s 0 - Educacional

Mecânica
(Professor: Sidclei)
Conceitos básicos de cinemática (unidades 01e 02)
Mecânica
É a ciência que estuda os movimentos.
Por razões didáticas, a Mecânica costuma ser dividida em três capítulos:
I. Cinemática
II. Dinâmica
III. Estática
A Cinemática é a descrição geométrica do movimento, por meio de funções matemáticas, isto é, é o
equacionamento do movimento.
Na Cinemática, usamos apenas os conceitos da Geometria associados à ideia de tempo; as grandezas
funda mentais utilizadas são apenas o comprimento (L) e o tempo (T).
A Dinâmica investiga os fatores que produzem ou alteram os movimentos; traduz as leis que explicam os
movimentos. Na Dinâmica, utilizamos como grandezas fundamentais o comprimento (L), o tempo (T) e a
massa (M).
A Estática é o estudo das condições de equilíbrio de um corpo.
1. PONTO MATERIAL e CORPO EXTENSO
Ponto material (ou partícula) é um corpo de tamanho desprezível em comparação com as distâncias
envolvidas no fenômeno estudado.
Quando as dimensões do corpo são relevantes para o equacionamento de seu movimento, ele é chamado
de corpo extenso.
Exemplificando:
(I) Um automóvel em uma viagem de São Paulo ao Rio de Janeiro (distância de 400 km) é tratado como
pon to material, isto é, o seu tamanho não é importante no equacionamento de seu movimento.
(II) Um automóvel fazendo manobras em uma garagem é tratado como corpo extenso.
(III) Um atleta disputando a corrida de São Silvestre (extensão de 15 km) é tratado como ponto material.
(IV) O planeta Terra em seu movimento de translação em torno do Sol é tratado como ponto material.
(V) O planeta Terra em seu movimento de rotação é tratado como corpo extenso.
Observações:
a)Quando se estuda a rotação de um corpo, suas dimensões não são desprezíveis; e o corpo é
sempre tratado como corpo extenso.
b) Ponto material tem tamanho desprezível, porém sua massa não é desprezível.
a) Um carro numa viagem, em comparação à estrada, tem seu tamanho desprezível, então, ele pode ser
considerado um ponto material; mas quando este mesmo carro faz manobras em um estacionamento seu
tamanho deixa de ser desprezível e ele passa a ser chamado de corpo extenso.
b) O planeta Terra em seu movimento de translação em torno do Sol é um ponto material; mas, em seu
movimento de rotação em torno de si mesmo é um corpo extenso.
movimento de translação da Terra
movimento de rotação da Terra
Movimento de rotação da Terra
2. REFERENCIAL ou sistema de referência
É um corpo para qual definimos as posições de outros corpos.
Observação:
O sistema cartesiano também poderá ser utilizado como sistema de referência, ele deve ser fixado em um
local, em relação ao qual pretendemos estudar a posição do ponto material. Esse local é chamado sistema
de referência ou referencial.
Quando o referencial for omitido, vamos assumi-lo como sendo a superfície terrestre.
3. MOVIMENTO e REPOUSO
“Se a posição de um corpo variar no decorrer do tempo, em relação a um determinado referencial, estará
em movimento, porém se a posição não variar estará em repouso em relação a este referencial”.
Repouso e movimento são conceitos relativos, isto é, dependem do referencial adotado.
Não existe repouso absoluto nem movimento absoluto.
Exemplificando:
(I ) Considere um carro em uma rua e um poste. O velocímetro do carro marca 100 km/h. O motorista do
carro está em repouso ou em movimento? A resposta correta é: depende do referencial.
Se o referencial for a superfície terrestre, o poste está em repouso e o motorista está em movimento a
100km/h. Se o referencial for o carro, o motorista está em repouso e o poste está em movimento a
100km/h.
(II) Considere um avião em pleno voo e um passageiro dormindo em uma poltrona.
Se o referencial for o avião, o passageiro está em repouso e se o referencial for a superfície terrestre, o
passageiro está em movimento.
