Função Composta e Paridade - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

CEM – Centro de Estudos Matemáticos
Florianópolis
Professor: Erivaldo
Santa Catarina
Função Composta – SUPERSEMI
01)(Aman 2013) Sejam as funções reais f ( x ) = x2 + 4x e g ( x ) = x − 1.
O domínio da função f(g(x)) é
a) D = {x ∈R | x ≤ −3 ou x ≥ 1}
b) D = {x ∈R | −3 ≤ x ≤ 1}
c) D = {x ∈R | x ≤ 1}
d) D = {x ∈R | 0 ≤ x ≤ 4}
e) D = {x ∈R | x ≤ 0 ou x ≥ 4}
02)(Pucrj 2012) Sejam f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x + 1. Então f(g(3)) − g(f(3)) é igual
a:
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
03)(Uern 2012) Sejam as funções compostas f(g(x)) = 2x − 1 e g(f(x)) = 2x − 2.
Sendo g(x) = x + 1, então f(5) + g(2) é
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 6.
04)(Ufsj 2012)
Sendo a função f ( x ) = ax + b, tal que f ( f ( x ) ) = 9x + 8, é
CORRETO afirmar que
x
3
a) f −1 ( x ) = + 2
b) f (0) = 8
c) f ( x ) = 3x + 4
d) f −1 ( x ) =
( x − 2)
3
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05)(Uem 2012) Considere as funções f e g, ambas com domínio e
contradomínio real, dadas por f(x) = 5x − 2 e g(x) = x2 − 6x + 1, para
qualquer x real. A respeito dessas funções, assinale o que for correto.
01. A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um
número irracional.
02. A função g possui uma única raiz real.
04. Ambas as funções são crescentes no intervalo [0,+∞[ do domínio.
08. O gráfico da função f o g é uma parábola.
16. Ambas as funções possuem inversas.
06)(Ufsm 2012) Os praticantes de exercícios físicos se preocupam com o
conforto dos calçados utilizados em cada modalidade. O mais comum
é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numeração
para esses calçados é diferente em vários países, porém existe uma
forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos.
Assim, a função g(x) =
x
converte a numeração dos tênis fabricados no
6
Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) =
40x + 1 converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos
para a dos tênis fabricados na Coreia. A função h que converte a
numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é
a) h(x) =
20
1
x+ .
3
6
2
3
b) h(x) = x + 1.
c) h(x) =
20
x + 1.
3
d) h(x) =
20 x + 1
.
3
e) h(x) =
2 x +1
.
3
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07)(CFTMG 2012) Sendo f(x) = x2 + 2x + 1 definida em A = {x ∈R / x ≥ −1}
e
g(x) = x2 definida em R+ , o gráfico que representa a função (gof)(x) é
a)
b)
c)
d)
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08)(IFSC 2012) Em uma fábrica de bijuterias o custo de produção de um
lote de brincos é calculado a partir de um valor fixo de R$ 125,00, mais
R$ 1,50 por unidade produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de,
no máximo, 10000 brincos, sendo vendido cada lote com 25% de lucro
sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e analise as afirmações
abaixo:
I. A função C que relaciona o custo de produção a uma quantidade x
de brincos produzidos é C(x) = 126,50x.
II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e o
custo C de produção é V(C) = 1,25C.
III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$ 725,00.
IV. Considerando C a função que relaciona o custo de produção de
uma quantidade x de brincos e V a função que relaciona o valor de
venda de um lote de brincos com o custo C de produção, então a
função composta V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda
de um lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos.
V. O preço de venda de um lote com 100 brincos é R$ 343,75.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.
b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS.
c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS.
d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS.
e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS.
09)(Espm
2012)
Sejam
f
e
g
funções
reais
tais
que
f (2x + 1) = 2x + 4 e g ( x + 1) = 2x− 1 para todo x ∈ R. Podemos afirmar que a
função fog(x) é igual a:
a) 2x – 1
b) x + 2
c) 3x + 1
d) 2x
e) x – 3
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10)(Uepg 2011) Sobre uma função afim f(x) = ax + b, assinale o que for
correto.
01. Se a > 0 e b < 0 então f(x) é crescente e possui raiz negativa.
02. Se o gráfico de f(x) passa pelos pontos,
(–1, 1) e (3, 5) então f(f(–3)) = 1.
04. Se f(x) + f(x – 3) = x então f(x) = 1 x + 3 .
2
4
08. Se b = – 3 e f(f(–2)) = – 5 então a = 3.
16. Se a.b > 0 a raiz de f(x) é um número positivo.
11)(Ifal 2011) Considere o gráfico da função y = f(x), representado por
segmentos de reta:
I. (
) f(4) = f(21).
II. (
) f(f(f(0))) = f(2).
III. (
) f(f(6)) = 2f(f(f(8))).
