94 5.5. Linhas do Campo Eléctrico Uma representação pictórica

5.5. Linhas do Campo Eléctrico
Uma representação pictórica especializada conveniente para visualizar padrões de
campo eléctrico é criada desenhando-se linhas que mostram a direcção do vector do
campo eléctrico em qualquer ponto. Essas linhas, chamadas de linhas do campo
eléctrico, estão relacionadas ao campo eléctrico em qualquer região do espaço da
seguinte maneira:
r
• O vector campo eléctrico E é tangente à linha do campo eléctrico em cada
ponto.
• O número de linhas do campo eléctrico por unidade de área através de uma
superfície, que é perpendicular às linhas, é proporcional à magnitude do campo
eléctrico nessa região. Assim, E é grande onde as linhas, do campo estão
próximas e pequeno onde as linhas estão bem separadas.
Essas propriedades são ilustradas na Figura 5.10. A densidade das linhas através da
superfície A é maior do que a densidade das linhas através da superfície B.
Consequentemente a magnitude do campo eléctrico sobre a superfície A é maior do que
sobre a superfície B. Além disso, o campo desenhado na Figura 5.10 não é uniforme
porque as linhas em posições diferentes apontam em direcções diferentes.
Figura 5.10. Linhas de campo eléctrico entrando em duas superfícies. A magnitude do
campo é maior sobre a superfície A do que sobre a superfície B.
Algumas linhas1 representativas do campo eléctrico para uma única carga pontual
positiva são apresentadas na Figura 5.11a. Observe que, nesse desenho bidimensional,
mostramos somente as linhas do campo que se encontram no plano que contém a carga
pontual. As linhas estão de facto orientadas radialmente para fora em todas as direcções
a partir da carga, assim como os espinhos de um porco-espinho. Como uma partícula de
prova carregada positivamente colocada neste campo seria repelida pela carga q, as
linhas afastam-se radialmente de q. Da mesma maneira, as linhas do campo eléctrico
para uma única carga negativa pontual são direccionadas para a carga (Figura 5.11b).
Nos dois casos, as linhas são radiais e se estendem ao infinito. Observe que as linhas
1
As linhas de campo eléctrico são usadas apenas como uma representação pictórica que fornece uma
descrição qualitativa do campo eléctrico. O problema com essa representação é o facto de que sempre que
traçamos um número finito de linhas a partir da carga, faz parecer que o campo é quantizado e que
existisse apenas em certas partes do espaço. O campo eléctrico é de facto contínuo, portanto existe em
todo o espaço.
94
ficam cada vez mais juntas ao se aproximarem da carga, indicando que o valor do
campo está aumentando.
Figura 5.11. Linhas de campo eléctrico para uma carga pontual. (a) Para uma carga
pontual positiva, as linhas estão orientadas radialmente para fora. (b) Para uma carga
pontual negativa, as linhas estão orientadas radialmente para dentro. Observe que as
figuras mostram apenas as linhas de campo que estão no plano que contém a carga. (c)
Os traços escuros são pequenos filamentos de fibra suspensos em óleo, que se alinham
com o campo eléctrico produzido por um pequeno condutor carregado no centro.
As regras para desenhar linhas do campo eléctrico para qualquer distribuição de
carga são as seguintes:
• As linhas para um grupo de cargas pontuais devem começar nas cargas positivas
e terminar nas negativas. No caso de excesso de um tipo de carga, algumas
linhas começarão ou terminarão infinitamente afastadas.
• O número de linhas desenhadas começando numa carga positiva ou terminando
numa negativa é proporcional à magnitude da carga.
• Duas linhas de campo quaisquer não podem cruzar.
Essa visualização do campo eléctrico em termos de linhas de campo é consistente
r
q r
com a equação E = k e 2 rˆ ? Para responder a essa questão, considere uma superfície
r
esférica imaginária de raio r, concêntrica com a carga. A partir da simetria, vemos que o
95
valor do campo eléctrico é a mesma em toda parte na superfície da esfera. O número de
linhas N que emerge da carga é igual ao número que penetra a superfície esférica. Logo,
o número de linhas por unidade de área na esfera é N / 4πr 2 (onde a área de superfície
da esfera é 4πr 2 ). Como E é proporcional ao número de linhas por unidade de área,
vemos que E varia de acordo com l / r2. Isso é consistente com o resultado obtido da
q
equação 5.5,ou seja, E = k e 2 .
r
As linhas de campo não são quantizadas (nota 1) mas a carga é quantizada, e o
número de linhas que saem de todo corpo positivamente carregado deve ser 0, ae, 2ae,
onde a é uma constante de proporcionalidade arbitrária (mas fixa) escolhida pela pessoa
que, desenha as linhas. Uma vez que a é escolhida, o número de linhas não é mais
arbitrário. Por exemplo, se o corpo 1 tiver carga Ql e o corpo 2 tiver carga Q2, então a
razão do número de linhas conectadas ao corpo 2 pelo número de linhas conectadas ao
corpo 1 é N2 / N1 = Q2 / Q1.
