Função Polinomial do 2º grau ou Quadrática

CEM – Centro de Estudos Matemáticos
Florianópolis
Professor: Erivaldo
Santa Catarina
Função Quadrática – SUPERSEMI
1)(Afa 2013) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y = f ( x ), que
tem como coordenadas do vértice (5, 2) e passa pelo ponto (4, 3), também passará
pelo ponto de coordenadas
a) (1, 18)
b) (0, 26)
c) (6, 4)
d) (–1, 36)
2)(Ufpr 2013) O número N de caminhões produzidos em uma montadora durante
um dia, após t horas de operação, é dado por N(t) = 20 ⋅ t − t 2 , sendo que 0 ≤ t ≤ 10.
Suponha que o custo C (em milhares de reais) para se produzir N caminhões seja
dado por C(N) = 50 + 30 ×N.
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação da montadora.
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o valor de 2300
milhares de reais?
3)(Ufmg 2013) Dois robôs, A e B, trafegam sobre um plano cartesiano. Suponha que
no instante t suas posições são dadas pelos pares ordenados sA ( t ) = ( t, – t2 + 3t + 10 ) e
sB ( t ) = ( t, 2t + 9), respectivamente.
Sabendo que os robôs começam a se mover em t = 0,
a) DETERMINE o instante t em que o robô A se chocará com o robô B.
b) Suponha que haja um terceiro robô C cuja posição é dada por sC ( t ) = ( t, kt + 11),
em que k é um número real positivo. DETERMINE o maior valor de k para que a
trajetória do robô C intercepte a trajetória do robô A.
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4)(Pucrj 2013) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de equação
y=
x 2 11
− x+ 3 e dois vértices no eixo x, como na figura abaixo.
6
6
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD.
5)(Ufsj 2012) O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c é:
Com relação a f(x), é INCORRETO afirmar que
a) seu discriminante ( Δ ) é maior que zero.
b) o vértice da parábola tem ordenada positiva.
c) o coeficiente do termo quadrado (a) é positivo.
d) as raízes da função quadrática são 0 e 3/2.
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6)(Ufpa 2012) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte
problema: possuía uma vareta de miriti com 80 centímetros de comprimento que
deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo
comprimento x, que será a largura da pipa, e outra de comprimento y, que
determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura a
seguir, de modo que a altura da região retangular seja 1 y , enquanto a da triangular
4
3
seja y . Para garantir maior captação de vente, ele necessita que a área da superfície
4
da pipa seja a maior possível.
A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a
a) 350 cm2
b) 400 cm2
c) 450 cm2
d) 500 cm2
e) 550 cm2
7)(CFTMG 2012) Na função f : {0,1, 2, 3} → Z, definida por f(x) = x2 + 2x – 5,
a) o domínio de f(x) é Z.
b) a imagem de x = –1 é igual a –2.
c) o conjunto imagem de f(x) é {0, 1, 2, 3}.
d) o conjunto imagem de f(x) é {–5, –2, 3, 10}.
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8)(Espm 2012) A figura em destaque representa o gráfico da função y = f(x).
Assinale a alternativa que melhor se
aproxima do gráfico da função y = f(x –
1).
a)
d)
b)
e)
c)
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9)(Enem 2012) Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que
representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é
dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica
(i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente
proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a
relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica
(i) que circula por ele?
a)
b)
c)
d)
e)
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10)(Insper 2012) A área da região sombreada na Figura 1, limitada pelo gráfico da
função f ( x ) = 9 − x 2 e pelos eixos coordenados, é igual a 18.
Assim, a área da região sombreada na Figura 2, limitada pelo gráfico da função
g ( x ) = x 2 , pelo eixo x e pela reta de equação x = 3, é igual a
a) 4,5.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
e) 13,5.
11)(Uftm 2012) As funções f(x) e g(x) são funções quadráticas reais, tais que: f(x) = x2
+ 2x + 2 e g(x) = –x2 – 2x – 2. Considerando que os gráficos de f(x) e de g(x) são
simétricos em relação ao eixo das abscissas, pode-se afirmar que a distância entre
seus vértices é
a) 1.
b) 2.
c) 2.
d) 3.
e) 2 3.
