Apresentação do PowerPoint - Páginas Pessoais

PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
PROBABILIDADE & ESTATÍSTICA
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Lilian de Souza Vismara
Mestre Eng. Elétrica – ESSC / USP
Licenciada em Matemática – UFSCar
Existem dois tipos de problema…
 Aqueles
que
podemos
responder com certeza
 Aqueles que só podemos ter
uma ideia da resposta
 Se uma conta de R$100 é dividida
igualmente entre 5 pessoas,
quanto cada pessoa vai pagar?
 Cinco pessoas vão a um
restaurante. Quanto tempo eles
vão
demorar
para
serem
atendidos?
Probabilidades servem para…
… dar boas respostas a
problemas que não possuem
respostas exatas.
 Qual vai ser o grau de infestação
no campo por uma determinada
espécie daninha no próximo ano?
 Qual vai ser a perda de
rendimento da cultura infestada?
… responder problemas de
respostas exatas caras ou
impraticáveis.
 Qual é a altura média da
população brasileira?
 Qual é o volume de madeira de
uma floresta plantada?
Vamos aprender a resolver esses problemas.
A Teoria das Probabilidades estuda os
fundamentos matemáticos por trás desses
problemas.
Existem dois tipos de problema…
Problemas em que é possível determinar a
resposta são chamados de determinísticos.
São comuns em áreas exatas, como Física, Química e
Matemática.
Problemas em que a resposta só pode ser
estimada são chamados de probabilísticos ou
estocásticos.
São esses os problemas mais comuns nas Ciências,
Engenharias, Medicina, etc.
Experimento/Variável
aleatório/a
Espaço amostral
Espaço amostral: Exemplo
Calculando espaços amostrais
EXEMPLO 1: Qual é o tamanho do espaço amostral
de três lançamentos de uma moeda?
Resultados possíveis de cada lançamento:
(N) = 2 (cara ou coroa).
Quantas vezes será lançada?
(n) = 3 vezes.
Tamanho do espaço amostral
Nn = 23= 8
Calculando espaços amostrais
EXEMPLO 2: Num experimento se analisa quatro nascimentos de
uma porca registrando o sexo do parido (com M para macho e
F para Fêmea).
Quantas e quais são as possibilidades de nascimentos?
Tamanho do espaço amostral
Nn = 24 = 16
As possibilidades de nascimentos são:
MMMM; MMMF; MMFF; MFFF; MFMF; MFFM; MMFM; MFMM;
FFFF; FFFM; FFMM; FMMM; FMFM; FMMF; FMMF; FFMF; FMFF.
Aspectos fundamentais do espaço
amostral
Evento
Eventos possíveis
Conceito de probabilidade:
Conceito no dia-a-dia
Conceito de probabilidade:
Conceito subjetivo
Conceito de probabilidade:
Conceito clássico
Conceito clássico ou a priori
Conceito frequentista ou a posteriori
Axiomas de probabilidade
Um axioma ou postulado é uma sentença
ou proposição que não é provada ou
demonstrada e é considerada como
óbvia ou como um consenso inicial
necessário para a construção ou
aceitação de uma teoria.
Axiomas da probabilidade
Probabilidade de um Evento
P(E)
Probabilidade de um evento pode ser
estimada como a frequência relativa com que
esse evento ocorre no longo prazo.
A probabilidade é um número entre 0 e 1,
sendo 0 (zero) se o evento não ocorre nunca
e 1 (um) se ele ocorre sempre (100% das
vezes).
Questão filosófica: é possível dizer que quanto
maior a probabilidade de um evento, maior é o
nosso grau de certeza de que ele vai acontecer?
• Esta teoria, que define probabilidades como o “limite”
da frequencia relativa se chama teoria frequencialista.
• Existe outra teoria, chamada Bayesiana, que define
probabilidade como um grau de certeza que temos acerca
do que vai acontecer.
• A teoria Bayesiana é mais ampla, em certo sentido, do que
a frequencialista, porque a frequência relativa sempre pode
ser usado como um grau de certeza, mas o grau de
certeza nem sempre é baseada em várias observações
repetidas.
• A matemática desta outra teoria, porém, é bem mais
sofisticada e não a veremos aqui.
Diagramas de Venn
União de Eventos
 Operação:
 Diagrama de Venn:
Intersecção de Eventos
 Operação:
 Diagrama de Venn:
Eventos disjuntos ou mutuamente excludentes
 Se a ocorrência de um evento significa que um outro
evento não pode ocorrer, dizemos que eles são
mutuamente excludentes.
