energia média só pode ser feito através da soma
mostrada na equação abaixo.
∞
U =
∑P
n
⋅U n
0
∞
∑P
n
0
Nesta expressão Pn é o peso
estatístico (função de partição) associado
a cada energia Un, e é dado pela
expressão abaixo.
 Un 

Pn = exp −
 kB ⋅T 
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia média dos osciladores calculada por Einstein
Desta forma, após um cálculo exaustivo Einstein calculou
a energia média dos osciladores e obteve o resultado abaixo.
U =
U0
  U0  
 − 1
exp
  kB ⋅T  
U 0 = h ⋅ν
Por fim, como a expressão final
para a densidade espectral de energia
deve obedecer à fórmula de Wien
(isto é, uν ∝ ν3⋅f(ν/T), temos que U0
deve ser diretamente proporcional à
frequência, como mostrado abaixo.
h é a constante de Planck
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A energia média dos osciladores em termos da frequência
Desta forma, a energia média dos
h ⋅ν
osciladores calculada por Einstein é U =
  h ⋅ν  
dada pela equação ao lado.
 − 1
exp

 kB ⋅T 

Einstein publicou estes resultados em 1907 no artigo “Die
Planckshe Theorie der Strahlung und die Theorie der
spezifischen Wärme” na revista Annalen der Physik, volume
22, pg. 180-190.
Einstein em
momento de
descontração
Em português, o título deste artigo
é “A Teoria da Radiação de Planck e a
Teoria do Calor Específico”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Expressão correta para as energias dos osciladores
Estes resultados (à exceção daquele obtido por Einstein,
foram publicados por Planck nos dois artigos, um de 1900 e
outro de 1901, já citados anteriormente.
Apenas a título de informação, o resultado correto para a
quantização das energias dos osciladores não é aquela
proposta originalmente por Planck, mas sim a expressão
dada pela equação abaixo.
1

U P = n ⋅ h ⋅ν U n =  n +  ⋅ h ⋅ν
2

Solução obtida resolvendo a chamada Equação de
Schroedinger para o oscilador harmônico simples
Obviamente este resultado estava fora do escopo da
teoria construída por Planck.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A Física depois de Max Planck
É possível afirmar sem medo de errar que a Física tomou
outro rumo após a contribuição de Planck para a
compreensão da radiação emitida por um corpo aquecido.
Ao invocar ideias da Mecânica Estatística para obter sua
fórmula, Planck só conseguiu este objetivo introduzindo
conceitos totalmente contraditórios à Física Clássica.
Citamos abaixo as palavras do próprio Planck.
“Consideramos, porém – este é o ponto mais importante
de todo o cálculo – que a energia dos osciladores é a soma
de um número inteiro de partes iguais”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
Max Planck, um revolucionário relutante
Apesar de sua contribuição revolucionária, ironicamente
Planck era, por formação, um físico muito conservador,
convicto da validade da Física Clássica.
Por muitos anos Planck procurou conciliar as
concepções clássicas com a ideia da quantização, ao ponto
de, em 1931 afirmar que seu rompimento com a Física
Clássica foi “um ato de desespero”.
Por causa disso o físico e historiador da Ciência
Abraham Pais caracterizou Max Planck como um
“revolucionário relutante”.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A evolução da Física após Max Planck
A rigor, o nome “quantum de energia” foi dado por
Einstein em 1905 em seu trabalho sobre o Efeito Fotoelétrico.
Einstein foi o primeiro físico – e por cerca de 25 anos, o
único – a perceber as consequências revolucionárias dos
resultados de Planck sobre a natureza da radiação,
baseando-se nelas para introduzir o conceito de fóton.
A formulação quantitativa da Mecânica Quântica só
ocorreu a partir de 1925 com os trabalhos de Heisenberg,
Schroedinger, Dirac e Born.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A radiação de corpo negro na Física Contemporânea
Agora vamos expor rapidamente uma “contribuição” de
Planck para a Física Contemporânea.
Uma das verificações experimentais mais belas e
precisas da fórmula de Planck é a determinação do espectro
da radiação térmica cosmológica de fundo, remanescente da
origem do Universo (Big Bang).
Os dados mais atuais (que dão grande suporte ao modelo
do Big Bang) foram obtidos a partir de 2003 pelo satélite
WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe).
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
A radiação de corpo negro e o Big-Bang
Pelos dados da WMAP mostrados abaixo, a expansão do
Universo resfriou a radiação cósmica de fundo até a sua
temperatura atual de 2,73 K com intensidade máxima na
região de micro-ondas (λMAX = 1,059 mm).
Espectro da
radiação
cósmica de
fundo obtido
pela WMAP
Dados da WMAP
sobre a radiação
cósmica de fundo
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
4. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
O legado de Max Planck como humanista
Afora a sua grande contribuição para o avanço da
Ciência, Planck foi também um grande humanista.
Planck permaneceu na Alemanha durante a 2a Guerra
Mundial, e segundo relato de Heisenberg tentou convencer
Hitler a não expulsar os cientistas judeus das universidades
alemãs.
Planck também sofreu muito com as duas Grandes
Guerras Mundiais: na primeira morreu seu filho mais velho e
na segunda seu outro filho foi covardemente assassinado
pela Gestapo (polícia secreta nazista).
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
5. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO - BIBLIOGRAFIA
Bibliografia
1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica; Editora
Campus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 19-47.
2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna; Elsevier
Editora; São Paulo, 2006; páginas 299-329.
3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna; Editora
Polígono; São Paulo, 1969; páginas 282-287.
4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4; Editora
Edgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 246-249.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
5. A RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO - BIBLIOGRAFIA
Bibliografia
5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;
Fundamentos de Física – Volume 4 – 4a Edição; Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 158-159.
6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,
R. A.; Física IV; 10a Edição; Pearson Education do Brasil; São
Paulo, 2004; páginas 204-208.
7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna;
Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001;
páginas 83-87.
Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro
São
Caravaggio
SãoJerônimo
JerônimoEscritor
Escritor ––Caravaggio