As linhas do campo eléctrico para duas cargas pontuais de valor igual, mas sinais
opostos (o dipolo eléctrico), são apresentadas na Figura 5.11. Nesse caso, o número de
linhas que começa na carga positiva deve ser igual ao número de cargas que terminam
na carga negativa. Em pontos muito próximos das cargas, as linhas são quase radiais. A
densidade elevada das linhas entre as cargas indica uma região de campo eléctrico forte.
A natureza atractiva da força entre as partículas é sugerida também pela Figura 5.11,
com as linhas de uma partícula terminando na outra partícula.
Figura 5.11. (a) As linhas de campo eléctrico para duas cargas de valores iguais e sinais
opostos (um dipolo eléctrico). Observe que o número de linhas deixando a carga
positiva é igual ao número que termina na carga negativa. (b) Pequenos filamentos de
fibra suspensos em óleo se alinham com o campo eléctrico.
A Figura 5.12 mostra as linhas do campo eléctrico na vizinhança de duas cargas
pontuais positivas iguais. Novamente, perto de uma ou outra carga as linhas são quase
radiais. O mesmo número de linhas emerge de cada partícula porque as cargas têm
valores iguais. Para grandes distâncias das partículas, o campo é aproximadamente igual
ao de uma única carga pontual cujo valor é 2q. A natureza repulsiva da força eléctrica
entre as partículas de mesma carga é sugerida na figura pelo facto de que nenhuma linha
conecta as partículas e as linhas se dobram afastando-se da região entre as cargas.
96
Figura 5.12. (a) As linhas de campo eléctrico para duas cargas pontuais positivas. (Os
pontos A, B e C são discutidos no Enigma Rápido (b) Pequenos filamentos de fibra
suspensos em óleo se alinham com o campo eléctrico.
Enigma. Classifique as magnitudes do campo eléctrico nos pontos A, B e C na Figura
5.12.
Finalmente, na Figura 5.13 temos as linhas do campo eléctrico associadas com
uma carga pontual positiva +2q e uma carga pontual negativa – q. Nesse caso, o número
de linhas que saem de +2q é duas vezes o número que termina em – q. Logo, apenas
metade das linhas que deixam a carga positiva termina na carga negativa. A metade
restante termina em cargas negativas hipotéticas que consideramos estar localizadas
infinitamente longe. Para grandes distâncias das partículas (grandes comparadas com a
separação entre as partículas), as linhas do campo eléctrico são equivalentes àquelas de
uma única carga pontual + q.
Figura 5.13. As linhas do campo eléctrico para uma carga pontual +2q e uma segunda
carga pontual – q. Observe que duas linhas deixam a carga +2q para cada linha que
termina em – q.
97
5.6. Movimento de Partículas Carregadas num Campo Eléctrico Uniforme
r
Quando uma partícula de carga q e massa m é colocada num campo eléctrico E , a força
r
r
eléctrica exercida sobre a carga é dada por Fe = qE . Se esta for a única força exercida
sobre a partícula, ela corresponderá a força resultante. A força resultante faz com que a
partícula acelere. Nesse caso, a segunda lei de Newton aplicada à partícula fornece
r
r
Fe = ma
Portanto, a aceleração da partícula é
r
r qE
a=
m
(5.11)
r
Se E é uniforme (isto é, se tem magnitude e direcção constantes), a aceleração é
constante. Se uma partícula tiver carga positiva, sua aceleração será na direcção do
campo eléctrico. Se a partícula tiver carga negativa, sua aceleração será na direcção
oposta à do campo eléctrico.
r
A Figura 5.14 mostra uma carga positiva, libertada do repouso, num campo eléctrico E ,
orientado ao longo do eixo x
r
Figura 5.14. Carga pontual positiva q num campo eléctrico E sofre aceleração
constante na direcção do campo.
98
r
O campo eléctrico E na região entre duas placas metálicas planas com cargas
opostas é aproximadamente uniforme (Figura 5.15). Considere que um electrão de carga
r
– e é projectado horizontalmente neste campo com uma velocidade inicial vi i . Como o
campo eléctrico na Figura 5.15 está no sentido positivo de y, a aceleração do electrão
está no sentido negativo de y. Isto é,
r
eE r
j
a=−
m
(5.12)
Figura 5.15. Um electrão é projectado horizontalmente num campo eléctrico uniforme
produzido por duas placas metálicas carregadas. O electrão sofre aceleração para baixo
r
(oposta a E ) e seu movimento é parabólico enquanto estiver entre as placas.
99