A ideia de movimento está associada à mudança de posição. Uma pessoa sentada no banco de um ônibus,
que trafega em uma rodovia, está sempre na mesma posição em relação ao ônibus, isto é, está em repouso
em relação ao ônibus. Porém, esta pessoa está mudando de posição em relação à rodovia, isto é, está em
movi mento em relação à rodovia.
4. TRAJETÓRIA
Trajetória de um ponto material é o conjunto das posições ocupadas no decurso do tempo, isto é, é a
união de todas as posições por onde o ponto material passou.
Para uma trajetória plana, a equação da trajetória é a equação que relaciona as coordenadas cartesianas de
posição x e y entre si.
Se o ponto material estiver em repouso, ele ocupa uma única posição no espaço, e a sua trajetória se reduz
a um ponto.
Como a trajetória está ligada ao conceito de posição, concluímos que:
A trajetória depende do referencial.
Exemplificando:
Considere um avião voando em linha reta, paralela ao solo horizontal, com velocidade constante de valor
500km/h, em um local onde o efeito do ar é desprezível. Num dado instante, o avião abandona uma
bomba.
Qual a trajetória descrita pela bomba? (veja a figura)
A) Para um referencial ligado ao avião, a bomba terá apenas a queda vertical provocada pela ação da
gravi dade e sua trajetória será um segmento de reta vertical.
B) Para um referencial ligado à superfície terrestre, a bomba terá dois movimentos simultâneos:
(1) movimento horizontal para frente com a mesma velocidade do avião (500 km/h), mantido graças à
propriedade chamada inércia;
(2) movimento de queda vertical provocado pela ação da gravidade.
A superposição destes dois movimentos origina uma trajetória parabólica.
C) Para um referencial ligado à própria bomba, ela está em repouso e sua trajetória será um ponto.
d) Para o referencial ao pé da montanha as marcas na neve correspondem as trajetórias dos esquiadores.
e) a fumaça que está saindo dos aviões da esquadrilha da fumaça mostra a trajetória de cada aeronave
para o referencial do fotógrafo (no solo).
F
3
5. ESPAÇO(S)
Indica a posição de um corpo numa trajetória em relação a uma origem adotada.
Considere uma trajetória orientada e um ponto O (origem dos espaços) escolhido arbitrariamente como
referência. A figura mostra as posições de três partículas em um instante t.
Espaço (s) indica apenas onde está o móvel na trajetória, isto é, o espaço é um indicador da posição do
móvel.
O espaço não indica a distância que o móvel percorreu, mas apenas o local onde ele se encontra.
O espaço pode ser positivo, negativo ou nulo.
Dizer que o espaço (s) é nulo, num dado instante, significa apenas que, naquele instante, o móvel está
posicionado na origem dos espaços.
Exemplificando:
Na trajetória escolhemos arbitrariamente um marco zero (origem dos espaços), a partir do qual medimos
comprimentos que indicam a posição do móvel, mas não fornecem nem o sentido nem a distância
percorrida.
Entretanto um móvel pode estar de um lado ou de outro relativamente ao marco zero (fig.a), sendo então
conveniente orientar a trajetória, adotando-se um sentido positivo (fig.b). Assim a posição do móvel A
fica definida pela medida algébrica -10 km e a de B por +10 km.
A medida algébrica do arco da trajetória que vai do marco zero à posição do móvel recebe o nome de
espaço, indicado pela letra s. O marco zero 0 é então a origem dos espaços. Na figura 2b o espaço do
móvel A, independentemente do sentido do seu movimento é SA = -10Km e o de B, SB = +10Km
6. DESLOCAMENTO ESCALAR (∆s)
O Deslocamento Escalar é a diferença entre os pontos finais e iniciais de um espaço (trajetória). Para
descobrir o valor do deslocamento, usa-se a equação:
∆s = sF – s0
Onde ∆s é s variação de espaço, sF é a posição atual e s0 o ponto inicial.
A figura abaixo apresenta os espaços ocupados por um móvel numa trajetória em dois instantes
diferentes.