Podemos afirmar que
a) somente as afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
b) somente as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras.
c) somente as afirmativas (II) e (III) são verdadeiras.
d) todas as afirmativas são verdadeiras.
e) todas as afirmativas são falsas.
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12)(Espm 2011)
função f (x).
A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da
Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f ⎡⎣ f ( π )⎤⎦
a) 1
3
2
3
c)
4
b)
d) 2
e)
5
2
13)(Afa 2011) Considere o conjunto A = {0,1,2,3} e a função f : A → A tal
que f (3 ) = 1 e f ( x ) = x + 1, se x ≠ 3 . A soma dos valores de x para os quais
( fofof )( x ) = 3 é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
14) Classifique as seguintes funções em par, ímpar ou sem paridade:
a) f(x) = 4x4 – 5x2 + 7
b) g(x) = 9x7 – 6x5 + 4x3 + 7
c) h(x) = 15x5 + 6x3 – 5x
d) f(x) = x4 + cosx
e) g(x) = x3 – senx
f) h(x) = x2.cosx
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15)(Fei 1996) Em relação à função polinomial f(x) = 2x3 - 3x, é válido
afirmar-se que:
a) f(-x) = f(x)
b) f(-x) = - f(x)
c) f(x2) = ( f(x) )2
d) f(ax) = a f(x)
e) f(ax) = a2 f(x)
16)(Unifesp 2010) Uma função f : R → R diz-se par quando f(−x) = f(x),
para todo x∈R, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo x ∈ R.
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares
ou funções ímpares? Justifique sua resposta.
b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e
outra ímpar, e exiba os seus gráficos.
17)(Ita 2010) Sejam f, g: R → R tais que f é par e g é impar. Das seguintes
afirmações:
I. f . g e impar,
II. f o g e par,
III. g o f e impar,
é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) todas.
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18)(Afa 2011) Considere as funções reais f e g tal que f ( x ) = x2 + 1e que
existe a composta de g com f dada por ( gof )( x ) =
(x
2
)
2
+ 1 . Sobre a
função g, é incorreto afirmar que ela é
a) par.
b) sobrejetora.
c) tal que g ( x ) ≥ 0,∀x ∈R
d) crescente se x ∈+∞
[1,
[
19)(Uepg 2011) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {2, 4, 6}
e P = {1, 2}, assinale o que for correto.
01. 1 ∈ (S – P).
02. Existe uma função f: S → P que é bijetora.
04. (S ∩ P) ∪ R = R.
08. R ∩ S ∩ P = ∅ .
16. Nenhuma função f: S → R é sobrejetora.
20)(Uft 2010)
Seja a um número real e f : ]−∞, ∞[ → [a, ∞[ uma função
definida por f(x) = m2x2 + 4mx + 1, com m ≠ 0. O valor de a para que a
função f seja sobrejetora é:
a) - 4
b) - 3
c) 3
d) 0
e) 2
21)(Ita 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1}
e as afirmações:
I. {0} ∈ S e S ⋂ U ≠ ∅.
II. {2} ⊂ (S - U) e S ⋂ T ⋂ U = {0, 1}.
III. Existe uma função f: S → T injetiva.
IV. Nenhuma função g: T → S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas IV.
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
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22)(Unifesp 2002)
Há funções y = f(x) que possuem a seguinte
propriedade: "a valores distintos de x correspondem valores distintos de
y". Tais funções são chamadas injetoras.
Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?
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Gabarito:
01) a
16)
02) a
a) As funções pares são I e
03) a
III, pois f(-a) = f(a) para
04) d
qualquer
05) 09
funções ímpares são IV e
06) c
V, pois f(-a) = - f(a) para
07) a
qualquer a.
a
real.
As
08) a
09) d
10) 06
b) função y = x2 é par e a
função y = x é ímpar.
11) d
12) d
13) b
14)
a) par
b) sem paridade
17) b
c) ímpar
18) b
d) par
19) 24
e) ímpar
20) b
f) par
21) b
22) e
15) b
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Resolução:
Questão 01:
Temos que
f(g(x)) = (x − 1)2 + 4(x −1)
= x 2 − 2x + 1 + 4x −
4
= x 2 + 2x 3
−
= (x + 3)(x − 1).
Assim, a função f o g está definida para os valores de x tais que
(x + 3)(x − 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ 1,
ou seja,
D = {x ∈R | x ≤ −3 ou x ≥ 1}.
Questão 02:
Como f(3) = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 e g(3) = 3 ⋅ 3 + 1 = 10, segue que
f(g(3)) − g(f(3)) = f(10) −
g(7)
= 2 ⋅ 10 + 1 − (3 ⋅ 7 + 1)
= 20 + 1 − 21 − 1
= −1.