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12)(Ufrn 2012) Uma lanchonete vende, em média, 200 sanduíches por noite ao
preço de R$ 3,00 cada um. O proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que
diminui no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20 sanduíches.
Considerando o custo de R$ 1,50 para produzir cada sanduíche, o preço de venda
que dará o maior lucro ao proprietário é
a) R$ 2,50.
b) R$ 2,00.
c) R$ 2,75.
d) R$ 2,25.
13)(Afa 2012) Considere f uma função quadrática de raízes reais e opostas.
O gráfico de f intercepta o gráfico da função real g definida por g( x ) = − 2 em
exatamente um ponto.
Se f ( 3 ) = 4 e D ( f ) = D ( g) = R, então, é INCORRETO afirmar que
a) f ( x ) − g ( x ) > 0, ∀x ∈R.
b) o produto das raízes de f é um número ímpar.
c) a função real h definida por h ( x ) = g( x ) − f ( x ) admite valor máximo.
d) f é crescente ∀ x ∈ ⎡⎣1, + ∞ ⎡⎣ .
14)(Uff 2012) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o
triângulo cujos vértices são os pontos ( −2,0),(2,0) e (0,3) , e R o retângulo de vértices
( −x,0),( x,0),0 < x < 2 , e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T .
Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.
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15)(Ime 2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de
variável real, f ( x ) = a2
( x − b )( x − c ) 2 ( x − c )( x − a ) 2 ( x − a )( x − b )
, obtém-se f(x)
+b
+c
( a − b )(a − c )
(b − c )(b − a )
(c − a )(c − b )
igual a:
a) x2 − (a + b + c ) x + abc
b) x2 + x − abc
c) x 2
d) –x2
e) x2 − x + abc
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Gabarito:
01) a
02)
a) C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) t = 15h
03)
a) t =
1+ 5
.
2
b) O maior valor de k deverá ser 1.
04)
a) -1
b) 5
05) b
06) d
07) d
08) b
09) d
10) c
11) c
12) c
13) a
14) 1
15) c
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Resolução:
Questão 01:
Sendo V(xv, yv) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) =
ax2 + bx + c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua
forma canônica f(x) = a ⋅ (x – xv)2 + yv.
Portanto, f(x) = a ⋅ (x – 5)2 + 2.
Como f(4) = 3, temos:
a ⋅ (4 – 5)2 = 3
a = 3.
Logo, f(x) = (x – 5)2 + 2.
Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 – 5)2 + 2 = 18.
Questão 02:
a) C(t) = 50 + 30.(20t – t2)
C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) 2300 = –30t2 + 600t + 50
Dividindo por 30, temos:
30t2 – 600t + 2250 = 0
t2 – 20.t + 75 = 0
Resolvendo a equação, temos t = 15h (não convém) e t = 5h.
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Questão 03:
a) SA(t) = SB(t)
−t 2 + 3t + 10 = 2t + 9
t2 − t − 1= 0
Resolvendo a equação, temos t =
1+ 5
.
2
b) SA(t) = SC(t)
SA(t) = SC(t)
kt + 11 = − t 2 + 3t + 10
t 2 + (k − 3 ) ⋅ t + 1 = 0
Para que k seja máximo, o delta deverá ser zero, pois assim a reta será tangente à
parábola.
(k – 3)2 – 4.1.1 = 0
k2 – 6k + 5 = 0, resolvendo a equação, temos:
k = 1 ou k = 5
Se k = 1, temos t2 – 2t + 1 = 0, logo t = 1 (válido)
Se k = 5, temos t2 + 2t + 1 = 0, logo t = –1 (inválido)
Portanto, o maior valor de k deverá ser 1.
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Questão 04:
a) Sabendo que D = (3, 0), vem x A = xD = 3. Além disso, como A pertence à parábola,
temos
y A = f(x A )
32 11
− ⋅3 3
+
6
6
= −1.