 Operação:
 Diagrama de Venn:
Eventos independentes
 Se a ocorrência de um evento não aumenta nem
diminui a chance de outro evento acontecer,
dizemos que eles são independentes.
Probabilidades de Eventos:
mutuamente excludentes X independentes
Se dois ou mais eventos forem mutuamente excludentes, a
probabilidade de um ou outro evento acontecer é a soma das
probabilidades de cada evento.
Formalmente:
P(A B) = P(A) + P(B)
A e B forem mutuamente excludentes.
Se dois ou mais eventos forem independentes, a probabilidade
de um e outro evento acontecer é o produto das probabilidades
de cada evento.
Formalmente:
P(A B) = P(A).P(B)
, A e B forem independentes.
Regras de cálculo de probabilidades
Regras de cálculo de probabilidades
Situação-problema
Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos
Qual é a probabilidade de uma planta selecionada aleatóriamente
neste pomar estar com deficiência de macronutrientes?
Nutrientes
MACRO
MICRO
Proporção de plantas
com deficiência
N
0,35
P
0,15
K
0,10
B
0,04
Zn
0,01
Mg
0,50
Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos
Nutrientes
MACRO
MICRO
Proporção de plantas
com deficiência
N
0,35
P
0,15
K
0,10
B
0,04
Zn
0,01
Mg
0,50
+
+
≤ 0,60
ou 60%
Exemplo: Probabilidade de eventos disjuntos
RESPOSTA da situação-problema:
Qual é a probabilidade de uma planta selecionada
aleatóriamente neste pomar NÃO estar com
deficências de macronutrientes?
P(AC) = 1- P(A) = 1 – 0,6 = 0,4 ou 40%
Desigualdade de Boole
Voltando ao exemplo das porcas
Num experimento se analisa três partos de uma porca
registrando o sexo do parido (com M para macho e
F para Fêmea). Quantas e quais são as
possibilidades de nascimentos?
Tamanho do espaço amostral:
Nn = 23= 8
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
Voltando ao exemplo das porcas
Evento A: “Uma cria fêmea nasce em cada um
dos dois primeiros partos”.
Qual a probabilidade de ocorrência o evento A?
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
P(A) = 2/8= 0,25
Voltando ao exemplo das porcas
Evento B: “Uma cria macho nasce no terceiro
parto”.
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
P(B) = 4/8= 0,5
Voltando ao exemplo das porcas
Evento C: “Exatamente duas crias macho nascem
nos três partos”
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
P(C) = 3/8 = 0,375
Voltando ao exemplo das porcas
A
B: “Uma cria fêmea nasce em cada um dos
dois primeiros partos e uma cria macho nasce
no terceiro parto”
Dos cálculos anteriores, temos que:
P(A) = 2/8= 0,25 e P(B) = 4/8= 0,5
Então:
P(A
B) = P(A) . P(B) = 0,25 . 0,5 = 0,125
Voltando ao exemplo das porcas
Ou ainda:
A
B: “Uma cria fêmea nasce em cada um dos dois
primeiros partos e uma cria macho nasce no
terceiro parto”
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
P(A
B) = 1/8= 0,125
Voltando ao exemplo das porcas
A
B: “Uma cria fêmea nasce em cada um dos
dois primeiros partos ou uma cria macho
nasce no terceiro parto”
P(A
P(A
P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A B)
B) = 0,25 + 0,5 – (0,25*0,5)
B) = 0,75 – 0,125 = 0,625
Voltando ao exemplo das porcas
B
C: “Uma cria macho nasce no terceiro parto e
exatamente duas crias macho nascem nos três
partos”
MMM; MMF; MFF; MFM;
FFF; FFM; FMM; FMF
P(B C) = 2/8= 0,25 mas P(B) . P(C) = 0,5 . 0,375 =
0,1875!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Voltando ao exemplo das porcas
P(B C) é diferente de P(B) . P(C), já que 0,25 é
diferente de 0,1875.
Isso acontece pois os eventos NÃO são
independentes, ou seja o fato de ter nascido
um macho no terceiro nascimento influencia a
probabilidade de nascer exatamente dois
machos nos três nascimentos (Probabilidade
de B depende ou esta condicionada a C).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Exercícios
1) Num levantamento da avifauna, as aves foram
classificadas segundo a sua dieta preferencial em
insentívoras (I) e frugívoras (F).
a) Represente o espaço amostral para uma amostra de três
aves;
b) Represente o evento A = “pelo menos uma ave é
frugívora”;
c) Represente o evento B = “exatamente duas aves são
frugívoras”.