Questão 03:
Sabendo que g(f(x)) = 2x − 2 e g(x) = x + 1, vem
g(f(x)) = f(x) + 1 ⇔ 2x − 2 = f(x) + 1 ⇔ f(x) = 2x −3.
Portanto,
f(5) + g(2) = 2 ⋅ 5 − 3 + 2 + 1 = 10.
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Questão 04:
f ( f ( x ) ) = 9x + 8
a ( ax + b ) + b = 9x + 8
a2 x + b ( a + 1) = 9x + 8
a2 = 9, logo a = 3 ou a = 3.
−
Considerando a = 3, temos:
b ( 3 + 1) = 8
b=2
Logo f ( x ) = 3x + 2 e f −1 ( x ) =
( x − 2)
3
OBS: Poderíamos também ter considerado a = −3.
Questão 05:
(01) Verdadeiro. Para qualquer x ∈ Q → Im(f) ∈ I (I → ConjuntodosIrracionais)
(02) Falso.
⎪⎧ x1 = 3 + 2 2
g(x) = 0 ⇒ x 2 − 6x + 1 = 0 ⇒ ⎨
⎪⎩ x 2 = 3 − 2 2
(04) Falso.
A função f(x) = 5x − 2 é crescente para todo x ∈R
A função g(x) = x2 − 6x + 1 é crescente para todo x ∈ [3, ∞)
(08) Verdadeiro.
2 −é uma parábola.
(f og)(x) = f(g(x)) = 5(x2 − 6x + 1) − 2) = 5x2 − 30x + 5
(16) Falso. Considerando as funções f e g, ambas com domínio e
contradomínio real, temos:
I.
II.
f(x) = 5x − 2
f −1(x) =
com D = ℜ e CD =
ℜ
x+ 2
com D = ℜ e CD =
5
g(x) = x2 − 6x + 1 com D = ℜ e CD =
ℜ
ℜ
g (x) = 3 + x + 8 com D = [−8, +∞ ) e CD = [0, + )∞
−1
Portanto, a inversa de g possui restrição quanto ao domínio. Logo, não
admite inversa.
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Questão 06:
h(x) = f[g(x)]
x
6
h(x) = 40. + 1
h(x) =
20
⋅ x +1
3
Questão 07:
A função composta g(f(x)) será dada por:
g ( f(x) ) = ⎛⎜ x 2 + 2x + 1 ⎞⎟
⎝
⎠
2
g ( f(x) ) = x 2 + 2x + 1 para x ≥ −1
Portanto, o seu gráfico é o da alternativa [A] (apenas o ramo direito da
parábola).
Questão 08:
I. Falsa, pois C(x) = 125 + 1,5x.
II. Verdadeira. Como o lucro da produção é de 25% temos V(C) =
1,25 ⋅ C.
III. Verdadeira, pois C(400) = 125 + 1,5 ⋅ 400 = R$ 725,00.
IV. Verdadeira, pois V(C(x)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5x).
V. Verdadeira, pois V(C(100)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5 ⋅ 100) = 1,25 ⋅ 275 = 343,75.
Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.
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Questão 09:
Fazendo t = 2x + 1, vem
x = 2t + 1 ⇔ t −1=(x)
x −1
.
2
Logo,
x −1
⎛ x −1 ⎞
f ⎜2⋅
+ 1⎟ = 2 ⋅ + 4 ⇔ f(x) = x + 3.
⎝
⎠
2
2
Por outro lado, se u = x + 1, então
x = u + 1 ⇔ u−1(x) = x − 1.
Desse modo,
g(x − 1 + 1) = 2 ⋅ (x − 1) − 1 ⇔ g(x) = 2x
− 3.
Portanto,
f o g(x) = f(g(x))
= g(x) + 3
= 2x − 3 +3
= 2x.
Questão 10:
Item (01) – Falso
Sendo f(x) = ax + b, temos para a > 0 e b < 0 o gráfico a seguir:
Portanto, f(x) = ax + b é crescente, porém não possui raiz negativa
(intercepta x num valor positivo)
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Item (02) – Verdadeiro
Considerando f(x) = ax + b, temos:
⎧( −1,1) ⇒ f( −1) = a( −1) + b ⇒ −a + b = 1
⎧a = 1
, então f(x) = x + 2
⇒⎨
⎨
⎩( 3,5) ⇒ f( 3) = a( 3) + b ⇒ 3a + b = 5
⎩b = 2
Portanto:
f(−3) = (−3) + 2 = 1−
Logo:
f(f(−3)) = (−1) + 2 = 1
Item (04) – Verdadeiro
⇒ f(x) = ax + b
⇒ f(x) + f(x − 3) =
1x
⇒ (ax + b) + (a(x − 3) + b) = 1x
⇒ ax + b + ax − 3a + b = 1x
⇒ 2ax + 2b − 3a =1x
Logo :
1
⎧
→a
=
⎪⎪2a = 1
2
⎨
⎪2b − 3a = 0 → b =3
⎪⎩
4
Portanto:
⇒ f(x) =
1
3
x+
2
4
Item (08) – Falso
⇒ Para b = −3 → f(x) = ax 3 −
⇒ f( −2) = −2a − 3
⇒ f(f( −2)) = a ( −2a − 3) ) − 3
⇒ f(f( −2)) = −2a2 − 3a − 3
Portanto:
f(f( −2)) = 5 −
Logo
⇒ −2a2 − 3a − 3 = −5
⇒ −2a2 − 3a + 2 = 0
Temos :
a1 = −2= ou a 2
1
2
Item (16) – Falso
Se a < 0 e b < 0 ⇒ ab
Logo :
0 >
.