Pela figura anterior, temos que, no instante t1 = 3s, o móvel encontra-se na posição s1 = 4 m, e, no
instante t2 = 6 s, sua posição é s2 = 9 m. Podemos afirmar que, entre os instantes 3 s e 6 s, o espaço do
móvel variou de 5 m, ou seja, de 4 para 9 m. Essa variação de espaço recebe o nome de deslocamento
escalar ( s).
Quando o movimento for progressivo, o deslocamento escalar será positivo ( s > 0).
Quando o movimento for retrógrado, o deslocamento escalar será negativo ( s < 0).
Exemplificando:
a) movimento progressivo
Quando o móvel caminha no sentido da orientação da trajetória, seus espaços (s) são crescentes no
decorrer do tempo,portanto ( s > 0 e V > 0 ).
b) movimento retrógrado
Quando o móvel retrocede, caminhando contra a orientação da trajetória, seus espaços (s) são
decrescentes no decorrer do tempo,portanto ( s < 0 e V < 0 ).
O deslocamento escalar é uma grandeza algébrica, portanto pode ser positiva, negativa ou nula, e não
deve ser confundido com a distância efetivamente percorrida.
Se o móvel voltar ao ponto de partida através de uma trajetória fechada, sem inverter o sentido de seu
movimento, então ∆s não será nulo e sim igual à distância percorrida. Por exemplo, numa corrida de
fórmula 1 a pista corresponde a uma trajetória fechada e ao completar uma volta teremos ∆s = distância
efetivamente percorrida.
7. DISTÂNCIA PERCORRIDA (dp)
É a grandeza que nos informa quanto o móvel efetivamente percorreu entre dois instantes.
Consideremos um móvel descrevendo a trajetória retilínea indicada a seguir. O móvel passa por A no
instante t0 = 0, passa por B no instante t1, para no ponto C no instante t2, inverte o sentido de seu movi
mento e chega a B no instante t3.
A variação de espaço (∆s), entre os instantes t0 e t3, é dada por:
∆s = SB – SA = 5m – 2m = 3m
A distância percorrida, entre os instantes t0 e t3, é dada por:
d = AC + CB = 5m + 2m = 7m
8. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA (Vm)
Quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo de sua trajetória. A cada posição
do objeto, associamos um espaço (s), e a variação de espaço representa o deslocamento escalar ( s).
A tal variação de espaço ocorre num intervalo de tempo (
final e o inicial do percurso.
Quando relacionamos o deslocamento escalar
velocidade escalar média (vm).
t), definido pela diferença entre o instante
s e o correspondente intervalo de tempo
t, obtemos a
A velocidade escalar média apresenta sempre o mesmo sinal que o deslocamento escalar ( s), pois o
intervalo de tempo é sempre positivo. Assim, podemos ter velocidade escalar média positiva, negativa ou
nula, dependendo exclusivamente do deslocamento escalar.
Como o intervalo de tempo (t) é sempre positivo, o sinal da velocidade escalar média tem o mesmo sinal
do deslocamento (S), portanto:
No Sistema Internacional (SI), a unidade para a velocidade é o metro por segundo (m/s). Outras unidades,
tais como cm/s e km/h são muito utilizadas.
As relações entre elas são as seguintes:
Para transformar km/h para m/s, dividimos por 3,6; para o inverso, multiplicamos por 3,6.
Como exemplo, suponha um carro efetuando um deslocamento escalar de 36 km num intervalo de tempo
de 0,50 h. A sua velocidade escalar média neste percurso corresponde a:
O resultado encontrado (72 km/h = 20 m/s) significa a suposta velocidade escalar constante que o carro
poderia ter utilizado no trajeto.
Observação:
Velocidade Escalar Instantânea
Alguns dos meios de transporte utilizados pelo homem – carro, trem, avião – possuem um instrumento –
o velocímetro – que indica o módulo da velocidade escalar instantânea ( ), ou seja, o valor absoluto
da velocidade escalar do móvel no instante em que efetuamos a leitura, em relação à Terra.
Quando o movimento for progressivo, a velocidade escalar instantânea será positiva ( > 0) e quando
for retrógrado, negativa ( < 0).
9. ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA
Aceleração escalar traduz a rapidez com que a velocidade escalar varia no decurso do tempo, isto é,
traduz a velocidade da velocidade.