2) Um estudo do comportamento social de capivaras produziu o
seguinte resultado:
Se um animal for selecionada aleatoriamente deste grupo:
a) Qual a probabilidade deste animal estar num ambiente restrito?
b) Qual a probabilidade deste animal ter um comportamento agressivo?
c) Se este animal está num ambiente restrito, qual a probabilidade dele ter
um comportamento agressivo?
d) Se este animal está num ambiente restrito, qual a probabilidade dele ter
um comportamento não agressivo?
e) Se este animal tem um comportamento agressivo, qual a probabilidade
dele estar num ambiente restrito?
f) Se este animal tem um comportamento agressivo, qual a probabilidade
dele estar num ambiente amplo?
3) No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com
ervilhas verdes homozigotas (aa) ocorrem ervilhas heterozigotas
(Aa). Se estas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem ervilhas
amarelas e verdes na proporção de 3 para 1. Suponha que foi
pega, ao acaso, uma ervilha resultante do cruzamento ervilhas
amarelas heterozigotas. Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ser verde?
Observe que a probabilidade de ocorrer ervilha amarela é
P(amarela)=3/4.
b) Escreva o espaço amostral e suas probabilidades.
c) Suponha que foi pega, ao acaso, três ervilhas resultantes do
cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a
probabilidade de as três serem verdes?
4) Num levantamento em floresta de Pinus oocarpa, foram
observadas 830 árvores, segundo a tabela abaixo, considerando que
os defeitos são excludentes.
Considere os seguintes eventos:
A = “árvore jovem”;
B = “árvore madura”;
C = “árvore bifurcada”;
D = “árvore torta”;
E = “árvore com rabo-deraposa”;
F = “árvore sem defeitos”.
Calcule a probabilidade de ocorrer:
a) A;
b) B;
c) C;
d) D;
e) E;
f) F;
g) A e B;
h) A ou B;
i) A e C;
j) A ou C;
k) B e C;
l) B ou C;
m) A e D;
n) A ou D;
o) B e D;
p) B ou D;
q) C e D;
r) C ou D;
s) D e F;
t) D ou F;
u) C e D e E;
v) C e D e E e F;
w) C ou D ou E
ou F.
5) Uma indústrias de móveis de Pinus fez um levantamento no pátio
de secagem para analisar a incidência de defeitos nas peças de
madeira secas ao ar. Todos os defeitos de cada peça amostrada
(amostra aleatória em 3 lotes) foram anotados, isto é, uma mesma
peça pode ter mais de um defeito. O resultado encontrado foi.
a) Qual a proporção de peças em cada lote que apresentam defeitos
de empenhamento? Por quê?
b) Qual dos lotes está em melhores condições, isto é, apresenta a
menor proporção defeituosa? Por quê?
Referências
*BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da
disciplina “Introdução à Bioestatística Florestal”.
Piracicaba, 1997.
*BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 5.
ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
*LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística:
teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos
e Científicos, 2008.
*VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística
ministradas no Câmpus Dois Vizinhos. 2014.
Referências básicas:
 VISMARA, Edgar de Souza. Notas das aulas de Estatística ministradas no
Câmpus Dois Vizinhos. 2014.






BATISTA, J. L. F. Notas para acompanhar as aulas da disciplina “Introdução à Bioestatística
Florestal”. Piracicaba, 1997.
BUSSAB, Wilton O. Estatística Básica. 6.Ed.São Paulo, SP: Saraiva, 2010.
CAMPOS, Celso Ribeiro; WODEWOTZKI, Maria Lúcia Lorenzetti; JACOBINI, Otávio Roberto.
Educação Estatística: Teoria e Prática em Ambientes de Modelagem Matemática. 1. Ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2011.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e interferência. São Paulo: Pearson
Education Prentice Hall, 2010.
VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
Referências complementares:






DOWNING, D. Estatística aplicada. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
FONSECA, J. S. da. Curso de Estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
LEVINE, D. M.; BERENSON, M. L; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2008.
MAGNUSSON, W.; MOURÃO, G. Estatística sem matemática: a ligação entre as questões e análise.
Londrina: Editora Planta, 2005.
PETERNELLI, L. A.; MELLO, M. P. Conhecendo o R: uma visão estatística. 2. ed. São Paulo: UFV, 2011.
VIEIRA, S. Elementos de estatística. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2003.
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