A raiz de f(x) = ax + b será negativa.
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Questão 11:
A lei da função f é dada por
⎧3x + 6, se 0 ≤ x 8 <
⎪
f(x) = ⎨30, se 8 ≤ x 15 < .
⎪−2x + 60, se 15 ≤ x ≤ 30
⎩
I. Verdadeira.
f(4) = 3 ⋅ 4 + 6 = 18 e f(21) = −2 ⋅ 21+ 60 = 18.
II. Verdadeira.
f(f(f(0))) = f(f(3 ⋅ 0 6))+
= f(f(6))
= f(3 ⋅ 6 6)
+
= f(24)
= −2 ⋅ 24
+ 60
= 12.
e
f(2) = 3 ⋅ 2 + 6 = 12.
III. Verdadeira
f(f(6)) = 12.
e
2 ⋅ f(f(f(8))) = 2 f(f(30))⋅
= 2 ⋅ f( −2 ⋅ 30+ 60)
= 2 ⋅ f(0)
= 2 ⋅ (3 ⋅ 0 + 6)
= 12.
Questão 12:
Observando que f é constante para 2 ≤ x ≤ 4 e sabendo que π ≅ 3,14,
basta calcularmos f(f(2)) para determinarmos f(f(π)).
Do gráfico, temos que para x ≤ 2 f é uma função afim, isto é, f(x) = ax + b.
Como o gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada 3, temos que
b = 3. Além disso, sabemos que f(1) = 2. Logo, 2 = a ⋅ 1 + 3 ⇒ a = 1−.
Desse modo, f(x) = −x+ 3 para x ≤ 2 e, assim, f(2) = −2 + 3 = 1.
Portanto, f(f(π)) = f(f(2)) = f(1) = 2.
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Questão 13:
f[f(f(x))] =3
f(f(x)) = 2
f(x) =1
Portanto, x = 3.
Questão 14:
a) Função polinomial só com expoentes pares
b) Função polinomial com expoentes pares e com expoentes ímpares
c) Função polinomial só com expoentes ímpares
d) Soma de funções pares
e) Soma de funções ímpares
f) Produto de funções pares
Questão 15:
A Função f(x) = 2x3 - 3x é uma função polinomial só com expoentes
ímpares, portanto ela é ímpar, ou seja f(-x) = -f(x)
Questão 16:
a) As funções pares são I e III, pois f(-a) = f(a) para qualquer a real. As
funções ímpares são IV e V, pois f(-a) = - f(a) para qualquer a.
b) função y = x2 é par e a função y = x é ímpar.
Questão 17:
I. f(-x).g(-x) = - f(x).g(x) (função ímpar)
II.f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)) ( função par)
III.g(f(-x)) = g(f(x)) ( função par)
Apenas I e II estão corretas.
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Questão 18:
g(f(x)) = (f(x))2 = f(x)
portanto g(x) = x
g(x) não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é ⎡⎣0,+∞⎡⎣ e seu
contradomínio é o conjunto dos números reais.
Questão 19:
Item (01) - Falso
S – P = {4,6}. Portanto 1 ∉ (S – P).
Item (02) - Falso
Função Bijetora ⇔ Função injetora e função sobrejetora.
Função injetora: x1 ≠ x2 ⇒ y1 ≠ y2
Função sobrejetora: CD(f) = Im(f)
Portanto:
f : S → P não é injetora, pois existirá x1 ≠ x2 ⇒ y1 = y2
Item (04) - Falso
(S ∩ P) ∪ R = {0,1
≠,2,3,5,7} R
Item (08) – Verdadeiro
R ∩S ∩P = ∅
, pois não possuem nenhum elemento em comum.
Item (16) – Verdadeiro
Função sobrejetora: CD(f) = Im(f)
Portanto:
Qualquer associação entre S e R que defina uma função terá
CD(f) ≠ Im(f).
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Questão 20:
a deverá ser o y do vértice.
Portanto, s =
− Δ − ((4m) 2 − 4.m 2 .1) − 12m 2
=
=
= −3
4a
4.m 2
4m 2
Questão 21: b
Questão 22: e
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