Definição:
Aceleração escalar média é a razão entre a variação de velocidade escalar instantânea e o
correspondente intervalo de tempo.
Assim, escrevemos:
No Sistema Internacional (SI), a unidade para a aceleração escalar média é o metro por segundo por
segundo (m/s/s), que abreviamos por m/s2. Outras unidades podem ser utilizadas, tais como cm/s2 e
km/h2.
A aceleração escalar média apresenta o mesmo sinal da variação de velocidade escalar instantânea (
pois o intervalo de tempo ( ) é sempre positivo.
Quando informamos que num certo intervalo de tempo o móvel teve uma aceleração escalar média de 2
m/s2, isto significa que em média a sua velocidade escalar esteve aumentando de 2m/s a cada segundo.
Por outro lado, uma aceleração escalar média de - 2 m/s2, quer dizer que sua velocidade escalar esteve
diminuindo em média de 2 m/s a cada segundo. Uma aceleração de 8km/h2 significa que sua
velocidade varia de 8km/h em cada 1h, e assim por diante.
A aceleração é uma grandeza causada pelo agente físico força. Quando um móvel receber a ação de uma
força, ou de um sistema de forças, pode ficar sujeito a uma aceleração e, conseqüentemente, sofrerá
variação de velocidade.
Classificação de movimentos
Sabemos que o velocímetro de um veículo indica o módulo de sua velocidade escalar instantânea.
Quando as suas indicações são crescentes, está ocorrendo um movimento variado do tipo acelerado.
Quando o velocímetro indica valores decrescentes, o movimento é classificado como retardado .
De modo geral, podemos detalhar esses casos assim:
a) O móvel se movimenta com uma velocidade escalar instantânea, cujo módulo aumenta em função do
tempo. O movimento é denominado acelerado
Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no mesmo sentido da velocidade escalar
instantânea, ou seja, e possuem o mesmo sinal.
V>0
e a > 0 (movimento progressivo e acelerado)
movimento progressivo com a velocidade aumentando em intensidade (módulo)
Exemplo numérico:
am=(10 – 5)/(2 – 0) --- am=2,5m/s2 (am>0) --- este é um movimento progressivo (a favor dos marcos
crescentes) e acelerado, ou seja, am>0 e V>0
),
V<0
e a < 0 (movimento retrógrado e acelerado)
movimento retrógrado com a velocidade aumentando em intensidade (módulo)
Exemplo numérico:
Movimento retrógrado – velocidade negativa --- am=(-10 –(-5))/(2 – 0) --- am=-2,5m/s2 --- (am<0) --este é um movimento retrógrado (a favor dos marcos decrescentes) e acelerado, ou seja, am<0 e V<0.
b) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea cujo módulo diminui em função do tempo.
O movimento é denominado retardado.
Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser no sentido oposto ao da velocidade escalar
instantânea, ou seja,
e
possuem sinais opostos.
V>0
e a < 0 (movimento progressivo e retardado)
movimento progressivo com a velocidade diminuindo em intensidade (módulo)
Exemplo numérico:
am=(5 – 10)/(2 – 0) --- am=-2,5m/s2 (am<0) --- este é um movimento progressivo (a favor dos marcos
crescentes) e retardado, ou seja, am<0 e V>0
V<0
e a > 0 (movimento retrógrado e retardado)
movimento retrógrado com a velocidade diminuindo em intensidade (módulo)
Movimento retrógrado – velocidade negativa --- am=(-5 –(-10))/(2 – 0) --- am=+2,5m/s2 --- (am>0) --este é um movimento retrógrado (a favor dos marcos decrescentes) e acelerado, ou seja, am>0 e V<0.
c) O móvel se movimenta com velocidade escalar instantânea constante em função do tempo. O
movimento é denominado uniforme. Para que isto ocorra, a aceleração escalar instantânea deve ser nula
( = 0).
Observação – Tanto o movimento acelerado quanto o retardado podem apresentar uma aceleração
escalar instantânea constante. Neste caso, o movimento recebe a denominação de uniformemente
acelerado ou retardado