=
b) Como ABCD é retângulo, concluímos facilmente que yB = yA = 1. −Assim,
xC2 11
− xC + 3 = −1 ⇔ xC2 − 11xC + 24 = 0
6
6
⇒ xC = 8
e, portanto, C = (8, 0).
c) A área do retângulo ABCD é dada por
(xC − xD ) ⋅ | f(x A ) | = (8 − 3) ⋅ | −1| 5
= u.a.
Questão 05:
[A] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos.
[B] Falsa – O vértice tem ordenada negativa.
[C] Verdadeira – A parábola tem concavidade para cima.
[D] Verdadeira – A parábola intersecta o eixo x nos pontos (0,0) e (3/2,0).
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Questão 06:
Sabemos que
2x + y = 80 ⇔ y = −2 ⋅ (x − 40).
y
4
Podemos dividir a pipa em um retângulo de base x e altura , e um triângulo de
base x e altura 3y . Assim sendo, temos que a área da pipa, em cm2, é dada por:
4
A = x⋅
y 1
3y
+ ⋅x⋅
4 2
4
5
⋅x⋅y
8
5
= − ⋅ x ⋅ (x − 40)
4
5
= 500 − ⋅ (x − 20)2 .
4
=
Portanto, a pipa de área máxima que pode ser construída é obtida quando x = 20cm,
e sua medida é 500cm2 .
Questão 07:
f(0) = 02 + 2 ⋅ 0 – 5 = –5
f(1) = 12 + 21 – 5 = –2
f(2) = 22 + 2 ⋅ 2 – 5 = 3
f(3) = 32 + 2 ⋅ 3 – 5 = 10
Logo, o conjunto imagem de f(x) é {–5, –2, 3, 10}.
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Questão 08:
O gráfico da função sofrerá uma translação horizontal de uma unidade para a direita.
Portanto, a alternativa [B] é a correta.
Questão 09:
P = r ⋅ i2
P = k ⋅E
k ⋅ E = r ⋅ i2 ⇒ E =
r.i2
k (como r e kA são constantes reais, temos uma função do segundo
grau na variável i).
Portanto, o melhor gráfico para que representa a relação pedida é o da alternativa D .
Questão 10:
Observando as figuras, concluímos que a área pedida será dada por:
A = 3 ⋅ 9 – 18 = 9.
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Questão 11:
Reescrevendo a lei de f sob a forma canônica, obtemos f(x) = (x + 1)2 + 1.
Desse modo, o valor mínimo de f é 1 e, portanto, a distância pedida é 2 ⋅ 1 = 2.
Questão 12:
Se x é o número de aumentos de R$ 0,10, então serão vendidos (200 + 20x)
sanduíches ao preço de (3 − 0,1x) reais.
Desse modo, o lucro obtido pelo proprietário é dado por:
L(x) = (3 − 0,1x)(200 + 20x) − 1,5(200
+
20x)
= −2(x + 10)(x
−
15).
Então, o número de aumentos de R$ 0,10 que produz o maior lucro para o
proprietário é:
x=
−10 + 15
= 2,5 e, portanto, o resultado pedido é 3 − 0,1⋅ 2,5= R$ 2,75.
2
Questão 13:
De acordo com a questão podemos desenhar o seguinte gráfico:
Portanto, a única afirmação incorreta é a alternativa [A]: f ( x ) − g ( x ) > 0, ∀x ∈ ° , pois,
para x = 0, f ( x ) − g ( x ) = 0.
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Questão 14:
Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que:
2x 3 − h
3.x
=
⇔h=−
4
3
2
3+
Considere A, a área do retângulo R.
⎛ 3.x
⎞
A = 2x. ⎜ −
+3 ⎟
⎝ 2
⎠
A = −3x
+2
b
xV = − =
2.a
6x
6
−=
2.( −3)
1
Portanto, x = 1.
Questão 15:
Sabendo que f(a) = a2, f(b) = b2,f(c) = c 2 e f(x) = x 2 e que f(x) é um polinômio do
segundo grau, logo f(x) = x2 .
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